二次函数与一元二次方程知识点及经典例题

二次函数y=ax 2＋bx ＋c 与ax 2＋bx ＋c =0（a ≠0）的关系

1、 一元二次方程ax 2

＋bx ＋c =0（a ≠0）的根是二次函数y=ax 2

＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴交

点的横坐标，反之y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴交点的横坐标是一元二次方程ax 2

＋bx ＋c =0（a ≠0）的根；

2、 一元二次方程ax 2＋bx ＋c =0（a ≠0）根情况的判别即二次函数y=ax 2

＋bx ＋c （a ≠0）

与x 轴交点个数情况：①判别式∆②直接看方程③平移

例1：抛物线y=ax 2

＋bx ＋c 图像如下， 则

① ax 2

＋bx ＋c =0的根有 （ ）个

②ax 2

＋bx ＋c+3＝0的根有（ ）个

③ax 2

＋bx ＋c －4＝0的根有（ ）个

x 3-≥a

例

2：若关于x 的不等式组 无解，则二次函数y=（a-2）x 2

-x ＋4

1与X

x a 515-≤ 轴交点有（ ）个； 例3：一元二次方程22717

)

83(2

-=-x y 与X 轴的交点个数为（ ）个；

例4：二次函数y=ax 2

＋bx ＋c （a ≠0）的图像如图所示，根据图像解答下列问题：

（1） 写出方程ax 2

＋bx ＋c =0的两个根；

（2） 写出不等式ax 2

＋bx ＋c >0的解集；

（3） 写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范值；

（4） 若方程ax 2

＋bx ＋c =k 有两个不相等的实数根，求k 的取什范围。

3、 韦达定理在二次函数y=ax2＋bx ＋c （a ≠0）中的应用（

a c

a b x x x x =-=+2121，）

① 已知其中一个交点，求另一个交点： 例5：若抛物线m x y x

+-=

22

与X 轴的一个交点是

（－2，0）则另一个交点是（ ）； ② 求两交点A,B 线段的长度x x x x AB 212

421)

(-=+

例6：若抛物线32

-+=

ax y x

与X 轴的交点为A ，B ，且AB 的长度为10，求a

③ 利用韦达定理求面积：

例7：抛物线m x y x

++=

-22

与X 轴的一个交点是A(3，0）

，另一个交点是B ，且与y 轴交于点C ，

（1）求m 的值；

（2）求点B 的坐标；

（3）该二次函数图象上有一点D （x ，y ）（其中x>0，y>0），使

s s

ABC ABD

∆∆=，求

点D 的坐标。

例5：已知如图，二次函数2)2(22

++++-=m x m y x

与x 轴于A,B 两点，若

OA:OB=3:1，求m 例6：已知二次函数m x m y x

++-=

)1(2

的图像交x 轴于A(

1，0)、B （2，0）两点，

交y 轴正半轴于点C ，且

10212

2=+x x 。

（1） 求此二次函数的解析式； （） （2） 是否存在过点D(0，2

5

-

)的直线与抛物线交于点M 、N,与x 轴交于E 点，使得M 、N 关于点E 对称？若存在，求直线MN 的解析式；若不存在，请说明理由。

4、 抛物线ax2＋bx ＋c =0与x 轴交点及对称轴之间的关系；

设抛物线与x 轴的交点为A(

x

1

，0)和B （x

2

，0）则对称轴为直线2

2

1

x

x x +=，抛物

线任纵坐标相等的两点关于对称轴对称，即若有

）

，（，，k N k x x M 2

1

)(，则则对称轴为直线2

2

1

x

x x +=

。

例10：已知二次函数m x y x

++-

=22

的部分图像如图所示，则关于x 的一元二次方

程022

=++-

m x x

的解是（ ）

x

5.若二次函数y=(a-2)x^2-(2a-1)x+a的图象与坐标轴共有两个交点，则a可取( )

6.已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）经过点M（-1，2）和点N（1，-2），交x轴于A，B两点，交y轴于C．则：

①b=-2；②该二次函数图象与y轴交于负半轴；③存在这样一个a，使得M、

A、C三点在同一条直线上；④若a=1，则OA•OB=OC2．

以上说法正确的有（）

A．①②③④B．②③④ C．①②④D．①②③

解析：解：①∵二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）经过点M（-1，2）和点N （1，-2），

∴

2＝

a−b+c

−2＝a+b+c

解得b=-2．故该选项正确．

②方法一：∵二次函数y=ax2+bx+c，a＞0

∴该二次函数图象开口向上

∵点M（-1，2）和点N（1，-2），

∴直线MN的解析式为y=-2x，

根据抛物线的图象的特点必然是当-1＜x＜1时，二次函数图象在y=-2x 的下方，

∴该二次函数图象与y轴交于负半轴；

方法二：由①可得b=-2，a+c=0，即c=-a＜0，

所以二次函数图象与y轴交于负半轴．

故该选项正确．

③根据抛物线图象的特点，M、A、C三点不可能在同一条直线上．

故该选项错误．

④当a=1时，c=-1，∴该抛物线的解析式为y=x2-2x-1

当y=0时，0=x2-2x+c，利用根与系数的关系可得x

1•x

2

=c，

即OA•OB=|c|，

当x=0时，y=c，即OC=|c|=1=OC2，

∴若a=1，则OA•OB=OC2，

故该选项正确．总上所述①②④正确．故选C．

7.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y

1

=kx+b（k≠0）与反比例函数y2＝m/x(m＜0)交于A（-2，n）及另一点B，与两坐标轴分别交