三次样条插值函数
python三次样条插值函数
python三次样条插值函数一、什么是插值函数插值函数是一种数学方法，用于通过给定数据点之间的间隔来估计未知数据点的值。
在Python中，我们可以使用三次样条插值函数来进行这样的估计。
二、三次样条插值三次样条插值是一种数值分析方法，用于在给定数据点之间构造一个平滑的多项式函数。
这个函数被称为样条函数，由许多小的多项式片段组成。
在每个数据点之间，这些多项式片段满足一定的条件，使得整个函数是连续且光滑的。
2.1 样条函数的性质三次样条插值函数具有以下性质： - 在每个数据点处，函数值等于给定的数据点的函数值。
- 在每个数据点处，函数的一阶导数值等于给定数据点的一阶导数值。
- 在每个数据点处，函数的二阶导数值等于给定数据点的二阶导数值。
- 在数据点之间，函数是一个三次多项式。
2.2 插值函数的构造要构造三次样条插值函数，我们需要以下步骤： 1. 首先，给定一些数据点，这些数据点包含要插值的函数的值。
2. 然后，计算每个数据点之间的插值多项式的系数。
3. 接下来，定义一个样条函数，它由这些插值多项式组成。
4. 最后，使用这个样条函数来估计未知数据点的值。
三、三次样条插值函数的Python实现在Python中，我们可以使用SciPy库中的interp1d函数来实现三次样条插值。
interp1d函数接受一维数组作为输入，并返回一个能够进行插值的函数对象。
3.1 安装SciPy库要使用interp1d函数，首先需要安装SciPy库。
可以使用以下命令来安装SciPy：pip install scipy3.2 使用interp1d函数进行插值以下是使用interp1d函数进行三次样条插值的示例代码：import numpy as npfrom scipy.interpolate import interp1d# 定义一些数据点x = np.array([1, 2, 3, 4, 5])y = np.array([2, 3, 5, 8, 9])# 使用interp1d函数进行插值f = interp1d(x, y, kind='cubic')# 估计新的数据点的值x_new = np.array([1.5, 2.5, 3.5, 4.5])y_new = f(x_new)print(y_new)以上代码中，我们首先定义了一些数据点，然后使用interp1d函数创建了一个插值函数对象f。
三次样条插值例题解析matlab
三次样条插值例题解析matlab 三次样条插值是一种常用的插值方法，可以通过一定数量的离散数据点，拟合出一个光滑的曲线。
在MATLAB中，插值函数interp1可以实现三次样条插值。
该函数的基本语法为：y_interp = interp1(x, y, x_interp, 'spline');其中，x和y分别是原始数据的横坐标和纵坐标，x_interp是插值点的横坐标，'spline'表示使用三次样条插值方法。
插值函数会根据原始数据拟合出一个插值曲线，在插值点的位置上返回相应的纵坐标值。
下面我们以一个具体的例子来解析三次样条插值的使用。
假设我们有如下一组离散数据点：```matlabx = [0, 1, 2, 3, 4];y = [2, 3, 1, 4, 2];```我们希望通过这些离散数据点拟合出一个光滑的曲线，并在插值点处求取纵坐标值。
首先，我们需要在插值区间内定义一组插值点。
这里我们取0.1为步长，生成插值点：```matlabx_interp = 0:0.1:4;```然后，使用interp1函数进行插值计算：```matlaby_interp = interp1(x, y, x_interp, 'spline');```最后，我们可以通过图表来比较原始数据和插值结果：```matlabplot(x, y, 'o', x_interp, y_interp, '-');legend('原始数据', '插值结果');```在生成的图表中，原始数据以圆点表示，插值结果以实线表示。
通过比较可以看出，插值结果在原始数据之间形成了光滑的曲线。
以上就是使用MATLAB进行三次样条插值的基本步骤和方法。
然而，三次样条插值在某些情况下可能会产生不稳定的结果。
这是因为三次样条插值的结果受到了边界条件的影响。
第5章-3三次样条插值解析
0 x
( x 3)3 ,
解 利用上面的定理(光滑因子)验证．
2( x 1)3 ,
3
x,
所以由定理5.5可知该函数为三次样条函数．
例，设
x3 x 2 0 x 1 S ( x) 3 2 ax bx cx 1 1 x 2
是以0，1，2为节点的三次样条函数，则a= 解：1）由 , b= , c=
p j ( x), x j x x j 1
p j ( x) Pm ( j 0,1,...,n)
pn ( x), xn x
s(x)是m次样条的充要条件应为 p0 ( x) a0 a1x am xm ,
பைடு நூலகம்
p1 ( x) p0 ( x) c1 ( x x1 )m ,
已知 f(x0)=f(xn) 确定的周期函数。
例，已知 f(-1)=1,f(0)=0,f(1)=1,求 f(x)在区间[-1,1]上的
三次自然样条插值多项式。 解：这里n=2区间[-1,1]分成两个子区间，故设
S ( x)
且
s0 ( x) a0 x3 b0 x2 c0 x d0
1）它只在插值区间端点比Lagarnge多项式插值问题多两个
边界条件，但却在内点处有一阶、二阶连续的导函数，从而要比 分段Lagarnge插值更光滑。
2）分段Hermite三次多项式插值问题，只有被插值函数在所有
插值节点处的函数值和导数值都已知时才能使用，而且在内节点处 二阶导函数一般不连续。
下面我们讨论三次样条插值多项式s3(x)的构造。 一般来讲，构造三次样条插值多项式s3(x) ，若用待定系数法， 可写成 S3 ( x) ai x3 bi x2 ci x di x xi , xi1 i 0, 1, , n 1 其中 ai, bi, ci, di 为待定系数，共有4n个。按定义s3(x)应满足： （1）插值条件n+1个： S ( xi ) yi i 0, 1, , n 连续性条件n-1个：S ( xi 0) S ( xi 0) i 0, 1, , n 1 （2）在内节点一阶导数连续性条件n-1个：
第4章 插值法(3)
第4章 插值逼近
相应也要求样条插值函数s(x)也具有周期性,故在端 点要求满足条件
《 数 值 分 析 》
s′( x0 ) = s′( xn ), s′′( x0 ) = s′′( xn )
(4―50)
第4章 插值逼近
hk uk = hk −1 + hk
《 数 值 分 析 》
6 yk +1 + yk yk − yk −1 λk = ( − ) hk −1 + hk hk hk −1
那么
hk −1 1 − uk = hk −1 + hk
(1 − uk )mk −1 + 2mk Байду номын сангаас uk mk +1 = λk k = 1, 2,L , n − 1
(4―44)
第4章 插值逼近
从而解出Ak和Bk,即
yk +1 − yk hk Ak = − ( mk +1 − mk ) hk 6
《 数 值 分 析 》
(4―45)
hk2 Bk = yk − mk 6
(4―46)
由式(4―43)可看出三次样条插值函数s(x)仅与 mk、m k+1有关系,因此只要求得各个mk,则各个子区 间［xk,x k+1］上的三次样条函数也就确定了。下面 介绍求mk的方法。
① 函数y=f(x)在两端点x0及xn处的导数y′0和y′n为已 知。此时要求
′ s′( x0 ) = y0 ,
′ s′( xn ) = yn
由式(4―48)和(4―49)得到
数值计算方法( 三次样条插值)
u xj hj
分段三次Hermite插值算法
则 v A1 y j 1 A2 y j B1 f j1 B2 f j
算法： 1.输入x j , f j , f j （j 0,1,...,n）； 2.计算插值 (1)输入插值点u; (2)对于j 1,2,...,n做 如果u x j 则计算A1 , A2 , B1 , B2 ; v A1 f j 1 A2 f j B1 f j1 B2 f j; 3.输出u , v。
三次样条插值
于是由Taylor展示有 s( x) s( xi ) s( xi )(x xi ) s( xi ) s( xi ) 2 ( x xi ) ( x xi )3 2! 3! M M Mi yi s( xi )(x x j ) i ( x xi ) 2 i 1 ( x xi )3 2! 3!( xi 1 xi )
2M 0 M 1 6 f [ x0 , x0 , x1 ]
三次样条插值
同理(2)式中令i n得 M n 1 2M n 6 f [ xn 1 , xn , xn ] 即有 2M 0 M 1 6 f [ x0 , x0 , x1 ] ） i M i 1 2M i i M i 1 6 f [ xi 1 , xi , xi 1 ] （i 1,2,...,n 1 M 2M 6 f [ x , x , x ] n n 1 n n n 1
三次样条插值
对于待定系数a j , b j , c j .d j j 1,2,...n,即4n个未知系数，
而插值条件为 n 2个，还缺两个，因此须 4 给出两个 条件称为边界条件，有 以下三类： 第一类 已知两端点的一阶导数 s( x0 ) f ( x0 ) m0 s( xn ) f ( xn ) mn
三次样条插值第一类边界条件
三次样条插值第一类边界条件
三次样条插值第一类边界条件是指在插值函数在边界处满足一定的条件。
具体来说，对于给定的数据点序列x = [x0, x1, ..., xn]，插值函数f(x)在每个数据点处都有f(xi) = yi (i = 0, 1, ..., n)，并且在x0和xn处满足一阶导数连续。
在实践中，为了满足第一类边界条件，通常需要对插值函数进行约束。
一种常见的方法是使用三次样条插值，并要求插值函数在每个数据点处的一阶导数和二阶导数与相邻数据点对应导数值相等。
具体来说，假设插值函数f(x)在每个数据点处的一阶导数为f'(xi) (i = 0, 1, ..., n)，二阶导数为f''(xi) (i = 1, 2, ..., n-1)，则可以列出以下方程组：
f'(x0) = y0/h0
f'(xn) = yn/hn
f'(xi) = (yi+1 - yi)/(xi+1 - xi) (i = 0, 1, ..., n-1)
f''(xi) = (f'(xi+1) - f'(xi))/(xi+1 - xi) (i = 0, 1, ..., n-2)
其中，h0和hn分别是数据点x0和xn对应的目标高度差，即h0 = y0 - f(x0)，hn = yn - f(xn)。
通过解这个方程组，可以得到满足第一类边界条件的三次样条插值函数。
三次样条插值
三次样条插值分段线性插值的优点：计算简单、稳定性好、收敛性有保证且易在计算机上实现缺点：它只能保证各小段曲线在连接点的连续性，却无法保证整条曲线的光滑性，这就不能满足某些工程技术的要求。
三次Hermit 插值优点：有较好的光滑性，缺点：要求节点的一阶导数已知。
从２０世纪６０年代开始，首先由于航空、造船等工程设计的需要而发展起来所谓样条(Spline)插值方法，既保留了分段低次插值多项式的各种优点，又提高了插值函数的光滑性。
今天，样条插值方法已成为数值逼近的一个极其重要的分支，在许多领域里得到越来越多广泛应用。
我们介绍应用最广的具二阶连续导数的三次样条插值函数。
一、三次样条插值函数的定义：给定区间],[b a 上的个节点b x x x a n =<<<= 10和这些点上的函数值),,1,0()(n i y x f i i == 若)(x S 满足： （1）),,2,1,0()(n i y x S i i ==；（2）在每个小区间],[b a 上至多是一个三次多项式； （3）)(),(),(x S x S x S '''在],[b a 上连续。
则称)(x S 为函数)(x f 关于节点的n x x x ,,,10 三次样条插值函数。
二、边界问题的提出与类型单靠一个函数表是不能完全构造出一个三次样条插值函数。
我们分析一下其条件个数，条件（2）三次样条插值函数)(x S 是一个分段三次多项式，若用)(x S i 表示它在第i 个子区间],[1i i x x -上的表达式，则)(x S i 形如],[,)(1332210i i i i i i i x x x x a x a x a a x S -∈+++=其中有四个待定系数)3,2,1,0(=j a ij ，子区间共有n 个，所以)(x S 共有n 4个待定系数。
由条件（3）)(),(),(x S x S x S '''在],[b a 上连续，即它们在各个子区间上的连接点110,,,-n x x x 上连续即可，共有)1(4-n 个条件，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=+''=-''-=+'=-'-=+=-),2,1,0()()1,,2,1)(0()0()1,,2,1)(0()0()1,,2,1)(0()0(n i y x S n i x S x S n i x S x S n i x S x S i i i i i i i i 共有241)1(3-=++-n n n 个条件，未知量的个数是n 4个。
样条函数及三次样条插值PPT课件
(x)
lim
x xk
Sk 1( x)
lim
x
x
k
Sk (x)
lim
x
x
k
Sk1( x)
k 1,2,,n 1
------(4)
lim
x
x
k
Sk( x)
lim
x
x
k
Sk1( x)
共4n 2个条件
5
Sk (x)是[xk , xk 1 ]上的三次样条插值多项式,应有4个待定的系数 即要确定S(x)必须确定4n个待定的系数 少两个条件 并且我们不能只对插值函数在中间节点的状态进行限制 也要对插值多项式在两端点的状态加以要求 也就是所谓的边界条件:
例. 使用不同的插值方法于函数
y
1
1 x2
x [5,5]
最后，介绍一个有用的结论
定理 . 设f (x) C 2[a,b], S(x)是以xk (k 0,1,, n)
为节点, 满足任意边界条件的三次样条插值函数，
设hi
xi 1
xi
,
h
max
0in1
hi
,
min
0in1
hi
,
则当 h
c 时
S(x)和S(x)在[a,b]上一致收敛到f (x)和f (x)
------(6)
13
由(11)式,可知
S0( x0
)
6( x0
x1 h03
2 x0
) ( y1
y0 )
6 x0
2 x0 h02
4 x1
m0
6 x0
4 x0 h02
2 x1
m1
6 h02
(
三次样条插值的调用格式
三次样条插值的调用格式三次样条插值是一种常用的数值分析方法，用于在给定的一组数据点上拟合出一个光滑的曲线。
在大多数编程语言中，调用三次样条插值通常需要使用相应的库或模块。
以下是一些常见编程语言中调用三次样条插值的示例：在Python中，可以使用SciPy库中的interp1d函数来进行三次样条插值。
调用格式如下：python.from scipy.interpolate import interp1d.f = interp1d(x, y, kind='cubic')。
其中，x和y分别是输入的数据点的横坐标和纵坐标，kind='cubic'表示使用三次样条插值。
在MATLAB中，可以使用interp1函数进行三次样条插值。
调用格式如下：matlab.xq = min(x):0.1:max(x);vq = interp1(x, y, xq, 'spline');其中，x和y同样代表输入的数据点，'spline'表示使用三次样条插值。
在C++中，可以使用GNU Scientific Library (GSL)中的插值函数进行三次样条插值。
调用格式如下：c++。
gsl_interp_accel acc = gsl_interp_accel_alloc();const gsl_interp_type T = gsl_interp_cspline;gsl_spline spline = gsl_spline_alloc(T, n);gsl_spline_init(spline, x, y, n);其中，x和y是输入的数据点，n是数据点的个数，使用gsl_interp_cspline表示使用三次样条插值。
总的来说，不同的编程语言和库可能有不同的调用格式，但一般来说都需要提供输入的数据点，然后指定使用的插值方法，即可进行三次样条插值。
希望这些信息能够帮助到你。
三次样条插值函数
cout<<resetiosflags(ios::showpos);//除去正负号格式
cout<<"x<-["<<x[i]<<","<<x[i+1]<<"]"<<endl;
{
if(a[i][i]==0||a[i][i-1]==0)
{
cout<<"a["<<n-1<<"]["<<n-1<<"]可约"<<endl;
break;
}
if(fabs(a[i][i])<=fabs(a[i][i-1]))
{
{
b[i]-=v[i]*dyn;
}
}
cout<<endl<<"解得对角方程组"<<endl<<"A="<<endl;;
for(i=0;i<n-1;i++)
{
for(j=0;j<n-1;j++)
{
cout<<setw(10)<<A[i][j];
cout<<"a["<<n-1<<"]["<<n-1<<"]强超"<<endl;
计算方法大作业——三次样条插值
计算方法上机报告
此完成所有数据的输入。继续按 Enter 键会出现提示“选择封闭方程组的边界条件: 第 一类边界条件输入 1，第二类边界条件输入 2，第三类边界条件输入 3。 ”根据已知情况 选择相应的边界条件，若为自然三次样条插值，则选 1，并将插值区间两端点的二阶导 数值设置为 0。输入完成之后按 Enter 开始求解，程序运行结束后命令窗口会显示要求 的三次样条插值函数，同时会出现该插值函数以及插值节点的图像，便于直接观察。 2.3 算例及计算结果 (1) 《数值分析》课本第 137 页的例题 4.6.1，已知函数 y=f(x)的数值如下表，求它 的自然三次样条插值函数。 xi yi -3 7 -1 11 0 26 3 56 4 29
2 三次样条插值
2 三次样条插值
2.1 算法原理及程序框图 设在区间[a, b]上给定 n+1 个节点 xi（a ≤ x0 < x1 < … < xn ≤ b）,在节点 xi 处的函数 值为 yi = f(xi) (i = 0,1,…,n)。若函数 S(x)满足以下三个条件： (1) 在每个子区间[xi-1, xi] (i = 0,1,…,n)上，S(x)是三次多项式； (2) S(xi) = yi (i = 0,1,…,n)； (3) 在区间[a, b]上，S(x)的二阶导数 S”(x)连续， 则称 S(x)为函数 yi = f(x) 在区间[a, b]上的三次样条插值函数。 由定义可知 S(x)共有 4n 个待定参数，根据条件(3)可得如下 3n-3 个方程，
S x
x x i
6hi
3
M i 1
x xi 1
6hi
3
x x hi2 M i yi 1 M i 1 i 6 hi
关于三次样条插值函数的学习报告
关于三次样条插值函数的学习报告三次样条插值函数是一种广泛应用于数值分析领域的插值方法，用于逼近一组已知数据点构成的函数。
在这篇学习报告中，我将介绍三次样条插值函数的定义、原理、应用及其优缺点，并通过实际例子说明其如何在实际问题中使用。
一、三次样条插值函数的定义三次样条插值函数是指用分段三次多项式对一组已知数据点进行插值的方法。
具体来说，对于已知数据点$(x_0,y_0),(x_1,y_1),...,(x_n,y_n)$，三次样条插值函数会在每相邻两个数据点之间构造一个三次多项式，使得这些多项式在相应的数据点上满足插值条件，并且在相邻两个多项式之间满足一定的连续性条件。
二、三次样条插值函数的原理三次样条插值函数的原理是利用三次多项式在每个数据点上的取值和导数值来确定三次多项式的系数，从而构造出满足插值条件和连续性条件的插值函数。
具体来说，对于每个相邻的数据点$(x_i,y_i),(x_{i+1},y_{i+1})$，我们可以构造一个三次多项式$S_i(x)$，满足以下条件：1.$S_i(x_i)=y_i$，$S_i(x_{i+1})=y_{i+1}$，即在数据点上满足插值条件；2.$S_i'(x_{i+1})=S_{i+1}'(x_{i+1})$，$S_i''(x_{i+1})=S_{i+1}''(x_{i+1})$，即在数据点上满足连续性条件。
通过求解上述条件，可以得到每个相邻数据点之间的三次多项式$S_i(x)$，从而得到整个插值函数。
三、三次样条插值函数的应用三次样条插值函数在数值分析领域有广泛的应用，尤其在曲线拟合、数据逼近等问题中起到重要作用。
例如，当我们需要根据已知的离散数据点绘制平滑的曲线图形时，可以使用三次样条插值函数来进行插值，从而得到更加连续和光滑的曲线。
另外，在信号处理、图像处理等领域也常常会用到三次样条插值函数。
例如，在数字图像处理中，我们需要对像素点进行插值以得到更高分辨率的图像，三次样条插值函数可以很好地满足这个需求，使图像更加清晰和真实。
关于三次样条插值函数的学习报告(研究生)
学习报告——三次样条函数插值问题的讨论班级：数学二班学号：*********姓名：***样条函数：由一些按照某种光滑条件分段拼接起来的多项式组成的函数；最常用的样条函数为三次样条函数，即由三次多项式组成，满足处处有二阶连续导数。
一、三次样条函数的定义：对插值区间[,]a b 进行划分，设节点011n n a x x x x b -=<<<<=，若函数2()[,]s x c a b ∈在每个小区间1[,]i i x x +上是三次多项式，则称其为三次样条函数。
如果同时满足()()i i s x f x = (0,1,2)i n =，则称()s x 为()f x 在[,]a b 上的三次样条函数。
二、三次样条函数的确定：由定义可设：1012121(),[,](),[,]()(),[,]n n n s x x x x s x x x x s x s x x x x -∈⎧⎪∈⎪=⎨⎪⎪∈⎩其中()k s x 为1[,]k k x x -上的三次多项式，且满足11(),()k k k k k k s x y s x y --== (1,2,,)k n =由2()[,]s x C a b ∈可得：''''''()(),()(),k k k k s x s x s x s x -+-+== 有''1()(),k k k k s x s x -++=''''1()(),(1,2,,1)k k k k s x s x k n -++==-，已知每个()k s x 均为三次多项式，有四个待定系数，所以共有4n 个待定系数，需要4n 个方程才能求解。
前面已经得到22(1)42n n n +-=-个方程，因此要唯一确定三次插值函数，还要附加2个条件，一般上，实际问题通常对样条函数在端点处的状态有要求，即所谓的边界条件。
三次样条插值算法详解
三次样条插值算法要求数据点数量较多，且在某些情况下可能存在数值不稳定性，如数据 点过多或数据点分布不均等情况。此外，该算法对于离散数据点的拟合效果可能不如其他 插值方法。
对未来研究的展望
01
02
03
改进算法稳定性
针对数值不稳定性问题， 未来研究可以探索改进算 法的数值稳定性，提高算 法的鲁棒性。
3
数据转换
对数据进行必要的转换，如标准化、归一化等， 以适应算法需求。
构建插值函数
确定插值节点
根据数据点确定插值节点，确保插值函数在节点处连续且光滑。
构造插值多项式
根据节点和数据点，构造三次多项式作为插值函数。
确定边界条件
根据实际情况确定插值函数的边界条件，如周期性、对称性等。
求解插值函数
求解线性方程组
06
结论
三次样条插值算法总结
适用性
三次样条插值算法适用于各种连续、光滑、可微的分段函数插值问题，尤其在处理具有复 杂变化趋势的数据时表现出色。
优点
该算法能够保证插值函数在分段连接处连续且具有二阶导数，从而在插值过程中保持数据 的平滑性和连续性。此外，三次样条插值算法具有简单、易实现的特点，且计算效率较高 。
根据数据点的数量和分布，合理分段，确保 拟合的精度和连续性。
求解线性方程组
使用高效的方法求解线性方程组，如高斯消 元法或迭代法。
结果输出
输出拟合得到的插值函数，以及相关的误差 分析和图表。
03
三次样条插值算法步骤
数据准备
1 2
数据收集
收集需要插值的原始数据点，确保数据准确可靠。
数据清洗
对数据进行预处理，如去除异常值、缺失值处理 等。
三次样条插值
插值的根本区别在于S(x)自 注：三次样条与分段 Hermite 插值的根本区别在于 自 的导数值（除了在2个端点可能需 身光滑， 身光滑，不需要知道 f 的导数值（除了在 个端点可能需 ）；而 插值依赖于f 要）；而Hermite插值依赖于 在所有插值点的导数值。 插值依赖于 在所有插值点的导数值。
§4.6 三次样条插值
2 定义4.6.1 设 a = x0 < x1 < ... < xn = b。三次样条函数S ( x ) ∈ C [ a , b ] , 定义
且 在 每 个 [ x i , x i +1 ] 上 为 三 次 多 项 式
。若它同时还满
三次样条插值函数。 足 S ( xi ) = f ( xi ), ( i = 0, ... , n)，则称它为 f 的三次样条插值函数。
( x j x )2 ( x x j 1 ) 2 + M j 1 + Aj S[j]'(x) = M j 1 2h j 2h j
利用已知
S[j](xj1) = yj1 S[j](xj) = yj
( x j x) ( x x j 1 ) [j](x) = + Mj + Aj x + B j S M j 1 6hj 6hj
这时： 0 = 0 , g0 = 2 y0′ ; n = 0 , gn = 2 y′′ 这时： ′ λ n 特别地， 称为自然边界 对应的样条函数称为自 特别地，M0 = Mn = 0 称为自然边界，对应的样条函数称为自 然样条。 类边界条件： 第3类边界条件： 类边界条件 M g 2 λ 周期函数时 当 f 为周期函数时，
3 3
可解
yj yj1 Mj Mj1 Aj = hj hj 6
三次样条插值法
2m0 + m1 = 3 f [ x0 , x1 ] = g 0 ; mn −1 + 2mn = 3 f [ xn −1 , xn ] = g n .
于是，用矩阵形式表为
2 1 0 λ 2 µ 1 1 0 λ2 2 L L L 0 0 0 0 0 0
用
y j +1 − y j 1 1 = f [ x j , x j +1 ] ，上面方程可简化为 + 除全式，并注意 y j = f j , h j −1 h j hj
λ j m j +1 + 2m j + µ j m j +1 = g j
其中
( j = 1, 2, L , n − 1);
λj =
hj h j −1 + h j
( j = 0, 1, L , n) ，共有 4n − 2
，可根据实际 通常可在区间 [a, b] 端点 a = x0 , b = xn 上各加一个条件（称为边界条件） 问题的要求给定。常见的有以下三种： 1° 已知两端的一阶导数值，即
S ′( x0 ) = f 0′, S ′( xn ) = f n′ .
g1 − λ1 f 0′ g2 g3 = . M g n−2 g n −1 − µ n −1 f n′
如果边界条件为 S ′′( x0 ) = f 0 ,
''
S ′′( xn ) = f n′′ ，则得两个方程
h 2m0 + m1 = 3 f [ x0 , x1 ] − 0 f 0′′ = g 0 ; 2 m + 2m = 3 f [ x , x ] + hn −1 f ′′ = g . n −1 n n −1 n n n 2
三次样条插值
一、问题提出
为给定的节点， 设 x0 , x1 xn 为给定的节点，yi = f ( xi ) ，i = 0,1, n 为相应的函数值， 为相应的函数值，求一个次数不超过 n 的多项式 Pn (x)， 使其满足
Pn ( xi ) = yi，
i = 0,1, n .
这类问题称为插值问题。 称为被插值函数 P 被插值函数， 这类问题称为插值问题。 f ( x) 称为被插值函数， n ( x) 称 插值问题 插值函数， 称为插值节点 为插值函数， x0 , x1 xn 称为插值节点
六、 分段插值
所谓分段插值，就是将被插值函数逐段多项式化。 所谓分段插值，就是将被插值函数逐段多项式化。在每 个 [ xi , xi +1 ] 子段上构造插值多项式，然后把它们装配在一， 子段上构造插值多项式，然后把它们装配在一， 作为整个区间 [ a, b ] 上的插值函数，即称为分段多项式。如果 上的插值函数，即称为分段多项式。 次式， 函数 Sk ( x ) 在每个子段上都是 k 次式，则称为 一般（低次： 一般（低次：k=1,2,3） ） 次式。 k 次式。
f [ x0 , x1 ] = 5, f [ x0 , x1, x2 , x3 ] = 1,
N n ( x) = 0 5( x 1) + 2( x 1)( x 2)
+ ( x 1)( x 2)( x 3)
= x3 4 x + 3
五、 Hermite插值多项式 插值多项式
给定的是节点上的函数值和导数值 问题： 问题：已知
∑
i=0
y i li ( x )
( x x0 ) ( x xi 1 )( x xi +1 ) ( x xn ) , i = 0,1, n ( xi x0 ) ( xi xi 1 )( xi xi +1 ) ( xi xn )
三次样条插值函数
二．程序框图
开始
输入未知数 X及 (xi,yi),i=0,1,…,n
计算步长 H[i]
计算λ、 µ 、 d
根据边界条件，求 解相应的方程得到 M1,…, Mn
将 M代入原方程， 得到分段函数
结束
三．源码
syms h n=9;%插入节点数，可以根据题目更改 h=2/(n+1); u=0.5; v=0.5; f=inline('1/(1+25*x.^2)');%输入函数，这个也可以根据题目更改 g=inline('3/h*((c-b)/h-(b-a)/h)','a','b','c','h'); for i=1:n+2 x(1)=-1; x(i+1)=x(i)+2/(n+1); y(i)=f(x(i)); end for i=1:n d(i)=g(y(i),y(i+1),y(i+2),h); end A=zeros(n,n); for i=1:n A(i,i)=2; end for i=1:n-1 A(i,i+1)=u; A(i+1,i)=v; end B=zeros(n,1); for i=1:n B(i,1)=d(i) end C=inv(A)*B for i=1:n M(i)=C(i,1); end x=(-1:h/50:1); k=1./(1+25*x.^2); cs=spline(x,k); plot(x,k,'r.'); hold on; ezplot('1/(1+25*x^2)',[-1 1]); title('三次样条插值曲线和 f(x)曲线') 四． 结果
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三次样条插值函数的新解法
刘永春，王 强
安徽理工大学理学院，淮南 Email: 179532330@ 收稿日期：2013 年 9 月 17 日；修回日期：2013 年 9 月 26 日；录用日期：2013 年 9 月 30 日
摘 要：本文在分析了三次样条插值里三转角算法的基础上，对第二种边界条件的情形进行了推广， 研究了此情形下任意两插值点二阶导数已知的样条函数的解法。文章的最后，通过一个例子，说明了 此计算方法。 关键词：三次样条插值；第二边界条件；二阶导数
对 S x 求二次导数
S x 6 xi xi 1 2 x 6 x 2 xi 4 xi 1 6 x 4 xi 2 xi 1 mi mi 1 fi 1 fi 2 2 hi hi hi3
(2)
记 mi S xi i 0,1, , n ，对于第二边界条件中 f 0, f n ，已知，参数 m0 , m1 , , mn 由下列方程组确定
Ux y 。
1) 用追的过程解 Ly b
1 l 2 1 1 1 li 1 1 ln y1 b1 y b 2 2 yi 1 bi 1 yi bi 1 yn bn
1 l 2 1 A ln 1 1 ln
其中，为写出的元素是 0，而 li , u j 由下式计算，即：
u1 a1 di i 2,3, , n li ui 1 u a l c i i i 1 i
将系数矩阵 A 分解成两对角阵 LU 的乘积后解三对角线方程组 Ax b 可化为求解两个三角形方程组 Ly b
(3)
式中
hi 1 xi xi 1 i 1, 2, , n , hi 1 hi 1 hi
i
i 1, 2, , n 1 ,
New Solution of Cubic Spline Interpolation Function
Yongchun Liu, Qiang Wang
School of Science, Anhui University of Science and Technology, Huainan Email: 179532330@ Received: Sep. 17th, 2013; revised: Sep. 26th, 2013; accepted: Sep. 30th, 2013 Copyright © 2013 Yongchun Liu, Qiang Wang. This is an open access article distributed under the Creative Commons Attribution License, which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.
3) 在每个小区间 xi , xi 1 上， s x 是三次多项式。则称 s x 为三次样条插值函数。
2) s xi fi , i 0,1, 2, , n ；
点 xi i 0,1, 2, , n 1 处应满足连续性条件 s
xi 0 s k xi 0 , k 0,1, 2 ，共有 3 n 1 个条件。再加上 n 1 个插值条件，共有 4n 2 个条件。因此，还需要 2 个条件才能确定 s x 。通常在区间 a, b 端点 a x0 和 b xn 上
hi 2 x xi x xi 1 f hi 2 xi 1 x x xi f S x i i 1 3 3 hi h1
2 2
3) 周期边界条件 S k x0 S k xn , k 0,1, 2 此时，对函数值有周期条件 f 0 f n 。
Pure Mathematics 理论数学, 2013, 3, 362-367 /10.12677/pm.2013.36055 Published Online November 2013 (/journal/pm.html)
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刘永春，王强 三次样条插值函数的新解法
得
yn xn u n i n 1, , 2,1 。 y x i ci xi 1 i ui
3. 三次样条插值函数
若 s x 满足条件： 设在区间 a, b 上取 n 1 个节点 a x0 x1 xn b ，给定这些点的函数值 f xi fi
i 0,1, 2, , n 。
1) s x C 2 a, b ；
三次样条插值函数[3]是分段三 ai x3 bi x 2 ci x di , i 0,1, 2, , n 1 ，
2. 三对角线性方程组的追赶法
若线性方程组 Ax b 中，系数矩阵 A 满足，当 i j 1 时，就有 aij 0 ，则称 A 是三对角方阵，同时把方
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刘永春，王强 三次样条插值函数的新解法
程组叫做三对角线性方程组。
a1 d 2 A c1 a2 c2 d n 1 an 1 dn cn 1 an
2) 已知两端的二阶导数值，即
S x0 f 0, S xn f n ，
其特殊情况为 S x0 0, S xn 0 ；
xi , xi 1 i 0,1, 2, , n 1 上的表达式为
以给定端点的二阶导数值情况 ( 第二种边界条件 ) 来讨论，根据 Hermite 插值函数 [4,5] ， s x 在每个区间
1 2 m0 e0 1 u 2 m e u1 1 1 1 1 un 1 2 un 1 mn 1 en 1 1 2 mn en
1. 引言
在现在的工程设计中，期间经常会出现函数值计算的问题。但是，具体问题中产生的函数关系一般都会非 常繁琐，更有甚者的是没有确定的解析式。为了解决上述实际工程问题，数学中函数逼近的思想也随之发展。 其中，插值法是函数逼近的一种重要的方法。人们常用的插值法有 Lagrange 插值，Newton 插值，Hermite 插值 和分段多项式插值等等，本文所研究的三次样条插值其实是一种改进的分段插值[1]，而在此之前，大多数的文 献研究的是第二种边界条件中两端点处的二阶导数值已知的情况下三次样条插值函数的求法，但在实际的工程 问题中，有时端点处的值不好得到，所以本文对其情形进行了推广[2]，研究了在此边界条件下任意两点的二阶 导数值已知的情形下插值函数的解法，有了此解法，我们可以在任意的情形下得到其插值函数。传统意义上的 解法是直接要解出 n n 的矩阵，即解带有 n 个未知数的 n 个方程组，当插值点很大，即 n 很大的时候，计算量 是很繁重的，而本文引入了追赶法对其插值函数进行了求解，因为其矩阵是三对角线性方程组满足了追赶法求 解的要求，计算量会大大减小。
其中
0 x x 1 2 x 1 , 1 x x 2 3 2 x ,
2
0 x x x 1 , 1 x x 2 x 1
2
(1)
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刘永春，王强 三次样条插值函数的新解法
如果满足 a1 c1 0
an d n 0
ai ci di
i 2,3, , n 1 ，则称 A 为对角占优的矩阵。
u1 c1 u2 c2 un 1 1 cn 1 un
定理 1 三对角方阵 A 如果为对角占优矩阵，则 A 有三角分解
Abstract: In this article, based on analysis of three turning angles algorithm of cubic spline interpolation, the cubic spline interpolation is generalized on the condition of the second boundary. The methods are presented on the condition that the second derivative of arbitrary two nodes is given. At the end of the article, this calculation method is illustrated through an example. Keywords: Cubic Spline Interpolation; Second Boundary; Second Derivative
得
y1 b1 i 2,3, , n 。 yi bi li yi 1
2) 用赶的方法解 Ux y
u1 c1 x1 y1 x y u2 c2 2 2 ui ci xi yi xi 1 yi 1 un xn yn
x xi x xi 1
hi2
2
mi
x xi 1 x xi
hi2
2
mi 1
即
x xi x xi x xi x xi Si 1 x 0 fi 1 fi 1 hi0 mi hi1 mi 1 。 hi hi hi hi