中考数学复习谈梯形中的转化思想

巧转化妙求解

______谈梯形中的转化思想

“转化”方法是研究和解决数学问题的一种有效的思考方法，是运用事物之间互相联系的观点，把未知变为已知，把复杂变为简单的思维方法。《数学课程标准》中指出：数学学习应当使学生“形成解决问题的一些策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神”。因此，我们在数学教学中，就应渗透数学转化思想，有意识地培养学生学会用“转化”思想解决问题，从而提高数学能力。本文通过梯形中一些问题的解决谈谈如何应用转化思想。

一、巧作辅助线平移梯形的上底到下底或下底的延长线上

将平行线转化成共线问题。

例1、如图，等腰梯形ABCD ，AD ∥BC ，AB=DC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，

且∠BOC=120°，BD=6，求：梯形ABCD 的面积；

解法1：如图1，过点A 、D 分别作AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，思维的层次如下：

①易证明四边形AEFD 是矩形，从而得到：AD=EF ；

②易证Rt △AEC ≌Rt △DFB ，且∠BOC=120°，从而得到：

∠OBC=∠OCB=30°，故AE=DF=3； ③在Rt △DFB 、Rt △AEC 中，根据勾股定理，可得：BF=CE=33； ④根据公式得：

39)(2

1

)(2

1

)(21=⨯+=⨯+++=⨯+=

DF CE BF DF FC EF BE EF DF BC AD S

例2、如图2，在梯形ABCD 中，AD //BC ，对角线AC ⊥BD ，且AC =12，BD =9，则此梯形的 中

位线长是 A ．10 B ．21

2

C ．

15

2

D ．12 解：如图3、过点D 作D

E ∥AC ，交BC 的延长线于点 E ， ∵AD //BC ，∴四边形ACED 是平行四边形，

∴AD=CE ，∴AC=DE=12，

B C

图1

C

A C

D

图2

B

图三

E

B

∴∠BOC=∠BDE=90°，在直角三角形BDE 中， 根据勾股定理，得：

159122222=+=+=DE BD BE

所以此梯形的中位线长是：

2

152

1)(21)(21==+=+BE CE BC BC AD

故选（C ）．

二、巧作辅助线平移、旋转三角形

将梯形问题转化成矩形问题求解。

例3、、如图，等腰梯形ABCD ，AD ∥BC ，AB=DC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，

且∠BOC=120°，BD=6，求：梯形ABCD 的面积；

解：如图四，过点A 、C 分别作AE ⊥BC ，CF ⊥AD ，垂足分别为E 、F ， 思维的层次如下：

① 易证明四边形AECF 是矩形，从而得到： S 四边形AECF =S 四边形AECD +S △CDF

②易证Rt △ABE ≌Rt △CDF ，从而得到：S △CDF =S △ABE ，

所以，S 四边形AECF =S 四边形AECD +S △ABE =S 梯形ABCD ③因为∠BOC=120°，从而得到：

∠OCB=30°，故AE=3；Rt △AEC 中，根据勾股定理，可得：CE=33；

④所以，S 梯形ABCD =S 四边形AECF =CE ×AE=33×3=93

三、等腰梯形中巧作辅助线平移一条对角线

将梯形问题转化成等腰三角形问题求解。

例4、如图，等腰梯形ABCD ，AD ∥BC ，AB=DC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，

且∠BOC=120°，BD=6，求：梯形ABCD 的面积；

解：如图五，过点D 作DE ∥AC ，交BC 的延长线于点 E ， ∵AD //BC ，∴四边形ACED 是平行四边形，

∴AD=CE ，∴AC=DE= BD=6，∴△BDE 是等腰三角形，

∴∠BOC=∠BDE=120°，∴∠DBC=∠DEB=30°，

过点D 作DM ⊥BC ，交BC 于M ，∴BM=ME ，

∴在直角三角形BDM 中，DM=3，根据勾股定理，得：

33362222=-=-=DM BD BM = ME ，所以：

四、等腰梯形中巧作辅助线平移一条对角线

将梯形问题转化成等腰直角三角形问题求解。

例5、在数学活动课上，老师让同学们做一个对角线互相垂直的等腰梯形形状的风筝，其面

积为450cm 2

，则对角线需要的竹条至少为 ：

A 、cm 230

B 、 30cm

C 、6ocm

D cm 260

解：如图六，过点C 作CE ∥BD ，交AB 的延长线于点 E ， ∵AB ∥DC ，∴四边形DBEC 是平行四边形，

∴CD=BE ，∴AC=CE= BD ，∴△ACE 是等腰三角形， ∴∠AOB=∠ACE=90°，∴△ACE 是等腰直角三角形， 过点D 作DM ⊥BC ，交BC 于M ，∴BM=ME ，

602303090045021

212122=⨯=+∴=∴=∴==⨯=⨯=

=BD AC AC AC AC BD AC CE AC ACE ABCD ，，；的面积等腰直角三角形的面积所以，梯形

故选（C ）。

五、等腰梯形中巧作辅助线平移一条腰

将梯形问题转化成等腰三角形问题求解。

例6、等腰梯形的高等于两底差的一半，则腰与下底的夹角为 。

解：如图七，过点D 作DE ∥AB ，交BC 于点 E ，

∵AD ∥BC ，∴四边形ABED 是平行四边形，

∴AB=DE ，AD=BE ，

∵AB=CD ∴CD=DE ，∴△DCE 是等腰三角形， 过点D 作DF ⊥BC ，交BC 于F ，∴EF=FC ， ∴BC-AD=BC-BE=EC=2EF=2FC ，

3933322

1

21212

1

=⨯=⨯⨯=⨯=⨯+=⨯+=DM BM DM BE DM CE BC DM

BC AD ABCD ）（）（的面积梯形图六

E

图七

C

B