有理函数分解成部分分式的几种方法
有理分式的快速分解方法及其应用
有理分式的快速分解方法及其应用鲁志波;勒孚龙;张启慧【摘要】根据有理分式的不同结构特点,给出了相应的分解为部分分式的快速算法及其应用,有效解决了这类函数的积分问题.【期刊名称】《高师理科学刊》【年(卷),期】2011(031)005【总页数】4页(P7-10)【关键词】有理分式;部分分式;快速分解【作者】鲁志波;勒孚龙;张启慧【作者单位】信息工程大学理学院,河南郑州450001;信息工程大学理学院,河南郑州450001;信息工程大学理学院,河南郑州450001【正文语种】中文【中图分类】O13有理分式（又称有理函数）是由2个多项式的商所表示的函数[1]，即形如的函数，其中：m和n都是非负整数；a0,a1, …,an 及b0,b1, …,bm 都是实数，且a0≠0，b0≠0．这是不定积分和定积分计算中经常遇到的一类函数，处理这类问题关键的是分解有理函数为部分分式之和，通常使用“待定系数法”来解决[2-3]．这种方法理论可完全解决有理函数的分解问题，但当多项式次数较高时，用这种常规方法计算往往很繁琐且容易出错，本文根据有理函数中分母Q(x)的不同结构特点，给出直接计算分解系数的方法．不失一般性，不妨设有理函数（1）中P(x)和Q(x)之间没有公因式，且有理函数为真分式，即n＜m．定理1 若Q(x)=(x -a)Q1(x)，且Q1(a)≠0，则有分解式其中：是一实系数多项式．证明在式（2）中利用待定系数法，并取x=a即得式（2）．证毕．推论若这里ai为互不相同的实数，则其中：由推论可以看出，当有理分式中分母为m个单重一次因式的乘积时，计算系数Ai 只需把有理函数中分母里对应的因式(x-ai )去掉后再代入x=ai 即可．系数计算式（3）形式简洁，应用方便，在分解有理函数时不需要像使用“待定系数法”时求解方程组，可以直接计算得到分解后的系数，极大地减少了计算量．例1 分解有理函数解有理函数中分母为3个一次因式的乘积，根据式（3），即有定理2[4]185 若且则有分解式其中：P1(x)是一实系数多项式；系数显然，r=1时，式（4）和式（2）相同．例2 分解有理函数为部分分式．解分母中含有1个三重一次因式，设，由式（2）易得；由式（4）可得故从例2可以看出，在计算系数Ak时可以利用计算Ak-1过程中的求导结果简化运算．但是当Q1(x)是2个以上因式的乘积时，求导运算仍然很繁琐．在某些特殊情形下可使用极限法来计算分解系数．定理3 若Q互不相同）时，则其中：系数A0和Bi(i=1,2,…, m)的计算同式（2）；当k=r-1,r-2, …, 1时，证明显然，用式（2）可计算系数A0和Bi(i =1,2, …, m)．当k=r-1,r -2, …, 1时，在式（5）两端同乘xr-k ，整理得令x→∞，则有证毕．例3 分解有理函数解设易知A0=-1，A4=1．为避免用复杂的求导运算计算A3，在式（6）两端同乘x，并令x→∞，两端同取极限，则有．在式（6）两端同乘x2，并令x→∞，则有A=-1．同理可2得A3=-1，从而若有理函数中分母包含二次因式，这时候的分解一般都较为复杂，但在前面分析的基础上类似地有以下几种求解部分分式中待定系数的方法．定理4 若Q(x)包含二次因式，即Q(x)=(x2+px+q)r Q1(x)，其中：p2-4q＜0；r≥1，设x2+px+q=(x-α)(x -)，(α)≠0，则有分解式其中：P1(x)为一实系数多项式；系数Ak和Bk(k=0,1,…, r-1)可利用以下4种方法计算：方法1 使用常规的待定系数法．方法2 复根代入计算法．两端同乘(x 2+px+q)r-k (k =0,1,…, r -1)，然后代入复根α（或）后比较等式两边的实部和虚部，依次计算A0,B0,A1,B1,…,Ak-1,Bk-1，并利用这些结果计算Ak,Bk(k=0,1,2,…,r-1)．方法3 直接公式计算法．注意到在复数域内二次因式可进一步分解为其中：系数c和c是共轭复数．因此可以利用定理2中的式（4）直接计算系数c 和，即其中：方法4 当r=1时，设，利用复根代入计算法易知，Ax+B满足此时不必解出x2+px+q=0的虚根再来分别计算系数A和B，只需利用恒等式x2+px+q=0将有理函数化为一次多项式即可整体上得到Ax+B．注1 将有理函数分解为部分分式的目的是为了计算积分，直接公式计算法中得到式（8）后，右端前r-1项（k=0,1,…, r -2）先分别积分后通分，第r项（即k=r-1项）则先通分后积分，即可得到实系数的有理式[4]185．注2 式（9）在r=1时相对较为简单，具有较强的实用性．注3 一般地，当r＞1时，式（9）对计算系数A0x+B0同样适用．例4 分解有理函数解设，则由式（9）可得Ax+B=，即有例5 分解有理函数为部分分式．解设，由式（3）得由式（9）得，则化简分式易得从而有本文针对有理函数的结构不同，给出了不同的分解为部分分式的方法，通过综合应用以上方法，可以避免常规待定系数法中求解多个方程的繁琐计算，具有较强的实用性和可操作性．需要指出的是，一些特殊情况使用其他特殊方法可能更加简便，大多数情况中需要综合运用以上方法来确定部分分式的系数．【相关文献】[1] 同济大学应用数学系．高等数学[M]．5版．北京：高等教育出版社，2002[2] 姜长友，张武军，魏宝军，等．高等数学教与学[M]．北京：北京航空航天大学出版社，2010[3] 吉米多维奇．吉米多维奇数学分析习题集[M]．济南：山东科技出版社，2005[4] 朱文辉．分解与积分有理函数的直接方法[J]．大学数学，2007，23（6）：182-185。
几种特殊积分的计算方法
几种特殊积分的计算方法特殊积分是指在计算积分时，需要使用特殊方法或技巧才能得到结果的一类积分。
下面将介绍几种常见的特殊积分计算方法。
一、分部积分法分部积分法是一种常用的积分计算方法，适用于计算被积函数是两个函数的乘积的积分。
设有两个函数u(x)和v(x)，则根据分部积分法：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx这个公式表明，在被积函数的积分中，选择一个函数进行求导，而选择另一个函数进行积分，这样可以将原函数转化为另一个更容易处理的函数积分。
二、换元积分法换元积分法是一种利用变量的替换来简化积分的计算方法。
考虑函数f(g(x))，其中g(x)是可导的函数，如果存在一个可导函数h(x)，使得f(g(x))g'(x)=h'(x)，那么通过换元x=g(u)可以将原函数转化为更简单的函数积分。
三、三角代换法三角代换法是一种使用三角函数进行代换的积分计算方法。
通过选择合适的三角函数代换，可以将原函数转化为简单的三角函数的积分。
常用的三角代换有正弦代换、余弦代换和正切代换。
四、部分分式分解法部分分式分解法是一种将有理函数拆分为多个简单的函数的积分计算方法。
通过将有理函数进行部分分式展开，可以将复杂的积分转化为多个简单的积分。
五、瑕积分计算方法瑕积分是指在计算积分时，函数在一些点上不满足积分功能的函数积分。
在计算瑕积分时，可以分为主值积分和固定瑕积分两种情况。
主值积分是通过将瑕积分中的瑕值约化为一个主值来求解，固定瑕积分则是根据瑕积分的特定形式进行计算。
六、数值积分当无法使用解析方法计算积分时，可以通过数值积分来近似计算积分的真实值。
数值积分方法包括复化梯形法、复化辛普森法、龙贝格法等。
以上是几种常见的特殊积分计算方法。
在实际应用中，根据具体问题的特点选择合适的积分计算方法可以提高计算的效率和准确性。
有理函数分解成部分分式的几种方法
取 ｘ＝ａｉ代 入 可 得 ，
Ａｉ＝ｘ－ａ１）器 ｉ＝１，２，… ）
即 ， 部 分 分 式 中各 待 定 系 数 Ａ 都 等 于 把 ｘ＝Ａ， 代 人 原 有 理 函数 中 （分 母 中 因 式 ｘ—ａ，除 外 ），此 方 法 可 称 为 “实 根 代 人 法 ”。
襄樊职业技术学院学报 第 ９卷 第 ３期 双 月 刊 ２０１０年 ５月
有理函数分解成部分分式的几种方法
李艳 萍
（健雄职业技术学院 基础教 学部 ，江苏 太仓 ２１５４１１）
摘 要：本文介绍 了将有理函数分解成部分分式的实根代入法 、复根代入法、极 限法 求导法等几种简单方法，简捷
有效地解决了有理函数的积分问题
Ｄ
’＝Ｘｌ＋ｌｑ
—
—
’
一
±巳！ ｇ ２
ｘ‘＋ｐ ｘ＋ｑ
设 ｘｌ与 ｘ２是 方 程 ｘ ＋Ｐｌｘ＋ｑ１：Ｏ的 一 对 共 轭 虚
根 ，取 ｘ＝ｘ （或 ｘ：ｘ，）代 入 可 得 。
例 １．分 解 塾 二 成 部 分 分 式 。
（ｘ ＋ｐ．ｘ＋ｑ ）Ｉ ＝Ａ ｘ１＋Ｂｉ，（ｉ＝１，２，…，ｎ）， ｌｘ １
法 ”可 得 ，
用“实根代人法”，可先求得Ａ＝丽８ｘ Ｌ－＝４，ｃ＝ ｌｘ＝１＝２．
怎 样 来 确 定 Ｂ 的 值 呢 ？将 一 个 恒 等 式 两 边 同时
‘ 两骊１ Ｉ ，＝击 Ｊ ＝ ＝ 号 施 以 某 种 运 算 仍 然 相 等 ，因 此 把 上 式 两 边 同 乘 以 ｘ，
卧ｕ ４· 分 解胖
例 ２·化分 式 可
为部 分分式 。
解 ：设
营 二 成厩部 ｓ分分 撼分式 。
有理真分式分解为部分分式导数法
户 当 走< n
( 时 Q ,
(n 一 走) x
) 〔( x
一a
〕 ( ) Q ( k ) =
( ” 一 无) x 。
由引理 1 知
时 ( ) [ ( ) 〕 x = a
Q ,
(” 一 走) x
.
x 一 。 ` (k ) = 0
因此 走<
n
时 , 〔Q ( x ) ( x
一 a 户〕( ” ) 有 因 式 ( x
”
(k ) =
A, Q (” ) ( x ) + A 。 一 1 Q ( x ) ( x
a ) 〕( n )
+ … + A l〔43;
(尺 (x ) Q ( x ) (x
) 〕 一 a
” (” )
(关 )
习 艺 中 而
晓 〔 ( ) ( ) 〕 尸( ” 一 k ) x
嵘 Q (x ) n !
考虑 到
Q (a
)=
,
o 因此
x
=
a
是 〔Q (x ) (x
〕 ) 一 a ” ( ” ) 的 实 根 。
因此 x = a 是 〔尺 ( x ) Q ( x ) ( x 一 a ) n 〕( ” ) 的 实根 。
定理
若x
=
a
是有 理式 Q ( x
)的
n
,
重 实根 则 在部 分 分式
)有 因式 ( x
一a
,
)故
Q ( k ) (a
)=
0 , 无=
i 2 … ,
,
,n
一l。
引理 2
若x
=
a
是 Q (x )的 n
有理函数积分拆多项式
有理函数积分拆多项式有理函数积分是数学中的一个重要内容，它可以帮助我们解决一些复杂的数学问题。
在本文中，我将向您介绍如何将一个有理函数积分拆分成多项式的形式。
让我们回顾一下有理函数的定义。
一个有理函数是由多项式除以多项式得到的函数。
例如，f(x) = (3x^2 + 2x + 1)/(2x^2 + x - 3)就是一个有理函数。
要将一个有理函数积分拆分成多项式的形式，我们需要使用部分分式分解的方法。
部分分式分解是将一个有理函数拆分成若干个简单的有理函数之和的过程。
我们需要将分母因式分解。
对于上面的例子，我们可以将分母因式分解为(2x - 3)(x + 1)。
然后，我们将有理函数拆分成若干个简单的有理函数之和。
设拆分后的有理函数为A(x)/(2x - 3) + B(x)/(x + 1)。
接下来，我们需要确定A(x)和B(x)的形式。
为了确定A(x)和B(x)，我们可以使用两个方程来求解。
首先，我们将拆分后的有理函数通分，并与原有理函数相等。
然后，我们可以通过比较系数的方式，得到两个方程。
解这两个方程，就可以得到A(x)和B(x)的值。
我们将A(x)和B(x)的值代入拆分后的有理函数中，就可以得到原有理函数的积分。
积分后得到的是多项式的形式。
通过以上的步骤，我们可以将一个有理函数积分拆分成多项式的形式。
这种方法在解决一些复杂的积分问题时非常有用。
通过部分分式分解，我们可以将原有理函数转化为更加简单的形式，从而更容易进行积分计算。
总结一下，有理函数积分拆分多项式是一种将复杂的有理函数转化为多项式形式的方法。
通过部分分式分解，我们可以将有理函数拆分成若干个简单的有理函数之和，并通过求解方程来确定每个简单有理函数的形式。
最后，将简单有理函数的形式代入拆分后的有理函数中，就可以得到原有理函数的积分。
这种方法在解决复杂的积分问题时非常有用。
希望本文对您理解有理函数积分的拆分多项式方法有所帮助。
有理真分式部分分式分解的证明及系数公式
有理真分式部分分式分解的证明及系数公式傅莺莺【摘要】基于多项式知识给出了有理真分式部分分式分解定理的一个简洁的构造性证明.此外,还对分解系数的计算方法进行总结,给出了赋值法、极限法与导数法的全部计算公式.结果表明,利用极限法与导数法都能求出全部分解系数,且导数法的计算公式更简单、易算.【期刊名称】《大学数学》【年(卷),期】2014(030)002【总页数】6页(P82-87)【关键词】有理函数;部分分式;系数公式;导数【作者】傅莺莺【作者单位】北京工商大学理学院,北京100048【正文语种】中文【中图分类】O172.21 引言在高等数学中，经常遇到计算有理函数的高阶导数、幂级数展开、以及不定积分等问题. 除了极其简单或特殊情况以外，这类问题都要用有理真分式的部分分式分解来解决. 然而，数学教材中通常只介绍分解定理的结果而不提证明，并且对于如何确定分解系数都只给出了单一的待定系数法[1,2]，有待进一步讨论的问题很多.对于有理真分式的部分分式分解定理，文献[3]给出了一个基于数学分析技巧和方法的证明，文献[4]通过对分母多项式的次数归纳进行证明，过程都较繁琐. 本文拟用多项式知识构造性地完成其证明，过程较简单. 至于分解系数的确定，文献[5-8]等展开了研究，其中有的针对某些特殊有理函数，有的单从某一角度提出了某种算法，有的提出用泰勒公式、留数等概念进行计算. 所用的方法看似很多，但本质不外乎待定系数法、赋值法、极限法和求导法；得到的公式虽然很多，但形式不统一且结果不完整. 有鉴于此，本文完整地给出了运用赋值法、极限法与导数法求分解系数的计算公式.2 有理真分式部分分式分解的存在唯一性证明引理1 设为一有理真分式，其中Q(x)=Q1(x)Q2(x)…Qs(x)且Q1,…,Qs互素，则存在唯一一组多项式P1(x),P2(x),…,Ps(x)，使得,其中为真分式.证显然只需证明s=2的情形，当s>2时递归应用s=2的结论即可.设Q(x)=Q1(x)Q2(x)且Q1,Q2互素，则存在多项式S1(x),S2(x)使得1=S1Q1+S2Q2，从而.令PS2,PS1分别除以Q1,Q2得PS2=R1Q1+P1,PS1=R2Q2+P2，则=,其中为真分式.上式最后一个等号成立是因为与,均为真分式，所以 R1+R2=0.下证分解的唯一性. 若另有T1(x),T2(x)满足,其中为真分式,则,从而Q2(P1-T1)=Q1(T2-P2). 又因为Q1,Q2互素，所以Q1(P1-T1). 注意到P1-T1的次数低于Q1，故P1=T1. 同理可证P2=T2.定理2 设为一有理真分式，其中Q(x)在实系数内的标准分解为Q(x)=(x-a1)λ1…(x-as)λs(x2+p1x+q1)μ1…(x2+ptx+qt)μt,则可作部分分式分解：,(1)其中Aij,Bij,Cij∈，且该分解形式唯一.证根据引理 1，存在唯一一组实系数多项式P1,…,Ps,,使得,其中等式右侧分式均为真分式. 根据多项式基本知识(事实上是多项式除法)，每一Pi(i=1,…,s) 可唯一地写作Pi=Ai,1(x-ai)λi-1+Ai,2(x-ai)λi-2+…+Ai,λi-1(x-ai)+Ai,λi;每一(i=1,…,t) 可唯一地写作…+(Bi,μix+Ci,μi),其中Aij,Bij,Cij∈. 所以,,代入的前述分解式，命题得证.引理1及定理2构造性地给出了有理真分式部分分式分解的方法，下面给出例子. 例1 求下列有理真分式的部分分式分解：.解记 Q1(x)=(x-2)2,Q2(x)=x2-2x+2. 参照引理 1及定理 2的证明，的分解可经由以下三个步骤得到：步骤1 求多项式S1(x),S2(x)使 S1Q1+S2Q2=1. 对Q1,Q2作辗转相除，得到Q2=1·Q1+(2x-2),·(2x-2)+1,其中前式整理得 2x-2=Q2-Q1. 代入后式，整理得. 故取.步骤2 求多项式P1(x),P2(x)使(两真分式之和).做多项式除法，令 PS2,PS1分别除以 Q1,Q2，得其余项即为.步骤3 分解，累加得到的部分分式分解. 注意到,故.3 有理真分式部分分式分解的系数公式例1的上述分解过程计算量较大，当分母 Q(x)的标准分解包含两种以上因式时情况更棘手. 所幸定理 2确定了有理真分式部分分式分解的形式 (1)，分解系数Aij,Bij,Cij完全可以借助他法来求解. 系数的计算主要有待定系数法、赋值法、极限法和求导法. 当然，算法各有优劣，为了最快速简便地求解系数，各算法常交叉使用.3.1 待定系数法将 (1) 式右端所有部分分式通分，其分子恒等于P(x). 于是由同幂项系数相等可得关于Aij,Bij,Cij的线性方程组，其方程个数恰等于待定系数的个数deg(Q). 根据定理 2，该方程组有且仅有唯一解，求解该方程组即得全部系数. 该方法思路简单，但往往有较大计算量.3.2 赋值法定理3 设 P(x),Q(x)同定理2，则分解式(1) 中的系数满足, i=1,…,s,(2)Bi,μiα, i=1,…,t,(3)其中α为x2+pix+qi=0的复根，且证将 (1)式两端同乘以 Q(x)，得.由于x-ai(i=1,…,s)整除除以外的全体与，故将 x=ai代入上式可得(2)式. 又由于x2+pi x+qi(i=1,…,t)整除除以外的全体与，故将 x2+pix+qi=0的复根x=α代入上式可得(3)式.(2),(3)两式给出了一部分分解系数(共s+2t个)的计算公式. 以例1为例，设,则,解得3.3 极限法定理4 设P(x),Q(x),及α同前，则分解式(1)中的系数满足, i=1,…,s,(4), i=1,…,s;(5), i=1,…,t.证观察 (1)式，注意到 P/Q与Ai,λi/(x-ai)λi(i=1,…,s)为x→ai时的等价无穷大，故(4)式得证. 此外还已知P/Q-Ai,λi/(x-ai)λi与Ai,λi-1/(x-ai)λi-1为x→ai 时的等价无穷大，故(5)式得证. 依此类推可以求得Ai,λi-2,…,Ai,1.类似地，设x=α为x2+pix+qi=0 (i=1,…,t)的复根，则P/Q与(Bi,μix+Ci,μi)/(x2+pix+qi)μi为x→α时的等价无穷大(注意这里将极限推广至复数域显然是可以接受的)，故(6)式得证. 参照 Aij 的处理方法还可依次求得Bi,μi-1,Ci,μi-1,…,Bi,1,Ci,1.极限法提供了计算全部分解系数的方法(其中Ai,λi与Bi,μi,Ci,μi的公式与赋值法本质上相同)，以例1为例，有,解得3.4 求导法定理5 设 P(x),Q(x),及α同前，则分解式(1)中的系数满足, i=1,…,s; k=0,…,λi-1,(7)Bi,μi-kα,i=1,…,t;k=0,…,μi-1.(8)证 (1)式两端同乘以 (x-ai)λi(i=1,…,s)，可写作,其中R1为某有理函数.上式两端求k(0≤k<λi) 阶导并代入 x=ai，得(7)式.类似地，(1)式两端同乘以(x2+pix+qi)μi(i=1,…,t)，可写作其中R2为某有理函数.上式代入 x2+pix+qi=0的复根x=α，得Bi,μiα，即(3)式.上式两端求k(1≤k<μi) 阶导，注意到含有因式 (x2+pix+qi)k+1，故其k阶导可写作R3(x)(x2+pix+qi)，其中R3为有理函数.又因为[(Bi,μi-kx+Ci,μi-k)(x2+pix+qi)k](k)=(Bi,μi-kx+Ci,μi-k)[(x2+pix+qi)k](k)+ k·Bi,μi-k·[(x2+pix+qi)k](k-1)可以写作k!(2x+pi)k(Bi,μi-kx+Ci,μi-k)+R4(x)(x2+pix+qi),其中R4为某多项式，所以代入x=α，整理即得(8)式. 显然(8)式中令 k=0恰为(3)式，据此可以递推地计算Bi,μi-1,Ci,μi-1,…,Bi,1,Ci,1.根据(7),(8)两式可以较快地算出全部分解系数. 以下述分解为例.,其中,解得,解得4 结论与启示本文构造性地证明了有理函数具有部分分式分解形式(1)，并且基于赋值、极限和求导的思想分别给出了分解系数的计算公式(2)-(8). 结果表明，极限法与导数法都能求出全部分解系数,相对而言,导数法的计算公式(7)与(8)形式更简洁、更易于计算. 对于大多数高等数学或数学分析课程，有理函数部分分式分解的教学都出现在不定积分这一章中. 以往学生只是单纯接受教材上的既有结论和固定方法，其能力仅仅是掌握如何按部就班地进行计算. 考虑到学生此前已经掌握了多项式、极限与导数等方面的知识，教师可以将这部分教学内容扩展开来，引导学生充分进行自主学习，鼓励和启发学生运用已有知识思考定理的证明、充分拓展系数计算的方法、甚至借助Matlab等数学软件自行实现算法. 这有助于学生将极限、导数等知识融会贯通，并且对训练他们的逻辑思维与推演能力、培养科研能力与动手能力，都有着重要意义.[参考文献]【相关文献】[1] 同济大学数学系. 高等数学 (上册)[M]. 6版. 北京: 高等教育出版社，2007: 213-218.[2] 华东师范大学数学系. 数学分析 (上册)[M]. 3版. 北京: 高等教育出版社，2001: 190-199.[3] 崔明正. 有理真分式P(x)/Q(x)展开成部分分式定理一种证法及启示 [J]. 工科数学，1993，9(2):105-108.[4] 常建明. 关于有理函数的部分分式展开 [J]. 常熟高专学报，2000，14(4): 16-21.[5] 黄伯强. 有理分式函数的部分分式分解 [J]. 南京工程学院学报，2008，6(2): 13-16.[6] 卢小宁. 确定部分分式中的待定系数的一个方法 [J]. 湖南理工学院学报 (自然科学版). 2008，21(4): 14-16.[7] 邵建新. 用 Laurent 级数展开法化有理分式为部分分式 [J]. 大学数学，2007，23(6): 189-190.[8] 张迎秋. 有理真分式分解中的系数公式 [J]. 工科数学，2000，16(2): 107-108.。
部分分式展开法公式
部分分式展开法公式部分分式展开法公式是高等数学中常用的一种技巧，用于将一个分式拆分成多个分式之和的形式。
这种技巧在微积分、复变函数、常微分方程等领域都有广泛的应用。
一、部分分式展开法的基本思想部分分式展开法的基本思想是将一个分式表示成若干个分式之和的形式，其中每个分式的分母是不可约的一次多项式。
具体而言，对于一个有理函数 $frac{P(x)}{Q(x)}$，如果 $Q(x)$ 可以分解成若干个不可约的一次多项式的乘积，即 $Q(x) = (x - a_1)^{k_1} cdots (x - a_m)^{k_m}$，则我们可以将 $frac{P(x)}{Q(x)}$ 表示成如下形式的分式之和：$$frac{P(x)}{Q(x)} = frac{A_{1,1}}{x - a_1} + cdots +frac{A_{1,k_1}}{(x - a_1)^{k_1}} + cdots + frac{A_{m,1}}{x - a_m} + cdots + frac{A_{m,k_m}}{(x - a_m)^{k_m}}$$其中 $A_{i,j}$ 是待定系数，可以通过比较系数的方法求得。
这样，我们就成功地将一个分式展开成了若干个分式之和的形式，每个分式的分母都是不可约的一次多项式。
二、部分分式展开法的具体步骤部分分式展开法的具体步骤如下：1. 对于一个有理函数 $frac{P(x)}{Q(x)}$，首先将 $Q(x)$ 分解成不可约的一次多项式的乘积形式，即 $Q(x) = (x - a_1)^{k_1} cdots (x - a_m)^{k_m}$。
2. 对于每个不可约的一次多项式 $(x - a_i)^{k_i}$，分别列出如下形式的分式：$$frac{A_{i,1}}{x - a_i} + cdots + frac{A_{i,k_i}}{(x -a_i)^{k_i}}$$其中 $A_{i,j}$ 是待定系数。
知识点裂项相消法
知识点裂项相消法1.基本原理：裂项相消法的基本思想是将有理函数分解成若干个部分分式的和，其中每个部分分式的分母是一次因式的幂。
具体而言，对于一个有理函数P(x)/Q(x)，其中P(x)和Q(x)是多项式，且Q(x)可分解为一些一次因式的乘积。
假设Q(x)可分解为Q(x)=(x-a)^n(x-b)^m...(x-z)^p，则有理函数P(x)/Q(x)可以分解成以下形式的部分分式相加的形式：P(x)/Q(x)=A1/(x-a)+A2/(x-a)^2+...+An/(x-a)^n+B1/(x-b)+B2/(x-b)^2+...+Bm/(x-b)^m+...+Z1/(x-z)+Z2/(x-z)^2+...+Zp/(x-z)^p.其中，A1,A2,...,An,B1,B2,...,Bm,...,Z1,Z2,...,Zp是待定常数。
2.应用：裂项相消法主要用于求解有理函数的积分和微分。
在求解积分时，通过将有理函数分解成部分分式，可以将原来的复杂积分问题转化为一系列简单的积分。
同样地，在求解微分方程时，将有理函数分解成部分分式相加的形式可以简化微分方程的求解过程。
3.求解过程：下面我们通过一个例子来演示裂项相消法的求解过程。
假设我们要求解积分∫(x^2+4)/(x+1)(x+2)dx。
首先，我们需要将被积函数(x^2+4)/(x+1)(x+2)分解为若干个部分分式相加的形式。
首先，我们将(x^2+4)除以(x+1)(x+2)得到一个商函数和一个余数：(x^2+4)/(x+1)(x+2)=x-1+6/(x+1)(x+2).然后，我们将6/(x+1)(x+2)继续分解为部分分式的和：6/(x+1)(x+2)=A/(x+1)+B/(x+2).通过通分得到：将A(x+2)+B(x+1)展开，得到：由于等式两边的系数必须相等，所以有：A+B=0,解这个方程组可以得到：A=2,因此，我们有：6/(x+1)(x+2)=2/(x+1)-2/(x+2).综合上述结果，我们可以得到：∫(x^2+4)/(x+1)(x+2)dx=∫(x-1+2/(x+1)-2/(x+2))dx=∫(x-1)dx+∫2/(x+1)dx-∫2/(x+2)dx=x^2/2-x+2ln，x+1，-2ln，x+2，+C.其中，C是常数。
不定积分拆项
不定积分拆项
在积分中，拆项是指将被积函数进行拆分或分解，使得积分可以更容易计算。
不定积分的拆项有多种方法，以下介绍其中几种常见的拆项方法：
1. 分式拆分：对于有分式形式的被积函数，可以通过分式拆分将其拆解为几个简单分式的和或差，从而更容易计算。
例如，对于有理函数 $\frac{1}{x(x+1)}$ 可以使用分式拆分方法将其拆解为 $\frac{A}{x} + \frac{B}{x+1}$ 的形式，再进行不定积分。
2. 部分分数拆分：对于有理函数，可以使用部分分数拆分方法将其拆解为若干个部分分数的和或差，从而更容易计算。
部分分数拆分的基本思想是将有理函数表示为一个多项式的形式再进行拆解。
例如，将 $\frac{2x+1}{x^2+4x+3}$ 拆解为
$\frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+3}$ 的形式，再进行不定积分。
3. 倒代换：对于某些特殊的被积函数，可以通过倒代换（反代换）的方式进行拆项。
倒代换是指通过变量代换将被积函数转化为另一个较为简单的表达式，再进行不定积分。
例如，对于$\int \frac{1}{x\sqrt{1+x}} dx$ 可以使用倒代换 $u =
\sqrt{1+x}$，将被积函数转化为 $\int \frac{2}{u^2-1} du$ 的形式，再进行不定积分。
以上是不定积分中常用的拆项方法，拆项的具体方法需要根据被积函数的具体形式和特点选择适合的拆项方法进行处理。
关于积分规则
关于积分规则积分规则是数学中的重要概念之一，它在微积分中具有广泛的应用。
通过积分，我们可以求解曲线下的面积、计算物体的体积、求解速度与位移之间的关系等等。
在本文中，我将简要介绍积分规则的基本概念和一些常见的积分规则。
积分是微积分的基本操作之一，它是求解曲线下面积的逆运算。
我们可以将曲线分成无穷多个微小的矩形，并将它们的面积相加，从而得到曲线下的总面积。
这个过程就是积分。
在进行积分运算时，我们需要根据具体的函数形式和积分区间来选择相应的积分规则。
下面是一些常见的积分规则：1. 基本积分规则：对于幂函数和三角函数，我们可以通过一些基本的积分公式来求解其积分。
例如，对于函数f(x)=x^n，其中n是常数，其积分结果为F(x)=(1/(n+1))x^(n+1)+C，其中C是常数。
2. 分部积分法：分部积分法是求解两个函数的乘积的积分的一种方法。
它可以将一个复杂的积分转化为一个简单的积分。
分部积分法的公式为∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx。
3. 替换法：替换法是通过变量替换的方式来简化积分运算。
通过选择合适的变量替换，我们可以将原来的积分转化为一个更简单的形式。
例如，当我们遇到根号下含有二次项的积分时，可以选择合适的变量替换来简化计算。
4. 部分分式分解法：部分分式分解法是将一个有理函数分解为几个简单的分式相加的方法。
通过部分分式分解，我们可以将原来复杂的积分转化为简单的积分，从而更容易进行计算。
除了上述的积分规则之外，还有其他一些特殊的积分规则，如三角函数的积分、反函数的积分等等。
这些规则在实际问题中经常被用到，对于理解和应用微积分具有重要的意义。
积分规则是微积分中的重要概念，它可以用来求解曲线下的面积、计算物体的体积、求解速度与位移之间的关系等等。
通过选择合适的积分规则，我们可以简化积分运算，使得计算更加方便和高效。
在实际应用中，掌握积分规则对于解决各种数学和物理问题非常有帮助。
有理复变函数分解成部分分式的一种方法
第１ ６卷 第 １ 期
冯小 高； 有理 复 变 函数 分 解 成 部 分 分 式 的 一 种 方 法
３ ３
［ Ａｎ （ ｚ 一 戤） ＋Ａ ２ （ ｚ 一口 ） ｚ ＿ Ｉ ２ ＋ ＋Ａ矾 一 １ ） （ ｚ —ａ ｆ ） ＋Ａ ］ ，
…
—
Ａ Ｑ“ ｚ （ ｚ ）
ｋ＝ ｌ
Ａ ｋ （
～
），
巩（ ＝ ： ＝ １ ， ２ ， …， ）全部 或部 分在 积分 路 径 Ｊ Ｊ ＝ ＝ ＝ ｒ 内部 时 ， 一 般 可用两 种方式 求解 复积分 Ｅ ］
Ｐ（ ２） ｄ ｚ
其中 ｉ 一１ ， ２ ， …， ， 那 么
Ｐ（ Ｚ ） （ ｚ－ － ａ ｉ ）ｌ
中 图分 类 号 ０ １ ７ ４ ． ５ 文献 标 识 码 Ａ 文章 编号 １ ０ ０ ８ — １ ３ ９ ９ （ ２ ０ １ ３ ） ０ １ — ０ ０ ３ ２ — ０ ３
设Ｐ （ ｚ ） 是次数小于∑ ｋ 的多项式， 当奇点
ｚ ＝ｌ
Ｐ（ ｚ ） （ ｚ ｌ ａ １ ）一 Ａ ＋
Ｊ！ ｃ 中 Ｊ Ｑ ’ （ ａ ）
Ｑ（ ）
ｚ— ａ
（ １≤ Ｊ≤ ｋ 一１ ） ．
则在 此式 两边 同时乘 以（ ｚ —ａ ） 得
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ｌ ＿ Ｏ ４ — ０ ８ ； 修 改 日期 ： ２ ０ １ ２ １ 卜２ ５
证 明
由题 意 和 有理 函数 分解 定 理 得 式 （ ２ ） 。
为求 系数 Ａ ， 在式（ ２ ） 两 边 同时乘 以（ ｚ —Ｏ ｌ ｉ ） 得
基金项 目： 国 家 自然 科 学 基 金 资 助 项 目（ １ ０ ３ ７ １ ０ ７ ８ ） ；西 华 师 范 大 学
部分分式法求积分
部分分式法求积分部分分式法是一种常用的求解不定积分的方法，它适用于含有有理函数的积分。
有理函数是指分子分母都是多项式的函数，如f(x)= (x²+2x+1)/(x³+3x²+2x)。
使用部分分式法可以将有理函数分解为若干个分式的和，从而使积分变得更加容易。
一、分母有不同的两个一次因式首先，对于形如f(x) = [m1/(ax+b)] + [m2/(cx+d)]的有理函数，可以采用以下方法进行分解：f(x) = [A1/(ax+b)] + [A2/(cx+d)] = [(A1c+A2a)x+(A1d+B2b)]/[(ax+b)(cx+d)]等式两边通分，将分子拆开：m1 = A1c+A2a解方程组，得到：A1=(bm2-dm1)/(a(c-b))使用上述方法，可以将形如f(x) =[(ax+b)^m1/(cx+d)^n1]+…+[(px+q)^mk/(rx+s)^nk]的有理函数进行分解。
需要注意的是，此处的m1、n1、mk以及nk都为正整数。
例如，对于函数f(x)=[(x+1)/(x²+4x+3)]，可以将分母分解为(x+1)(x+3)，然后使用部分分式法进行求解：f(x)=[A/(x+1)] + [B/(x+3)]分母相乘，通分并将分子合并：令x=-1，得到A=-1。
将A和B代入上式，得到：因此，原式可以表示为：∫[ (x+1)/(x²+4x+3) ] dx = ∫{ [-1/(x+1)] + [2/(x+3)] } dx = -ln|x+1| + 2ln|x+3| + C二、分母含有相同的一次因式，且次数小于分子其中An与A1的分母为(cx+d)^n，其余分母均为(cx+d)^m。
因为分母含有相同的一次因式，所以可以将其约分，从而使分母仅含有(cx+d)的若干个幂次函数。
例如，当m=2时，可以将分母约分为(cx+d)×(cx+d)。
有理函数的部分分式分解
有理函数的部分分式分解部分分式分解是将一个有理函数分解成若干个分式相加的形式，其中每个分式的分母是不可分解的一次或二次多项式。
这种分解方法在求解积分和解线性微分方程等方面具有广泛的应用。
一、一次因式分解法对于有理函数的分母为一次多项式的情况，我们采用一次因式分解法。
假设分母为$ax + b$，则我们可以将有理函数表示为：$$\frac{K}{ax+b}=\frac{A}{ax+b}$$其中，$A$为待求常数。
比较等式两边，我们得到：$$K=A(ax+b)$$将$x$取为$-\frac{b}{a}$，则有$$K=A\cdot 0=0$$因此，我们可以解出待求常数$A$：举例说明，考虑有理函数$f(x)=\frac{3x-1}{x+2}$，我们希望将其分解成若干个一次分式的和。
由于分母为一次多项式$x+2$，我们可以写出等式两端同乘以$x+2$，得到$$-7=-2A$$解得$A=\frac{7}{2}$，因此有二次因式分解法的具体步骤如下：1. 将分母$(ax^2+bx+c)$分解成$(px+q)(rx+s)$的形式，即将二次多项式因式分解；2. 将有理函数表示为：其中，$A$和$B$为待求常数；$$x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$$$$\frac{3x^2+x+1}{x^2+3x+2}=-\frac{11}{2(x+1)}-\frac{1}{2(x+2)}$$三、完全平方分解法对于有理函数的分母为二次多项式，但是不能因式分解的情况，我们使用完全平方分解法。
1. 如果二次多项式为$x^2+a^2$，则我们可以写出：其中，$A$和$B$为待求常数，$\mathrm{i}$为虚数单位。
如果$b$为奇数，则可以将$x^2+b x+c$视为完全平方加常数的形式。
例如，对于$x^2+3x+7$，我们可以将其写成$(x+\frac{3}{2})^2+\frac{1}{4}+7$的形式。
将$x$取为$-1$，得到$$1=B$$对于有理函数的分母为高次多项式的情况，我们采用复杂因式分解法。
有理函数积分
万能代换
t 的有理函数的积分
x x 2 tan 2 tan x x 2 , 2 sin x 2sin cos 2 x 2 2 2 x 1 tan sec 2 2 2 x 2 x 1 tan 1 tan 2 x 2 x 2 2, cos x cos sin 2 2 2 x 2 x 1 tan sec 2 2 x x 2arctan u （万能置换公式） 令 u tan 2
Mx N 3. 2 dx x px q Mx N 4. 2 dx n ( x p x q)
变分子为
M 2
(2 x p)分 2 n ( x px q )
2 p p 2 x px q x q , 2 4 2
x dx 使用凑微分法比较简单 3 x 1
尽量使分母简单——降幂、拆项、同乘等
2
基本思路
化部分分式，写成分项积分 可考虑引入变量代换
例2. 求积分
解：
1 dx . 2 x( x 1)
1 1 1 1 dx dx 2 2 x( x 1) x 1 x ( x 1)
2 2u 2 1 u sin x , cos x du , dx 2 2 2 1 u 1 u 1 u
2u 1 u 2 2 R(sin x ,cos x ) dx R 1 u2 , 1 u2 1 u2 du.
1 sin x dx . 例8. 求 sin x(1 cos x) x 解: 令 t tan , 则 2 x cos x x 2 sin 2 2 tan 2t 2 2 sin x 2 x cos 2 x 1 tan 2 x 1 t 2 sin 2 2 2
有理函数待定系数法拆项方法
有理函数待定系数法拆项方法嘿，小伙伴们！今天咱们来唠唠有理函数待定系数法拆项这个超有趣（嗯，虽然可能有点头疼，但咱得把它变有趣）的数学事儿。
你可以把有理函数想象成一个超级大汉堡，而拆项呢，就像是把这个汉堡一层一层地拆开，看看里面到底都有些啥料。
待定系数法就像是个神秘的魔法棒，来帮助我们找到每一层“食材”的量。
比如说，有个复杂的有理函数，它就像一个装满各种宝藏（系数）的神秘盒子，外面还裹着一层又一层的包装纸（分母多项式）。
我们要用待定系数法这个钥匙去打开这个盒子，然后把里面的宝藏按照我们想要的方式（拆项后的分式形式）摆放出来。
那怎么开始拆呢？就像是猜谜语一样。
先根据分母的因式情况，假设出它拆项后的样子。
这就好比你看到一个大蛋糕，根据它上面的水果装饰（分母的特征），猜它是由几块小蛋糕（分式）组成的。
比如说分母是个二次多项式，那我们可能就假设拆成两个分式，一个分式的分母是这个二次多项式的一个因式，另一个分式分母是另一个因式，就像把一块大的拼图（原有理函数）拆成两块小拼图（拆分后的分式）。
然后呢，我们要给这些假设出来的小分式（就像一群小怪兽）配上系数这个“武器”。
这些系数就像小怪兽的超能力等级一样，决定了它们在原有理函数这个大战场上的影响力。
待定系数法就开始施展魔法啦。
我们把假设的分式通分，让它们变回原来的有理函数的样子，就像把拆乱的拼图又拼回去。
然后根据等式两边分子的系数对应相等，这就好比是让两边的“兵力”（系数）相等，来建立方程。
这时候就像在玩一个数字的连连看游戏，把相同“类型”（幂次相同）的系数连起来，组成方程。
有时候方程可能有好多，就像一群小蚂蚁密密麻麻的，但别怕，只要按照规则一个一个解，就像指挥小蚂蚁排好队一样。
一旦解出这些待定系数，哇塞，就像找到了打开宝藏盒子的最后密码一样。
我们就成功地把那个复杂的有理函数大汉堡给拆得明明白白啦。
所以呀，有理函数待定系数法拆项虽然有点像在迷宫里找出口，但只要我们把它想象成一场有趣的游戏，拿着待定系数法这个神奇的工具，就一定能顺利通关，把那些复杂的有理函数拆得妥妥当当。
把有理函数分解成部分分式解读
解.这里的系数A ir ,Bir,C ir是唯一确定的,一般在中学都学过可以使用待定系数法来确定这些系简单
的确定系数的方法,请大家仔细研究:
(12
x 2+5x +5
=2=A ,按照同样的方法就可以得到其它两个系数,最后分解的结果应
该是:
S c h o o l o f M a t h e m a t i c s a n d S t a t i s t i c s ,Y u n n a n U n i v e r s t i y S c h o o l o f M a t h e m a t i c s a n d S t a t i s t i c s ,Y u n n a n U n i v e r s t i y S c h o o l o f M a t h e m a t i c s a n d S t a t i s t i c s ,Y u n n a n U n i v e r s t i y
都是正整数.
于是f (x有如下的部分分式分解定理(partial fraction decomposition:
f (x =p (x q (x =P (x +m ∑i =1j i ∑r =1A ir (x −a i r +n ∑i =1
k
i ∑r =1B ir x +C ir
(x 2+b i x +c i r其中上式右端的P (x是根据比如多项式的长除法得出的一个(可能是零多项式,
S c h o o l o f M a t h e m a t i c s a n d S t a t i s t i c s ,Y u n n a n U n i v e r s t i y S c h o o l o f M a t h e m a t i c s a n d S t a t i s t i c s ,Y u n n a n U n i v e r s t i y S c h o o l o f M a t h e m a t i c s a n d S t a t i s t i c s ,Y u n n a n U n i v e r s t i y
有理分式函数分解定理的新证明
［收稿时间］2019-09-20［基金项目］本文得到“广西师范大学2019年教育教学改革A 类项目”（项目编号:2019JGA21）、“广西研究生教育创新计划项目”（课题编号:JGY2019029）、广西科技基地和人才专项项目（课题标号：2019AC20186，2018AD19211）的大力支持。
［作者简介］高翔宇（1978-），男，河南西华人，博士研究生，副教授，研究方向：系统稳定性分析及最优化控制设计。
杨洪福（1986-），男，黑龙江大兴安岭人，博士研究生，研究方向：随机微分方程理论及数值计算。
王世鹏（1993-），男，黑龙江哈尔滨人，大学本科，纪检监察员。
［摘要］本文基于两个特殊有理分式函数分解的证明方法，给出了一般有理分式函数分解定理证明新方法.［关键词］有理分式函数；部分分式；线性空间；基底［中图分类号］O13［文献标识码］A ［文章编号］2095-3437（2020）12-0103-03University Education一、引言在数学分析[2]或高等数学[1]的积分学习中，我们常常遇到对有理分式函数进行积分，通常的处理方法是将其分解为部分分式之和。
所谓部分分式,即形如A x -a ,A ()x -a k ,Mx +N x 2+px +q ,Mx +N()x 2+px +q k的分式其中M 、N 、A 、a 、p 、q 为实数，k 为自然数.由于它们是一般有理真分式的最简单、最基本的组成部分,故在数学中常叫做基本分式、部分分式、简单分式等.众所周知,一旦有理函数表示为多项式函数与部分分式之和，对部分分式进行积分将变得非常简单,有理分式函数的积分问题的关键就转化为分解有理分式函数为部分分式之和。
在文献[1-2]中，运用待定系数法给出有理分式函数分解为部分分式的一般方法，不过该分解方法因其计算量大而较为繁琐.针对该问题，许多作者提出不同的可操作性的方法以简化运算量，比如，用因代根法[3]，留数法[4],导数法[5],公式法[6]，赋值法和极限法[7]。
有理函数的积分
解: 原式
(x2 2x 2) (2x 2) (x2 2x 2)2
dx
dx (x 1)2 1
d(x2 2x 2) (x2 2x 2)2
arctan(x
1)
x2
1 2
x
2
C
dx
例6. 求 x4 1
本题用常规方法解很繁
解: 原式 1 2
(x2 1) (x2 1) x4 1
x
2
)
1 5
1
4 2x
1
2
x x2
1
1 x
2
例1(3)
原式
2 5
d(1 2x) 1 2x
1
5
d(1 x2 1 x2
)
1 5
1
dx x
2
2 ln 1 2x 1 ln (1 x2 ) 1 arctan x C
5
5
5
例1(3)
例3. 求
解: 原式
1 2
(2x
2)
3
x2 2x 3
dx
四种典型部分分式的积分:
1.
x
A
dx
Aln
xa
C
2.
(x
A a)n
dx
A 1 n
(x
a)1n
C
(n 1)
(x2 px q)
3.
Mx x2 px
N
q
dx
4.
(
x
M 2
x px
N q)
n
dx
2x p
变分子为
M 2
(2x
p)
N
Mp 2
再分项积分
例2. 求