概率论与数理统计第二章随机变量及其分布2.12.3
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分析 这是不放回抽样.但由于这批元件的总数很 大, 且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又 很小,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理.
把检查一只元件是否为一级品看成是一次试 验, 检查 20只元件相当于做 20 重伯努利试验.
解 以 X 记 20 只元件中一级品的只数, 则 X ~ b(20, 0.2), 因此所求概率为
X
1, 0,
取得不合格品, 取得合格品.
X0
1
pk
190 200
10 200
则随机变量 X 服从(0 —1)分布.
说明 1、两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有
两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是 女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点 分布.
2、设试验E 只有两个可能结果： A, A
X (e) 抽得的白球数,
是一个随机变量. 且 X(e) 的所有可能取值为: 0, 1, 2.
实例5 设某射手每次射击打中目标的概率是0.8, 现该射手射了30次, 则
X (e) 射中目标的次数, 是一个随机变量. 且 X(e) 的所有可能取值为:
0, 1, 2, 3, , 30.
实例6 设某射手每次射击打中目标的概率是0.8, 现该射手不断向目标射击 , 直到击中目标为止,则
0, 1, 2, , n.
当 X k (0 k n) 时, 即 A 在 n 次试验中发生了 k 次.
AAA AAA ,
k次
nk 次
AAA A A AAA
k1 次
nk1 次
得
A在
n 次试验中发生
k
次的方式共有
n k
种,
且两两互不相容.
因此 A在 n 次试验中发生 k 次的概率为
n pk (1 p)nk 记 q 1 p k
解 设1000 辆车通过, 出事故的次数为 X , 则 X ~ b(1000,0.0001), 所求概率为
P{X 2} 1 P{X 0} P{X 1}
1 e0.1 0.1 e0.1 0.0047.
0!
1!
利用泊松定理计算 1000 0.0001 0.1,
合理配备维修工人问题
因此 P{X 2} 1 P{X 0} P{X 1} 1 (0.98)400 400(0.02)(0.98)399 0.9972.
例4 有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每 辆汽车在一天的某段时间内,出事故的概率为 0.0001,在每天的该段时间内有1000 辆汽车通过, 问 出事故的次数不小于2的概率是多少? 解 设 1000 辆车通过, 出事故的次数为 X , 则
P{ XFra Baidu bibliotek k} 20(0.2)k (0.8)20k , k 0,1, ,20. k
P{ X 0} 0.012 P{ X 4} 0.218 P{ X 8} 0.022 P{ X 1} 0.058 P{ X 5} 0.175 P{ X 9} 0.007 P{ X 2} 0.137 P{ X 6} 0.109 P{ X 10} 0.002 P{ X 3} 0.205 P{ X 7} 0.055
n pkqnk k
得 X 的分布律为
X0
1
k
n
pk
qn
n pqn1 1
n pkqnk k
pn
称这样的分布为二项分布.记为 X ~ b(n, p).
二项分布 n 1 两点分布
二项分布的图形
例如 在相同条件下相互独立地进行 5 次射击,每 次射击时击中目标的概率为 0.6 ,则击中目标的次 数 X 服从 b (5,0.6) 的二项分布.
X ~ b(1000, 0.0001),
故所求概率为 P{X 2} 1 P{X 0} P{X 1}
1 0.99991000 1000 0.0001 0.9999999 1
二项分布 np ( n 泊) 松分布
3. 泊松分布
设随机变量所有可能取的值为0, 1, 2, ,而取各个 值的概率为
P{ X xk } pk , k 1, 2, . 称此为离散型随机变量X 的分布律.
说明
(1) pk 0, k 1,2, ;
(2) pk 1. k 1
离散型随机变量的分布律也可表示为 X ~ x1 x2 xn p1 p2 pn
X x1 x2 xn
pk
p1 p2 pn
随机变量
离散型 非离散型
连续型 其它
离散型 随机变量所取的可能值是有限多个或 无限可列个, 叫做离散型随机变量.
小结
1. 概率论是从数量上来研究随机现象内在规 律性的，因此为了方便有力的研究随机现象， 就 需将随机事件数量化，把一些非数量表示的随机 事件用数字表示时， 就建立起了随机变量的概 念． 因此随机变量是定义在样本空间上的一种特 殊的函数．
X 01
2
3
4
5
pk (0.4)5 50.6 0.44 50.62 0.43 50.63 0.42 50.64 0.4 0.65
1
2
3
4
例2 按规定,某种型号电子元件的使用寿命超过 1500 小时的为一级品.已知某一大批产品的一级 品率为0.2, 现在从中随机地抽查20只. 问20只元件 中恰有k 只(k 0,1, ,20) 一级品的概率是多少?
X (e) 所需射击次数, 是一个随机变量. 且 X(e) 的所有可能取值为:
1, 2, 3, .
实例7 某公共汽车站每隔 10 分钟有一辆汽车通 过, 如果某人到达该车站的时刻是随机的, 则
X (e) 此人的等车时间,
是一个随机变量. 且 X(e) 的所有可
能取值为: [0,10].
3.随机变量的分类
将 E 独立地重复地进行 n 次,则称这一串重 复的独立试验为 n 重伯努利试验.
实例1 抛一枚硬币观察得到正面或反面. 若将硬 币抛 n 次,就是n重伯努利试验.
实例2 抛一颗骰子n次,观察是否 “出现 6 点”, 就
(3) 是二n项重概伯率努公利式试验.
若 X 表示 n 重伯努利试验中事件 A 发生的次数, 则 X 所有可能取的值为
2. 随机变量的分类: 离散型、连续型…
第二节 离散型随机变量 及其分布律
一、离散型随机变量的分布律 二、常见离散型随机变量的概率分布
一、离散型随机变量的分布律
定义 设离散型随机变量X 所有可能取的值为 xk (k 1,2, ), X 取各个可能值的概率, 即事件 { X xk } 的概率, 为
解 设需配备 N 人. 记同一时刻发生故障的设备 台数为 X , 那么, X ~ b(300,0.01). 所需解决的问题
是确定最小的 N , 使得
P{X N } 0.99. 由泊松定理得
实例2 在一装有红球、白球的袋中任摸一个球, 观察摸出球的颜色.
S={红色、白色}
?
将 S 数量化
非数量
可采用下列方法
红色 白色
S
X (e)
1 0R
即有 X (红色)=1 , X (白色)=0. 1, e 红色,
X (e) 0, e 白色. 这样便将非数量的 S={红色，白色} 数量化了.
P{ X k} ke , k 0,1,2, ,
k!
其中 0是常数.则称 X 服从参数为 的泊松分 布,记为 X ~ π( ).
泊松分布的图形
泊松分布的背景及应用
二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察
与分析放射性物质放出的粒 子个数的情况时,他
们做了2608次观察(每次时间为7.5秒)发现放射 性物质在规定的一段时间内, 其放射的粒子数X 服从泊松分布.
2. 随机变量的引入
实例1 抛掷骰子,观察出现的点数.
则有
S={1，2，3，4，5，6} 样本点本身就是数量
X (e) e 恒等变换
X (1) 1, X (2) 2, X (3) 3, X (4) 4, X (5) 5, X (6) 6,
且有
P{ X i} 1 , (i 1,2,3,4,5,6). 6
随机变量随着试验的结果不同而取不同的值, 由于试验的各个结果的出现具有一定的概率, 因 此随机变量的取值也有一定的概率规律.
(3)随机变量与随机事件的关系
随机事件包容在随机变量这个范围更广的概 念之内.或者说 : 随机事件是从静态的观点来研究 随机现象,而随机变量则是从动态的观点来研究随 机现象.
1.两点分布
设随机变量 X 只可能取0与1两个值 , 它的分 布律为
X
0
1
pk 1 p
p
则称 X 服从 (0—1) 分布或两点分布.
实例1 “抛硬币”试验,观察正、反两面情
况.
X
X (e)
0,
1,
当e 当e
正面, 反面.
随机变量 X 服从 (0—1) 分布.
其分布律为
X
0 1
1
1
pk
2
2
实例2 200件产品中,有190件合格品,10件不合格 品,现从中随机抽取一件, 若规定
例1 设一汽车在开往目的地的道路上需经过四 组信号灯,每组信号灯以1 2的概率允许或禁止汽 车通过.以 X 表示汽车首次停下时,它已通过的信 号灯的组数(设各组信号灯的工作是相互独立的), 求 X 的分布律.
解
X0
1
pk 0.5 0.25
2
0.125
3
4
0.0625 0.0625
二、常见离散型随机变量的概率分布
P{ X k} 0.001, 当 k 11时
图示概率分布
例3 某人进行射击,设每次射击的命中率为0.02, 独立射击 400 次,试求至少击中两次的概率. 解 设击中的次数为 X ,
则 X ~ b(400,0.02).
X 的分布律为
P{ X k} 400(0.02)k (0.98)400k , k 0,1, ,400. k
第二章 随机变量及其分布
第一节 随机变量
一、随机变量的引入 二、随机变量的概念
一、随机变量的引入
1. 为什么引入随机变量?
概率论是从数量上来研究随机现象内在规律 性的，为了更方便有力地研究随机现象，就要用 数学分析的方法来研究， 因此为了便于数学上的 推导和计算，就需将任意的随机事件数量化．当 把一些非数量表示的随机事件用数字来表示时， 就建立起了随机变量的概念．
则称E 为伯努利试验。 0-1分布的分布背景
2.二项分布
(1) 重复独立试验
将试验 E 重复进行 n 次, 若各次试验的 结果互不影响 , 即每次试验结果出现的概 率都不依赖于其它各次试验的结果, 则称 这 n 次试验是相互独立的, 或称为 n 次重 复独立试验.
(2) n 重伯努利试验
设 P(A) p (0 p 1),此时P(A) 1 p.
实例3 掷一个硬币, 观察出现的面 , 共有两个 结果: e1 (反面朝上),
e2 (正面朝上), 若用 X 表示掷一个硬币出现正面的次数, 则有
e1 (反面朝上)
X (e)
0 X (e1 ) 0
e2 (正面朝上) 即 X (e) 是一个随机变量.
1 X (e2 ) 1
实例4 设盒中有5个球 (2白3黑), 从中任抽3个,则
在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事
业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的.例如地震、火 山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等, 都服 从泊松分布.
地震
火山爆发
特大洪水
商场接待的顾客数
电话呼唤次数
交通事故次数
二项分布 np ( n )泊松分布
例4 有一繁忙的汽车站, 每天有大量汽车通过, 设每辆汽车,在一天的某段时间内出事故的概率 为0.0001,在每天的该段时间内有1000 辆汽车通 过,问出事故的次数不小于2的概率是多少?
二、随机变量的概念
1.定义
设 E 是随机试验, 它的样本空间是 S {e}. 如 果对于每一个 e S , 有一个实数X (e) 与之对应, 这样就得到一个定义在S 上的单值实值函数 X (e), 称 X (e) 为随机变量.
2.说明
(1)随机变量与普通的函数不同
随机变量是一个函数 , 但它与普通的函数有 着本质的差别 ,普通函数是定义在实数轴上的,而 随机变量是定义在样本空间上的 (样本空间的元 素不一定是实数). (2)随机变量的取值具有一定的概率规律
例5 为了保证设备正常工作, 需配备适量的维修 工人 (工人配备多了就浪费 , 配备少了又要影响生 产),现有同类型设备300台,各台工作是相互独立的, 发生故障的概率都是0.01.在通常情况下一台设备 的故障可由一个人来处理(我们也只考虑这种情况 ) ,问至少需配备多少工人 ,才能保证设备发生故障 但不能及时维修的概率小于0.01?
把检查一只元件是否为一级品看成是一次试 验, 检查 20只元件相当于做 20 重伯努利试验.
解 以 X 记 20 只元件中一级品的只数, 则 X ~ b(20, 0.2), 因此所求概率为
X
1, 0,
取得不合格品, 取得合格品.
X0
1
pk
190 200
10 200
则随机变量 X 服从(0 —1)分布.
说明 1、两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有
两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是 女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点 分布.
2、设试验E 只有两个可能结果： A, A
X (e) 抽得的白球数,
是一个随机变量. 且 X(e) 的所有可能取值为: 0, 1, 2.
实例5 设某射手每次射击打中目标的概率是0.8, 现该射手射了30次, 则
X (e) 射中目标的次数, 是一个随机变量. 且 X(e) 的所有可能取值为:
0, 1, 2, 3, , 30.
实例6 设某射手每次射击打中目标的概率是0.8, 现该射手不断向目标射击 , 直到击中目标为止,则
0, 1, 2, , n.
当 X k (0 k n) 时, 即 A 在 n 次试验中发生了 k 次.
AAA AAA ,
k次
nk 次
AAA A A AAA
k1 次
nk1 次
得
A在
n 次试验中发生
k
次的方式共有
n k
种,
且两两互不相容.
因此 A在 n 次试验中发生 k 次的概率为
n pk (1 p)nk 记 q 1 p k
解 设1000 辆车通过, 出事故的次数为 X , 则 X ~ b(1000,0.0001), 所求概率为
P{X 2} 1 P{X 0} P{X 1}
1 e0.1 0.1 e0.1 0.0047.
0!
1!
利用泊松定理计算 1000 0.0001 0.1,
合理配备维修工人问题
因此 P{X 2} 1 P{X 0} P{X 1} 1 (0.98)400 400(0.02)(0.98)399 0.9972.
例4 有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每 辆汽车在一天的某段时间内,出事故的概率为 0.0001,在每天的该段时间内有1000 辆汽车通过, 问 出事故的次数不小于2的概率是多少? 解 设 1000 辆车通过, 出事故的次数为 X , 则
P{ XFra Baidu bibliotek k} 20(0.2)k (0.8)20k , k 0,1, ,20. k
P{ X 0} 0.012 P{ X 4} 0.218 P{ X 8} 0.022 P{ X 1} 0.058 P{ X 5} 0.175 P{ X 9} 0.007 P{ X 2} 0.137 P{ X 6} 0.109 P{ X 10} 0.002 P{ X 3} 0.205 P{ X 7} 0.055
n pkqnk k
得 X 的分布律为
X0
1
k
n
pk
qn
n pqn1 1
n pkqnk k
pn
称这样的分布为二项分布.记为 X ~ b(n, p).
二项分布 n 1 两点分布
二项分布的图形
例如 在相同条件下相互独立地进行 5 次射击,每 次射击时击中目标的概率为 0.6 ,则击中目标的次 数 X 服从 b (5,0.6) 的二项分布.
X ~ b(1000, 0.0001),
故所求概率为 P{X 2} 1 P{X 0} P{X 1}
1 0.99991000 1000 0.0001 0.9999999 1
二项分布 np ( n 泊) 松分布
3. 泊松分布
设随机变量所有可能取的值为0, 1, 2, ,而取各个 值的概率为
P{ X xk } pk , k 1, 2, . 称此为离散型随机变量X 的分布律.
说明
(1) pk 0, k 1,2, ;
(2) pk 1. k 1
离散型随机变量的分布律也可表示为 X ~ x1 x2 xn p1 p2 pn
X x1 x2 xn
pk
p1 p2 pn
随机变量
离散型 非离散型
连续型 其它
离散型 随机变量所取的可能值是有限多个或 无限可列个, 叫做离散型随机变量.
小结
1. 概率论是从数量上来研究随机现象内在规 律性的，因此为了方便有力的研究随机现象， 就 需将随机事件数量化，把一些非数量表示的随机 事件用数字表示时， 就建立起了随机变量的概 念． 因此随机变量是定义在样本空间上的一种特 殊的函数．
X 01
2
3
4
5
pk (0.4)5 50.6 0.44 50.62 0.43 50.63 0.42 50.64 0.4 0.65
1
2
3
4
例2 按规定,某种型号电子元件的使用寿命超过 1500 小时的为一级品.已知某一大批产品的一级 品率为0.2, 现在从中随机地抽查20只. 问20只元件 中恰有k 只(k 0,1, ,20) 一级品的概率是多少?
X (e) 所需射击次数, 是一个随机变量. 且 X(e) 的所有可能取值为:
1, 2, 3, .
实例7 某公共汽车站每隔 10 分钟有一辆汽车通 过, 如果某人到达该车站的时刻是随机的, 则
X (e) 此人的等车时间,
是一个随机变量. 且 X(e) 的所有可
能取值为: [0,10].
3.随机变量的分类
将 E 独立地重复地进行 n 次,则称这一串重 复的独立试验为 n 重伯努利试验.
实例1 抛一枚硬币观察得到正面或反面. 若将硬 币抛 n 次,就是n重伯努利试验.
实例2 抛一颗骰子n次,观察是否 “出现 6 点”, 就
(3) 是二n项重概伯率努公利式试验.
若 X 表示 n 重伯努利试验中事件 A 发生的次数, 则 X 所有可能取的值为
2. 随机变量的分类: 离散型、连续型…
第二节 离散型随机变量 及其分布律
一、离散型随机变量的分布律 二、常见离散型随机变量的概率分布
一、离散型随机变量的分布律
定义 设离散型随机变量X 所有可能取的值为 xk (k 1,2, ), X 取各个可能值的概率, 即事件 { X xk } 的概率, 为
解 设需配备 N 人. 记同一时刻发生故障的设备 台数为 X , 那么, X ~ b(300,0.01). 所需解决的问题
是确定最小的 N , 使得
P{X N } 0.99. 由泊松定理得
实例2 在一装有红球、白球的袋中任摸一个球, 观察摸出球的颜色.
S={红色、白色}
?
将 S 数量化
非数量
可采用下列方法
红色 白色
S
X (e)
1 0R
即有 X (红色)=1 , X (白色)=0. 1, e 红色,
X (e) 0, e 白色. 这样便将非数量的 S={红色，白色} 数量化了.
P{ X k} ke , k 0,1,2, ,
k!
其中 0是常数.则称 X 服从参数为 的泊松分 布,记为 X ~ π( ).
泊松分布的图形
泊松分布的背景及应用
二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察
与分析放射性物质放出的粒 子个数的情况时,他
们做了2608次观察(每次时间为7.5秒)发现放射 性物质在规定的一段时间内, 其放射的粒子数X 服从泊松分布.
2. 随机变量的引入
实例1 抛掷骰子,观察出现的点数.
则有
S={1，2，3，4，5，6} 样本点本身就是数量
X (e) e 恒等变换
X (1) 1, X (2) 2, X (3) 3, X (4) 4, X (5) 5, X (6) 6,
且有
P{ X i} 1 , (i 1,2,3,4,5,6). 6
随机变量随着试验的结果不同而取不同的值, 由于试验的各个结果的出现具有一定的概率, 因 此随机变量的取值也有一定的概率规律.
(3)随机变量与随机事件的关系
随机事件包容在随机变量这个范围更广的概 念之内.或者说 : 随机事件是从静态的观点来研究 随机现象,而随机变量则是从动态的观点来研究随 机现象.
1.两点分布
设随机变量 X 只可能取0与1两个值 , 它的分 布律为
X
0
1
pk 1 p
p
则称 X 服从 (0—1) 分布或两点分布.
实例1 “抛硬币”试验,观察正、反两面情
况.
X
X (e)
0,
1,
当e 当e
正面, 反面.
随机变量 X 服从 (0—1) 分布.
其分布律为
X
0 1
1
1
pk
2
2
实例2 200件产品中,有190件合格品,10件不合格 品,现从中随机抽取一件, 若规定
例1 设一汽车在开往目的地的道路上需经过四 组信号灯,每组信号灯以1 2的概率允许或禁止汽 车通过.以 X 表示汽车首次停下时,它已通过的信 号灯的组数(设各组信号灯的工作是相互独立的), 求 X 的分布律.
解
X0
1
pk 0.5 0.25
2
0.125
3
4
0.0625 0.0625
二、常见离散型随机变量的概率分布
P{ X k} 0.001, 当 k 11时
图示概率分布
例3 某人进行射击,设每次射击的命中率为0.02, 独立射击 400 次,试求至少击中两次的概率. 解 设击中的次数为 X ,
则 X ~ b(400,0.02).
X 的分布律为
P{ X k} 400(0.02)k (0.98)400k , k 0,1, ,400. k
第二章 随机变量及其分布
第一节 随机变量
一、随机变量的引入 二、随机变量的概念
一、随机变量的引入
1. 为什么引入随机变量?
概率论是从数量上来研究随机现象内在规律 性的，为了更方便有力地研究随机现象，就要用 数学分析的方法来研究， 因此为了便于数学上的 推导和计算，就需将任意的随机事件数量化．当 把一些非数量表示的随机事件用数字来表示时， 就建立起了随机变量的概念．
则称E 为伯努利试验。 0-1分布的分布背景
2.二项分布
(1) 重复独立试验
将试验 E 重复进行 n 次, 若各次试验的 结果互不影响 , 即每次试验结果出现的概 率都不依赖于其它各次试验的结果, 则称 这 n 次试验是相互独立的, 或称为 n 次重 复独立试验.
(2) n 重伯努利试验
设 P(A) p (0 p 1),此时P(A) 1 p.
实例3 掷一个硬币, 观察出现的面 , 共有两个 结果: e1 (反面朝上),
e2 (正面朝上), 若用 X 表示掷一个硬币出现正面的次数, 则有
e1 (反面朝上)
X (e)
0 X (e1 ) 0
e2 (正面朝上) 即 X (e) 是一个随机变量.
1 X (e2 ) 1
实例4 设盒中有5个球 (2白3黑), 从中任抽3个,则
在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事
业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的.例如地震、火 山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等, 都服 从泊松分布.
地震
火山爆发
特大洪水
商场接待的顾客数
电话呼唤次数
交通事故次数
二项分布 np ( n )泊松分布
例4 有一繁忙的汽车站, 每天有大量汽车通过, 设每辆汽车,在一天的某段时间内出事故的概率 为0.0001,在每天的该段时间内有1000 辆汽车通 过,问出事故的次数不小于2的概率是多少?
二、随机变量的概念
1.定义
设 E 是随机试验, 它的样本空间是 S {e}. 如 果对于每一个 e S , 有一个实数X (e) 与之对应, 这样就得到一个定义在S 上的单值实值函数 X (e), 称 X (e) 为随机变量.
2.说明
(1)随机变量与普通的函数不同
随机变量是一个函数 , 但它与普通的函数有 着本质的差别 ,普通函数是定义在实数轴上的,而 随机变量是定义在样本空间上的 (样本空间的元 素不一定是实数). (2)随机变量的取值具有一定的概率规律
例5 为了保证设备正常工作, 需配备适量的维修 工人 (工人配备多了就浪费 , 配备少了又要影响生 产),现有同类型设备300台,各台工作是相互独立的, 发生故障的概率都是0.01.在通常情况下一台设备 的故障可由一个人来处理(我们也只考虑这种情况 ) ,问至少需配备多少工人 ,才能保证设备发生故障 但不能及时维修的概率小于0.01?