概率论与数理统计第二章随机变量及其分布2.12.3
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概率论与数理统计(浙大版)第二章
二、伯努利（Bernoulli）试验及二项分布 1、伯努利（Bernoulli）试验 (1)n次独立重复试验
将试验E重复进行n次,若各次试验的结果互 不影响,则称这n次试验是相互独立的. (2)n重伯努利试验 满足下列条件的试验称为伯努利（Bernoulli）试验: ①每次试验都在相同的条件下重复进行；
令X=“正面出现的次数”，则X是一个随着试 验结果不同而取值不同的量，其对应关系如下：
基本结果(e) 正面出现的次数X(e)
e1=（正，正）
2
e2=（正，反）
1
e3=（反，正)
1
e4=（反，反）
0
由上可知，对每一个样本点e，都有一个X的取值X(e)
与之对应。我们把X称为定义在这个试验上的随机变量。
P ( X x k ) p k k 1 ,2 ,3 , ( 1 )
称 (1) 式为离散型随机变量X的分布律. 注:离散型随机变量X的分布律可用公式法和表格 法描述。
1)公式法: P (X x k ) p k k 1 ,2 ,3 ,
2) 表格法:
X x1 x2 L pk p1 p2 L
例1：将一枚硬币连掷两次，求“正面出现的次 数X ”的分布律。
及 时 维 修 ” ， 则 知 80台 中 发 生 故 障 不 能 及 时 维 修 的 概 率 为 ：
P A 1 A 2 A 3 A 4 P A 1 P X 2
而 Xb20,0.01,故 有 ：
1
1
PX21PXk1 C 2 k00.01k0.9920k0.0169
k0
k0
即 有 ： P A 1 A 2 A 3 A 4 0 .0 1 6 9
text(x(1),pk(1), num2str(pk(1)),'FontSize',21); text(x(3),pk(3), num2str(pk(3)),'FontSize',21);
概率论与数理统计 第二章 随机变量及其分布 第二节 离散型随机变量及其概率分布
以X记“第1人维护的20台中同一时刻发生故障的台 数”以Ai ( i 1,2,3,4)表示事件“第i人维护的20台中 ,
发生故障时不能及时维修”, 则知80台中发生故障
而不能及时维修的概率为
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
P ( A1 A2 A3 A4 ) P ( A1 )
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
3、独立重复试验与二项分布 （1）独立重复试验
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
例5 某射手在一定条件下，独立地向目标连续射 击4次，如果每次击中目标的概率为0.8，求 ①恰好中三次的概率；②至少击中三次的概率。
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
例5 某射手在一定条件下，独立地向目标连续射 击4次，如果每次击中目标的概率为0.8，求 ①恰好中三次的概率；②至少击中三次的概率。
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
练习1 某类灯泡使用时数在1000小时以上 的概率是0.2，求三个灯泡在使用1000 小时以后最多只有一个坏了的概率.
解: 设X为三个灯泡在使用10ห้องสมุดไป่ตู้0小时已坏的灯泡数 . 把观察一个灯泡的使用 时数看作一次试验, “使用到1000小时已坏” P{X 1} =P{X=0}+P{X=1} 视为事件A .每次试验, A )3+3(0.8)(0.2)2 =(0.2出现的概率为0.8
本例中，n=20，p=0.2, 所以，(n+1)p=4.2, 故k0=4。
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
练习3 设有80台同类型设备,各台工作是相互独立 的发生故障的概率都是 0.01,且一台设备的故障能 由一个人处理. 考虑两种配备维修工人的方法 , 其 一是由四人维护,每人负责20台; 其二是由3人共同 维护台80.试比较这两种方法在设备发生故障时不 能及时维修的概率的大小. 解 按第一种方法
概率论与数理统计第二章 随机变量及其分布
15
例4: 甲、乙两名棋手约定进行10盘比赛，以赢的盘数 较多者为胜. 假设每盘棋甲赢的概率都为0.6，乙赢的概 率为0.4，且各盘比赛相互独立，问甲、乙获胜的概率 各为多少？ 解 每一盘棋可看作0-1试验. 设X为10盘棋赛中甲赢的 盘数，则 X ～ b(10, 0.6) . 按约定，甲只要赢6盘或6盘 以上即可获胜. 所以
定义：若随机变量X所有可能的取值为x1，x2，…，xi，…，且 X 取这些值的概率为 P(X=xi)= pi , i=1, 2, ... (*)
则称(*)式为离散型随机变量X 的分布律。 分布律的基本性质： (1) 表格形式表示: pi 0, i=1，2，... (2)
i
pi 1
X pk
x1 p1
这里n=500值较大，直接计算比较麻烦. 利用泊松定理作近似计算: n =500, np = 500/365=1.3699>0 ，用 =1.3699 的泊松分布作近似 计算：
(1.3669) 5 1.3669 P{ X 5} e 0.01 5!
23
例2: 某人进行射击，其命中率为0.02，独立射击400次，试求击 中的次数大于等于2的概率。 解 将每次射击看成是一次贝努里试验，X表示在400次射击中 击的次数，则X~B(400, 0.02)其分布律为
k 0,1
14
(2) 二项分布 设在一次伯努利试验中有两个可能的结果，且有 P(A)=p 。则在 n 重伯努利试验中事件 A发生的次数 X是一个 离散型随机变量，其分布为
P ( X k ) C nk p k q n k
k =0, 1, 2 ,, n
称X 服从参数为n，p的二项分布，记为 X~b(n, p) 对于n次重复一个0-1试验. 随机变量X表示: n次试验中, A发生的次数. 如： 掷一枚硬币100次, 正面出现的次数X服从二项分布. b(100, 1/2) 事件 X～
随机变量及其分布
第2章 随机变量及其分布 20
例3
设随机变量 X 的概率密度函数为
2 3x , 0x1,
f x
0,
其他
求 （1） P X 0.5 （2） X 的分布函数 F x
解 （1） P( X 0.5)= 0.5 f xdx 0.5 3x2dx=0.125
-0.5
0
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第2章 随机变量及其分布 11
综上, 随机变量的分布函数为 F x P X x
0
0.5 0.8
1
x 1 1 x 2 2 x3
x3
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二、随机变量的分布函数
分布函数的性质
设 F X 是随机变量 X 的分布函数，则有
第2章 随机变量及其分布 12
1
0 F x 1; lim F x 0, lim F x 1
e3 30 =
e3 31
e3 32
17 e3 。
0!
1!
2! 2
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二、泊松分布
第2章 随机变量及其分布 31
例 6 已知一购物网站每周销售的某款手表的数量X服从参数为6的泊松分布.问周初
至少预备多少货源才能保证该周不脱销的概率不小于0.9.假定上周没有库存,
对照一下离散型随机变量的概率函数所满足的两个条件,
1 pi 0
2 pi 1
i
这两个条件同样刻划了密度函数的特征性质, 即如果有实值函数具备这两条性质, 那么它必定是某个连续型随机变量的概率密度函数.
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四、连续型随机变量及其密度函数
概率论与数理统计课件第2章
2
2.2.1 随机变量 • 注意： 注意：
（1）随机变量定义于抽象的样本空间上，不是普 ）随机变量定义于抽象的样本空间上， 通的实函数。 通的实函数。 （2）随机事件可以通过随机变量的各种取值状态 ）随机事件可以通过随机变量的各种取值状态 取值范围来表示 来表示。 和取值范围来表示。
3
2.1.2 随机变量的分布函数 • 既然随机事件可以通过随机变量的各种取值状态和取值 范围来表示， 范围来表示，研究随机现象的统计规律性就转化为研究 随机变量取值的规律性，即取值的概率。 随机变量取值的规律性，即取值的概率。但概率是集合 函数，随机变量定义于抽象空间上，都不便于处理。 函数，随机变量定义于抽象空间上，都不便于处理。 • 能不能找到一种方法，使得我们研究随机变量取值的规 能不能找到一种方法， 律性可以转化为研究普通的实函数？ 律性可以转化为研究普通的实函数？
2.1 随机变量及其分布函数 在前面的讨论中，只是孤立地考虑一些事件的概率， 在前面的讨论中，只是孤立地考虑一些事件的概率， 这种研究方法缺乏一般性， 这种研究方法缺乏一般性，而且不便于分析数学工具的引 为了这一目的，随机变量的引入具有非常重要的意义。 入，为了这一目的，随机变量的引入具有非常重要的意义。 随机变量的引入是概率论发展史上的重大事件。 随机变量的引入是概率论发展史上的重大事件。它使得研 究概率论的数学工具更丰富有力，从此， 究概率论的数学工具更丰富有力，从此，概率论的研究进 入一个崭新的天地。 . 入一个崭新的天地。
P{ X ≥ 1} = 5 / 9 ，求p =
x≤0 ， 0 < x ≤1 x >1
，概率 P{0 ≤ X ≤ 0.25} =
，
；
X |< 0.5} ；2)分布函数 分布函数F(x) 分布函数
概率论与数理统计第二章
k =0
k 1− k
n
服从参数为n和 的二项分布 的二项分布， 称 r.v X 服从参数为 和p的二项分布，记作 X~b(n,p) 显然，当 n=1 时 X ~ B(1， p) 此时有 P {X = k } = p (1 − p )
, k = 0,1
(0 <
p < 1)
即（0-1）分布是二项分布的一个特例. ）
第二章 随机变量及其分布
Random Variable and Distribution 在前面的学习中,我们用字母A 在前面的学习中,我们用字母A、B、 C...表示事件 并视之为样本空间S 表示事件， C...表示事件，并视之为样本空间S的子 针对等可能概型 主要研究了用排 可能概型， 集；针对等可能概型，主要研究了用排 列组合手段计算事件的概率 手段计算事件的概率。 列组合手段计算事件的概率。 本章，将引入随机变量表示随机事件， 本章，将引入随机变量表示随机事件， 随机变量表示随机事件 以便采用高等数学的方法描述、 高等数学的方法描述 以便采用高等数学的方法描述、研究随 机现象。 机现象。
设 P { A} = p , 则 P { A} = 1 − p
抛硬币： 出现正面” 抛硬币：“出现正面”，“出现反面” 出现反面”
例如: 例如
抽验产品： 是正品” 抽验产品：“是正品”，“是次品” 是次品”
将伯努利试验E独立地重复地进行 次 将伯努利试验E独立地重复地进行n次 ,则称这 一串重复的独立试验为n重伯努利试验 重复的独立试验为 一串重复的独立试验为 重伯努利试验 . 次试验中P(A)= p 保持不变 保持不变. “重复”是指这 n 次试验中 重复” 独立” “独立”是指各 次试验的结果互不影响 .
依题意, 可取值 可取值0, 解: 依题意 X可取值 1, 2, 3,4.以p表示每组信号 以 表示每组信号 灯禁止汽车通过的概率 设 Ai={第i个信号灯禁止汽车通过 i=1,2,3,4 个信号灯禁止汽车通过}, 第 个信号灯禁止汽车通过
k 1− k
n
服从参数为n和 的二项分布 的二项分布， 称 r.v X 服从参数为 和p的二项分布，记作 X~b(n,p) 显然，当 n=1 时 X ~ B(1， p) 此时有 P {X = k } = p (1 − p )
, k = 0,1
(0 <
p < 1)
即（0-1）分布是二项分布的一个特例. ）
第二章 随机变量及其分布
Random Variable and Distribution 在前面的学习中,我们用字母A 在前面的学习中,我们用字母A、B、 C...表示事件 并视之为样本空间S 表示事件， C...表示事件，并视之为样本空间S的子 针对等可能概型 主要研究了用排 可能概型， 集；针对等可能概型，主要研究了用排 列组合手段计算事件的概率 手段计算事件的概率。 列组合手段计算事件的概率。 本章，将引入随机变量表示随机事件， 本章，将引入随机变量表示随机事件， 随机变量表示随机事件 以便采用高等数学的方法描述、 高等数学的方法描述 以便采用高等数学的方法描述、研究随 机现象。 机现象。
设 P { A} = p , 则 P { A} = 1 − p
抛硬币： 出现正面” 抛硬币：“出现正面”，“出现反面” 出现反面”
例如: 例如
抽验产品： 是正品” 抽验产品：“是正品”，“是次品” 是次品”
将伯努利试验E独立地重复地进行 次 将伯努利试验E独立地重复地进行n次 ,则称这 一串重复的独立试验为n重伯努利试验 重复的独立试验为 一串重复的独立试验为 重伯努利试验 . 次试验中P(A)= p 保持不变 保持不变. “重复”是指这 n 次试验中 重复” 独立” “独立”是指各 次试验的结果互不影响 .
依题意, 可取值 可取值0, 解: 依题意 X可取值 1, 2, 3,4.以p表示每组信号 以 表示每组信号 灯禁止汽车通过的概率 设 Ai={第i个信号灯禁止汽车通过 i=1,2,3,4 个信号灯禁止汽车通过}, 第 个信号灯禁止汽车通过
《概率论与数理统计》第二章 随机变量及其分布
两点分布或（0-1）分布
对于一个随机试验，如果它的样本空间只包含两个
元素，即Ω={ω1,ω2}，我们总能在Ω上定义一个服从 (0-1)分布的随机变量
来描述这个随机X试验X的(结)果 。10,,当当
1, 2.
例如，对新生婴儿的性别进行登记，检查产品的质量 是否合格，某车间的电力消耗是否超过负荷以及前面多 次讨论过的“抛硬币”试验等都可以用(0-1)分布的随 机变量来描述。(0-1)分布是经常遇到的一种分布。
设随机变量X只可能取0与1两个值，它的分布律是 P{X＝k}＝pk(1-p)1-k，k＝0，1 (0<p<1)， 则称X服从(0-1)分布或两点分布。
(0-1)分布的分布律也可写成
X
0
1
pk
1-p
p
二项分布与伯努利试验
考虑n重伯努里试验中，事件A恰出现k次的概率。 以X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数，X是一个 随机变量，我们来求它的分布律。X所有可能取的值为o， 1，2，…，n．由于各次试验是相互独立的，故在n次试 验中，事件A发生k次的概率为
X
x1
x2
…
xn
…
pk
p1
p2
…
pn
…
在离散型随机变量的概率分布中，事件 “X=x1”， “X=x2”....“X=xk”,...构成一个完备事件 组。因此，上述概率分布具有以下两个性质：
(1) pk 0, k 1, 2,L
(2) pk 1
k
满足上两式的任意一组数 pk , k 1, 2,L 都可以成为 离散型随机变量的概率分布。对于集合xk , k 1, 2,L
P{ X
k}
20 k
(0.2)k
概率论与数理统计第二章
的球若干， 例2：设袋中有编号为 ，2，3，4的球若干，从中任意取出 ：设袋中有编号为1， ， ， 的球若干 一个，假设取到球的概率与球上的号码成反比，求取到球 一个，假设取到球的概率与球上的号码成反比，求取到球 的号码X的分布 的分布。 的号码 的分布。 解：X可以取值为 ，2，3，4。 可以取值为1， ， ， 。 可以取值为
P { X = 1} = 5 %
X P
0 95%
1 5%
两点分布：只有两个可能取值的随机变量所服从的分布。 两点分布：只有两个可能取值的随机变量所服从的分布。 随机变量所服从的分布 概率函数： 概率函数：P{X=xk}=pk k=1,2 0－1分布：只有 和1两个值的随机变量所服从的分布。 － 分布 只有0和 两个值的随机变量所服从的分布 分布： 两个值的随机变量所服从的分布。 概率函数： 概率函数：P{X=k}=pk(1-p) 1-k k=0,1
用随机变量表示事件 例1：某时间段内寻呼台收到的寻呼次数记作 。“收到 次 ：某时间段内寻呼台收到的寻呼次数记作X。 收到20次 寻呼” 寻呼” 可写成 {X=20}。 。 “收到的寻呼次数介于30到100之间”可写作{30<X<100}。 收到的寻呼次数介于 到 之间”可写作 } 之间 例2：从一大批产品中随机抽取一件，记该产品的寿命为 ：从一大批产品中随机抽取一件， Y(小时 则{Y>1500}表示“产品的寿命大于 小时),则 表示“ 小时” 小时 表示 产品的寿命大于1500小时”。 小时
−∞
−∞
0
2
∴ A= 3 . 8
(2)用概率密度函数定义求 用概率密度函数定义求
3 3 2 1 P(0≤ X<1) = ∫0 f ( x)dx = ∫0 ( 2 x− 4 x )dx = 2 ,
概率论与数理统计随机变量及其分布
在不增加成本的前提下, 追求利润的最大化是迫切 需要解决的问题。其实在有些情况下, 产品可靠性 数据可按二项分布加以分析, 我们只需作出小小的 调整,就能收到良好的效果。
2.2 离散型随机变量及其概率分布
二项分布的图形特点： （1）当（n+1）p不为整数时，二项概率 P{X=k}在k=[(n+1)p]时达到最大值 （2）当（n+1）p为整数时，二项概率 P{X=k}在k=(n+1)p和k=(n+1)p-1时达
“未命中目标”;它们都可用（0－1）分布来描述．（0－1）分
布是实际中经常用到的一种分布．
2.2 离散型随机变量及其概率分布
二项分布：若一个随机变量X的概率分布由式
给P出{x，则k称} X服C从nk p参k (数1为pn),np的k , 二k 项0分,1布,..。., n记. 为X~b(n,p)(或
到最大值 讲课本例3和例4 注意二项分布b(n,p)和两点分布的关系
2.2 离散型随机变量及其概率分布
在实际中，我们经常要计算n次独立重 复的贝努利试验中恰好k次成功的概 率 Cnk pk (1 p)nk ，至少有次成功的概
n
率为 Cni pi (1 p)ni 等，当n很大时，要计 i 1
算出它们的确切数值很不容易,那我们 应该怎么做呢?
P{a
xi
b}
P{ {X axi b
xi}}
axi b
pi
而且X所成的任何事件的概率都能够求出来，
P{X I} P{X xi} pi
xi I
xi I
2.2 离散型随机变量及其概率分布
3 常用离散分布
两点分布（0-1分布）：若一个随机变量X只有两个可能取值， 且其分布为
2.2 离散型随机变量及其概率分布
二项分布的图形特点： （1）当（n+1）p不为整数时，二项概率 P{X=k}在k=[(n+1)p]时达到最大值 （2）当（n+1）p为整数时，二项概率 P{X=k}在k=(n+1)p和k=(n+1)p-1时达
“未命中目标”;它们都可用（0－1）分布来描述．（0－1）分
布是实际中经常用到的一种分布．
2.2 离散型随机变量及其概率分布
二项分布：若一个随机变量X的概率分布由式
给P出{x，则k称} X服C从nk p参k (数1为pn),np的k , 二k 项0分,1布,..。., n记. 为X~b(n,p)(或
到最大值 讲课本例3和例4 注意二项分布b(n,p)和两点分布的关系
2.2 离散型随机变量及其概率分布
在实际中，我们经常要计算n次独立重 复的贝努利试验中恰好k次成功的概 率 Cnk pk (1 p)nk ，至少有次成功的概
n
率为 Cni pi (1 p)ni 等，当n很大时，要计 i 1
算出它们的确切数值很不容易,那我们 应该怎么做呢?
P{a
xi
b}
P{ {X axi b
xi}}
axi b
pi
而且X所成的任何事件的概率都能够求出来，
P{X I} P{X xi} pi
xi I
xi I
2.2 离散型随机变量及其概率分布
3 常用离散分布
两点分布（0-1分布）：若一个随机变量X只有两个可能取值， 且其分布为
概率论与数理统计第2章随机变量及其分布
1 4
)0
(
3 4
)10
C110
(
1 4
)(
3 4
)9
0.756.
(2)因为
P{X
6}
C160
(
1)6 4
(
3 4
)4
0.016
,
即单靠猜测答对 6 道题的可能性是 0.016,概率很小,所
以由实际推断原理可推测,此学生是有答题能力的.
二项分布 b(n, p) 和 (0 1) 分布 b(1, p ) 还有一层密切关
P{X 4} P(A1 A2 ) P(A1)P(A2 ) 0.48 ,
P{X 6} P(A1A2 ) P(A1)P(A2 ) 0.08 , P{X 10} P(A1A2 ) P(A1)P(A2 ) 0.32 , 即 X 的分布律为
X 0 4 6 10
P 0.12 0.48 0.08 0.32
点 e, X 都有一个数与之对应. X 是定义在样本空间 S 上的
一个实值单值函数,它的定义域是样本空间 S ,值域是实数
集合 {0,1,2},使用函数记号将 X写成
0, e TT , X＝X (e) 1, e HT 或TH ,
2, e HH.
▪
例2.2 测试灯泡的寿命.
▪
样本空间是 S {t | t 0}.每一个灯泡的实际使用寿命可
(2)若一人答对 6 道题,则推测他是猜对的还是有答 题能力.
解 设 X 表示该学生靠猜测答对的题数,则
X
~
b(10,
1) 4
.
(1) X 的分布律为
P{X
k}
C1k0
(
1)k 4
(
3 4
概率论与数理统计教程华东师大茆诗松版第二章PPT课件
7/28/2020
华东师范大学
第二章 随机变量及其分布
分布列的基本性质
(1) pi 0， (非负性)
(2) pi 1. (正则性)
i
第10页
7/28/2020
华东师范大学
第二章 随机变量及其分布
注 意 点 (1)
第11页
求离散随机变量的分布列应注意： (1) 确定随机变量的所有可能取值; (2) 计算每个取值点的概率.
华东师范大学
第二章 随机变量及其分布
第5页
注 意 点 (1)
(1) 随机变量X()是样本点的函数， 其定义域为 ，其值域为R=(，) 若 X 表示掷一颗骰子出现的点数， 则 {X=1.5} 是不可能事件.
(2) 若 X 为随机变量，则 {X = k} 、 {a < X b} 、……
均为随机事件.
0,
F
(
x)
0 .4 ,
0
.8
,
1 ,
x0 0 x1 1 x2 2 x
解：
X0 1 2 P 0.4 0.4 0.2
7/28/2020
华东师范大学
第二章 随机变量及其分布
第15页
2.1.4 连续随机变量的密度函数
➢ 连续随机变量X的可能取值充满某个区间 (a, b).
➢ 因为对连续随机变量X，有P(X=x)=0， 所以无法仿离散随机变量用 P(X=x) 来描述连续 随机变量X的分布.
例2.1.1 已知 X 的分布列如下：
第13页
X0 1 2 P 1/3 1/6 1/2
求 X 的分布函数.
解：
0,
F
(
x)
1 / 1 /
3, 2,
概率论与数理统计第二章
1 ，max= 2
4. 渐近线 以X轴为渐进线
5. 曲线的变化规律
设X~ N ( , ) ,
2
X的分布函数是
1 F ( x) 2
x
(t ) 2 22Fra bibliotekedt , x
标准正态分布
0, 1 的正态分布称为标准正态分布.
若随机变量X的概率分布为： P(X=1)=p,0<p<1 P(X=0)=1-p=q 则称X服从参数为p的两点分布.
二项分布
例4 设射手每一次击中目标的概率为p，现连续 射击n次，求恰好击中次数X 的概率分布.
若随机变量X的概率分布为
Pn (k ) P( X k)C p (1 p)
k n k
3. F(x+0)=F(x)
例1：设随机变量X的分布函数为
a be x , x 0 F ( x) x0 0 ,
求常数a, b及概率 P( X 2)
2.2
离散型随机变量的概率分布
定义1 ：设xk(k=1,2, …)是离散型随机变量X 所取的一切可能值，pk是X取 xk值的概率，称
0
1 8
1
a
2
2a
Pk
(1)求常数a ; (2) P( X 1), P(2 X 0), P( X 2)
例2 在五件产品中有两件次品，从中任取出两 件。用随机变量X表示其中的次品数，求X的分 布律和分布函数.
X
P
0
0.3
1
0.6
2
0.1
1.0 0.9
0 0.3 F ( x) 0.9 1.0
均匀分布
概率与数理统计第二章
实例1 在一装有红球、白球的袋中任摸一个 球,观察摸出球的颜色.
S={红色、白色}
非数量 可采用下列方法
?
将 S 数量化
X ( )
红色 白色
S
0
1
R
即有
X (红色)=1 , X (白色)=0.
1, X ( ) 0,
红色, 白色.
这样便将非数量的 S={红色，白色} 数量化了.
当 x R 时，有 F ( x) P{X x} 1 ,此分布函数为一连续函数 .因此,存在着与 x R 时， 当 0注意 事件 { X x} 表示击中点位于以靶心
离散型随机变量不同的另一种随机变量 . O 为圆心半径为 x 的圆内，由题意，有
x2 x2 F ( x) 2 2 R R
解 由分布函数的性质，有
0 F () a
2
b
1 F () a
2
b
解得
1 a ,b 2
1
柯西分布
一般的，若随机变量 X 的分布函数为
1 F ( x) arctan x 2
则称 X 服从柯西分布，F(x)成为柯西分布函数. 由于柯西分布函数是连续函数，因此若 X 服从柯西 分布，则
如果随机变量的所有可能取值是有限的或者是可 列无穷的（可以表示成一个数列），则称它为离散 型随机变量．如果随机变量的可能取值可以充满整 个区间，则称它为连续型随机变量．
例2.1.1 从一批产品中随机抽取10个进行检验， 其中含有的废品数是一个随机变量，它的所有可能 取值是0,1,…,10，因此它是一个离散型随机变量. 例2.1.2 某商店在某天的顾客数是一个随机变量， 它的所有可能取值是0,1,…，因此它是一个离散型 随机变量.
概率论与数理统计-第二章-随机变量及其分布函数ppt课件
表格: X
x1 x2
pk
p1 p2
概率分布图：
1P
xn
pn
0.5
x4 x3
x1
x2
X
.
由概率的性质易知离散型随机变量的分布列
pk
满足下列特征性质:
k 1
① pk 0(k 1,2,) [非负性]
②
pk 1 [规范性]用于确定待定参数
k 1
③ F( x) P( X x) P(X xi ). xi x
1. 2
.
【例2】设随机变量X的分布函数为
aex b, x 0
F(x)
0,
x0
解： 因为 F(x) 在 x=0 点右连续
求: 常数 a 和 b。
所以 lim F ( x) lim (ae x b) a b 0
x0
x0
又因为 F () lim (ae x b) b 1 x
1、两点分布 或（0 - 1）分布
two-point distribution
定义1 设离散型随机变量X的分布列为
X0 1 pk 1 p p
其中 0<p<1
则称 X 服从（0 - 1）分布，记作 X ～（0 - 1）分布
F(x)
（0 - 1）分布的分布函数
0 , x0 F ( x) 1 p, 0 x 1
X = “三次试验中 A 发生的次数”，
{ X 2} A1A2 A3 A1A2 A3 A1A2 A3 P{X 2} P(A1A2 A3 A1A2 A3 A1A2 A3 )
P(A1A2 A3 ) P(A1A2 A3 ) P(A1A2A3 ) P(A1)P(A2)P(A3) P(A1)P(A2)P(A3) P(A1)P(A2 )P(A3 ) C32 p2(1 p)32
概率论与数理统计第二章--随机变量及其分布
第十四页，编辑于星期二：四点 四十二分。
由于 X的取值点 3,4,5,6将R分成五个区间，
因此我们分段讨论可得，
?0,
x ? 3,
F( x )
F (x) ? ????00..02,5,
3 ? x ? 4, 4 ? x ? 5,
1
0.5
?0.5, 5 ? x ? 6,
0.2
?
0.05
??1,
x ? 6.
且每台设备在一天内发生故障的概率都是
0.01. 为保证设备正常工作，需要配备适量 的维修人员.假设一台设备的故障可由一人 来处理，且每人每天也仅能处理一台设备. 试分别在以下两种情况下求该公司设备发生 故障而当天无人修理的概率。 （1）三名修理工每人负责包修 60台 （2）三名修理工共同负责 180台
则称 X服从参数为 p的两点 (或0-1)分布.
第十九页，编辑于星期二：四点 四十二分。
?二项分布
例4. 设射手每一次击中目标的概率为 p，现连 续射击n次，求击中次数 X 的概率分布 .
若随机变量X的概率分布为
Pn (k)
?
P
(
X
?
k)?C
k
n
p
k
(1
?
p)n?k ,
k ? 0,1,? , n
其中 0< p<1,称X服从参数为n和 p的二项分布，
第二十一页，编辑于星期二：四点 四十二分。
?泊松分布
若随机变量 X的概率分布为
P( X ? k) ?e? ? ? k , k?0,1,2,? ? ,
k!
其中λ>0为常数，则称X服从参数为λ的泊松
分布，简记为 X ~ P (? )
概率论与数理统计教程华东师大茆诗松版第二章 ppt课件
第2页
概率论与数理统计教程华东师 大茆诗松版第二章
(1) 掷一颗骰子， 出现的点数 X 1，2，……，6.
(2) n个产品中的不合格品个数 Y 0，1，2，……，n
(3) 某商场一天内来的顾客数 Z 0，1，2，……
(4) 某种型号电视机的寿命 T : [0, +)
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第二章 随机变量及其分布
若 X 表示掷一颗骰子出现的点数， 则 {X=1.5} 是不可能事件.
(2) 若 X 为随机变量，则 {X = k} 、 {a < X b} 、……
均为随机事件.
即 {a < X b} ={；a < X() b }
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第二章 随机变量及其分布
第5页
概率论与数理统
计教程华东师大
茆诗松版第二章
(3) 注意以下一些表达式：
{X = k}= {X k}{X < k}； {a < X b} = {X b}{X a}； { X > b} = {X b}.
(4) 同一样本空间可以定义不同的随机变量.
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第二章 随机变量及其分布
第6页
概率论与数理统计教
第8页
概率论与数理统计教程华东师大茆 诗松版第二章
➢ 设离散随机变量 X 的可能取值为： x1，x2，……，xn，……
称 pi=P(X=xi)， i =1, 2, …… 为 X 的分布列.
➢ 分布列也可用表格形式表示：
X x1 P p1
x2 …… xn …… p2 …… pn ……
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吴赣昌编_概率论与数理统计_第2章
所求概率为
P{X 2} P{X 2} P{X 3} P{ X 400}
1 P{X 0} P{X 1}
1 0.98400 400 0.02 0.98399 0.997
例2.10告诉我们两个事实：
1°虽然每次射击的命中率很小(0.02)，但射击次 数足够大(为400次)，则击中目标至少两次是几乎可以 肯定的(概率为0.997)。
分布为：P{X=x1}=p, P{X=x2}=1-p ，(0<p<1) 则称X服从x1, x2处参数为p的两点分布。 特别地，若X服从x1=1, x2=0处参数为p的两点分布，即 X 1 0 1-p 则称X服从参数为p的0-1分布,即随机变量只可能取0， 1两个值，且 P p
P(X=1)=p， P(X=0)=1-p， (0<p<1)。
例2.7设有一大批产品，其次品率为0.002。今从这批产 品中随机地抽查100件，试求所得次品件数的概率分布 律。 解 设{X=k}表示事件“100件产品中有k件次品”，则 X可能取值为0，1，2，…，100。
本题可视作100重贝努里试验中恰有k次发生(k件次品)， X~B(100,0.002)。 因此，所求分布律为
第二章
随机变量及其分布
随机变量 离散型随机变量 随机变量的分布函数 连续型随机变量 随机变量的函数的分布
在第一章中，我们用样本空间的子集，即样本点的集合来 表示随机试验的各种结果，这种表示方式对全面讨论随机试验 的统计规律性及数学工具的运用都有较大的局限。在本章中， 我们将用实数来表示随机试验的各种结果(数量化)，即引入随 机变量的概念。这样，不仅可以更全面揭示随机试验的客观存 在的统计规律性，而且可使我们用（数学分析）微积分的方法 来讨论随机试验。 在随机试验中，如果把试验中观察的对象与实数对应起来， 即建立对应关系X，使其对试验的每个结果 ，都有一个实数 X( )与之对应， 对应关系X 试验的结果 实数X( ) 则X的取值随着试验的重复而不同， X是一个变量，且在 每次试验中，究竟取什么值事先无法预知，也就是说X是一个 随机取值的变量。由此，我们很自然地称X为随机变量。
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分析 这是不放回抽样.但由于这批元件的总数很 大, 且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又 很小,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理.
把检查一只元件是否为一级品看成是一次试 验, 检查 20只元件相当于做 20 重伯努利试验.
解 以 X 记 20 只元件中一级品的只数, 则 X ~ b(20, 0.2), 因此所求概率为
2. 随机变量的引入
实例1 抛掷骰子,观察出现的点数.
则有
S={1，2，3，4，5，6} 样本点本身就是数量
X (e) e 恒等变换
X (1) 1, X (2) 2, X (3) 3, X (4) 4, X (5) 5, X (6) 6,
且有
P{ X i} 1 , (i 1,2,3,4,5,6). 6
例1 设一汽车在开往目的地的道路上需经过四 组信号灯,每组信号灯以1 2的概率允许或禁止汽 车通过.以 X 表示汽车首次停下时,它已通过的信 号灯的组数(设各组信号灯的工作是相互独立的), 求 X 的分布律.
解
X0
1
pk 0.5 0.25
2
0.125
3
4
0.0625 0.0625
二、常见离散型随机变量的概率分布X 01来自234
5
pk (0.4)5 50.6 0.44 50.62 0.43 50.63 0.42 50.64 0.4 0.65
1
2
3
4
例2 按规定,某种型号电子元件的使用寿命超过 1500 小时的为一级品.已知某一大批产品的一级 品率为0.2, 现在从中随机地抽查20只. 问20只元件 中恰有k 只(k 0,1, ,20) 一级品的概率是多少?
X (e) 抽得的白球数,
是一个随机变量. 且 X(e) 的所有可能取值为: 0, 1, 2.
实例5 设某射手每次射击打中目标的概率是0.8, 现该射手射了30次, 则
X (e) 射中目标的次数, 是一个随机变量. 且 X(e) 的所有可能取值为:
0, 1, 2, 3, , 30.
实例6 设某射手每次射击打中目标的概率是0.8, 现该射手不断向目标射击 , 直到击中目标为止,则
二、随机变量的概念
1.定义
设 E 是随机试验, 它的样本空间是 S {e}. 如 果对于每一个 e S , 有一个实数X (e) 与之对应, 这样就得到一个定义在S 上的单值实值函数 X (e), 称 X (e) 为随机变量.
2.说明
(1)随机变量与普通的函数不同
随机变量是一个函数 , 但它与普通的函数有 着本质的差别 ,普通函数是定义在实数轴上的,而 随机变量是定义在样本空间上的 (样本空间的元 素不一定是实数). (2)随机变量的取值具有一定的概率规律
X (e) 所需射击次数, 是一个随机变量. 且 X(e) 的所有可能取值为:
1, 2, 3, .
实例7 某公共汽车站每隔 10 分钟有一辆汽车通 过, 如果某人到达该车站的时刻是随机的, 则
X (e) 此人的等车时间,
是一个随机变量. 且 X(e) 的所有可
能取值为: [0,10].
3.随机变量的分类
将 E 独立地重复地进行 n 次,则称这一串重 复的独立试验为 n 重伯努利试验.
实例1 抛一枚硬币观察得到正面或反面. 若将硬 币抛 n 次,就是n重伯努利试验.
实例2 抛一颗骰子n次,观察是否 “出现 6 点”, 就
(3) 是二n项重概伯率努公利式试验.
若 X 表示 n 重伯努利试验中事件 A 发生的次数, 则 X 所有可能取的值为
0, 1, 2, , n.
当 X k (0 k n) 时, 即 A 在 n 次试验中发生了 k 次.
AAA AAA ,
k次
nk 次
AAA A A AAA
k1 次
nk1 次
得
A在
n 次试验中发生
k
次的方式共有
n k
种,
且两两互不相容.
因此 A在 n 次试验中发生 k 次的概率为
n pk (1 p)nk 记 q 1 p k
P{ X k} 0.001, 当 k 11时
图示概率分布
例3 某人进行射击,设每次射击的命中率为0.02, 独立射击 400 次,试求至少击中两次的概率. 解 设击中的次数为 X ,
则 X ~ b(400,0.02).
X 的分布律为
P{ X k} 400(0.02)k (0.98)400k , k 0,1, ,400. k
X ~ b(1000, 0.0001),
故所求概率为 P{X 2} 1 P{X 0} P{X 1}
1 0.99991000 1000 0.0001 0.9999999 1
二项分布 np ( n 泊) 松分布
3. 泊松分布
设随机变量所有可能取的值为0, 1, 2, ,而取各个 值的概率为
例5 为了保证设备正常工作, 需配备适量的维修 工人 (工人配备多了就浪费 , 配备少了又要影响生 产),现有同类型设备300台,各台工作是相互独立的, 发生故障的概率都是0.01.在通常情况下一台设备 的故障可由一个人来处理(我们也只考虑这种情况 ) ,问至少需配备多少工人 ,才能保证设备发生故障 但不能及时维修的概率小于0.01?
实例2 在一装有红球、白球的袋中任摸一个球, 观察摸出球的颜色.
S={红色、白色}
?
将 S 数量化
非数量
可采用下列方法
红色 白色
S
X (e)
1 0R
即有 X (红色)=1 , X (白色)=0. 1, e 红色,
X (e) 0, e 白色. 这样便将非数量的 S={红色，白色} 数量化了.
P{ X k} ke , k 0,1,2, ,
k!
其中 0是常数.则称 X 服从参数为 的泊松分 布,记为 X ~ π( ).
泊松分布的图形
泊松分布的背景及应用
二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察
与分析放射性物质放出的粒 子个数的情况时,他
们做了2608次观察(每次时间为7.5秒)发现放射 性物质在规定的一段时间内, 其放射的粒子数X 服从泊松分布.
X
1, 0,
取得不合格品, 取得合格品.
X0
1
pk
190 200
10 200
则随机变量 X 服从(0 —1)分布.
说明 1、两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有
两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是 女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点 分布.
2、设试验E 只有两个可能结果： A, A
在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事
业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的.例如地震、火 山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等, 都服 从泊松分布.
地震
火山爆发
特大洪水
商场接待的顾客数
电话呼唤次数
交通事故次数
二项分布 np ( n )泊松分布
例4 有一繁忙的汽车站, 每天有大量汽车通过, 设每辆汽车,在一天的某段时间内出事故的概率 为0.0001,在每天的该段时间内有1000 辆汽车通 过,问出事故的次数不小于2的概率是多少?
则称E 为伯努利试验。 0-1分布的分布背景
2.二项分布
(1) 重复独立试验
将试验 E 重复进行 n 次, 若各次试验的 结果互不影响 , 即每次试验结果出现的概 率都不依赖于其它各次试验的结果, 则称 这 n 次试验是相互独立的, 或称为 n 次重 复独立试验.
(2) n 重伯努利试验
设 P(A) p (0 p 1),此时P(A) 1 p.
P{ X k} 20(0.2)k (0.8)20k , k 0,1, ,20. k
P{ X 0} 0.012 P{ X 4} 0.218 P{ X 8} 0.022 P{ X 1} 0.058 P{ X 5} 0.175 P{ X 9} 0.007 P{ X 2} 0.137 P{ X 6} 0.109 P{ X 10} 0.002 P{ X 3} 0.205 P{ X 7} 0.055
第二章 随机变量及其分布
第一节 随机变量
一、随机变量的引入 二、随机变量的概念
一、随机变量的引入
1. 为什么引入随机变量?
概率论是从数量上来研究随机现象内在规律 性的，为了更方便有力地研究随机现象，就要用 数学分析的方法来研究， 因此为了便于数学上的 推导和计算，就需将任意的随机事件数量化．当 把一些非数量表示的随机事件用数字来表示时， 就建立起了随机变量的概念．
解 设需配备 N 人. 记同一时刻发生故障的设备 台数为 X , 那么, X ~ b(300,0.01). 所需解决的问题
是确定最小的 N , 使得
P{X N } 0.99. 由泊松定理得
随机变量
离散型 非离散型
连续型 其它
离散型 随机变量所取的可能值是有限多个或 无限可列个, 叫做离散型随机变量.
小结
1. 概率论是从数量上来研究随机现象内在规 律性的，因此为了方便有力的研究随机现象， 就 需将随机事件数量化，把一些非数量表示的随机 事件用数字表示时， 就建立起了随机变量的概 念． 因此随机变量是定义在样本空间上的一种特 殊的函数．
n pkqnk k
得 X 的分布律为
X0
1
k
n
pk
qn
n pqn1 1
n pkqnk k
pn
称这样的分布为二项分布.记为 X ~ b(n, p).
二项分布 n 1 两点分布
二项分布的图形
例如 在相同条件下相互独立地进行 5 次射击,每 次射击时击中目标的概率为 0.6 ,则击中目标的次 数 X 服从 b (5,0.6) 的二项分布.
P{ X xk } pk , k 1, 2, . 称此为离散型随机变量X 的分布律.
把检查一只元件是否为一级品看成是一次试 验, 检查 20只元件相当于做 20 重伯努利试验.
解 以 X 记 20 只元件中一级品的只数, 则 X ~ b(20, 0.2), 因此所求概率为
2. 随机变量的引入
实例1 抛掷骰子,观察出现的点数.
则有
S={1，2，3，4，5，6} 样本点本身就是数量
X (e) e 恒等变换
X (1) 1, X (2) 2, X (3) 3, X (4) 4, X (5) 5, X (6) 6,
且有
P{ X i} 1 , (i 1,2,3,4,5,6). 6
例1 设一汽车在开往目的地的道路上需经过四 组信号灯,每组信号灯以1 2的概率允许或禁止汽 车通过.以 X 表示汽车首次停下时,它已通过的信 号灯的组数(设各组信号灯的工作是相互独立的), 求 X 的分布律.
解
X0
1
pk 0.5 0.25
2
0.125
3
4
0.0625 0.0625
二、常见离散型随机变量的概率分布X 01来自234
5
pk (0.4)5 50.6 0.44 50.62 0.43 50.63 0.42 50.64 0.4 0.65
1
2
3
4
例2 按规定,某种型号电子元件的使用寿命超过 1500 小时的为一级品.已知某一大批产品的一级 品率为0.2, 现在从中随机地抽查20只. 问20只元件 中恰有k 只(k 0,1, ,20) 一级品的概率是多少?
X (e) 抽得的白球数,
是一个随机变量. 且 X(e) 的所有可能取值为: 0, 1, 2.
实例5 设某射手每次射击打中目标的概率是0.8, 现该射手射了30次, 则
X (e) 射中目标的次数, 是一个随机变量. 且 X(e) 的所有可能取值为:
0, 1, 2, 3, , 30.
实例6 设某射手每次射击打中目标的概率是0.8, 现该射手不断向目标射击 , 直到击中目标为止,则
二、随机变量的概念
1.定义
设 E 是随机试验, 它的样本空间是 S {e}. 如 果对于每一个 e S , 有一个实数X (e) 与之对应, 这样就得到一个定义在S 上的单值实值函数 X (e), 称 X (e) 为随机变量.
2.说明
(1)随机变量与普通的函数不同
随机变量是一个函数 , 但它与普通的函数有 着本质的差别 ,普通函数是定义在实数轴上的,而 随机变量是定义在样本空间上的 (样本空间的元 素不一定是实数). (2)随机变量的取值具有一定的概率规律
X (e) 所需射击次数, 是一个随机变量. 且 X(e) 的所有可能取值为:
1, 2, 3, .
实例7 某公共汽车站每隔 10 分钟有一辆汽车通 过, 如果某人到达该车站的时刻是随机的, 则
X (e) 此人的等车时间,
是一个随机变量. 且 X(e) 的所有可
能取值为: [0,10].
3.随机变量的分类
将 E 独立地重复地进行 n 次,则称这一串重 复的独立试验为 n 重伯努利试验.
实例1 抛一枚硬币观察得到正面或反面. 若将硬 币抛 n 次,就是n重伯努利试验.
实例2 抛一颗骰子n次,观察是否 “出现 6 点”, 就
(3) 是二n项重概伯率努公利式试验.
若 X 表示 n 重伯努利试验中事件 A 发生的次数, 则 X 所有可能取的值为
0, 1, 2, , n.
当 X k (0 k n) 时, 即 A 在 n 次试验中发生了 k 次.
AAA AAA ,
k次
nk 次
AAA A A AAA
k1 次
nk1 次
得
A在
n 次试验中发生
k
次的方式共有
n k
种,
且两两互不相容.
因此 A在 n 次试验中发生 k 次的概率为
n pk (1 p)nk 记 q 1 p k
P{ X k} 0.001, 当 k 11时
图示概率分布
例3 某人进行射击,设每次射击的命中率为0.02, 独立射击 400 次,试求至少击中两次的概率. 解 设击中的次数为 X ,
则 X ~ b(400,0.02).
X 的分布律为
P{ X k} 400(0.02)k (0.98)400k , k 0,1, ,400. k
X ~ b(1000, 0.0001),
故所求概率为 P{X 2} 1 P{X 0} P{X 1}
1 0.99991000 1000 0.0001 0.9999999 1
二项分布 np ( n 泊) 松分布
3. 泊松分布
设随机变量所有可能取的值为0, 1, 2, ,而取各个 值的概率为
例5 为了保证设备正常工作, 需配备适量的维修 工人 (工人配备多了就浪费 , 配备少了又要影响生 产),现有同类型设备300台,各台工作是相互独立的, 发生故障的概率都是0.01.在通常情况下一台设备 的故障可由一个人来处理(我们也只考虑这种情况 ) ,问至少需配备多少工人 ,才能保证设备发生故障 但不能及时维修的概率小于0.01?
实例2 在一装有红球、白球的袋中任摸一个球, 观察摸出球的颜色.
S={红色、白色}
?
将 S 数量化
非数量
可采用下列方法
红色 白色
S
X (e)
1 0R
即有 X (红色)=1 , X (白色)=0. 1, e 红色,
X (e) 0, e 白色. 这样便将非数量的 S={红色，白色} 数量化了.
P{ X k} ke , k 0,1,2, ,
k!
其中 0是常数.则称 X 服从参数为 的泊松分 布,记为 X ~ π( ).
泊松分布的图形
泊松分布的背景及应用
二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察
与分析放射性物质放出的粒 子个数的情况时,他
们做了2608次观察(每次时间为7.5秒)发现放射 性物质在规定的一段时间内, 其放射的粒子数X 服从泊松分布.
X
1, 0,
取得不合格品, 取得合格品.
X0
1
pk
190 200
10 200
则随机变量 X 服从(0 —1)分布.
说明 1、两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有
两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是 女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点 分布.
2、设试验E 只有两个可能结果： A, A
在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事
业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的.例如地震、火 山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等, 都服 从泊松分布.
地震
火山爆发
特大洪水
商场接待的顾客数
电话呼唤次数
交通事故次数
二项分布 np ( n )泊松分布
例4 有一繁忙的汽车站, 每天有大量汽车通过, 设每辆汽车,在一天的某段时间内出事故的概率 为0.0001,在每天的该段时间内有1000 辆汽车通 过,问出事故的次数不小于2的概率是多少?
则称E 为伯努利试验。 0-1分布的分布背景
2.二项分布
(1) 重复独立试验
将试验 E 重复进行 n 次, 若各次试验的 结果互不影响 , 即每次试验结果出现的概 率都不依赖于其它各次试验的结果, 则称 这 n 次试验是相互独立的, 或称为 n 次重 复独立试验.
(2) n 重伯努利试验
设 P(A) p (0 p 1),此时P(A) 1 p.
P{ X k} 20(0.2)k (0.8)20k , k 0,1, ,20. k
P{ X 0} 0.012 P{ X 4} 0.218 P{ X 8} 0.022 P{ X 1} 0.058 P{ X 5} 0.175 P{ X 9} 0.007 P{ X 2} 0.137 P{ X 6} 0.109 P{ X 10} 0.002 P{ X 3} 0.205 P{ X 7} 0.055
第二章 随机变量及其分布
第一节 随机变量
一、随机变量的引入 二、随机变量的概念
一、随机变量的引入
1. 为什么引入随机变量?
概率论是从数量上来研究随机现象内在规律 性的，为了更方便有力地研究随机现象，就要用 数学分析的方法来研究， 因此为了便于数学上的 推导和计算，就需将任意的随机事件数量化．当 把一些非数量表示的随机事件用数字来表示时， 就建立起了随机变量的概念．
解 设需配备 N 人. 记同一时刻发生故障的设备 台数为 X , 那么, X ~ b(300,0.01). 所需解决的问题
是确定最小的 N , 使得
P{X N } 0.99. 由泊松定理得
随机变量
离散型 非离散型
连续型 其它
离散型 随机变量所取的可能值是有限多个或 无限可列个, 叫做离散型随机变量.
小结
1. 概率论是从数量上来研究随机现象内在规 律性的，因此为了方便有力的研究随机现象， 就 需将随机事件数量化，把一些非数量表示的随机 事件用数字表示时， 就建立起了随机变量的概 念． 因此随机变量是定义在样本空间上的一种特 殊的函数．
n pkqnk k
得 X 的分布律为
X0
1
k
n
pk
qn
n pqn1 1
n pkqnk k
pn
称这样的分布为二项分布.记为 X ~ b(n, p).
二项分布 n 1 两点分布
二项分布的图形
例如 在相同条件下相互独立地进行 5 次射击,每 次射击时击中目标的概率为 0.6 ,则击中目标的次 数 X 服从 b (5,0.6) 的二项分布.
P{ X xk } pk , k 1, 2, . 称此为离散型随机变量X 的分布律.