矩阵可交换成立的条件与性质

毕业设计（论文）题目矩阵可交换成立的条件与性质学院理学院专业数学与应用数学年级2008级班级0814姓名吴锦娜学号********** 指导教师李伟职称副教授矩阵可交换成立的条件与性质[摘要] 矩阵是高等数学中一个重要内容，在数学领域以及其他科学领域有着重大的理论意义．众所周知，矩阵的乘法在一般情况下是不满足交换律的，即在通常情况下，AB ．但是，在某些特殊情况下，矩阵的乘法也能满足交换律．可交换矩阵有着很BA多特殊的性质和重要的作用．本文从可交换矩阵和相关知识的定义出发，探讨了矩阵可交换的一些条件和可交换矩阵的部分性质及应用，并且介绍了几类特殊的可交换矩阵．[关键词]矩阵可交换条件性质应用The Conditions for The Commutation of Matrix and Its Some Properties[Abstract] Matrix, a important content in altitude－mathematics, has a great theoretic significance in the aspect of both mathematics and other science field. As far as we have concerned, the multiplication of matrix could not satisfy the exchange rule under the normal condition, that is to say, normally,AB≠BA. Whereas, in some certain conditions, the multiplication of matrix could satisfy the exchange rule. The exchangeable matrix has many special properties and important effection. This paper discusses some conditions of the matrix exchange and part of the property of the exchangeable matrix , and also introduces several kinds of specific exchangeable matrix. All of these are discussed from the concept of exchangeable matrix and relative information.[Keywords]Matrix Interchangeable Conditions Property Application引言 (1)1.矩阵可交换成立的条件 (1)1.1矩阵可交换成立的充分条件 (1)1.2矩阵可交换成立的充要条件 (4)2.可交换矩阵的性质 (6)3.几类常用的可交换矩阵 (9)4.可交换矩阵的应用 (11)结论 (15)致谢语 (16)参考文献 (17)矩阵是高等代数以及线性代数的重要内容．由矩阵的理论可知，矩阵的乘法不适合交换律.矩阵的乘法不满足交换律，其原因有以下几点：（1）AB有意义时，BA不一定有意义；（2）AB与BA均有意义时，阶数可能不相等；（3）AB与BA均有意义，且阶数相等时，BAAB≠仍可能出现[1]．但是，在某些特殊情况下，矩阵的乘法是满足交换律的. 如果两个矩阵A与B满足AB=，则称矩阵A与B是可交换的，这样的矩阵称为可交换矩阵．可交换矩阵有BA许多良好的性质．本课题从可交换矩阵和各类矩阵的定义出发，在指导教师的指导下，分析、筛选已有的信息资料，在此基础上，重点分析书本已有结论成立的条件及证明技巧，对可交换矩阵成立的条件做了进一步深入的探讨，意图得到一些新的性质和特殊的应用．本课题对矩阵可交换成立的条件与性质这个问题的研究，目的在于给出矩阵可交换成立的条件，得出一些可交换矩阵的良好性质，进一步促进和完善矩阵理论，这对矩阵理论的研究具有重要的意义（文中的矩阵如无特别说明，均指n阶实方阵）．1 矩阵可交换成立的条件1.1 矩阵可交换成立的充分条件A，可交换.定理1.1.1 设EAB=，则BA，均可逆，且互为逆矩阵,故证明当EAB=时，BBA=,E因此BAAB=.A，可交换．即B定理1.1.2[2]（1）设B A AB βα+=，其中α，β为非零实数，则B A ，可交换； （2）设+m A E AB =α，其中m 为正整数，α为非零实数，则B A ，可交换.证明 （1）由B A AB βα+=可得()()E B E A αβ--E αβ=,即αβ1()()E E B E A =--αβ. 故由定理1.1.1，得αβ1()()E E A E B =--βα， 于是E E B A BA αβαββα=+--,所以AB B A BA =++=βα.得证，B A ，可交换． （2）由+m A E αAB =得，()E B A A =+-α1m ,故由定理1.1.1得()E A B A=+-α1m ,所以+m A E BA =α，因此可得BA AB =，即B A ，可交换．定理1.1.3[3] （1）设A 可逆，若O AB =，或AB A =或BA A =，则B A ，可交换；（2）设B A ，均可逆，若对任意实数k ，均有E)B (A A k -=，则B A ，可交换．证明 （1）若O AB =，由A 可逆得()()O AB A B A A B ===--11从而O BA =，所以BA AB =.若AB A =，同理可得()()E AB A B A A B ===--11，所以BA AB =.若BA A =，同理可得()E A BA A A B B ===--11)(，所以BA AB =.（2）证法一：因为B A ，均可逆，故由()B kE A A -=得()A kE A B -=-1，则()[]()[]TTTTA kE AB kE A B A 1---=()()[]1---=T TTTkE A A kE A B()()1---=kEA kA A AB T T T T T()()1---=kE A kE A A B T T T T T T A B =T AB )(=.两边取转置可得BA AB =，即B A ，可交换．证法二：由B A ，均可逆，可得()[]()[]11111-------=A kE A B kE A B A()E)(A A kE A B k 111--=---()E)(A kA A B k 121--=--()[]E)(A A kE A B k 11--=--11--=A B . 两边取逆可得BA AB =，即B A ，可交换．1.2 矩阵可交换成立的充要条件定理1.2.1[4] 以下均是B A ，可交换的充要条件： （1）()T T TB A AB =；（2）()***B A AB =.证明 （1）分别由BA AB =，()T T TB A AB =两边取转置可证得；（2）分别由BA AB =，()***B A AB =两边取伴随可证得．定理1.2.2 可逆矩阵B A ，可交换的充要条件是()111---=B A AB .证明 因为BA AB =， 故有()()111111------===B A BA AB A B即，1-A 和1-B 是可交换的．反之，因1-A 和1-B 可交换，故有()()111111------===AB A B B A BA两边求逆得到BA AB =.定理 1.2.3[5] 设B A ，均为对称矩阵，则B A ，可交换的充要条件是AB 为对称矩阵．证明 设B A ，均为对称矩阵，由于BA AB =，则()AB BA A B AB T T T===所以AB 是对称的． 反之，注意到()AB AB T=，所以()BA A B AB AB T T T===因此，B A ，可交换．定理1.2.4 A 设为对称矩阵，B 为反对称矩阵，则B A ，可交换的充要条件是AB 为反对称矩阵.证明 设A A T =，B B T -=由于BA AB =， 所以())(AB BA A B AB T T T-=-==.所以AB 为反对称矩阵.反之，若AB 为反对称矩阵，则())(BA A B AB AB T T T-===-，从而BA AB =.定理 1.2.5 设B A ，均为反对称矩阵，则B A ，可交换的充要条件是AB 为对称矩阵．证明 因为AB 均为反对称矩阵，故有A A T -=，B B T -= 又因为B A ，可交换，故有BA AB =.从而()()()BA AB B A A B AB T T T ==--==，反之，若AB 为对称矩阵，则()()()AB BA A B A B AB AB T T T==--===，所以B A ，是可交换的.定理1.2.6[6] 设B A ，均为对称正定矩阵，则B A ，可交换的充要条件均为AB 对称正定矩阵．证明 充分性由定理1.2.3可得，下面证明必要性： 因为B A ，均为对称正定矩阵，故有可逆矩阵P ，Q ，使得T PP A =，T BB B =于是T T QQ PP AB =()()TT T Q P Q P ABP P =-1所以ABP P 1-为对称正定矩阵，其特征值全为正数而AB 与ABP P 1-相似，从而AB 的特征值也全为正数， 因此AB 为对称正定矩阵.2 可交换矩阵的性质高等代数中可交换矩阵具有一些特殊的性质．性质2.1 若B A ，可交换，则()()()()B A B A B A B A B A 22+-=-+=-.证明 因为()()22B BA AB A B A B A --+=+-()()22B BA AB A B A B A -+-=-+由已知BA AB =，可得()()()()B A B A B A B A B A 22+-=-+=-.性质2.2 若B A ，可交换，则()222B AB A B A 2+±=±． 证明 由矩阵运算法则可得()()()B A B A B A 2++=+22B BA AB A +++=由已知BA AB =，可得()2B A +222B AB A ++=同理可得()2B A -222B AB A +-=.性质2.3 若B A ，可交换，则()k k kB A AB =，A B AB m m =. 证明 由已知BA AB =，可得()k k k B A AB AABB AB ABAB AB === ，同理可得A B A BBB B BAB B ABB AB m m ==== .性质2.4 若B A ，可交换，则()()A B B A f f =，其中()B f 是B 的多项式，即A 与B 的多项式可交换．证明 因为A 与B 的任意多项式()A f 与()B f 相乘展开的每一项都是k A 与m B 的形式，其中，m k ，皆为正整数.故要证这个命题，只要证k A 与m B 可交换即可.由性质2.3，可得,若B A ，可交换，k A 与m B 可交换.从而，可证得A 与B 的多项式可交换．性质2.5 若B A ，可交换，则())(121---+++-=-m m m m m B B A A B A B A()B A B B A A -+++=---)(121m m m .证明 运用数学归纳法．（1）当2=m 时，由性质2.2，等式成立，()()B A B A B A 22+-=-，（2）假设1-=k m ，等式成立，即有())(23211-----+++-=-k k k k k B B A A B A B A（3）当k m =时，由已知BA AB =，有()()A B B A B A B A B A 1111----+-+-=-k k k k k k ()()A B B A B A B B A A B A 11232)(-----+-++++-=k k k k kk k k k k k B A B A B B A B A A ----+++=---- 3322221B A 1--k A B 1-+k由性质2.3，有11--=k k AB A B ，11--=k k BA B A A B AB m m =，因此，上式可以转化为k k B A -A B B A B A B A B B A B A A 113322221------+-----+++=k k k k k k k kk k k k k k k B A B A B AB B A B A A ----++++=----- 2211221()()()B A B B A B A B A A -++-+-=---121k k k()B A B B A A -+++=---)(121k k k即m m B A -()B A B B A A -+++=---)(121m m m .())(121---+++-m m m B B A A B A )(121---+++=m m m B B A A )(B A -即可证得())(121---+++-=-m m m m m B B A A B A B A()B A B B A A -+++=---)(121m m m .性质2.6(矩阵二项式定理) 若B A ，可交换，则()k k m mB AC B A m0k k m -=∑=+. 证明 对m 用数学归纳法同性质2.5即可证得．性质2.7[7] 设B A ，可交换，则有：(1)若B A ，均为对合矩阵，则AB 也为对合矩阵；(2)若B A ，均为幂等矩阵，则AB ，AB B A -+也为幂等矩阵；(3)若B A ，均为幂幺矩阵，且使E A =k ，E B k =，则AB 也为幂幺矩阵；(4)若B A ，均为幂零矩阵，则AB ，B A +均为幂零矩阵.证明 (1) 因为B A ，都是对合矩阵，故E A =2，E B =2又B A ，可交换，则BA AB =，所以()E ABAB AB ==2故AB 是对合矩阵．（2）因为B A ，皆为幂等矩阵，故A A =2，B B =2当BA AB =时，有()()()()AB AAB ABA A BB A AB AB AB =====2故AB 也是幂等矩阵2）（AB B A -+）（AB B A -+=）（AB B A -+ABAB BAB B A AB B AB ABA BA A +---++-+=2222 AABB ABB AB AB B AB AAB BA A +---++-+= AB AB AB AB B AB AB AB A +---++-+=AB B A -+=（3）因为E A =k ，E B k =且B A ，可交换所以()(AB)(AB)(AB)AB =kB)A)(BB (AA =k k B A =EE =E =.得证AB 是幂幺矩阵.（4）设O A l =，O A 1l ≠-，O B k =，O B 1l ≠-（11≥≥k l ，），令)min(k l h ，=，则()O B A AB h h h ==，令k l m +=，则()B A m +=O B AC k k m m0k k m =∑-= 证毕． 性质2.8 若B A ，可交换，且A 是可逆的，则B A ，1-也可交换.证明 因为BA AB =，A 可逆，1-A 存在，故BA A AB A 11--=，BA A B 1-=，B A BA)A (A BA 1111----==，即B A ，1-可交换．性质2.9 若B A ，可交换，A 且是正交阵，则B A T ，也可交换证明 因为BA AB =，A 是正交阵，故B EB AB A BA A ===T T()B A A BA A BA T T T T == 得证B A T ，也可交换.性质2.10 形如⎥⎦⎤⎢⎣⎡=221211a a a A 0且a 11=a 22的二阶上三角阵的交换阵仍是二阶上三角阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=221211b b b B 0，且b 11=b 22，其中a ij ，b ij ()211，，==j i 为任意实数，则B A ，可交换．证明⎥⎦⎤⎢⎣⎡=221211a a a AB 0⎥⎦⎤⎢⎣⎡221211b b b 0=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+b a b a b a b a 22222212121111110 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=221211b b b BA 0⎥⎦⎤⎢⎣⎡221211a a a 0=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+b a b a b a b a 22222212121111110 又a 11=a 22，b 11=b 22，所以BA AB =.3 几类常用的可交换矩阵定理3.1[8]（1）设B A ，至少有一个为零矩阵，则B A ，可交换；（2）设B A ，至少有一个为单位矩阵，则B A ，可交换；（3）设B A ，至少有一个为数量矩阵，则B A ，可交换；（4）设B A ，均为对角矩阵，则B A ，可交换；（5）设B A ，均为准对角矩阵，则B A ，可交换；（6）设*A 是A 的伴随矩阵，则*A 与A 可交换；（7）设A 可逆，则1-A 与A 可交换.证明：（1）对任意的矩阵A ，均有：OA AO =，O 表示零矩阵；（2）对任意的矩阵A ，均有：EA AE =，E 表示单位矩阵；（3）对任意的矩阵A ，均有：()()E A E A k k =，k 为任意实数；（4）、（5）显然成立；（6）E A A A AA ==**；（7）E A A AA ==--11.4 可交换矩阵的应用例 4.1 n 阶数量矩阵能与所有的n 阶矩阵可交换.即对任意一个n 阶矩阵A ，都有)((E A E)A k k =，其中E 为n 阶单位矩阵，k 为一常数.证明 由矩阵的数量乘法的运算律可得E)A(k(AE)(EA)E)A k k k ===(.例4.2[9] 如果矩阵A 与所有的n 阶矩阵可交换，则A 一定是数量矩阵，即kE A =.其中E 为n 阶单位矩阵，k 为一常数.证明 记()n n ija A ⨯=，用ij E 将第i 行第j 列的元素表示为1，而其余元素为零的nn ⨯矩阵.因为A 与任何的矩阵均可交换，所以A 必与E ij 可交换.由定理3.1.（2）得，A E AE ij ij = 所以jjii a a =()n j i ，，，， 211==以及0=ij a ()n j i j i ，，，，， 21=≠，故A 是数量矩阵.例4.3 若矩阵B A ，都与C 可交换，则AB nB mA ，+也都与C 可交换.证明 已知CA AC =，CB BC =，那么()nCB mCA nBC mAC C nB mA +=+=+()()()AB C ACB BC A C AB ===得证AB nB mA ，+都与C 可交换.例4.4 [10] （1）由已知设矩阵()n a a a diag A ，， 21，=为对角矩阵，其中j i ≠时j i a a ≠()n j i ，，，， 21=，则B A ，可交换的充要条件是B 为对角矩阵；（2）由已知设()r r E a E a E a diag A ，，21，=为准对角矩阵，其中j i ≠时j i a a ≠ ()n j i ，，，， 21=，i E 是i n 阶单位矩阵，n =∑=r1i i n ，则B A ，可交换的充要条件是B 为准对角矩阵．证明 （1）若B A ，皆为对角矩阵，则由定理1.3.（4）知B A ，可交换.若B 与()n a a a diag A ，，21，=可交换，j i ≠时j a a i ≠()n j i ，，，， 21=， 设()n n ij b B ⨯=，()n n ij c AB ⨯=，()n n ij d BA ⨯= ，因为A 为对角矩阵，所以b ac ij i ij =，b ad ij j ij =()n j i ，，，， 21= 因为BA AB =，可得d c ij ij =()n j i ，，，， 21= 得()0b a aij j i =-而j i ≠时j i a a ≠()n j i ，，，， 21= 故0=ij b ，()n j i ，，，， 21= 所以B 为对角矩阵.（2）仿（1）不难证（2）．利用矩阵的可交换性，我们还可以使一些矩阵的运算简化，尤其是求矩阵的n 次幂.下面举例说明.例4.5 计算n⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1011，n 是正整数.解 设B E A +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001010011011n则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0000001000102B 因为B E ，可交换，所以由二项式定理可得()n n n n n n nn C C B B E B E E B E A ++++=+=-- 22211 EB E n +=B E n +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00101001n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101n即n⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1011⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101n .例4.6 计算n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111，n 是正整数.解 设B E A +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011010011111E B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001011001102B EB B B B ===23E EE B B B ===224又E ,B 可交换，所以由二项式定理可得()n n n n n n n n n nn C C C C B B E B E E B E A ++++=+=-- 222110 ()()B E n n n n n n n nC C C C C C +++++++=- 31120 B E 1122--+=n n⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--011021001211n n⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=----11112222n n n n即n⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=----11112222n n n n .注意到以上两个例子的求解过程中，都是把较复杂的矩阵变成两个矩阵的和，再利用二项式定理，求出最后的和.这里必须指出一点，在把一个矩阵变成两个矩阵合的时候，这两个矩阵一定要满足可交换的条件，才能运用二项式定理.否则会得到错误的结果.例如例4.5，如果设D B A +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101000011011则=2B ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0001⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0001B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001，…，B B =n =2D ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1010⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1010D =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1010，…, D D =n ()n n n n n n n n n nn C C C C D D B D B B D B A ++++=+=-- 222110 D BD BD B ++++=-11n n nC C ()D BD B +++++=-121n n n nC C C ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-10100010200011n即n⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1011⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-101211n .结论本文通过大量的例题对可交换矩阵在计算与证明两方面的应用进行了总结分析，在证明方面，涉及了矩阵的相关问题；在计算方面利用可交换矩阵这一工具我们主要解决了矩阵运算的简化问题，通过本文的论述，充分体现了可交换矩阵在代数计算与证明方面所具有的一定的优越性，也给出了可交换矩阵和矩阵可交换在代数学中所具有的重要地位，当然在对可交换矩阵的应用的论述上本文并不是所有类型的证明与计算都进行了讨论，所以在应用的完整性上还有待改进，并可以继续进行研究探讨.致谢语本文是在导师李伟副教授的细心指导下完成的，导师在学业上的谆谆教诲和身体力行、在生活上的默默关心和无私帮助将使我受益终身，在此谨向导师表示衷心的感谢！导师对科学事业的献身精神以及高度的敬业精神，为学生们树立了良好的风范，也是我今后所追求的目标.“登泰山始懂尊冠五岳，遇导师才知德高智睿”，师恩浩瀚，溢于言表! 课题的顺利进行，还得益于四年来各位同门的支持和帮助，在此特别感谢在文献查阅与思路启发上给予的莫大帮助，为研究工作的顺利进行奠定了基础.感谢本课题组的兄弟姐妹提供的友好合作和无私帮助，永远难忘在一起拼搏的日日夜夜.最后谨向所有帮助和支持过我的领导、老师、同学及亲友们表示最诚挚的谢意.[参考文献][1] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数(第三版)[M].北京：高等教育出版社，2003.[2] Plemmons RJ and Berrman A.Normegative Matrices in the Mathematical[J]. 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