矩阵可交换成立的条件与性质

毕业设计（论文）

题目矩阵可交换成立的条件与性质

学院理学院专业数学与应用数学年级2008级班级0814

姓名吴锦娜学号********** 指导教师李伟职称副教授

矩阵可交换成立的条件与性质

[摘要] 矩阵是高等数学中一个重要内容，在数学领域以及其他科学领域有着重大的理论意义．众所周知，矩阵的乘法在一般情况下是不满足交换律的，即在通常情况下，AB ．但是，在某些特殊情况下，矩阵的乘法也能满足交换律．可交换矩阵有着很BA

多特殊的性质和重要的作用．本文从可交换矩阵和相关知识的定义出发，探讨了矩阵可交换的一些条件和可交换矩阵的部分性质及应用，并且介绍了几类特殊的可交换矩阵．

[关键词]矩阵可交换条件性质应用

The Conditions for The Commutation of Matrix and Its Some Properties

[Abstract] Matrix, a important content in altitude－mathematics, has a great theoretic significance in the aspect of both mathematics and other science field. As far as we have concerned, the multiplication of matrix could not satisfy the exchange rule under the normal condition, that is to say, normally,AB≠BA. Whereas, in some certain conditions, the multiplication of matrix could satisfy the exchange rule. The exchangeable matrix has many special properties and important effection. This paper discusses some conditions of the matrix exchange and part of the property of the exchangeable matrix , and also introduces several kinds of specific exchangeable matrix. All of these are discussed from the concept of exchangeable matrix and relative information.

[Keywords]Matrix Interchangeable Conditions Property Application

引言 (1)

1.矩阵可交换成立的条件 (1)

1.1矩阵可交换成立的充分条件 (1)

1.2矩阵可交换成立的充要条件 (4)

2.可交换矩阵的性质 (6)

3.几类常用的可交换矩阵 (9)

4.可交换矩阵的应用 (11)

结论 (15)

致谢语 (16)

参考文献 (17)

矩阵是高等代数以及线性代数的重要内容．由矩阵的理论可知，矩阵的乘法不适合交换律.矩阵的乘法不满足交换律，其原因有以下几点：

（1）AB有意义时，BA不一定有意义；

（2）AB与BA均有意义时，阶数可能不相等；

（3）AB与BA均有意义，且阶数相等时，BA

AB≠仍可能出现[1]．

但是，在某些特殊情况下，矩阵的乘法是满足交换律的. 如果两个矩阵A与B满足AB=，则称矩阵A与B是可交换的，这样的矩阵称为可交换矩阵．可交换矩阵有BA

许多良好的性质．

本课题从可交换矩阵和各类矩阵的定义出发，在指导教师的指导下，分析、筛选已有的信息资料，在此基础上，重点分析书本已有结论成立的条件及证明技巧，对可交换矩阵成立的条件做了进一步深入的探讨，意图得到一些新的性质和特殊的应用．本课题对矩阵可交换成立的条件与性质这个问题的研究，目的在于给出矩阵可交换成立的条件，得出一些可交换矩阵的良好性质，进一步促进和完善矩阵理论，这对矩阵理论的研究具有重要的意义（文中的矩阵如无特别说明，均指n阶实方阵）．

1 矩阵可交换成立的条件

1.1 矩阵可交换成立的充分条件

A，可交换.

定理1.1.1 设E

AB=，则B

A，均可逆，且互为逆矩阵,故

证明当E

AB=时，B

BA=,

E

因此

BA

AB=.

A，可交换．

即B

定理1.1.2[2]

（1）设B A AB βα+=，其中α，β为非零实数，则B A ，可交换； （2）设+m A E AB =α，其中m 为正整数，α为非零实数，则B A ，可交换.

证明 （1）由B A AB βα+=可得

()()E B E A αβ--E αβ=,

即

αβ

1

()()E E B E A =--αβ. 故由定理1.1.1，得

αβ

1

()()E E A E B =--βα， 于是

E E B A BA αβαββα=+--,

所以

AB B A BA =++=βα.

得证，B A ，可交换． （2）由+m A E αAB =得，

()

E B A A =+-α1m ,

故由定理1.1.1得

()

E A B A

=+-α1

m ,

所以

+m A E BA =α，

因此可得

BA AB =，

即B A ，可交换．

定理1.1.3[3] （1）设A 可逆，若O AB =，或AB A =或BA A =，则B A ，可交换；