常数项级数的收敛性及其判别法

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湖南对外经济贸易职业学院
Hunan Foreign Economic Relations & Trade College
例4 判别交错级数 (1)n1 1 的收敛性.
n1
n
解
因为
un

1, n
un1

1, n 1
所以有 un un1,
且
limun
n
n1
n1

2知，级数 un 收敛. n1
湖南对外经济贸易职业学院
Hunan Foreign Economic Relations & Trade College
例5
证明级数 (1)n1 sinn
n1
n4
收敛.
解因为
(1)n1 sinn 1 ,
0.5
s1 s2 s3 sn
s1
s2 s3 sn
0O
1
x
-0.5
湖南对外经济贸易职业学院
Hunan Foreign Economic Relations & Trade College
定理正项级数收敛的充要条件是它的部分和数列
sn 有界.

比较审敛法设两个正项级数 un和vn, 且
湖南对外经济贸易职业
Hunan Foreign Economic Relations & Trade
小结：
学院
College
1．正项级数：
（1）定义；
（2）审敛法：充要条件、比较审敛法、比值审敛法； 2．交错级数：（1）定义；（2）审敛法； 3．任意项级数：

1-1 常数项级数的概念、性质、收敛性

则 lim σ n = lim sn+ k − lim sk = s − sk . n→ ∞ n→ ∞ n→ ∞
类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性.
2007年8月南京航空航天大学理学院数学系马儒宁 22
性质 4 收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和.
证明
( u1 + u2 ) + ( u3 + u4 + u5 ) + σ 1 = s2 , σ 2 = s5 , σ 3 = s9 , , σ m = sn ,
2007年8月
南京航空航天大学理学院数学系马儒宁
13
例 1 讨论等比级数(几何级数)
aq n = a + aq + aq 2 + ∑
n= 0
∞
+ aq n +
( a ≠ 0)
的收敛性.
解如果 q ≠ 1时
sn = a + aq + aq 2 +
n
+ aq n−1
a − aq a aq n = = − , 1− q 1− q 1− q
18
注：定理1.1的否定说法：级数发散的充要条件是：存在某个 ε 0
> 0 ，对任
何自然数 N ， n。＞N及任意的正整 ∃ 数P。，使
n + P0
k = n +1
∑u
k
≥ ε0
2007年8月
南京航空航天大学理学院数学系马儒宁
19
1 例 3 证明调和级数 ∑ 发散。 n =1 n
【证】取
2007年8月
南京航空航天大学理学院数学系马儒宁

常数项级数敛散性判别法总结

常数项级数敛散性判别法总结摘要：本文简要阐述了常数项级数敛散性判别法。

由于常数项级数敛散性判别法较多，学生判定级数选择判别法时比较困难，作者结合级数判别法的使用条件及特点对判别法进行分析，使学生更好的掌握级数判别法。

关键词：常数项级数；级数敛散性判别法；判别法使用条件及特点无穷级数是微积分学的一个重要组成部分，它是表示函数、研究函数性质以及进行数值计算的一种非常有用的数学工具。

无穷级数的中心内容是收敛性理论，因而级数敛散性的判别在级数研究中极其重要。

在学习常数项级数敛散性判别法时，学生按照指定的判别法很容易判定级数的敛散性，但是学习多种判别法后，选择判别法时比较困难。

主要原因是学生对所学判别法的使用条件及特点不够熟悉，本文针对这种情况对常数项级数敛散性判别法加以归纳总结。

1 级数收敛的概念给定一个数列{un}，称u1+u2+...+un+ (1)为常数项无穷级数，简称常数项级数，记为.级数（1）的前n项之和记为Sn，即Sn=u1+u2+…+un，称它为级数（1）的部分和。

若部分和数列{Sn}有极限S，即，则称级数（1）收敛。

若部分和数列{Sn}没有极限，则称级数（1）发散。

注意：研究级数的收敛性就是研究其部分和数列是否存在极限，因此级数的收敛性问题是一种特殊形式的极限问题。

极限是微积分学的基础概念，也是学生比较熟系的概念，因此在研究级数收敛性时，联系极限概念，学生易于理解。

借助级数的性质与几何级数，调和级数的敛散性可以判别级数的敛散性。

例如，由性质（1）和当|q|0时，01，则发散。

当级数含有阶乘、n次幂或分子、分母含多个因子连乘除时，选用比值判别法。

比值判别法不需要与已知的基本级数进行比较，在实用上更为方便。

例2：判别级数的敛散性。

解：因为由比值判别法知级数收敛。

2.3 根植判别法设为正项级数，若有，则当0≤r1，则发散。

当级数含有n次幂，型如an或（un）n选用根值判别法。

根值判别法不需要与已知的基本级数进行比较。

常数项级数敛散性判别法总结

常数项级数敛散性判别法总结作者：李娜来源：《山东工业技术》2014年第24期摘要：本文简要阐述了常数项级数敛散性判别法。

无穷级数的中心内容是收敛性理论，因而级数敛散性的判别在级数研究中极其重要。

在学习常数项级数敛散性判别法时，学生按照指定的判别法很容易判定级数的敛散性，但是学习多种判别法后，选择判别法时比较困难。

主要原因是学生对所学判别法的使用条件及特点不够熟悉，本文针对这种情况对常数项级数敛散性判别法加以归纳总结。

若部分和数列{Sn}有极限S，即，则称级数（1）收敛。

若部分和数列{Sn}没有极限，则称级数（1）发散。

注意：研究级数的收敛性就是研究其部分和数列是否存在极限，因此级数的收敛性问题是一种特殊形式的极限问题。

极限是微积分学的基础概念，也是学生比较熟系的概念，因此在研究级数收敛性时，联系极限概念，学生易于理解。

借助级数的性质与几何级数，调和级数的敛散性可以判别级数的敛散性。

例如，由性质（1）和当|q|2 正项级数敛散性判别法若级数各项均为非负数，则称该级数为正项级数。

正项级数收敛的充要条件是它的部分和数列有上界。

正项级数有以下几种常用判别法：2.1 比较判别法设与都是正项级数，且un≤vn（n=1，2，…），则收敛时，收敛；发散时，发散。

比较判别法适用范围比较广泛，当级数表达式型如，un为任意函数或un含有sinθ或cosθ等三角函数的因子可以进行适当的放缩时，选用比较判别法。

6.2常数项级数审敛法

解
un
1!2 ! (2n) !
n!
n (n!) (2n) !
1 2(n 1)(n 2)(2n 1)
1 2(n 1)(n 2)
vn
1
而
lim
n
2(n
1)(n 1
2)
1, 2
即 0 1 ,
2
n2
由比较判别法及 P 级数的收敛性可知：
n1
2(n
1 1)(n
2)
vn
n1
收敛,
从而原级数收敛.
故当 p >1 时, P 级数收敛.
综上所述:
当 p > 1 时, P 级数收敛. 当 p 1 时, P 级数发散.
4.比较判别法的极限形式
设 vn和un为两个正项级数, 且 vn 0 (n 1, 2,;
n1
n1
或从某一项 N0 开始).
若
lim un n vn
,
则
(1) 0 时, un 与 vn 具有相同的敛散性.
达朗贝尔在力学、数学、天文学等学科都有卓著的建树。达朗贝尔的研究工作偏向于应用。1743年提出了被称之为达朗贝尔原理的 “作用于一个物体的外力与动力的反作用之和为零” 的研究结果。达朗贝尔建立了将动力学问题转化为精力学问题的一般方法。1747年在研究弦振动问题时得到了一维波动方程的通解，被称为达朗贝尔解。1752年首先用微分方程表示场。
证明的关键在于它的极限是否存在？
证 1) 取交错级前 2m 项之和
S2m u1 u2 u3 u4 u2m1 u2m (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2m1 u2m )
由条件 (2) ： un un+1, un 0, 得 S2m 及

常数项级数判别方法

常数项级数的审敛法定义形如：级数其中即：正、负项相间的级数称为交错级数。

列如莱布尼茨判别法莱布尼茨定理：如果交错级数满足条件则级数收敛，其其和其余项的绝对值注意：只有当级数是交错级数时，才能用此判别法，否则将导致错误注意：莱布尼兹判别法只是充分条件，非必要条件.使用本判别法时，关键是第一个条件的验证是否收敛时, 要考察与大小111()n n n u ∞-=-∑n u >0111,2,3,);n n u u n +≥=L （）（lim 0,n x u →∞=（2）1,s u ≤nr 1.n n r u +≤0n u ≥（）n u 1n u +n n u u +≥>10.（）111111111(1)=1(1)234n n n n n∞--=--+-++-+∑L L（）.1112(1)1234(1)n n n n n ∞--=-=-+-++-+∑L L（）.这是一个交错级数又因为n n u u n n +=>=+1111，且显然收敛速度较慢.收敛。

使用本判别法时，关键是第一个条件的验证是否收敛时, 要考察与大小比较与大小的方法有: 比值法差值法11111111(1)=1(1)234n n n n n∞--=--+-++-+∑1n u n =1lim lim 0n n n u n →∞→∞==n r n ≤+1||.10n u ≥（）n u 1n u +n n u u +≥>10.（）n u 1n u +11n nu u +<10n n u u +->11n n u u +≥（）lim 0n x u →∞=(2)则交错级数111() n n n u ∞-=-∑。

常数项级数的敛散性判别

Key words:series of constant-term series; convergence; divergence.
正文:
常数项级数的敛散性判别也算得上是数学分析中的一个小难点,这是由于级数的敛散性是直接与数列的极限联系在一起.未学级数之前,我们先学习了数列,也学习了如何求数列的极限.我们可以体会到在求数列的极限时,会遇到一定的障碍,更不用说是级数.但同学们不必担心,如同求数列极限一样,判别级数收不收敛的方法多样.基于它的审敛准则,结合一些方法与技巧,对级数收敛的判别就不会有太大问题.在解决了常数项级数收敛与否的问题之后,我们才能更深入探究其它级数的其它性质.
结束语
本文主要是通过归纳总结将常数项级数的审敛准则与方法及例题放在一起,希望会对同学们关于级数敛散性的入门学习起到辅助作用.其实方法还不止上述所列出的几种,文中未包含的还有高斯判别法、拉贝判别法等,如感兴趣,可在利用网络自行查找相关文献.
参考文献
[1]工科数学分析基础.上册/王绵森,马知恩主编,2版.—北京：高等教育出版社,2006.2
例1 ,且收敛,证明绝对收敛?
(此题正是利用了不等式,轻松地证明了此题.)
解：
又、收敛,则收敛,
故绝对收敛.
例2判别级数的敛散性.
解：利用不等式
有
因为收敛,故收敛.
2.等价量法
等价量法实际上应用的就是无穷小或大的等价代换,方法简单易掌握,同样也是一种放大缩小的应用.
例3.判别级数的敛散性.
例9.判别级数的敛散性.
解：不论为何数,当充分大时,设函数 ,则在上都是非负递减的.满足积分准则的条件.当时,无穷积分 ,故发散,
,
当时,
.

7.2正项级数敛散性的判别

∞
1 lim ln n = ∞ 而∑ 2 收敛, n →∞ n =1 n
∞
∞
ln n ∴ ∑ 2 的敛散性依据该定理无法判别. n =1 n
1 ln n n2 = lim ln n = lim ln x = lim x = lim 2 1 = 0 lim 1 n →∞ x →+∞ x →+∞ n →∞ 1 x x x →+∞ 1 2 n 3 2 x 2 n
3 2
n2 1 = lim 2 = n →∞ 3n − 1 3
而级数 ∑
n =1 ∞
1 n
3 2
n 收敛 , ∴ 级数 ∑ 2 收敛. n =1 3n − 1
∞
1 的敛散性 . 例判定级数 ∑ n n =1 3 − n 1
∞
3 n = lim 1 ∵ lim 3 − n = lim = 1, 解 n n→ ∞ n→ ∞ 1 n n→ ∞ 3 − n 1−
当q < 1时, 收敛 n 1 ∑aq 敛散性、当q ≥ 1时, 发散 n=0
∞
1 2、调和级数、 ∑n发散. n=1
∞
§7.2 正项级数敛散性的判别
• • • • 一、正项级数的概念二、比较判别法三、比值判别法四、*根值判别法根值判别法
一、正项级数
称为正项级数正项级数. 定义如果级数 ∑ un中各项均有 un ≥ 0, 这种级数称为正项级数.
n=1 n =1 n =1 ∞ n=1 ∞
∞
∞
判断 ∑ u n的敛散性 .
n=1
∞
对欲求级数进行缩小应缩小为发发散级数. 散级数
c n ≤ un ≤ v n
放大，放大，缩小的方向

3.5常数项级数的判别法(1)

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1
例8. 判别下列级数的敛散性 . 1 n (1) n ; (2) 2 sin n n 3 n1 8 6 n1
解: （1）所给级数的一般项为
1 1 1 un n n n 8 6 8 1 ( 3 )n 4
1 1 n 8 1 ( 3 )n 1 un 4 1, lim 令 vn n , 则因 lim 1 n v n 8 n 8n 1 而 n 收敛，所以原级数收敛。 n 1 8

1 1 n 1 1 n p 1 1 p 1 p 1 k (k 1) (n 1) k 1
n
故强级数收敛 , 由比较判别法知 p 级数收敛 .
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等比级数、调和级数与 p 级数是三个常用的参照级数.
若存在 N Z , 对一切 n N ,
设对一切都有分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有
机动目录上页下页返回结束
(1) 若强级数因此对一切
收敛, 则有有界也收敛 .
有 . 由定理 1 可知, 弱级数 (2) 若弱级数因此发散, 则有
这说明强级数
也发散 .
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结束
1 1 1 例1. 讨论 p 级数 1 p p p (常数 p > 0) 2 3 n 的敛散性.

sin 1 ～ n
1 n
1 根据比较判别法的极限形式知 sin 发散 . n 1 n
例7. 判别级数 ln 1 2 的敛散性. ln(1 12 ) ～ n12 n n n 1 1 2 1 2 解: lim n ln 1 2 lim n 2 1 n n n n 1 根据比较判别法的极限形式知 ln 1 2 收敛 . n1 n

11-1常数项级数的基本概念和性质

n
S
S
0.
注 lim un 0 非级数收敛的充分条件.
n
例如, 调和级数
发散，
推论3 若 un 0, 则级数
例5 (1) n1n1n
必发散 .
（2）1 2 3 4 （ 1）n1 n
2345
n1
解 (1)
lim
n
un
lim
n
1 nn
1
0,
故原级数发散.
故所给级数发散.
小结:
un 0
2
n n1
2n
2
n
1 1 1
n1 n2
2n
1 1 1
2n 2n
2n
故
lim (
n
S2n
Sn )
0，矛盾！
n项
1 n1n
发散.
(方法4) 见后面.
二、收敛级数的性质
性质1 若S un 收敛，则 c un收敛 , 其和为 c S.
n1
n1
n
n
证令Sn uk , 则 σn c uk c Sn ,
vn
n1
(1
1) 2
(1 3
1) 4
(1 5
1 6
1 7
1) 8
(1 1 1 )
9 10
16
( 1
1 2n1
2
1 2n1
2n111)
2n )
v1
1
1 2
1, 2
v2
1 3
1 4
1 4
1 4
1 , 2
v3
1 5
1 8
1 8
1 8
4
1 8
1 2
v4
1 9

常数项级数与幂级数的收敛性

常数项级数与幂级数的收敛性在数学中，级数是由一系列数按照一定次序进行加法运算得到的结果。

本文将讨论两种重要的级数，即常数项级数和幂级数的收敛性。

一、常数项级数的收敛性常数项级数是指以常数项为公差得到的级数。

常数项级数的一般形式可以写作\[S = a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + \ldots\]其中，\(a_0, a_1, a_2, \ldots\)为常数项。

我们来研究常数项级数的收敛性。

1. 收敛性的定义常数项级数收敛是指级数的部分和\(S_n = a_0 + a_1 + \ldots + a_n\)当\(n\)趋向于无穷大时有极限存在，即\[\lim_{{n \to \infty}} S_n = S\]这个极限称为常数项级数的和。

2. 收敛判别法常数项级数的收敛性常用的判别法有以下几种：2.1. 正项级数判别法如果常数项级数中的每一项都是非负数，且满足\(a_1 \leq a_2 \leq a_3 \leq \ldots\)，那么级数收敛与否可以通过判断部分和序列\(S_n\)是否有上界来决定。

即如果存在一个实数\(M\)使得对于任意正整数\(n\)，都有\(S_n \leq M\)，那么级数收敛。

2.2. 比较判别法比较判别法分别有以下两种情况：2.2.1. 当级数\(S = a_0 + a_1 + a_2 + \ldots\)中的每一项\(a_n\)都是非负数且满足\(a_n \leq b_n\)，其中级数\(T = b_0 + b_1 + b_2 + \ldots\)收敛时，级数\(S\)也收敛。

2.2.2. 当级数\(S = a_0 + a_1 + a_2 + \ldots\)中的每一项\(a_n\)都是非负数且满足\(a_n \geq b_n\)，其中级数\(T = b_0 + b_1 + b_2 + \ldots\)发散时，级数\(S\)也发散。

2.3. 比值判别法比值判别法是判断正项级数的收敛性的一种方法。

[经济学]高等数学第十一章无穷级数第二节常数项级数的审敛法

n =1
∞
∞
(3) 当 l = +∞ 时, 若
∑ v n 发散,则 ∑ un 发散;
n =1 n =1
∞
∞
un 证明 (1) 由lim = l n→ ∞ v n
l 对于ε = > 0, 2
l l un ∃ N , 当n > N时, l − < < l + 2 vn 2 l 3l 即 v n < un < v n 2 2 (n > N )
莱布尼茨定理
如果交错级数满足条件:
(ⅰ) un ≥ un + 1 ( n = 1,2,3,
) ;(ⅱ) lim un = 0 ,
1 1 n an a < 1, un < a ;a = 1, un ≡ ;a > 1, un < n . ( 2 )∑ ; 2n 2 a n =1 1 + a 2 ∞ v ( + 1 ) 1 π n π 2 n+1 2 = → ; ( 3)∑ n sin n ; un ~ n ⋅ n = vn, 2 2 vn 2 2n 2 n =1 ∞ un+1 n+1 p 1 np =( ) → 0; ( 4 )∑ ; un n n+1 n =1 n!
a n+1 (n + 1)! a n n!
(n + 1)
n +1
a a = → 1 n e (1 + ) n
nn ⎧ a < e , 收敛 , ⎪ ∴ ⎨ a > e , 发散 , ⎪ a = e , 发散 . ⎩
n n = a( ) n+1
3.根值审敛法 (柯西 Cauchy 判别法)：

11-1常数项级数的基本概念和性质

1
1 2

1 2

1 22

1 3

1 2n

1 n

解加括号级数为

(un
n1

vn )
(1

1)

(1 2
1) 2

(
1 22
(
1 2n

1) 3 1) n

由于 un
n1
1 n12n

收敛，而 vn
n1
1 n1n
发散，
故加括号级数发散, 从而原级数发散.
性质5（级数收敛的必要条件）
设
收敛，则
证 un Sn Sn1
故
lim
n
un

lim Sn
n

lim Sn1
n

S

S

0.
注 lim un 0 非级数收敛的充分条件.
n
例如, 调和级数
发散，
推论3 若 un 0, 则级数
例5 (1) n1n1n
必发散 .
n1
收收为收，收发为发，发发不一定发.
例如, 取 un (1)2n, vn (1)2n1,

un 与 vn均发散，但 ( un vn )收敛.
n1
n1
n1
性质3 级数前面加上（去掉、或修改）有限项,
不影响级数的敛散性.

证 un 去掉前 k 项, 新级数
n
内容小结
1. 无穷级数概念：级数收敛、发散，部分和，余项
2. 两个常见级数的敛散性： (1) 等比级数

【2019年整理】第十一章常数项级数审敛法

则 n sn
vn发散. n 1

不是有界数列定理证毕.
推论: 若
u 收敛( 发散)
n 1 n
n 1

且 v n kun ( n N )( kun v n ) , 则 v n 收敛(发散).
比较审敛法的不便: 须有参考级数.
例 1 讨论 P-级数
1 1 1 1 1 p p p p 的收敛性.( p 0) 2 3 4 n 1 1 设 p 1, p , 则P 级数发散. 解 n n y
n n
s,
级数收敛于和s, 且s u1 .
余项 rn (un1 un 2 ),
rn un1 un 2 ,
满足收敛的两个条件,
rn un1 .
定理证毕.
( 1) n n 例 7 判别级数的收敛性. n1 n 2

x (1 x ) ( ) 解 0 ( x 2) 2 x 1 2 x ( x 1) x 故函数单调递减, un un1 , x 1 n 又 lim un lim 0. 原级数收敛. n n n 1
取 0 0 1
N，使当n N时
则 r 0 1
由 lim n un 知
n
n
un 0 r
n
n r 收敛及比较审敛法得
un r
由
n N 1
(n N )
un n N 1
收敛

un n 1

收敛
而级数 r m 1uN 1收敛,
m 1
,
m 1
uN 1 ,

常数项级数的收敛性及其判别法

则 (1) 当 0 l 时 , 二级数有相同的敛散性 ; (2) 当 l 0 时，若

vn 收敛 ,则 un 收敛 ; n 1
n 1

(3) 当 l 时 , 若
v n 发散 ,则 un 发散 ;
n 1 n 1

9/32
例 4 判定下列级数的敛散性:
n 1
思想是: 任意项级数
正项级数
u
n 1

n

n 1

un
34/32
定理
. 若级数 | un | 收敛, 则级数 un必定收敛

n 1

n 1
证设级数 | un | 收敛. | un | un | un |
n 1
0 un | un | 2 | un |,
3.当 1时比值审敛法失效;
1 例级数发散, n 1 n

级数
n 1

n
( 1) 1 收敛, 2
17/32
例. 判别下列级数的收敛性:
1 (1) ; n 1 n!
解

n! 1 (2) n ; (3) . n 1 10 n 1 ( 2n 1) 2n 1 un1 ( n 1)! 1 (1) 0 ( n ), 1 un n1 n! 1 故级数收敛. n 1 n!
7/32
例 3. 证明级数
n 1

1 是发散的. n( n 1)
证明
1 1 , n( n 1) n 1
1 而级数发散, n 1 n 1