武汉大学 大地测量学基础课件 第三章 地球重力场及地球形状的基本理论

2 2
地球重力场的基本原理
理论力学可知： 理论力学可知：物体的重心为
x0 = 1 M
∫
M
x m dm , y 0 =
1 M
∫
M
y m dm , z 0 =
x0
1 = yM =z
0
0
=M 0
∫ z m dm
定义坐标系： 定义坐标系：x 0 = y 0 = z 0 = 0
v0 = f M r
，则有： 则有：
重力是引力和离心力的合力，重力位 是引力位 是引力位V和离 重力是引力和离心力的合力，重力位W是引力位 和离 心力位Q之和 之和： 心力位 之和： dm ω 2 2 W =V +Q W = f ⋅∫ + (x + y2 ) r 2 对三坐标轴求偏导数求得重力的分力或重力加速度分量： 对三坐标轴求偏导数求得重力的分力或重力加速度分量
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地球重力场的基本原理
P 0 (cos ψ ) = 1 P1 (cos ψ ) = cos ψ 3 1 2 P 2 (cos ψ ) = cos ψ − 2 2 5 3 P 3 (cos ψ ) = cos 3 ψ − cos ψ 2 2
地球重力场的基本原理
• 建立空间直角坐标系与球面极坐标系 R R ρ 2 = r 2 + R 2 − 2 Rr cos ψ = r 2 [1 + ( ) 2 − 2 cos ψ ] r r R R l = ( ) 2 − 2 cosψ r r
− 1 = (1 + l ) 2 ρ r
1
1
V=
f 1 3 5 (1 − l + l 2 − l 3 + L)dm r∫ 2 8 16
2 2 2
方向余弦： 方向余弦：
gy gx g cos( g , x ) = , cos( g , y ) = , cos( g , z ) = z g g g
重力位在任意方向的偏导数等于重力在该方向上的 分力： 分力：
∂W = g l = g cos( g , l ) ∂l
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地球重力场的基本原理
(2) 行星运动在单位时间内扫过的面积相等； 行星运动在单位时间内扫过的面积相等； 相等， 在时间 t 内扫过的面积 s 相等，则面速度
可根据能量守恒定律导出。 可根据能量守恒定律导出。 (3) 行星运动的周期的平方与轨道的长半轴的立方的比为 常数。 常数。 设a 和a1 , T 和 T1分别表示两行星轨道的长半径与轨道 运行周期。 运行周期。
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地球重力场的基本原理
用球谐函数表达地球引力位（方法2）
勒让德多项式
d n ( x 2 − 1) n Pn ( x ) = n 2 n! dx n 1
2n + 1 n Pn +1 ( x ) = xPn ( x ) − Pn −1 ( x ) n +1 n +1
P ( x) = xP0 ( x) 1
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地球重力场的基本原理
3.2.2 引力位和离心力位
由理论力学可知，如果某一空间（有限或无限） 由理论力学可知，如果某一空间（有限或无限）的 任意一点都有一定力的作用， 任意一点都有一定力的作用，而力的大小与方向只与该 点的位置有关，则这一空间称为力场。就力场而言， 点的位置有关，则这一空间称为力场。就力场而言，具 有共同的特性，即力场所做的功与路径无关， 有共同的特性，即力场所做的功与路径无关，只与起点 与终点有关。这样的力称为保守力。引力与离心力都是 与终点有关。这样的力称为保守力。 保守力。 保守力。
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地球重力场状基本理论
则第三定律表达为： 则第三定律表达为：
一般可以用来计算行星或卫星的质量。 一般可以用来计算行星或卫星的质量。 牛顿万有引力定律： 牛顿万有引力定律： 开普勒定律是牛顿万有引力定律的基础。 开普勒定律是牛顿万有引力定律的基础。 天体力学
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地球重力场状基本理论
宇宙空间任意两质点，彼此相互吸引， 宇宙空间任意两质点，彼此相互吸引，其引力大小与 他们的质量成积成正比， 他们的质量成积成正比，与他们之间的距离平方成反 比。
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地球重力场的基本原理
3.2.4 地球的正常重力位和正常重力
W = f ⋅
∫
M
dm ω2 + (x2 + y2) r 2
要精确计算出地球重力位， 要精确计算出地球重力位，必须知道地球表面的形 状及内部物质密度，但前者正是我们要研究的， 状及内部物质密度，但前者正是我们要研究的，后者分 布极其不规则，目前也无法知道， 布极其不规则，目前也无法知道，故根据上式不能精确 地求得地球的重力位， 地求得地球的重力位，为此引进一个与其近似的地球重 力位—— 力位——正常重力位。
V = v 0 + v1 + v 2 + L =
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∑v
i=0
n
i
地球重力场的基本原理
f v0 = r
v1 = f r
∫
M
M dm = f r
∫
M
R cos ψ dm = 0 r
v2 =
f R2 3 2 1 ( ) ( cos ψ − )dm ∫ rM r 2 2
v3 =
f R3 5 3 3 ( ) ( cos ψ − cosψ )dm ∫ rM r 2 2
相垂直时， ，Ｗ＝常数 当g与l相垂直时，那么 Ｗ=0，Ｗ＝常数 与 相垂直时 那么dＷ ，Ｗ＝
当给出不同的常数值，就得到一簇曲面， 当给出不同的常数值，就得到一簇曲面，称为重力等 位面，也就是我们通常说的水准面。 位面，也就是我们通常说的水准面。可见水准面有无 穷多个。其中， 穷多个。其中，我们把完全静止的海水面所形成的重 力等位面，专称它为大地水准面 大地水准面。 力等位面，专称它为大地水准面。
M⋅m M⋅m F=k =f 2 2 r r
2
a=
F M = k2 2 m r
在相对运动中，行星相对于太阳运动的相对加速度： 在相对运动中，行星相对于太阳运动的相对加速度：
M m 2 (M + m) a =k ( 2 + 2)=k r r r2
2
v2 2π 4π 2r a = , v = r →a = 2 r T T
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地球重力场的基本原理
正常重力位是一个函数简单、 正常重力位是一个函数简单、不涉及地球形状和密 度便可直接计算得到的地球重力位的近似值的辅助重力 当知道了地球正常重力位， 位。当知道了地球正常重力位，想法求出它同地球重力 位的差异(称扰动位 称扰动位)， 位的差异 称扰动位 ，便可求出大地水准面与这已知形状 (正常位水准面 的差异。最后解决确定地球重力位和地球 正常位水准面)的差异。 正常位水准面 的差异 形状的问题。 形状的问题。
g g g
x
∂W = − ∂x = − = − ∂W ∂y ∂W ∂z
y
z
∂V ∂Q = −( ) + ∂x ∂x ∂Q ∂V = −( + ) ∂y ∂y ∂V ∂Q = −( + ) ∂z ∂z
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地球重力场的基本原理
各分力的模： 各分力的模：
g= gx + gy + gz
2
地球重力场状基本理论
2、地球的公转 、 地球的公转满足开普勒三大行星运动定律 (1) 行星运动轨迹是椭圆，太阳位于其 椭圆的 行星运动轨迹是椭圆，
一个焦点上
直角坐标方程： 直角坐标方程： 极坐标方程： 极坐标方程： f 真近点角，p 为焦参数（半通径） 真近点角， 为焦参数（半通径）
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地球重力场状基本理论
引力位：单位质点受物质M的引力作用产生的位能称为 引力位：单位质点受物质 的引力作用产生的位能称为
引力位，或者说将单位质点从无穷远处移动到该点引力 引力位，或者说将单位质点从无穷远处移动到该点引力 所做的功。 所做的功。即：
dV a=− dr
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地球重力场的基本原理
推导如下: 推导如下 万有引力定律： 万有引力定律： 假设沿力线方向做功为 此功等于位能的减少， 此功等于位能的减少， 积分则有： 积分则有： 因为r→∞, V=0。所以 C=0 ，则有 因为 。 取 m=1， ，
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地球重力场状基本理论
考虑到M>>m
注意： f 、 G、 k2 在不同的教材都表示引力常数。
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地球重力场的基本原理
3.2.1 引力与离心力
M ⋅m F= f ⋅ 2 r
P = mω 2ρ
v v v g = F + P
其它作用力（太阳、月亮）大多数情况下可忽略。 其它作用力（太阳、月亮）大多数情况下可忽略。
xxm + yy m + zz m 由于 cosψ = R⋅r
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A = ∫ ( ym + z m )dm M 2 2 B = ∫ ( xm + z m )dm M 2 2 C = ∫ ( xm + ym )dm M D = ∫ ( y m z m ) dm M E = ∫ ( x m z m ) dm M F = ∫ ( x m y m ) dm M
如果令g与l夹角等于 ，则有： 如果令 与 夹角等于π，则有： 夹角等于
dW dl = − g
水准面之间既不平行，也不相交和相切。 水准面之间既不平行，也不相交和相切。
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地球重力场的基本原理
对于某一单位质点而言， 对于某一单位质点而言 ， 作用其上的重力在数值上等于 使它产生的重力加速度的数值， 使它产生的重力加速度的数值 ， 所以重力即采用重力加速度 的量纲，单位是： 的量纲，单位是： 伽(Gal=cms－２)， ， 毫伽(mGal= Gal/1000=10－５ms－２) 毫伽 微伽(μ 微伽 μGal= mGal/1000=10－８m s－２) 1、地面点重力近似值 980Gal，赤道重力值 978Gal，两 ， ， 极重力值 983Gal。由于地球的极曲率及周日运动的原因，重 。由于地球的极曲率及周日运动的原因， 力有从赤道向两极增大的趋势。 力有从赤道向两极增大的趋势。 地球上重力的大小与方向只与被吸引点的位置有关， 2、地球上重力的大小与方向只与被吸引点的位置有关， 理论上应该是常数，但重力是随时间变化而变化， 理论上应该是常数，但重力是随时间变化而变化，即相同的 点在不同的时刻所观测到的重力不相同。
a ∂V = − ,a ∂x ∂V = − ,a ∂y ∂V = − ∂z
x
y
z
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地球重力场的基本原理
离心力位
在离心力场中， dQ = Pdl
dQ = ω 2 ldl =
ω2
ω2
2
dl 2 → Q =
ω2
2
l2
ω2 2 Q= (x2 + y2 ) = r sin 2 θ 2 2
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地球重力场的基本原理 3.2.3 重力位
10
，则有
地球重力场的基本原理
地球总体的位函数： 地球总体的位函数： V = ∫ dV = f ⋅ ∫ r (M ) 1、由牛顿第二定律可知： 、由牛顿第二定律可知：
dm
F = ma Mm F = f 2 r
M a= f ⋅ 2 r
, 则有
dV M =−f ⋅ 2 2、对位函数求导： 、对位函数求导： dr r
第三章 地球重力场及形状的基本理论
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地球重力场状基本理论
3.1.1 地球的概说（略） 地球的概说（ 3.1.2 地球运动概说 地球是太阳系中的一颗行星，它有自转和公转运动。 地球是太阳系中的一颗行星，它有自转和公转运动。 1、地球的自转 、 地球的自转即地球绕地轴由西向东旋转。 地球的自转即地球绕地轴由西向东旋转。 地球的绕地轴旋转360度的时间：太阳日、恒星日。 度的时间：太阳日、恒星日。 地球的绕地轴旋转 度的时间 地球的自转速度： 地球的自转速度：
1 地球引力位的数学表达式 方法1) V = f 地球惯性矩表达引力位 (方法 方法
设地球上的点坐标为: 设地球上的点坐标为 ( x, y , z ) 与 (θ , λ , r ) 地球表面点坐标为: 地球表面点坐标为 ( xm , ym , zm ) 与 (θ m , λm , R)
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∫
M
dm
ρ
v1 =
v2 =
f ( x ∫ x m dm + y ∫ y m dm + z ∫ z m dm ) = 0 3 r M M M
f [( y 2 + z 2 − 2 x 2 ) A + ( x 2 + z 2 − 2 y 2 ) B + 2r 5
( x 2 + y 2 − 2 z 2 )C + 6 yzD + 6 xzE + 6 xyF ]
dV a=− dr
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地球重力场的基本原理
• 结论： 结论： 单位质点的物体在引力场中的加速度等于引力位 单位质点的物体在引力场中的加速度等于引力位 的导数，方向与径向方向相反。 的导数，方向与径向方向相反。 • 推论： 推论： 位对被吸引点各坐标轴的偏导数等于相应坐标轴 上的加速度(或引力)向量的负值。 上的加速度(或引力)向量的负值。