第二章 第十三节 定积与微积分基本定理(理)

大于v乙的图象与t轴和t＝0，t＝t0围成区域的面积，因此，
在t0时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶
上甲车的速度，所以选项C，D错误；同样，在t1时刻，v甲 的图象与t轴和t＝0，t＝t1围成区域的面积仍然大于v乙的图 象与t轴和t＝0，t＝t1围成区域的面积，所以，可以断定： 在t1时刻，甲车还是在乙车的前面.所以选A. [答案] A
故有a2＋lna－1＝3＋ln2，即a＝2. 答案：D
3.已知自由落体的速度为v＝gt，则落体从t＝0到t＝t0所走
过的路程为
(
)
解析：
答案：C
4.曲线y＝cosx(0≤x≤ . 解析：
)与两坐标轴所围成图形的面积为
答案：3
5.如果
(x)dx＝1，
(x)dx＝－1，则
(x)dx
＝
解析：
.
dx=-1-1=-2. 答案：－2
【解】
如图所示，设切点A(x0，y0)，由y′＝2x，得过
点A的切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，即y＝2x0x－
令y＝0，得x＝
即C(
0).
设由曲线和过A点的切线及x轴所围成图形的面积为S，
S曲边AOC
S ABC
所以 所以x0＝1，从而切点A(1,1)，切线方程为y＝2x－1.
3.如果在[a，b]上，f(x)有正有负，即曲线在x轴上方和下
方都有图象，例如：在(a，c)上位于x轴上方，在(c，b)
上位于x轴下方，则曲线y＝f(x)，x＝a，x＝b(a<b)和x轴
围成的曲边梯形的面积为S＝ (x)dx－ (x)dx； (x)dx＋ (x)|dx＝
4.由曲线y＝f(x)，y＝g(x)(f(x)>g(x))与直线x＝a，x＝b(a<b) 围成的图形的面积为S＝ [f(x)－g(x)]dx.
( x2 3 x)
1.计算以下定积分：
（sinx-sin2x）dx;
解(1)函数y=2x2_
的一个原函数是
+ln3+6)-(2+ln2+4)
（3）函数y=sinx-sin2x的一个原函数为
y=-cosx+
所以
1 (sin x sin 2 x )dx ( cos x cos 2 x ) 2
A.在t1时刻，甲车在乙车前面 B.t1时刻后，甲车在乙车后面
C.在t0时刻，两车的位置相同
D.t0时刻后，乙车在甲车前面
[解析] 判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际
上是判断在t0，t1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问
题.根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路 程就是该时间段内速度函数的定积分，即速度函数v(t) 的图象与t轴以及时间段围成区域的面积.从图象知：在t0 时刻，v甲的图象与t轴和t＝0，t＝t0围成区域的面积大
1.变速直线运动问题 如果作变速直线运动的物体的速度v关于时间t的函数是 v＝v(t)(v(t)≥0)，那么物体从时刻t＝a到t＝b所经过的路 程为 (t)dt；如果作变速直线运动的物 体的速度关
于时间的函数是v＝v(t)(v(t)≤0)，那么物体从时刻t＝a到 t＝b所经过的路程为－ (t)dt.
求下列定积分： (1) (2) (3) (x2－x)dx； sin2 dx；
|3－2x|dx.
(1)直接利用公式；(2)首先对sin2
进行变式；
(3)去掉绝对值，分段积分.
【解】
3 2x dx
3 2x dx
3 2x dx
(3 2 x )dx
(3 x 2 )
在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线使
之与曲线以及x轴所围图形的面积为 试求切点A
的坐标及过切点A的切线方程.
需根据面积求出切点坐标.这又需要画出函数y＝x2 (x≥0)及切线的图形，再根据定积分的几何意义， 求函数y＝x2(x≥0)的定积分，从而确定相关图形的
面积，即可求出切点坐标，其他问题便可顺利解决.
一、定积分的性质 1. 2. 3. kf(x)dx＝ K [f(x)±g(x)]dx＝ f(x)dx＝ f(x)dx(k为常数) ； f(x)dx± g(x)dx ；
f(x)dx＋
f(x)dx (其中a＜c＜b).
二、定积分的几何意义 1.当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分 f(x)dx的
1.求函数f(x)在某个区间上的定积分，关键是求函数f(x)的
一个原函数，正确运用求导运算与求原函数运算互为逆
运算的关系；若原函数不易寻找时，先把f(x)进行变形.
2.计算简单定积分的步骤
(1)把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、 指数函数与常数的和或差； (2)利用定积分的性质把所求的定积分化为若干 个定积分的和或差； (3)分别用求导公式找到F(x)，使得F′(x)＝f(x)； (4)利用牛顿——莱布尼兹公式求出各个定积分的值； (5)计算所求定积分的值.
，
即
f(x)dx＝F(x)
b a
＝F(b)－F(a).
一个函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数
唯一吗？
提示：一个函数的导数是唯一的，而其原函数则有 无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利 用微积分基本定理求定积分时，只要找到被积函数 的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函
数，这样有利于计算.
本题告诉物体运动的时间与速度的关系，研究物体的位移 关系，是定积分在物理中的应用，同学们思考一下，若告
诉物体运动的路程与时间的关系研究物体的速度关系又是
一种什么问题呢？如下题：
如图所示物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变 化情况，下列说法正确的是 ( )
A.在0到t0范围内甲的平均速度大于乙的平均速度
2.变力做功问题
物体在变力F(x)的作用下，沿与力F(x)相同方向从x＝a 到x＝b所作的功为 (x)dx.
列车以72 km/h的速度行驶，当制动时列车获得
加速度a＝－0.4 m/s2，问列车应在进站前多长时间，以及
离车站多远处开始制动？
加速度对时间积分为速度，速度对时间积分是路程.
【解】
因列车停在车站时，速度为0，故应先求出速度的表
几何意义是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x) 所围成的曲边梯形的面积(图1中阴影部分).
2.一般情况下，定积分
f(x)dx的几何意义是介 于x轴、曲
线f(x)以及直线x＝a、x＝b之间的曲边梯形面积 的代数和
(图2中阴影所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上 的积
分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相 反数.
在平面直角坐标系中，由曲线f(x)，直线x＝a，x＝b(a<b)
和x轴围成的曲边梯形的面积分为以下几种情况：
1.y＝f(x)(f(x)≥0，x∈[a，b])，x＝a，x＝b(a<b)和x轴围成的曲
边梯形的面积为S＝ (x)dx(这时曲线全部在x轴上方)；
2.如果在[a，b]上，f(x)≤0，则曲线y＝f(x)，x＝a，x＝b(a<b) 和x轴围成的曲边梯形的面积为S＝| (x)dx(这时曲线全部在x轴下方)； (x)dx|＝－
三、微积分基本定理 一般地，如果f(x)是在区间[a，b]上的连续函数，且F′(x) ＝f(x).那么 f(x)dx＝ F(b)－F(a) .这个结论叫做 微积
分基本定理，又叫做牛顿——莱布尼兹公式. 其中F(x)叫做f(x)的一个原函数. 为了方便，我们常把F(b)－F(a)记作 F(x)
a
b b
所以列车应在进站前50 s，以及离车站500 m处开始制动.
3.设变力F(x)作用在质点M上，使M沿x轴正向从x＝1运动 到x＝10，已知F(x)＝x2＋1且和x轴正向相同，求变力F(x) 对质点M所做的功.
解：变力F(x)＝x2＋1使质点M沿x轴正向从x＝1运动到x
＝10所做的功为 W＝
F ( x )dx
定积分是新课标中新增内容，主要考查有关定积分的
计算及其应用.对于定积分在几何或物理方面的应用，难度
不大，属于低档题.2009年广东卷考查了定积分的物理应用.
(2009· 广东高考)已知甲、乙两车由同一 起点同时出发，并沿同一路线(假定为直 线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为 v甲和v乙(如图所示).那么对于图中给定 的t0和t1，下列判断中一定正确的是 ( )
B.在0到t0范围内甲的平均速度小于乙的平均速度
C.在t0到t1范围内甲的平均速度小于乙的平均速度
D.在t0到t1范围内甲的平均速度小于乙的平均速度
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1.
(2x－4)dx＝
(
)
A.5
C.3 解析：
B.4
D.2 (2x－4)dx＝(x2－4x) 5 ＝(52－4×5)－
0
(02－4×0)＝5. 答案：A
2.若 A.6 C.3 解析：
(2x＋
)dx＝3＋ln2，且a>1，则a的值为 ( B.4 D.2
)
(2x＋
)dx＝(x2＋lnx)|
＝a2＋lna－1，
达式，之后令v＝0，求出t，再根据v和t应用定积分求出路程.
已知列车速度v0＝72 km/h＝20 m/s，列车制动时获得的加速度
为a＝－0.4 m/s2， 设列车开始制动到经过t秒后的速度为v，
则v＝v0＋
adt＝20－
0.4dt＝20－0.4t，
令v＝0，得t＝50(s). 设该列车由开始制动到停止时所走的路程是s，则 s＝ dt＝ (20－0.4t)dt＝500(m)，
2.求曲线y＝x2，直线y＝x，y＝3x围成的图形的面积.
解：作出曲线y＝x2，直线y＝x，
y＝3x的图象，所求面积为图中 阴影部分的面积.
解方程组
解方程组
因此，所求图形的面积为
3 S (3 x x )dx (3 x x 2 )dx 0 1 3 2 xdx (3 x x 2 )dx 0 1 1 1