导数与函数的单调性、极值

导数与函数的单调性、极值

一、高考要求

1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线的切线斜率等)；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念.

2.熟记基本导数公式(c ，n x (n 为有理数)，x e ，x a ，ln x ，log a x ，sin x ，cos x 的导数)； 掌握两个函数和、差、积、商的求导法则.了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数.

3.理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的充要条件；

会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值.

二、核心考点

1.利用导数研究函数单调性的一般步骤：

(1)求'()f x ；

(2)确定

'()f x 在(),a b 内的符号；(3)若'()0f x >在(),a b 上恒成立，则()f x 在(),a b 上单调递增；

若'()0f x <在(),a b 上恒成立，则()f x 在(),a b 上单调递减.

2.用导数求函数单调区间的一般步骤：

(1)求

'()f x ； (2)'()0f x >的解集对应的区间为增区间； '()0f x <的解集对应的区间为减区间.

2.极大值与极小值

极小值定义：设函数()f x 在开区间(),a b 内有定义，0x 是(),a b 内的一个点，如果存在正数0δ>，对任意()00,x x x δδ∈-+，且0x x ≠，均有0()()f x f x >，则称0()f x 是函数

()f x 的极小值，称0x 是函数的极小值点.

极大值定义：设函数()f x 在开区间(),a b 内有定义，0x 是(),a b 内的一个点，如果存在正数0δ>，对任意()00,x x x δδ∈-+，且0x x ≠，均有0()()f x f x <，则称0()f x 是函数

()f x 的极大值，称0x 是函数的极大值

点.

函数的极大值与极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点.

注意：

(1)连续函数的极大值、极小值交替出现；

(2)极值是局部区域上的最大值或最小值；

(3)在间断点或端点处不考虑极值.

3.极值的判定

若0x 满足'()0f x =，且在0x 的两侧'()f x 异号，则0x 是

()f x 的极值点，0()f x 是极值，并且如果

'()f x 在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是

()f x 的极大值点，0()f x 是极大值； 如果

'()f x 在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是()f x 的极小值点，0()f x 是极小值.如果左右不改变符号(即都为正或都为负)，则()f x 在0x 处无极值.

定义：使导数为零的点(即方程'()0f x =的实

数根)叫做函数()f x 的驻点.

注意：可导函数

()f x 的极值点必定是它的驻点，函数的驻点不一定是极值点.

例如，()3f x x =，()'00f =，但0x =不是极值点.

4.极值的性质

定理：设()f x 在点0x 处存在导数，且在0x 处取得极值，那么必有

'0()f x =0. 5.求函数()f x 极值的步骤：

(1)求函数的定义区间；

(2)求出函数的所有驻点及不可导点；

(3)上述点将

()f x 的定义区间分成单调区间；(4)写出结论.

6.函数的最大值和最小值

(1)在闭区间[],a b 上连续的函数()f x 必有最大值与最小值.

(2)函数的最值是比较定义域内的函数值得出的.

(3)函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，是()

f x

在闭区间[],a b 上有最大值与最小值的充分不必要条件.

例如，

(4)函数在定义域上的最大值、最小值最多各有一个.

7.求函数最值的步骤

(1)求

()f x 在开区间(,)a b 内的极值；(2)将()f x 的各极值与()f a 和()f b 比较得

出函数

()f x 在[],a b 上的最值.8.极值与最值

(1)极值是个局部(全局或局部)概念，最值是个全局(全局或局部)概念.由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不意味着它在函数的整个定义域内是最大或最小.

(2)函数的极值不是(是或不是)唯一的.即一个

函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个，也可以没有一个.

(3)极大值与极小值之间无(有或无)确定的大

小关系.一个函数的极大值未必大于极小值.

(4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能(能或不能)成为极值点.而使函

数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.

二、能力形成

1.函数f(x)＝(4－x)e x的单调递减区间是() A．(－∞，4)B．(－∞，3)

C．(4，＋∞)D．(3，＋∞)

【答案】D

【解析】

f′(x)＝－e x＋(4－x)·e x

＝e x(3－x)，

令f′(x)<0，又e x>0，

∴3－x<0，

∴x>3.

∴函数f(x)的单调递减区间是(3，＋∞)，故选D.

2.已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)

＝3，且f(x)的导数f′(x)在R上恒有

f′(x)<2(x∈R)，则不等式f(x)<2x＋1的解集

为()

A．(1，＋∞)

B．(－∞，－1)