基于matlab的数字图像处理论文2

迭代与分形
姓名：刘航班级电气084 学号：08010278
摘要：几何学研究的对象是客观世界中物体的形状。

传统欧氏几何学的研究对象，都是规则并且光滑的，比如：直线、曲线、曲面等。

但客观世界中物体的形状，并不完全具有规则光滑等性质，因此只能近似当作欧氏几何的对象，比如：将凹凸不平的地球表面近似为椭球面。

虽然多数情况下通过这样的近似处理后，能够得到符合实际情况的结果，但是对于极不规则的形态，比如：云朵、烟雾、树木等，传统的几何学就无能为力了。

如何描述这些复杂的自然形态？如何分析其内在的机理？这些就是分形几何学所面对和解决的问题。

关键字：迭代；分形；树形
一、问题分析
在我们的世界上，存在着许多极不规则的复杂现象，比如：弯弯曲曲的海岸线、变化的云朵、宇宙中星系的分布、金融市场上价格的起伏图等，为了获得解释这些极端复杂现象的数学模型，我们需要认识其中蕴涵的特性，构造出相应的数学规则。

曼德尔布罗特（Mandelbrot）在研究英国的海岸线形状等问题时，总结出自然界中很多现象从标度变换角度表现出对称性，他将这类集合称作自相似集，他发现维数是尺度变换下的不变量，主张用维
数来刻划这类集合。

Mandelbrot将这类几何形体称为分形(fractal)，意思就是不规则的、分数的、支离破碎的，并对它们进行了系统的研究，创立了分形几何这一新的数学分支。

Mandelbrot认为海岸、山峦、云彩和其他很多自然现象都具有分形的特性，因此可以说：分形是大自然的几何学。

分形几何体一般来说都具有无限精细的自相似的层次结构，即局部与整体的相似性，图形的每一个局部都可以被看作是整体图形的一个缩小的复本。

早在19世纪就已经出现了一些具有自相似特性的分形图形，比如：瑞典数学家科赫（von Koch）设计的类似雪花和岛屿边缘的一类曲线，即Koch曲线；英国植物学家布朗通过观察悬浮在水中的花粉的运动轨迹，提出来的布朗运动轨迹。

分形几何把自然形态看作是具有无限嵌套的层次结构，并且在不同尺度下保持某种相似的属性，于是，简单的迭代过程，就是描述复杂的自然形态的有效方法。

（Koch曲线）
（布朗运动轨迹）
二、背景知识介绍
1、分形几何的形成。

分形几何的概念是美籍法国数学家曼德尔布罗特（Mandelbrot）
于1975年首先提出的，但最早的工作可追朔到1875年，德国数学家维尔斯特拉斯（Weierestrass ）构造了处处连续但处处不可微的函数，集合论创始人康托尔（Cantor ，德国数学家）构造了有许多奇异性质的康托尔三分集。

1890年，意大利数学家皮亚诺（Peano ）构造了填充空间的曲线。

1904年，瑞典数学家科赫（Koch ）设计出类似雪花和岛屿边缘的一类曲线。

1915年，波兰数学家谢尔宾斯基（Sierpinski ）设计了象地毯和海绵一样的几何图形。

这些都是为解决分析与拓朴学中的问题而提出的反例，但它们正是分形几何思想的源泉。

2、分形几何体的维数。

通常的几何体具有整数维，比如：一维的线段、二维的正方形、三维的立方体，维数就是几何体在“尺度”上的特征。

对于分形中的几何对象，通常意义下的维数已经没有意义，比如Koch 曲线（长度是无穷大，面积是零），用一维的“线段”去量，得数无穷大，“尺子”太小；用二维的“正方形”去量，得数为零，“尺子”又太大，因此需要定义分形自己的维数(分数维)。

分形的维数目前有多种定义，我们这里介绍相似维数。

设分形F 是自相似的，即F 由m 个子集构成，每个子集放大c 倍后同F 一样，则定义F 的维数为：ln ln d m c =÷,即d c m =。

对于通常的几何对象，采用这种方式计算出来的维数，与传统的维数是一致的，比如对正方形，将它边长m 等份，则相似形个数m 2，每边长放大m 倍后与原长相同，即c=m ，显然d=2。

人类肺的构造，从气管尖端成倍地反复分叉，是一种典型的分形，其分维数大约是2.17。

3、什么是迭代。

迭代法是常用的一种数学方法，就是将一种规则反复作用在某个对象上，它可以产生非常复杂的行为。

我们这里介绍图形迭代和函数迭代两种方式。

(1)图形迭代。

给定初始图形F 0，以及一个替换规则R ,将R 反复作用在初始图形F 0上,产生一个图形序列：
R （F 0）＝F 1，R （F 1）＝F 2，R （F 2）＝F 3，…
(2)函数迭代。

给定初始值x 0，以及一个函数f(x),将f(x)反复作用在初始值x 0上，产生一个数列：
f （x 0）＝x 1，f （x 1）＝x 2，f （x 2）＝x 3，…
4、plot函数介绍。

plot是最重要最基本的二维曲线绘图指令，基本功能是画折线和曲线。

基本调用格式如下：
(1) plot(Y,LineSpec)。

其中，Y一般是数组；而LineSpec是用来指定线型、色彩等的选项字符串，可省略。

本功能是以数组Y作为竖坐标，以数组元素的下标为横坐标，画出一条折线。

当数组元素很多时，就出现连续曲线的效果。

(2) plot(X,Y,’s’)。

其中，X、Y一般是相同长度的数组。

本功能是以数组Y作为竖坐标，以数组X为横坐标，画出一条折线。

当数组元素很多时，就出现连续曲线的效果。

例1x=-pi:pi/10:pi; y=tan(sin(x))-sin(tan(x)); plot(x,y)
5、Fill函数介绍。

Fill的作用是颜色填满一个多边形区域，基本调用格式如下：
fill(X,Y,ColorSpec)
其中X是围成多边形区域的横坐标，Y是竖坐标，通过ColorSpec 指定颜色。

在使用时注意：要保证绘图数据首尾重合，使得多边形封闭。

另外，可以依靠图柄设置其它属性。

6、分形树木
分形树木是为了模拟自然界中树木花草的形状，其迭代方式与前面两个问题不同，主要原理是设定基本的绘图规则，然后让计算机根据这些规则进行反复跌代，最终生成分形图。

下面介绍一种迭代规则：对一条线段，在它顶端左右两侧各画一条小线段。

无限次迭代下去，最终形成的图形就象一棵树。

具体的实现如下：
源代码：
f unction [z,A]= plottree(z,A,n);
N=6;
s=0.7;
Br=[pi/10;-pi/10];
if n>N
return
end
k=1;
if n==1;
plot([z,z+exp(i*A)],'linewidth',3/N*(N-n+1));
hold on
z=z+exp(i*A);
[z,A]= plottree(z,A,n+1);
else
while k<3
A=A+Br(k);
leng=s^(n-1);
plot([z,z+leng*exp(i*A)],'linewidth',3/N*(N-n+1));
z=z+leng*exp(i*A);
[z,A]= plottree(z,A,n+1);
A=A+pi;
z=z+leng*exp(i*A);
A=A+pi-Br(k);
k=k+1;
end
end
调用函数plottree(z,A,n);
得到如图所示的图形。