数学知识在物理解题中的应用
高中物理解题中涉及的数学知识
高中物理解题中涉及的数学知识物理和数学是两门密切相关的学科。
在高中物理教学中，解决物理问题需要运用数学工具，因此数学方法成为了解决物理问题的基本要求。
在高中物理中，常用的数学方法包括方程函数、不等式、极限、数形结合、参数、统计和近似、矢量分析、比例、递推归纳等。
下面将对力学和电磁学中常用的数学知识进行归纳。
力学部分包括静力学、运动学、动力学、万有引力、功和能量等。
在解决力学问题时，需要将几何和代数知识相结合，以增加问题的难度，并更注重求极值的方法。
电磁学部分包括电磁平衡、加速、偏转、能量和圆的知识等。
在解决电磁学问题时，需要运用三角函数、正余弦定理、相似三角形的对应比、扇形面积、二次函数求极值、均值不等式、正余弦函数、积化和差、和差积化、半角倍角公式、直线方程、对称性、数学归纳法和数学作图等知识。
在解三角形三角函数的问题中，常用的数学方法包括正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、均值定理等。
此外，还需要掌握均值定理的应用，例如在已知和为定值或积为定值的情况下，求出最大或最小值。
对于圆的问题，需要掌握圆心角和弧度的概念，并掌握弧度制与角度制的换算公式。
在解决扇形问题时，需要掌握扇形的圆心角、弧长、周长和面积的计算方法。
在解决角三角函数的问题时，需要掌握基本关系式和诱导公式。
1、二次函数的零点与图像对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a\neq0)$，其零点的情况有以下三种：① $\Delta>0$，方程有两不等实根，此时二次函数的图像与$x$轴有两个交点；② $\Delta=0$，方程有两相等实根，此时二次函数的图像与$x$轴有一个交点；③ $\Delta<0$，方程无实根，此时二次函数的图像与$x$轴无交点，也就是没有零点。
2、空间几何中的直线斜率和垂直关系一条直线的斜率$k$是其倾斜角$\alpha$（$\alpha\neq90°$）的正切值，即$k=\tan\alpha$。
数学知识在高中物理解题中的应用
2018.04新课程研究摘要:物理是实践性很强的学科,教学往往是基于实验展开的。
但是,从物理学研究的发展进程来看,仅仅依赖于实验是不够的。
在教学中,高中物理教师应用数学知识进行物理教学,使得学生在物理知识的学习中合理运用数学知识,并且有助于学生建立数学思维方式,运用数学逻辑推理的方法学习物理知识,由此提高物理解题能力,物理课堂教学质量也会得到相应提高。
文章针对数学知识在高中物理解题中的应用展开研究。
关键词:数学知识;高中物理;解题;应用作者简介:王昭娟,曲阜师范大学附属中学教师,中学一级教师,研究方向为高中物理教学。
(山东曲阜273165)中图分类号:G633.7文献标识码:A文章编号:1671-0568(2018)12-0056-02□王昭娟数学知识在高中物理解题中的应用物理学科属于综合实践性学科,其中数学知识的运用发挥着工具性的作用。
虽然物理知识和数学知识各有侧重点,但两者在实践应用领域是融会贯通的。
物理的运算离不开数学,数学运用于应用领域中也会涉及物理知识。
高中物理知识具有一定的复杂性,需要通过实验验证,相关的解题离不开数学知识。
在高中物理教学中,将数学知识融入其中,做到数学与物理的充分结合,落实到物理解题中,对提高学生的物理解题能力具有重要的作用。
一、高中物理解题合理应用数学知识的方向1.物理解题对代数知识的应用。
物理公式与数学公式有相似之处,在应用中可以举一反三。
使用物理公式可以通过已知项将未知项推导出来。
物理的运算题多种多样,对于数学知识合理运用,不仅可以对物理知识深入理解,而且运算更为容易。
在物理解题过程中,抛物线的应用是非常广泛的。
在应用数学的抛物线方程时,充分发挥联想,就可以将解题的思路确定下来。
另外,在物理解题中,未知项x 得以广泛应用。
可以按照数学的思维方式,将物理题中需要求的值设定为x ,通过运用数学公式推导,就可以求解。
比如,一个物体做自由落体运动,下落第一秒的距离在整个下落高度中所占的比例为9/25,这个物体下落的高度是多少?对这道题进行解答时,首先需要理顺思路,将第一秒下落的距离与整个下落高度之间的关系进行明确,用数学的比例关系思考这个物理问题就不会感到很复杂。
数学知识在高中物理解题中的应用研究
数学知识在高中物理解题中的应用研究数学是一门与物理学密切相关的学科，其知识和方法经常被应用于高中物理解题中。
本文将从几个常见的物理问题出发，探讨数学知识在高中物理解题中的应用研究。
牛顿第二定律是描述物体运动的基本定律之一，一般表达为F=ma，其中F表示作用力，m表示物体质量，a表示加速度。
在计算机物体受力和运动情况时，数学知识可以帮助我们进行相关计算。
当给定一定的力和质量，可以通过牛顿第二定律计算物体的加速度；反之，我们也可以通过已知的加速度和质量，计算物体所受的力。
这个过程需要用到代数的知识，解一元一次方程、计算一些基本的数学表达式等。
物理学中经常会出现一些几何问题，例如求两点之间的距离、计算速度和加速度的方向等。
这些问题需要用到几何的知识。
求两点之间的距离可以利用勾股定理或者向量的知识来解答；计算速度和加速度的方向可以借助三角函数的知识进行计算。
高中物理问题的解答往往需要我们熟练掌握几何知识，并能够将其和物理学的概念相结合。
高中物理问题中经常涉及到一些函数的应用。
在运动学中，物体的位移和时间之间的关系可以用函数表达式来描述；在力学中，当力和位移满足一定的关系时，可以通过积分的方法计算所做的功。
这些问题需要我们对函数的性质有一定的了解，并能够应用函数的知识解决相关问题。
数学知识在高中物理解题中的应用研究是非常广泛的。
无论是解答牛顿第二定律问题、几何问题、函数问题，还是应用微积分、统计学和概率论等数学方法解决物理问题，都需要我们掌握一定的数学知识和方法。
通过研究数学知识在物理解题的应用，可以帮助我们更好地理解物理学的概念和原理，并提高解决物理问题的能力。
数学知识在物理解题中应用四则
Ｃ． ． ２ 。 Ｏ４ Ａ
Ｄ． ． ５ 。 ０４Ａ
图 １
分析与解 Ｐ置于 口端时 ， Ｌ、 。 串联 ， 灯 Ｒ、 电源电压 Ｕ＝ ０２ Ａ（ Ｉ ｌ ＋Ｒ ） ． ７Ｒ ．７ Ｒ ＋Ｒ ｚ ＝０ ２ （ Ｉ ＋
２） Ｐ置 于 ｂ时 ， 短路 ， Ｌ、 串联 ， ＝ ８Ｖ￣ Ｒ 被 灯 Ｒ Ｕ
当滑 动变 阻器 滑片 Ｐ置 于 ａ端 时 ， 电流表示 数 为
例 １ 如 图 １所示 ， 。 Ｒ ＝
０ ２ Ａ， ． ７ 当滑片 Ｐ置 于 ｂ 时 ， 端 电流 表 的示 数可 能
是（ ）
Ａ。 ． ４ 。 ０３ Ａ Ｂ． ． ８ 。 ０３ Ａ ，
１１， ＝８ ， ０２Ｒ２＝ １ Ｒ为定值 电阻 ， ＝２
范围在 ｏ２ ‘８ Ａ～ ｏ ．７两 ） ２
．
２警 Ａ 间ｎ ７ 车 ） ，： （ 之 ｌ Ｊ
ｚ： （ 卫＞ ｏ ， ｆ＝ ０ ４ ２ ｚ＋ Ｚ ） ）则 ．（ ＋ Ａ
２ Ｉ
。
０４Ａ～ ０３５ 之间， ．２ ．４Ａ 故选 Ｂ。
例 ３ 如 图 ３所 示 ， 电源
设 Ｙ—ｚ ＋三 ， 当ｚ＝ 时 ， ： １ ｚ＝一 即 ｚ＝ 时（
（ Ｘ） ０ ． ０ ６ ． Ｏ ６ ２０ ２ ．
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｏ Ｐｈ ｓｃ Ｔｅ ｃ ｉｇ ｏ ｒ ａ ｆ ｙ ｉｓ ａｈｎ
４ 卺急 ） ４ （ （ Ａ ｛ 。 Ｒ ｌ， Ｊ取 。 １ ） ＋ 一． 十 ＋ ） （ 鼍） ＜・ ８所 的值 ． 十 （ １ 。 ２卺 急 设 篙 ＮＯ ． Ｑ 以 Ｎ ＜
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见Ｉ取 范在．～． ） 间 电 ， 值 围 ０ ０萼 之 ， 流 ２ 的 ２ ２Ａ 即 Ａ （
数学知识在物理解题中的应用(用高考题来讲解)1
力 学
几何图形法
a b
高考试题剖析 通过做辅助线连接ab 通过做辅助线连接ab 与ac,应用几何图形法, ac,应用几何图形法, 应用几何图形法 根据圆的知识解得
c d
R t1=t2=t3= 2 g
力 学
高考试题剖析
例3.一电场的电场强度随时间变化的图像如 图所示,此电场中有一个带电粒子, 图所示,此电场中有一个带电粒子,在t=0 时刻由静止释放, 时刻由静止释放,若带电粒子只受电场力 作用,则下列判断正确的是( 作用,则下列判断正确的是(D) E/(V/m) A.带电粒子将向一个方向运动 A.带电粒子将向一个方向运动 40 B.1～3s内 B.1～3s内,电场力的功率为零 C.3s末带电粒子的速度最大 C.3s末带电粒子的速度最大 20 4s内 D.2～4s内,电场力的做功等于零
一.关注《考试大纲》对能力 关注《考试大纲》 要求的变化
应用数学处理物理问题的能力是指 应用数学处理物理问题的能力是指 能够根据具体问题列出物理量之间的关 系式,进行推导和求解, 系式,进行推导和求解,并根据结果得 出物理结论;必要时能运用几何图形, 几何图形 出物理结论;必要时能运用几何图形, 函数图像进行表达,求解. 函数图像进行表达,求解. 进行表达
1 -13.61eV
原子 物理
排列组合法
5 4 3 2
高考试题剖析
-0.54eV -0.85eV -1.51eV -3.4eV -13.61eV
1
三.高考试题中常见的数学 思想与方法
1.光学, 1.光学,近代物理学试题中常见的 光学 数学思想与方法. 数学思想与方法. 2.力学高考试题中常见的数学思想 与方法. 与方法.
( M + m)V1′ mu V2= M +m
巧用数学知识求解物理问题
ｑ Ｌ
若 一
，３
Ｗ２２
一
一寻。 （） ＾
、２
一
图 中 ＯＡ 的长 度 即 圆 形 磁 场 区 的半 径 Ｒ。 由 图 中 几 何
（） …； ÷
关 系可 得 ： Ｒ一 Ｌ 点 评 ： 学知识有 时会成 为物 理解 题 成功 与否 的关键 ， 数 诸 如 三 角 、 何 、 析 几 何 等 数 学 知 识 都 可 以 成 为 解 题 的 有 几 解
例 １一 个 小 球 从 ｈ高 处 自 由 下 落 ， 到 地 面 后 又 竖 直 ． 碰 弹起 。 由于 小球 与 地 面 碰 撞 后 有 能 量 损 失 ， 回 跳 时 的 初 它 速 度 等 于 前 一 次 落 下 来 速 度 的 ３ ４ 求 小 球 从 释 放 到 停 止 弹 ／，
跳 所 通 过 的 总路 程 。
始 运 动 ， 速 度 为 ｖ 沿 ｘ正 方 向 。后 来 ， 子 经 过 Ｙ轴 上 的 初 ， 粒
用 得 非 常 熟 练 的 方 法 却 在 物 理 解 题 中 运 用 不 出 来 ， 些 都 Ｐ点 ， 时 ， 度 方 向与 Ｙ轴 的 夹 角 为 ３ 。 Ｐ 到 Ｏ 的 距 离 为 这 此 速 Ｏ， 影 响 了 学 生 物 理 成 绩 的 提 高 。 数 学 中 ， 生 熟 悉 了 ａ ｃ 、 Ｌ， 图所 示 ， 计 重 力 的 影 响 ， 磁 场 的 磁 感 应 强 度 Ｂ 的 大 学 ｂ ｄ 如 不 求 ｘ ｚ 他 们 的 解 题 方 法 能 用 得 很 好 ， 母 变 成 了 ｖ ａ ｔＦ、 小 和 ｘ ｙ， 字 、 、、 Ｕ、 ｙ平 面 上 磁 场 区域 的 半 径 Ｒ。 ＩＥ等 ， 们 掌 握 的 数 学 知 识 有 时 很 难 迁 移 过 来 。 为 此 ， 、 他 应
数学知识在物理解题中的应用
数学知识在物理解题中的应用摘要：本文通过讲解典型例题，说明一次函数和二次函数在物理解题中的应用，提高学生应用数学知识来解决物理问题的能力.关键词：一次函数二次函数物理问题解题如何提高学生的解题能力是每位教师都必须面对且亟待解决的问题，而数学知识作为解决问题的工具，在初中物理学科的解题中有广泛的应用，尤其是一次函数和二次函数在物理解题方面的应用，况且许多物理问题都需要运用数学知识和结合图像的物理意义才能解决它.近几年中考物理在这方面也指向明确，重在考查学生的分析、比较、归纳、概括、逻辑思维和创新能力.下面结合自己在物理方面的教学经验列举几例，供同学们学习时参考.一、一次函数在解题中的应用一次函数是指解析式形如y=kx+b，在直角坐标系中为一直线，其中k为斜率，其表示这条直线的倾斜程度，在图像上表现k为的绝对值越大，直线的倾斜程度就越陡.b是截距，b的绝对值越大，直线在y轴上截得的距离就越大.例1：甲、乙两名同学进行百米赛跑，假如把他们的运动近似看做匀速直线运动处理，他们同时从起跑线起跑，经过一段时间后他们的位置如图（1）所示，图（2）中有四个在这段时间内两人运动路程s、速度v与时间t的关系图像，其中正确的是（）分析：从图（1）明显可以看出乙跑步的速度大于甲的速度，由一次函数y=kx+b可知k值越大，其倾斜越陡，通过和公式s=vt比较可知v就相当于k.故选图2中的b选项.而选项c中显示甲的速度大于乙的速度，选项d中表示甲和乙都做匀加速直线运动.点评：解决此题的关键是正确运用一次函数y=kx+b方面的知识，读懂物理图像.选项d具有较强的迷惑性，可以用题干中“假如把他们的运动近似看做匀速直线运动处理”来排除它.例2：如图（3）所示，放在水平地面上的物体受到方向不变的水平推力f的作用，如图（4）所示是推力f与时间t的关系、物体运动速度v与时间t的关系.由图像可知，在0-2s时间段内，物体处于状态，推力f做的功为 j.在物体做匀速直线运动阶段，推力f做的功为 j.在2-4s时间段内，推力f做的功为分析：由图（4）可知物体在0-2s内，速度为0，故它处于静止状态，据做功计算公式w=f·s，可得推力f做的功为0j.同样可得在物体做匀速直线运动阶段，利用速度公式s=vt求出s=8米所以推力f做的功为16j.求在2-4s时间段内，推力f做的功难度很大，因为在常规思维下，无法用s=vt求出s，经过思考，会发现物体做匀速直线运动阶段移动距离s，就是这个矩形所围成的面积，况且纯粹从数学角度考虑s=vt也有“面积“意味.故2-4s物体移动距离等于图中三角形的面积4，进一步求得推力f做的功为12j.点评：求在2-4s时间段内，推力f做的功，具有挑战性，要求学生具备创新思维能力，发现物体在某段时间内移动距离s，等于其速度图像和横坐标轴（时间）所围成图形的面积.问题便迎刃而解，此题也体现了中考考查创造性思维这一命题特点.二、二次函数应用示例二次函数是指解析式形如y=ax+bx+c（a≠0）（或y=a（x+）+），当a>0时，在x=-的情况下，y有最小值.当ar>r b.r>r>rc.r>r>rd.r>r>r2.某次演练中，直升机悬停于高空，一伞兵跳伞后竖直降落，其速度v与t时间的关系如图（7）所示.下列判断正确的是（）a.在0-t内，伞兵（含伞）受到的重力小于阻力.b.在t-t内，伞兵（含伞）受到的重力等于阻力.c.在t-t内，伞兵（含伞）的机械能不变.d.在t-t内，伞兵（含伞）受到的阻力保持不变.3.两个相同的容器分别装了质量相同的两种液体，用同一热源分别加热，液体的温度与加热时间的关系如图（8）所示.根据图像可知（）a.甲液体的比热容大于乙液体的比热容.b.如果升高相同的温度，两种液体吸收的热量相同.c.加热时间相同，甲液体吸收的热量大于乙液体吸收的热量.d.加热时间相同，甲液体的温度比乙液体的温度升高得多.4.如图（9）所示电源电压恒为3v，定值电阻的阻值为20ω，滑动变阻器的阻值变化范围为0-40ω，在不损坏电流表的情况下，滑片p位于什么位置时，电流表的示数最小？最小值是多少？[答案]1.c2.d3.a4.r=30ω时i=0.2a.。
学生如何运用数学知识处理高中物理问题
浅谈学生如何运用数学知识处理高中物理问题摘要：高中物理“培养学生运用数学处理物理问题的能力”的要求是：学生能理解公式和图像的物理意义，能运用数学进行逻辑推理，得出物理结论，要学会用图像表达和处理问题；能进行定量计算，也能进行定性和半定量分析。
关键词：数学方法；物理问题；分析一、数学知识的应用能力在物理学习中占据着重要的地位首先，数学是物理的语言，它以简洁精确的特点描述物理概念和规律。
例如，物理量的定义，像加速度、电阻、电场强度、磁感应强度等物理量的定义均用了比值定义。
在物理规律的表达如牛顿第二定律、欧姆定律等都体现了函数关系自变量与函数的关系。
在运动学中如v-t图像更能形象地描述运动特点、运动过程。
所以在物理概念规律时正是体现了数学的逻辑性。
所以，对学生来说，需要有良好的数学基础，如公式变形、比例运算、三角函数、函数方程、图象、对数、数列……其次，分析和解决物理问题的过程，就是应用所学物理知识和原理，将问题给出的物理情景，抽象或简化成各种概念模型和过程模型，用数学化的公式或方程表达出来，最后用数学知识解得结果。
在高中物理学习中，除了要掌握概念、规律，更重要的是应用规律概念解决问题。
在高中物理的学习中，解决力学、电磁学的三种途径；牛顿第二定律、能量、动量贯穿了整个高中物理的始终。
从平衡等式到牛顿第二定律到动能定理机械能守恒定律，到动量定理，到动量守恒定律，无不是列方程去解决物理问题。
二、高中物理学习中数理结合的具体体现高中物理“培养学生运用数学处理物理问题的能力”的要求是：学生能理解公式和图象的物理意义，能运用数学进行逻辑推理，得出物理结论，要学会用图象表达和处理问题；能进行定量计算，也能进行定性和半定量分析。
要实现上述目标，必须在物理学习中注重数理结合。
在中学阶段，运用数学工具解决物理问题的学习主要表现在以下两个方面：1.运用数理结合进行物理概念和物理规律的学习物理概念是对物理现象的概括，是从个别的物理现象、具体过程和状态中抽象出的具有相同本质的物理实体。
数学在高中物理中的应用
数学在高中物理中的应用摘要：为了进一步提高物理成绩，加强学生物理的综合能力。
在进行教学的过程中，物理教师要讲物理知识与数学知识，巧妙的联系在一起。
将数学计算方法应用到物理解题教学中，为学生建立物理的解题思维，促进学生物理的学习发展。
本篇文章就是基于数学在高中物理中的应用，通过探讨数学和高中物理之间的内在联系，分析数学算法在高中物理中的应用，促进高中物理的教育教学与发展，全面提高高中学生的物理成绩。
关键词：数学；高中物理；算法；应用引言：高中物理学科，蕴含的知识范围比较广泛的，包含着运动学，光学，电学，力学，磁学等多个部分，在学习的过程中需要学生有较强的计算能力。
高中物理学科学习起来比较复杂，不仅让学生了解物理的原理，还要求学生运用数学计算，应用物理公式解决物理问题。
因此物理和数学既是相互独立的学科，又有着相辅相成，共促发展的作用。
高中教师在教学的过程中，为了让学生更好的进行物理学习，要进一步提高学生的数学能力。
让学生学会应用数学的算法，结合所学习的物理知识，定律，公式等，进一步提高对物理知识的理解和掌握，学会物理的解题思维和解题算法，提高高中生物理解题能力。
一、数学与物理之间的内在联系有一句广告说的好“学好数，理，化，走遍宇宙都不怕”，数学和物理学科，作为高中阶段的两大科目。
在学习的过程中，既是独立的个体，要相互融合，共促发展。
数学的学习主要以算法，函数，导数，几何等几个方面为主。
主要是培养学生的逻辑思维能力，算术思维能力，几何思维能力，是学生创新发展的基础，是建立学生逻辑思维的关键。
高中物理学科包含着许多对自然科学的解读，包括声音，运动，电学，力学等，包含着我们生活中的方方面面。
物理的研究与发展代表着科技的进步与创新，高中生作为祖国未来的花朵，国家未来的栋梁，学好物理的基础知识是非常重要的。
在学习物理的过程中，由于物理题比较难抽象，学生会遇到很大的难题。
将物理知识巧妙地融入数学元素，利用数学思维去分析物理问题，会大大降低学生物理学习的难度。
数学知识在高中物理解题中的应用研究
数学知识在高中物理解题中的应用研究
数学和物理是紧密相关的学科，高中物理解题中的许多问题都需要数学知识来得出正确的答案。
本文主要研究数学知识在高中物理解题中的应用。
一、图像解法
在高中物理中，许多问题都涉及到图像的解法。
例如，光学中的反射和折射问题，通过构造光线图解法可以方便地找到物镜和像的关系。
同时，通过图像解法可以方便地解决角度问题，如光路角和入射角等。
二、向量解法
向量是高中物理中经常使用的一种工具，通过向量的知识可以方便地解决力学问题。
例如，求一个物体在坡面上滑行的加速度，可以通过将重力的向量分解为沿坡面方向的分力和垂直于坡面方向的分力，然后求出沿坡面方向的分力。
三、微积分解法
微积分是高中物理中不可或缺的数学知识之一，通过微积分的知识可以帮助我们解决一些变化的问题，例如速度和加速度的求解。
同时，微积分的知识还可以帮助我们解决求面积和体积的问题。
四、代数解法
代数是高中数学中最重要的一部分，代数的知识在物理中同样也有着广泛的应用。
例如，在电路中通过欧姆定律可以列出代数方程式，进而求解电路中的电流和电压。
同时，在力学问题中也可以使用代数解法，如通过牛顿定律列出代数方程式解决问题。
总之，数学知识在高中物理解题中占有重要地位，掌握扎实的数学知识可以帮助我们更加轻松地解决高中物理中的各种问题。
同时，在学习高中物理时也应注重数学的应用，通过多种角度和方法解决物理问题，才能更好地理解物理概念和知识。
数学方法在高中物理中的应用
探索篇•方法展示数学方法在高中物理中的应用张博涵（河南省商丘市第一高级中学）在物理学习中传授学生学会利用数学方法的主要目的是使学生能够具备运用数学知识解决数学课本以外的问题的基本能力。
新时期下新课程概念的推入，加强了各科教学之间的关联性，特别是物理与数学两者之间的关联性本身较强，在新课程概念的推动下，二者之间更紧密地进行联系。
因此高中阶段的学生应该掌握好数学方法，以解决好在物理中遇到的难题。
一、数学几何法在高中物理中的应用在处理高中物理问题时经常利用数学中的几何法，会涉及解直角三角形、三角形的相似以及几何公理等数学知识。
例如，高中物理教师在讲解在有界磁场中带电粒子的运动等类型题时，教学重点是在黑板上画类似的几何图形，并结合物理知识加以求解，关于此类类型题的解题主要思路是：第一步，画带电粒子的运行轨迹，第二步，找到圆心，第三步，依据两圆相交的公共弦求出圆的最小半径。
这类题的重点是圆心和半径的确定。
在对物理的变力进行分析时，需要利用到作图法与相似三角形法，运用几何法是解决部分问题的关键，因此高中学生需要掌握好数学几何法的运用。
以下题为例。
如图1所示，在直线MN上方有一磁场，其磁感应强度为B，该磁场属于匀强磁场，正负电子同时在一点O以与直线MN成30°角，以相同的速度v射入磁场，电荷为e，电子质量为m，它们在磁场中射出时相距多远？射出的时间差是多少？图1解：由公式可知，它们的半径与周期是相同的，偏转方向相反。
先确定圆心，画出半径，由对称性可知：圆心与射入、射出点三点之间形成一个正三角形。
所以两个射出点距离为2r，如图所示，时间相差2T/3。
答案是射出点，相距s=2mv Be，时间差为Δt=4πm3Bμ。
二、数学微元法在高中物理中的应用在物理中运用数学微元法相对比较常见，该方法主要是运用数学中的微分思想对高中物理题进行分析总结工作，简单来讲，是把物理问题中的研究对象进行细分，并对数学中微小的单元进行分析工作，归纳总结研究对象的变化规律。
数学知识在初中物理解题中的应用
数学知识在初中物理解题中的应用作者：施慧来源：《中学教学参考·中旬》 2013年第12期江苏启东市惠萍镇惠和初级中学（226200）施慧物理学中大量的概念和定律是用数学式子来表达的，在应用物理知识解决实际问题时，总离不开数学知识。
同时数学为物理学的研究提供了简明精确的数学语言，从而大大简化和加速了人们的思维过程，数学是学习和研究物理的最有力的工具。
一、直角三角形在解题中的应用【例1】如图1所示，一轻质杠杆OA可绕O点无摩擦转动，A端用绳子系在竖直墙壁的B 点。
在杠杆的C点悬挂一重20N的物体，杠杆处于水平静止状态。
已知OA长为50cm，OC长为30cm，∠OAB=30°。
(1）请在图中画出绳子对杠杆拉力的力臂；(2）拉力F的大小是多少？分析与解：(1）过O点作AB的垂线，交AB于D点，则拉力F的力臂就是OD。
(2）如图1，我们要求出F的大小，就要知道F的力臂OD的大小，而题目没有直接给出，但通过图形我们发现OD是Rt△OAD中30°角所对的一条直角边，由直角三角形的性质——直角三角形中30度角所对边是斜边的一半，得OD=12OA，从而求出OD的大小。
在Rt△OAD中，∠OAB=30°∴OD=50/2cm=25cm根据杠杆平衡条件得：F×OD=G×OC有F×25cm=20N×30cm解得F=24N。
二、比例法在解题中的应用【例2】如图2所示，用始终竖直向上的力F将杠杆缓慢地由图示位置拉至水平位置，那么阻力G的力臂将，动力F将。
（填“变大”、“变小”或“不变”）分析与解：向上抬起时，两个力臂l2、l1都减小了，根据杠杆的平衡条件，F=Gl2l1，我们会发现F的大小无法判定，但是在转动过程中F、G的方向是平行的，根据平行线分线段成比例定理———两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例。
可以知道在转动过程中始终满足l2/l1=OB/OA，即力臂的比值不变，而重力又不变，所以F也不变。
数学知识在物理解题中的运用
数 学 思 维 高 度融 合 的 产物 。因 此 ， 活 运 用 数 学 解题 思 想 解 决 灵 物 理 问 题 的 能力 就 显 得 非 常 重 要 。 解 决 物 理 问题 中常 用 的 数 在
３利 用 判 别式 求物 理 问题 ． ●例 ３ 如 图 １— １ 示 。一 个 阻 值 为 ５ 的 电 灯 与 一 最 ６ 所 ｎ
解析
得
设 经 过 时 间 Ｔ人 和 车相 距 ２ ｍ， 根 据 位 移 关 系 可 ０ 则
６０１２ Ｖｏ ０ ／ａ ＝２ ｍ
将 ａ ｌ ／ 代 人 上 式 并 整 理得 ＝ｍｓ ｚ
２ ｒ ８＝ Ｗ ຫໍສະໝຸດ ００ －Ａ． ６Ｖ一０Ｖ Ｂ． ６Ｖ— ３． —６Ｖ Ｃ． ６Ｖ— ． —３６Ｖ Ｄ． － ２． ６Ｖ－ ４Ｖ
解 得 Ｐ ０ Ｗ ， 消 耗 的 最 大 功 率 为 ０２ ， 时 滑 动 变 阻 ． 故 ２ ． 此 Ｗ
２韦 达 定 理 ： 于 一 般 一 元 二 次 方 程 都 有 ： 根 的 和 等 于 器 连 入 电 路 的 电 阻 为 ５ ． 对 两 Ｑ。
方 程的
一 次 项 系数 除 以二 次 项 系 数 所 得 商 的 相 反数 ： 根 的 两
点评
的研 究 提供 了 简 明精 确 的科 学 通 用 语 言 的 形 式 ， 而 大 大 简 化 方 法求 解 更 为简 便 一 些 ，这 种 简便 不 紧体 现 在 求 解 运 算 上 ， 从 更 和 加 速 了人 们 的思 维 过 程 。 理 学 中 的数 学 方 法 是 物 理思 维 和 体 现 在 解 题 思 路 上 。 物
● 例 ２ 汽 车 以 ｌ ／ 的 加速 度 起 动 ， 同时 车 后 ６ ｍ 远 处 是 ： ） ｍｓ ０ （ ２ ｍ， ０ 且持 续 时 间为 ２ 喊 停 车 ， 能 把 停 车 信 息 传 达 给 司机 ， ｓ 方 问
高中物理学习思想、方法：物理解题中常用的数学知识
物理解题中常用的数学知识物理解题运用的数学方法通常包括方程(组)法、比例法、数列法、函数法、几何(图形辅助)法、图象法、微元法等．<1>．方程法物理习题中，方程组是由描述物理情景中的物理概念，物理基本规律，各种物理量间数值关系，时间关系，空间关系的各种数学关系方程组成的．列方程组解题的步骤①弄清研究对象，理清物理过程和状态，建立物理模型．②按照物理情境中物理现象发生的先后顺序，建立物理概念方程，形成方程组骨架． ③据具体题目的要求以及各种条件，分析各物理概念方程之间、物理量之间的关系，建立条件方程，使方程组成完整的整体．④对方程求解，并据物理意义对结果作出表述或检验． <2>．比例法比例计算法可以避开与解题无关的量，直接列出已知和未知的比例式进行计算，使解题过程大为简化．应用比例法解物理题，要讨论物理公式中变量之间的比例关系，清楚公式的物理意义，每个量在公式中的作用，所要讨论的比例关系是否成立．同时要注意以下几点：①比例条件是否满足：物理过程中的变量往往有多个．讨论某两个量比例关系时要注意只有其他量为常量时才能成比例．②比例是否符合物理意义：不能仅从数学关系来看物理公式中各量的比例关系，要注意每个物理量的意义(例：不能据R ＝IU认定为电阻与电压成正比)． ③比例是否存在：讨论某公式中两个量的比例关系时，要注意其他量是否能认为是不变量，如果该条件不成立，比例也不能成立．(例在串联电路中，不能认为Ｐ＝RU 2中，P 与R 成反比，因为R 变化的同时，U 随之变化而并非常量)<3>．数列法凡涉及数列求解的物理问题具有多过程、重复性的共同特点，但每一个重复过程均不是原来的完全重复，是一种变化了的重复，随着物理过程的重复，某些物理量逐步发生着“前后有联系的变化”．该类问题求解的基本思路为：①逐个分析开始的几个物理过程。
②利用归纳法从中找出物理量的变化通项公式(是解题的关键)，最后分析整个物理过程，应用数列特点和规律解决物理问题。
三角形知识在物理解题中的应用
“三角形”知识在物理解题中的应用（洛阳市第十九中学 徐学金）数学是解决物理问题的基本工具和途径，应用数学知识处理物理问题是新课标高考《考试大纲》中要求考查的五种能力之一。
《考试大纲》中明确要求学生能够根据具体问题列出物理量之间的关系式，进行推导和求解，并根据结果得出物理结论；必要时能运用几何图形、函数图像进行表达、分析。
在物理教学中除了注重培养学生扎实的物理基础外，还要重视培养学生灵活、恰当地应用数学知识解决物理问题的能力。
本文梳理一下“三角形”知识在物理解题中的应用，与同行商榷。
1、正弦定理的应用正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。
即Cc B A sin sin b sin a == 例1.（2008年四川延理综考卷）两个可视为质点的小球a 和b ，用质量可忽略的刚性细杆相连，放置在一个光滑的半球面内，如图1所示。
己知小球a 和b 的质量之比为3，细杆长度是球面半径的2倍。
两球处于平衡状态时，细杆与水平面的夹角θ是A ．450B ．300C ．22.50D ．150 解析：由题目中的数据可以得出，abO 三点组成一个等腰直角三角形。
所以两底角都为︒45。
对两球进行受力分析，由于球2F 面光滑，所以两球都只受到3个力，如图2所示：重力、球面的支持力、刚性细杆的弹力。
由于是刚性细杆，所以刚性细杆对两球的弹力均沿着杆方向，且对两球的弹力大小相等。
两球处于平衡状态是，两球受到的合力都为零。
两球受到的三个力都组成一个封闭的力的矢量三角形。
再由正弦定理列出等式。
对球a ：)45sin(45sin 3θοο-=N F mg ，对球b ：)45sin(45sin θοο+=N F mg ，所以：)45sin()45sin(300θθ+=-，即3)45tan(0=+θ，所以015=θ。
答案D 正确。
2、余弦定理的应用余弦定理：对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍。
数学知识在高中物理解题中的应用研究
数学知识在高中物理解题中的应用研究一、数学在物理学中的基础作用物理学是研究物质和能量以及它们之间的相互关系的科学，而数学则是研究数量、结构、变化以及空间等概念的科学。
在物理学的研究中，数学常被用于描述和分析物理现象，提供定量的计算和分析结果。
在描述物体运动时，常常需要使用数学中的运动学知识，比如速度、加速度、位移等概念；在分析物体受力情况时，需要使用数学中的力学知识，比如牛顿定律等；在研究电磁学时，需要使用数学中的电磁场知识，比如库仑定律、安培定律等。
数学是物理学的基础，没有数学的支撑，物理学无法进行深入的研究和发展。
二、数学在解决高中物理问题中的应用在高中物理学习中，学生们通常会遇到各种各样的问题，需要运用数学知识进行解答和计算。
以下将结合具体例子，介绍数学在解决高中物理问题中的应用情况。
1. 运动学问题中的数学应用在学习运动学时，学生们常常需要使用数学知识进行运动的描述和分析。
当遇到一个物体做匀速直线运动的问题时，可以使用数学中的速度与位移的关系来解决。
又如，当遇到一个物体做加速直线运动的问题时，要使用数学中的加速度与位移、速度的关系进行计算。
还会涉及到使用数学解决运动图像、运动的合成、相对运动等问题。
通过数学知识的应用，能够更好地理解和解决运动学中的问题。
三、数学在物理学习中的重要性从上面的介绍可以看出，数学知识在高中物理解题中的应用非常重要。
数学提供了物理学研究和解决问题的基础工具和方法。
没有数学的支持，物理学就无法进行精确的描述和分析。
数学帮助理解和抽象物理问题，让物理学变得更加准确和严密。
通过数学的应用，可以建立具体的数学模型和方程来描述和解决物理问题。
数学培养了学生的逻辑思维和分析能力，在学习物理学时，也需要运用数学的逻辑和思维方式来解决问题。
在高中物理学习中，数学知识的掌握和应用非常重要。
四、数学在物理学习中的挑战与应对在高中物理学习中，数学知识的应用也会面临一些挑战，比如：数学知识的抽象性、复杂性和数学公式的运用等。
数学知识在高中物理解题中的应用研究
数学知识在高中物理解题中的应用研究二、数学在高中物理中的应用1. 数学在力学中的应用力学是物理学的一个重要分支，涉及到力、运动、能量等概念。
在力学中，数学知识的应用十分广泛，牛顿的运动定律中涉及到速度、加速度、质量等物理量的计算和分析，这就需要学生具备相应的数学能力才能正确理解和运用。
在弹簧振子、力的合成、动量守恒等问题中，也需要运用一定的数学工具进行分析和推理。
2. 数学在电磁学中的应用电磁学是现代物理学的重要组成部分，涉及到电场、磁场、电磁感应等现象。
在电磁学中，数学工具的应用尤为重要，比如在求解电场强度、电势、电流分布等问题时，需要利用高中所学的数学知识进行计算和分析。
在电磁感应、电磁波传播等问题中，也会运用到数学方法进行建模和求解。
3. 数学在热力学中的应用热力学是研究能量转化和热现象的学科，涉及到温度、热量、热力学过程等概念。
在热力学中，数学工具的应用也是不可或缺的，例如在热力学循环、热传导等问题中，需要利用数学方法进行分析和计算。
在理想气体定律、热容量、热平衡等问题中，也需要通过数学手段进行推导和求解。
三、数学对高中物理学习的影响和作用1. 提升物理问题的解决能力数学知识的掌握能够帮助学生更好地理解和解决物理问题，特别是在复杂物理现象的解释和计算中，数学工具往往起到关键作用。
通过数学方法的运用，学生可以更加深入地理解各种物理规律和定律，从而提升自己的物理问题解决能力。
2. 培养抽象思维和逻辑推理能力数学知识的学习过程中，往往需要进行抽象思维和逻辑推理，这也是物理学习中所需要的能力。
通过数学训练，学生可以逐渐提高自己的抽象思维能力和逻辑推理能力，从而更好地应对物理问题的解决和分析。
3. 增强物理学习的整体性和综合性物理学是一门综合性科学，涉及到多个学科领域的知识和方法。
数学知识的应用能够帮助学生更好地理解物理学的整体框架和内在联系，从而提高自己的学科综合素养，使得物理学习更加系统和全面。
数学知识在高中物理解题中的应用
数学知识在高中物理解题中的应用作者：蔡孟伟来源：《科教新报》2018年第11期数学是一门基础性学科，物理是建立在数学基础之上的学科，数学学习的好坏可以在一定程度上影响着物理解题效率。
我们在学习中应认真观察，找到数学和物理的相通之处，在物理解题中灵活运用数学知识，保证解题效率。
一、物理与数学的相通之处物理与数学同属于理科范畴，具有较强的逻辑性和严谨性，同时也有一些相通之处，这是二者进行联系和结合的关键所在。
具体如下：1.物理同数学一样，对于学生的抽象思维、空间思维要求较高。
二者都涉及到很多公式和定理，要求学生要具备较强的问题分析和理解能力。
由此可见，数学和物理这两门学科在学习方式和学习要求以及知识构成方面有着很多的相似之处。
2.数学主要讲的是对于问题和定理的证明和计算，而物理是建立在此基础上的，需要对于实际问题进行推论和验证。
在解题方面，二者都需要绘制公式和图形，需要利用现有的观点和理论来求证某一种新的观点。
所以说，在高中物理解题的过程中完全可以应用到数学知识，学生应灵活运用数学知识，寻找合适的解题方法，全面提高物理解题质量，强化学习效率。
二、数学知识在高中物理解题中的应用分析1.运用函数解决物理问题函数在数学中十分重要，其作为极具代表性的数学知识在物理解题中也可以应用到。
例题：小红和小明两个人从学校和图书馆两个地方相向而行，小明比小红早出发6分钟，当二人途中同时见面时，小明再多行110m，见面后速度相同，共同前行，小红到达图书馆需要7分钟，小明达到学校需要10分钟，那么二人的速度分别是多少？两地相距多远？这道题如果直接利用物理知识很难解决，不容易理解，但是如果尝试利用数学函数知识就可以很快解决问题，可以通过列方程，采用换元法轻松得出答案。
如下：假设二人见面时所在地距离学校为x，那么，小明共走=x+110，小红速度=x+110/7、小明速度=x/10；可得x/x+110/7=x+110/x/9-6，对其进行简化就可以得到另外一个方程7x/x+110-9（x+110）/x+6=0；那么，设y=x/x+110，就可以得到公式7y2+6y-10=0。
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数学知识在物理解题中的应用
李思高
（ 通许 实验 中学 ， 河南 众所周知 目前物理 高考 要考察学 生的五种能力：理解 能 通许 ４ ７ ５ ４ ０ ０ ）
用 数学处理 物理 问题的 能力在 物理高考 中又有 明确 的 要求。 所 以在解物理题时用三角 函数实属正常。 比如 ２ ０ １ １ 年全
，
该题的难点在 于从表达式 中求 出斜率并与数学图形结合 。利用好数 学图形是 解题 的关键 。 另外电磁 感应一章的题 型与 图形结合 的更 多，
几乎成 了每年 高考 必考题型 ， 这里不再一一举例。
ｊ
确定各量关 系 是 解决这 类题 的关键 ．而该类题型又往往是 高考压轴 题． 想考 高分这些基本 功是 必不 可少的 ！
、
略微复杂的数 学计算
以２ ０ １ ０ 年的全 国 课 标卷中的 ２ ４ 题为例短 跑名将 博 尔特在 北京
奥运会上创造 了 １ ０ ０ ｍ和 ２ ０ ０ ｍ短跑项 目的新世 界纪录 ． 他的成绩 分 别是 ９ ． ６ ９ ｓ 和１ ９ ． ３ ０ ｓ 。假定他在 １ ０ ０ ｍ 比赛 时从发 令到起跑 的反应 时 间是 ０ ． １ ５ ｓ ， 起跑后做 匀加速运动 ． 达到 最大速率后做 匀速运 动 ２ ０ ０ ｍ
１Ｕ
， 则Ｓ ｐ ｌ ｐ ￣ ＝ ２ ｒ ｓ ｉ ｎ ３此 １
题 的难点之一就在于三角函数 的应 用。 由一斑可见全豹 ． 三 角函数的
Ｚ
应 用在物理高考 中的计算应用相 当广泛
解。 但有些 学生能列 出式子却算不 出正确 结果 ， 时间不少用却得 不 了
满分。
四、 平面几何在物理解题 中的应用
起 跑 后 做 匀加 速 运 动 的 加 速 度 。（ 结 果 保 留 两位 小 数 ） 。 该 题 的物 理 过
Ｓ ｐ ， ｚ － ￣－ Ｊ ｔ － 求 出 ｐ角 ，在 求 ｐ角的过 程 中则需 用到 两角差公 式 ，
程并＿ 不 复杂只需设 出 加 速时间 ｔ 及百米跑匀速运动的 ｖ 即可列 出 ｖ ｔ
２ ０ １ １ 年 的全 国课标卷 ２ １ ． 如 图。 在光滑水 平面上有一质 量为 ｉ ｎ 。 的足 够长的木板 ， 其上叠放一质量为 ｍ ２ 的木块。假定木块和 木板之 间的
必不可少 ， 几何光学的计算题几何 知识更是考查 的重点 。 以 带
电粒子在磁 场中的偏 转的题 为例 ． ２ ０ １ １ 新课 标全 国卷 ２ ５ ． （ １ ９分 ） 如图， 在 区域
需结合粒子在 Ｉ Ｉ 中粒子的半径为的 ． 进入 Ｉ Ｉ 区域的速度 ｖ 与水平 方 向成 ６ ０ ￣ ， 结合几何知识有 Ｐ － ， Ｐ 。 等 高且 圆心角为 ６ ０ 。 ． ｂ 柱子在 区域 Ｉ 和ａ 粒子在 Ｉ Ｉ 区域 中时间相等 ．结合周期 关系可知 ｂ 柱子运动 的圆
斜率 为 Ｋ 。 ＝ — 一 ． 后一 阶段 对 ｍ 有ａ ： 胜
二、磁 场 中的偏转 的计 算 中
近几 年的高考 中 图像一 直是热 点 问题 ， 运动学 ， 电磁 学 的高考选择题大多会涉及 图像 问题 。这类题 中的斜率 ， 面积 ． 截距 。 交点， 拐点， 突变点等 问题都既是 重点 又是难点 。例如
国大纲卷 ２ ５ 。如 图。 与水平面成 ４ ５ 。 角的平面 ＭＮ将 空间分成 Ｉ 和Ｉ Ｉ 两个区域。一质量为 ｉ ｎ 、 电荷 量为 ｑ
（ ｑ ＞ ０ ）的 粒子 以 速度 ｏ ｖ 从平 面 ｂ ｉ ｎ 上的 Ｏ ｐ点 水 平 右 射 入 Ｉ 区 。粒 子在
力； 推理能 力 ； 分析综合能力 ； 实验能力 ； 应用数 学处理 物理 问题 的能力。教学过程中无论 老师还是学生大多更重视前 四
此题的第一问中明确给 出了偏 向角， 因为偏 向角等 于圆心 角． 作
Ａ Ｂ Ｃ ｎ
图易用几何 关 系求得 Ｒ ａ ＝ 该题的分析分 两个阶段 ：初始 阶段 两物块一起 运动 ａ ＝ — 一 ，
ｍ ￣ ＋ｍ ２
ｓ ｌ ｎｊＵ
， 再结合 Ｒ ＝
ａ廿
即可求 ｖ ， 第二 问中
比赛时 ． 反 应 时间 及 起 跑后 加速 阶段 的加 速度 和 加 速 时 间与 ｌ Ｏ Ｏ ｍ 比
小为 Ｅ ： 在 Ⅱ区运动 时。 只受到 匀强
磁 场的作用 ． 磁感应 强度 大小 为 Ｂ。 方 向垂 直于纸 面向里 求柱子首 次
从Ｉ Ｉ 区 离 开 时到 出发 点 Ｏ ｐ的距 离。 粒子 的 重 力 － ． ｊ － ￣忽略。
Ｉ （ Ｏ ≤ｘ ≤ｄ ） 和 区域 Ｕ（ ｄ ≤ｘ ≤２ ｄ ） 内分 别
存 在匀强磁场 ． 磁感应 强度 大小分别为
Ｂ和 ２ Ｂ。 方向相反 。 且 都垂直 于 Ｏ ｘ ｙ平
最大静摩擦力和滑动摩擦力相等 。现给木 块施 加一随 时间 ｔ 增 大的
水平力 Ｆ ＝ ｋ ｔ （ ｋ 是常数） 。 木板和 木块加速度的 大小分剐为 ａ 和ａ ２ ． 下
三、 三角函数变换在物理解题中的应用
的 夹角为 ３ ０ ￣ ： 此时 。 另一质量 和电荷量均 与 ａ相 同的粒子 ｂ也从 Ｐ
点沿ｘ 轴正向射入区域 Ｉ ， 其 速 度 大 小是 ａ的 １ ／ ３ 不 计 重 力 和 两 粒 子
之 间的相互作用力。求（ １ ） 粒子 ａ 射入 区域 Ｉ 时速度的大 小； （ ２ ） 当ａ
离 开 区域 Ｉ Ｉ时 ． 丑 、 ｂ两粒 子 的 ｙ坐标 之 差 。
种能力而忽视应用数学处理物理问题的能力 这种情况导致 学生 考试 中出现会而不对 ， 大量失分 的现象 。为 了引起 学生
的注意扭 转这种现 况我把近几 年高考 中出现的相 对较难 的 应用数学处理物理 问题 的几种题型总结 如下 ：
一
Ｉ区运动 时。 只受到 大小不 变、 方向 竖直向下的电场作用 ．电场 强度 大
列反映 ａ 。 和 ａ ’ 变化的图线中正确 的是（ ）
面。一质量为 ｌ ＇ ｎ 、 带 电荷量 ｑ （ ｑ ＞ ｏ ） 的粒
子 ａ于 某 时 刻 从 Ｙ轴 上 的 Ｐ点 射 入 区
域Ｉ ． 其速度方向 沿ｘ轴正向。已知 ａ在
离 开 区域 Ｉ时 ． 速 度 方 向 与 ｘ轴 正 方 向
此 题 分 两 个 过 程， 第 一 过 程为 平 抛易 求 得Ｓ ｐ ｏ ｐ ： ２ 、 ／ ｑ 譬 Ｌ ， 第
二过程 为部分 圆周运动 ，有物理过 程 易求得 ｒ － 、 ／ ｍ Ｖ ｏ ， 但要 求
ｑ
赛时相 同， 但 由于弯道和体力等因素的影响 ． 以后 的平均速率只有 跑 ｌ Ｏ Ｏ ｍ时最大速率的 ９ ６ ％． 求： （ １ ） 加速所 用时间和达到 的最大速率。（ ２ ）
ｍ ｌ ＋ｍ ２ ｍ ｌ
，
为定值 ， 对ｍ 有ａ ２ ＝
，
斜率为 Ｋ ２ ： 上 明显有 Ｋ ， 小于 Ｋ ２ ， 结合 图像 可知 Ａ项正确 。
ｍ ２
ｍ ２
心 角为 ３ ０ ￣ ， 作 图用数学知识 可求得 ａ 粒子 离开 区域 Ｉ Ｉ 时。 ａ 、 ｂ两粒
子的 Ｙ 坐标之差为 ＿ ｝ ． ＝ ｄ 由此题可见用几何知识找几何 关 系
＋ （ ９ ． ６ ９ － ０ ． １ ５ 一 ｔ ） ｖ ： １ ０ ０ ， ＋ （ １ ９ ． ３ ０ — ０ ． １ ５ － ｔ ） ０ ． ９ ６ ｖ ＝ ２ ０ ０两式联 立即可 求
ｓ ｉ ｎ ３ １ ＝ ｓ ｉ ｎ （ ４ ５ 。 ） ＝ ｓ ｉ ｎ ４ ５ ￣ ｃ ｏ ｓ ａ － － ｃ ｏ ｓ ４ ５ 。 ｓ ｉ ｎ ｃ ｔ ＝ ＿ ＝