数学知识在物理解题中的应用

２ ０ １ １ 年 的全 国课标卷 ２ １ ． 如 图。 在光滑水 平面上有一质 量为 ｉ ｎ 。 的足 够长的木板 ， 其上叠放一质量为 ｍ ２ 的木块。假定木块和 木板之 间的
必不可少 ， 几何光学的计算题几何 知识更是考查 的重点 。 以 带
电粒子在磁 场中的偏 转的题 为例 ． ２ ０ １ １ 新课 标全 国卷 ２ ５ ． （ １ ９分 ） 如图， 在 区域
列反映 ａ 。 和 ａ ’ 变化的图线中正确 的是（ ）
面。一质量为 ｌ ＇ ｎ 、 带 电荷量 ｑ （ ｑ ＞ ｏ ） 的粒
子 ａ于 某 时 刻 从 Ｙ轴 上 的 Ｐ点 射 入 区
域Ｉ ． 其速度方向 沿ｘ轴正向。已知 ａ在
离 开 区域 Ｉ时 ． 速 度 方 向 与 ｘ轴 正 方 向
三、 三角函数变换在物理解题中的应用
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数学知识在物理解题中的应用
李思高
（ 通许 实验 中学 ， 河南 众所周知 目前物理 高考 要考察学 生的五种能力：理解 能 通许 ４ ７ ５ ４ ０ ０ ）
用 数学处理 物理 问题的 能力在 物理高考 中又有 明确 的 要求。 所 以在解物理题时用三角 函数实属正常。 比如 ２ ０ １ １ 年全
Ｉ （ Ｏ ≤ｘ ≤ｄ ） 和 区域 Ｕ（ ｄ ≤ｘ ≤２ ｄ ） 内分 别
存 在匀强磁场 ． 磁感应 强度 大小分别为
Ｂ和 ２ Ｂ。 方向相反 。 且 都垂直 于 Ｏ ｘ ｙ平
最大静摩擦力和滑动摩擦力相等 。现给木 块施 加一随 时间 ｔ 增 大的
水平力 Ｆ ＝ ｋ ｔ （ ｋ 是常数） 。 木板和 木块加速度的 大小分剐为 ａ 和ａ ２ ． 下
需结合粒子在 Ｉ Ｉ 中粒子的半径为的 ． 进入 Ｉ Ｉ 区域的速度 ｖ 与水平 方 向成 ６ ０ ￣ ， 结合几何知识有 Ｐ － ， Ｐ 。 等 高且 圆心角为 ６ ０ 。 ． ｂ 柱子在 区域 Ｉ 和ａ 粒子在 Ｉ Ｉ 区域 中时间相等 ．结合周期 关系可知 ｂ 柱子运动 的圆
斜率 为 Ｋ 。 ＝ — 一 ． 后一 阶段 对 ｍ 有ａ ： 胜
＋ （ ９ ． ６ ９ － ０ ． １ ５ 一 ｔ ） ｖ ： １ ０ ０ ， ＋ （ １ ９ ． ３ ０ — ０ ． １ ５ － ｔ ） ０ ． ９ ６ ｖ ＝ ２ ０ ０两式联 立即可 求
ｓ ｉ ｎ ３ １ ＝ ｓ ｉ ｎ （ ４ ５ 。 ） ＝ ｓ ｉ ｎ ４ ５ ￣ ｃ ｏ ｓ ａ － － ｃ ｏ ｓ ４ ５ 。 ｓ ｉ ｎ ｃ ｔ ＝ ＿ ＝
此题的第一问中明确给 出了偏 向角， 因为偏 向角等 于圆心 角． 作
Ａ Ｂ Ｃ ｎ
图易用几何 关 系求得 Ｒ ａ ＝ 该题的分析分 两个阶段 ：初始 阶段 两物块一起 运动 ａ ＝ — 一 ，
ｍ ￣ ＋ｍ ２
ｓ ｌ ｎｊＵ
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， 再结合 Ｒ ＝
ａ廿
即可求 ｖ ， 第二 问中
，
该题的难点在 于从表达式 中求 出斜率并与数学图形结合 。利用好数 学图形是 解题 的关键 。 另外电磁 感应一章的题 型与 图形结合 的更 多，
几乎成 了每年 高考 必考题型 ， 这里不再一一举例。
ｊ
确定各量关 系 是 解决这 类题 的关键 ．而该类题型又往往是 高考压轴 题． 想考 高分这些基本 功是 必不 可少的 ！
此 题 分 两 个 过 程， 第 一 过 程为 平 抛易 求 得Ｓ ｐ ｏ ｐ ： ２ 、 ／ ｑ 譬 Ｌ ， 第
二过程 为部分 圆周运动 ，有物理过 程 易求得 ｒ － 、 ／ ｍ Ｖ ｏ ， 但要 求
ｑ
赛时相 同， 但 由于弯道和体力等因素的影响 ． 以后 的平均速率只有 跑 ｌ Ｏ Ｏ ｍ时最大速率的 ９ ６ ％． 求： （ １ ） 加速所 用时间和达到 的最大速率。（ ２ ）
、
略微复杂的数 学计算
以２ ０ １ ０ 年的全 国 课 标卷中的 ２ ４ 题为例短 跑名将 博 尔特在 北京
奥运会上创造 了 １ ０ ０ ｍ和 ２ ０ ０ ｍ短跑项 目的新世 界纪录 ． 他的成绩 分 别是 ９ ． ６ ９ ｓ 和１ ９ ． ３ ０ ｓ 。假定他在 １ ０ ０ ｍ 比赛 时从发 令到起跑 的反应 时 间是 ０ ． １ ５ ｓ ， 起跑后做 匀加速运动 ． 达到 最大速率后做 匀速运 动 ２ ０ ０ ｍ
起 跑 后 做 匀加 速 运 动 的 加 速 度 。（ 结 果 保 留 两位 小 数 ） 。 该 题 的物 理 过
Ｓ ｐ ， ｚ － ￣－ Ｊ ｔ － 求 出 ｐ角 ，在 求 ｐ角的过 程 中则需 用到 两角差公 式 ，
程并＿ 不 复杂只需设 出 加 速时间 ｔ 及百米跑匀速运动的 ｖ 即可列 出 ｖ ｔ
的 夹角为 ３ ０ ￣ ： 此时 。 另一质量 和电荷量均 与 ａ相 同的粒子 ｂ也从 Ｐ
点沿ｘ 轴正向射入区域 Ｉ ， 其 速 度 大 小是 ａ的 １ ／ ３ 不 计 重 力 和 两 粒 子
之 间的相互作用力。求（ １ ） 粒子 ａ 射入 区域 Ｉ 时速度的大 小； （ ２ ） 当ａ
离 开 区域 Ｉ Ｉ时 ． 丑 、 ｂ两粒 子 的 ｙ坐标 之 差 。
比赛时 ． 反 应 时间 及 起 跑后 加速 阶段 的加 速度 和 加 速 时 间与 ｌ Ｏ Ｏ ｍ 比
小为 Ｅ ： 在 Ⅱ区运动 时。 只受到 匀强
磁 场的作用 ． 磁感应 强度 大小 为 Ｂ。 方 向垂 直于纸 面向里 求柱子首 次
从Ｉ Ｉ 区 离 开 时到 出发 点 Ｏ ｐ的距 离。 粒子 的 重 力 － ． ｊ － ￣忽略。
国大纲卷 ２ ５ 。如 图。 与水平面成 ４ ５ 。 角的平面 ＭＮ将 空间分成 Ｉ 和Ｉ Ｉ 两个区域。一质量为 ｉ ｎ 、 电荷 量为 ｑ
（ ｑ ＞ ０ ）的 粒子 以 速度 ｏ ｖ 从平 面 ｂ ｉ ｎ 上的 Ｏ ｐ点 水 平 右 射 入 Ｉ 区 。粒 子在
力； 推理能 力 ； 分析综合能力 ； 实验能力 ； 应用数 学处理 物理 问题 的能力。教学过程中无论 老师还是学生大多更重视前 四
种能力而忽视应用数学处理物理问题的能力 这种情况导致 学生 考试 中出现会而不对 ， 大量失分 的现象 。为 了引起 学生
的注意扭 转这种现 况我把近几 年高考 中出现的相 对较难 的 应用数学处理物理 问题 的几种题型总结 如下 ：
一
Ｉ区运动 时。 只受到 大小不 变、 方向 竖直向下的电场作用 ．电场 强度 大
１Ｕ
， 则Ｓ ｐ ｌ ｐ ￣ ＝ ２ ｒ ｓ ｉ ｎ ３此 １
题 的难点之一就在于三角函数 的应 用。 由一斑可见全豹 ． 三 角函数的
Ｚ
应 用在物理高考 中的计算应用相 当广泛
解。 但有些 学生能列 出式子却算不 出正确 结果 ， 时间不少用却得 不 了
满分。
四、 平面几何在物理解题 中的应用
ｍ ｌ ＋ｍ ２ ｍ ｌ
，
为定值 ， 对ｍ 有ａ ２ ＝
，
斜率为 Ｋ ２ ： 上 明显有 Ｋ ， 小于 Ｋ ２ ， 结合 图像 可知 Ａ项正确 。
ｍ ２
ｍ ２
心 角为 ３ ０ ￣ ， 作 图用数学知识 可求得 ａ 粒子 离开 区域 Ｉ Ｉ 时。 ａ 、 ｂ两粒
子的 Ｙ 坐标之差为 ＿ ｝ ． ＝ ｄ 由此题可见用几何知识找几何 关 系
二、 图 像 问题
这部分 数学知识 在带 电离子在磁 场 中的偏转 的计 算 中
近几 年的高考 中 图像一 直是热 点 问题 ， 运动学 ， 电磁 学 的高考选择题大多会涉及 图像 问题 。这类题 中的斜率 ， 面积 ． 截距 。 交点， 拐点， 突变点等 问题都既是 重点 又是难点 。例如