随机过程-习题-第1章

1.1 某公共汽车站停放着两辆公共汽车A 和B ，从1=t 秒开始，每隔1秒有一乘客

到达车站。如果每一乘客以概率21登上A 车，以概率21

登上B 车，各乘客登哪一辆

车是相互统计独立的，并用j ξ代表j t =时乘客登上A 车的状态，即乘客登上A 车则

1=j ξ，乘客登上B 车则0=j ξ，即{}21

1==j P ξ,{}

2

10==j P ξ，当n t =时在A 车上的乘客数为

∑==n

j j n 1

ξη

n η是一个二项式分布的计算过程。

（1） 求n η的概率分布，即{}；n k k P n ,,2,1,0? ===η

（2） 当公共汽车A 上到达10个乘客时，A 即开车（例如21=t 时921=η，且22

=t 时又有一个乘客登上A 车，则22=t 时A 车出发），求A 车的出发时间n 的概率分布。

(1) 解：n t =时在A 车上的乘客数n η服从二项分布，即

{}{}(){}()

),,2,1,0(2101n k C P P C k P n

k n k

n j k

j k

n

n =⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=====-ξξη

(2) 解： A 车的出发时间t 服从负二项分布。设在n 时刻第10位乘客登上A 车，即A 车出发时间n t =，那么在前1-n 个时刻登上A 车的乘客数为9，登上B 车的乘客数为10-n ；若设乘客登A 车概率为p (=1/2)，登B 车概率为q (=1/2)，则随机变量n t =的概率为

{}(

)n

n n n C p q

p C n t P ⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=

=

=---219110

991

其中， ,12,11,10=n 。

1.2 设有一采用脉冲调制以传递信息的简单通信系统。脉冲的重复周期为T ，每个周期传递一个值；脉冲宽度受到随机信息的调制，每个脉冲的宽度均匀分布于（0，T ）内，而且不同周期的脉宽是相互统计独立的随机统计变量；脉冲的幅度为常数A 。也就是说，这个通信系统传送的信号为随机脉宽等幅度的周期信号，它是一随机过

程)(t ξ。图1-2给出了它的样本函数。求：(1) )(t ξ的一维概率密度函数)()(x f t ξ。(2)

)(t ξ的二维概率密度函数)()(x f t ξ。

图1-2 题1.2的样本函数

(1) 解：因为)(t ξ的每个周期内的脉宽是服从同一均匀分布的随机变量，且各周期间是统计独立的，所以)(t ξ的一维概率密度函数)()(x f t ξ是以T 为周期的周期函数。显然，)(t ξ只取A 和0两个值。因此，)(t ξ的一维概率密度函数可以表示为

)(}0)(Pr{)(})(Pr{)()(x t A x A t x f t δξδξξ=+-==

假设),2,1,'0()1(' =≤≤-+=n T t T n t t ，则在第n 个周期中

T

T

n t T t d T t A t nT

t T n n n )1(111}'Pr{})(Pr{')1(---

='-==≥==⎰+-ηηξ 同理可得

T

T

n t t t n )1(}'Pr{}0)(Pr{--=

<==ηξ 于是，)(t ξ的一维概率密度函数为

)()1()()1(1)()(x T T n t A x T T n t x f t δδξ--+-⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡---= 其中， ,2,1,)1(=≤≤-n nT t T n 。 (2) 解：求二维概率密度函数分成两种情况：

第一种情况：1t 和2t 不在同一周期内，由于不同周期内取值相互统计独立，所以二维概率密度函数为

T

2T

3T

t

⎭

⎬⎫⎩⎨⎧--+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⨯⎭

⎬⎫⎩⎨⎧--+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=)()1()()1(1)()1()()1(1),;,(2222111

12121)(x T T

n t A x T T n t x T T

n t A x T T n t t t x x f t δδδδξ

其中，),2,1()1(1 =+≤≤n T n t nT ，),2,1()1( =+≤≤m T m t mT ，并且m n ≠。

第二种情况：1t 和

在同一周期内，再分成三种情况(脉冲沿指下降沿)：

A ：脉冲沿在],[1t nT 间；

B ：脉冲沿在],[21t t 间；

C ：脉冲沿在])1(,[2T n t +间。

相应的概率为

T

nT t dt T A P t nT -==⎰

11

1

)( 同理可得

T

t t B P 1

2)(-=

T

t T n C P 2

)1()(-+=

相应的条件概率为

)()(),;,(1212121|x x x t t x x f A -⨯=δδξ

即1}0,0{21===x x P 。类似可得

)()(),;,(212121|x A x t t x x f B δδξ⨯-= )()(),;,(1212121|x x A x t t x x f C -⨯-=δδξ

于是，

T

t T n x x A x T t t x A x T nT t x x x C P t t x x f B P t t x x f A P t t x x f t t x x f C B A t 2

121122*********|2121|2121|2121)()1()()()()()

()()(),;,()(),;,()(),;,()

,;,(-+--+--+--=++=δδδδδδξξξξ