36分离变量法求解恒成立问题

【例6】关于 的方程 恒有解，则实数 的取值范围为
【答案】
【解析】设 ，则原方程恒有解等价于方程 恒有正根。
法一：分离变量法求解： 恒有解，设 ，当且仅当 时， ，当 时， ，故实数 的取值范围为 ；
法二：利用韦达定理求解：
设方程 的两个正根分别为 ， ，即 ，解得 ，即 ，故实数 的取值范围为 ；
设 ， ，设 ， ， 即 ，又因为 ，故实数 的取值范围为 。
【点评】将所求变量与其他变量分离开，通过研究式中另外一个变量的已知范围来确定所求变量的范围。若所求变量为 ，则根据 恒成立 ； 恒成立 。此题一般性解法是利用根的分布对 进行讨论，其解题过程复杂性显而易见，而将参数从恒成立不等式中分离出来，可以避免较为复杂的讨论。
法二：本题可以考虑 的零点分布情况进行分类讨论，分无零点、零点在区间的左侧、零点在区间的右侧三种情况，
⑴若函数 的图像与 轴最多一个交点时， ，即 ，解得 ，此时当 时， 恒成立，合题；
⑵当函数 的对称轴 在区间 的左侧时， ，无解；
⑶当函数 的对称轴 在区间 的右侧时， ，解得 ；
综上所述，实数 的取值范围为 。
专题36、变量分离法求解恒成立问题
若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。
【例1】已知函数 ，若对任意 恒成立，则实数 的取值范围为
【答案】
【分析】此题可经过等价转化为在区间 上 恒成立，再将转化后的不等式分离参数得 恒成立，再求得 得最大值 ，由 可得实数 的取值范围。
【解析】由题可知，在区间 上， 恒成立 在区间 上恒成立，要使 恒成立，只需 恒成立，设 ，由二次函数的性质可知，当 ，故只需 即可，故所求实数 的取值范围为 。
【例2】已知二次函数 ，若 时，总有 ，试求实数 的取值范围。
【答案】
【解析】①当 时，有 恒成立，此时 ；
②当 时， ，即 ，分离参数可得 ，令 ，即当 时恒恒成立，求实数 的取值范围。
【分析】在不等式中含有两个变量 及 ，其中 的范围已知，另一变量 的范围即为所求，故可考虑将 及 分离。
【解析】原不等式等价于 ，要使上式恒成立，只需 大于 的最大值，故上述问题转化成求 的最值问题。
， ，即 ，
①当 时， 即可，即 ，解得 ；
【例4】设 ,当 时，都有 恒成立，则实数 的取值范围为
【答案】
【解析】法一：由题可知，函数 ,当 时，都有 恒成立，即 在 上恒成立，即 在 上恒成立， ，
①当 时， 恒成立，即
设 ，当 ，即 时， ；
②当 时，即 ，此时 ，显然合题， ；
③当 时， 恒成立，即 ，
设
当且仅当 ，即 时， 。
综上所述，实数 的取值范围为 。
法三：利用根与系数的分布关系求解：
设 ，如图所示，
所求问题转化为方程 有正根的问题。设 ，
⑴ ,即 或 ；
① 时， ,得 ，不合题意；
② 时， ,得 ,符合题意，
⑵ ,即 或 时， ,故只需对称轴 ，即 。
综合所述，实数 的取值范围为 。
综上所述，实数 的取值范围为 。
【例5】已知 ，若 恒成立，则实数 的取值范围为。
【答案】
【解析】法一：分离变量法求解：由题可知， 在 上恒成立，即 ， ， ，
①当 时， ，令 ，当且仅当 ，即 时取等号， ， ；
②当 即 时， ，此时 ；
③当 时， ，令 ，当且仅当 ，即 时取等号， ， ；
综上所述，实数 的取值范围为 。
法二：设
⑴当 时，即 时，对一切 时，都有 恒成立；
⑵当 时由图可得以下充要条件：
，即 ，得 。
综上所述，实数 的取值范围为 。
法三：若二次函数 大于 恒成立，则有 ，若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。
⑴当 时，即 时，对一切 时，都有 恒成立；
⑵设方程 的两个根分别为 ，且 ，由韦达定理可知 ，得 ，
②当 时， ，即 ，解得 ；
综上所述，实数 的取值范围为 。
【点评】注意到题目中出现了 及 ，而 ,故若把 换元成 ,则可把原不等式转化成关于 的二次函数类型。
【总结】含参数不等式分离后的形式因题、因分法而异，因此解决含参数不等式恒成立的问题需把握住以下一般性结论：
① 恒成立 ；② 恒成立 ；
③ 恒成立 ；④ 恒成立 。