幂级数求和问题20140616

n 0

若幂级数在收敛区间的右端点 x R 收敛, 在收敛区间的右端点 x R 左连续, 说明：这一性质在求某些特殊的数项级数之和时，非 则其和函 常有用。
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求幂级数的和函数的技巧: 求导取分母，积分去分子 n在分子上,利用 n在分母上,利用
当幂函数的系数是n的有理整式(n在分子上),先逐 项积分把n约去,在逐项求导求和函数.
1 n 2 n n 1

ln 2.
n在分母上先导后积
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1112B 求级数

un 1 (n 1)( x 1) 解: 由 lim lim | x 1|, n u n n n 当 | x 1| 1, 时级数收敛
( n 1)( x 1) 的收敛域及和函数. 并求 n 1 的值. n 2 n 0 n＝0
对x 0, 2，
x 1 n 0
在 0, 2内设级数的和函数为 , S x ,
易知x 2和x 0时, 原级数发散,所以收敛域为 0， 2 .
S t dt n 1 (t 1) dt ( x 1)
x n 1 n 0

n1
2 当1 ( x 1) 1 ， 故|x 1| 2, 即 1 x 3 时, 4
级数收敛;
2 当1 ( x 1) 1,故|x 1 | 2, 即x 3或x 1时, 级数发散. 4
( 1)n 当x 3或1时, 级数为 , 此级数收敛; n 1 2n
2 n1
当 x 2 1, 当 x 1,
2
时级数收敛
时级数发散 (1) n 当x 1 时, 级数为 , 收敛; n 0 2n 1 (1) n 1 当 x 1 时, 级数为 , 收敛. n 0 2n 1
故收敛半径为 R 1.
原级数的收敛域为 [1,1]. n在分母上先导后积
解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 ,
收敛 , x = 1 时级数发散,
x 1 x x x n 1 n 1 dt ln(1 x) t dt ( t )dt 0 0 0 1 t n 1 n n 1 n 1
n
ln(1 x), x [1,1)

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0809B
2 n 2
在收敛域的和函数
n 2 2 un1 ( x) x 2n x x lim 2 n lim 解: lim n n 1 n u ( x) n 2( n 1) x n
当 x 2 1, 2 当 x 1,
时级数收敛 时级数发散
n 0
1112B 求级数
n 1 的值. n 并求 ( n 1)( x 1) 的收敛域及和函数. n 2 n＝0 n 0 n 解: 对x 0, 2， s ( x) ( n 1)( x 1)



n 0

x
1Hale Waihona Puke Baidu
s(t ) dt n 1 (t 1) dt ( x 1)

(1) 2n ( x 1) 的收敛半径和收敛域. 1011B 求级数 n n1 4 (2n 1)
n
un1 ( x) 1 2n 1 1 2 2 | lim ( x 1) ( x 1) 解: lim | n u ( x ) n 4 (2n 3) 4 n

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1213B.
1 的收敛域及和函数 并求 n 的值. n 1 2 n
1213高数B

解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 ,
收敛 , x = 1 时级数发散,
xn s ( x) , s(0) 0, n 1 n n n 1 xn 1 x nx n 1 s( x) ( ) ( ) x 1 x n 1 n n n 1 n 1 n n 1
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1 2 n 1 例 求 1 x 的和函数. 2n 1 n 0
n

2n 1 2 2 un1 ( x) x 2n 1 x x lim 2 n1 lim 解: lim n 2n 1 n u ( x) n 2n 1 x n
x n n 0 1 n 0


n 1
x 1 . 2 x
对上式两边求导，得
d x x 1 1 s ( x) s t dt ( ) . 2 1 dx 2 x (2 x)
0 x 2
4.
x1 1 2
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从而
1 n 1 1 n (n 1)( ) 2 n (2 x ) 2 2 n＝0 n＝0
当幂函数的系数是n的有理分式(n在分母上),先逐 项求导把n约去,在逐项积分,求和函数.
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在区间 1,1 内的 (1)n 的和. 和函数， 并求级数 n n 1 (2n 1)3 1 n 2 n 1 1 n 1 2 n 1 S ( x ) ( 1) x 解: (1) x 2n 1 n 1 2n 1 n 0 S (0) 0, 两端求导得 1 n 1 2 n 2 n , x 1,1 S ( x) (1) x ( x ) 2 1 x n 0 n 0 x x 1 arctan x . dx S ( x) S (0) S( x) dx 0 0 x (1,1). 1 x2 (1)n (1)n 1 (1)n n 2n 2 n 1 (2 n 1)3 (2 n 1)( 3) 3 (2 n 1)( 3) n 1 n 1 n 1 1314C.
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0910B n n 1 求级数 ( n 1)( x 1) 的收敛域及和函数. 并求 n 的值. n0 n＝0 2
un 1 (n 1)( x 1) lim | x 1|, 解: 由 lim n u n n n 所以当 | x 1| 1,即0 x 2时，原级数收敛.

s( x) s(0)
1 n 2 n n 1

x
0
1 s( x) d x 0 d x ln(1 x). 1 x
x
x [1,1).
ln 2.
n在分母上先导后积
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求幂级数
1213高数B 1 的和函数 并求 n 的值. n 1 2 n
求幂级数的和函数的方法: 先通过幂函数的代数运算和逐项求导,逐项积分等 性质转化为两类典型的幂级数求和问题:
nx
n 1 n 1 n

n 1
与x . n 1 n
n

n
1 x 1 x , x 1 n 0
n

1 1 nx ( x ) ( x ) ( , 1) 2 (1 x) 1 x n 1 n 1 n 1 x (1,1) x 1 x x n x n1 n 1 dt ln(1 x) t dt ( t )dt 0 1 t 0 0 n 1 n n 1 n 1 x [1,1)
x 1 . 2 x
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对上式两边求导，得
d x x 1 1 s ( x) S t dt ( ) . 2 1 dx 2 x (2 x)
0 x 2
从而
n 1 1 n (n 1)( ) n 2 n＝0 2 n＝0 1 | 4. 2 x 1 1 2 (2 x )
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若幂级数 在收敛域上连续．
的收敛半径
则其和函
若幂级数在收敛区间的左端点 x R 收敛, 则其和函
x R n 0
在收敛区间的左端点 x R 右连续,
n x R
lim S ( x ) an ( R )
lim S ( x ) an R n

故收敛半径为 R 2.
原级数的收敛域为 1,3.
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1011B
利用逐项求导或逐项积分，求级数
3 5 2 n 1
解:
2
x x x x 3 5 2n 1 un1 ( x) 2n 1 2 lim | | lim x x2 n u ( x ) n 2n 1 n
时级数收敛

的和函数.
当 x 1, 2 当 x 1,
1 当x 1 时,级数为 , 此级数发散; n 1 2n 1 1 当x 1 时,级数为 , 此级数发散; n 1 2n
时级数发散
故收敛半径为 R 1.
收敛域为(1,1).
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1011B
利用逐项求导或逐项积分，求级数
n


所以当 | x 1| 1,即0 x 2 时，原级数收敛 .
当x 0时,级数为 (1) (n 1), 发散;
n
当 | x 1| 1, 时级数发散
故收敛半径为 R 1.
当x 2时,级数为 (n 1), 发散.
n 0
收敛域为(0, 2).
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1314C.
在区间 1,1内的 (1)n 的和. 和函数， 并求级数 n n 1 (2n 1)3
(1)n 1 (1)n 解: n 2 n 1 (2 n 1)3 3 n1 (2n 1)( 3) n 1

1 1 1 1 S( ) arctan 3 3 3 3 3 1 . 18 3 6


x
0
1 2n (t ) dt t n 1
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1 例 求 1 x 2 n1 的和函数. 2n 1 n 0
n

解 设S x (1) n
1 x 2 n1 , S 0 0, 两端求导得 2n 1 n 0 1 2n 2 n S x 1 x ( x ) , x 1,1 2 1 x n 0 n 0 两端积分得 x 1 S x S 0 dx arctan x, x 1,1 2 0 1 x
x x x 3 5
3
5
x 2n 1
S (0) 0,
2 n 1
的和函数.
在( 1,1)内,

x 2 n 1 S( x) , n 1 2n 1

x 2 n 1 2n 2 1 2n S x ( ) x x n 1 2n 1 n 1 1 x2 n 0 x x 1 S ( x ) S (0) S ( x )dt dt 2 0 0 1 x x (1,1). 1 1 x ln . 2 1 x

故收敛半径为 R 1.
1 当x 1 时,级数为 , 此级数发散; n 1 2n
收敛域为 (1,1).
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x 求幂级数 的收敛域及和函数. n 1 2 n
解:

2n
在( 1,1) 内,有
2n
x1 2n x 2 n 1 t dt t dt 0 s ( x) 0 t n 1 2 n n 1 n 1 x