结构力学第四章位移计算

B′ B
求结构上两点水平(竖向 或连线方向)相对线位移
FP=1
A
FP=1
B
FP=1 FP=1
AB
求结构上两点水平(竖向或连线方向)相对线位移，在两点 沿水平(竖向或连线方向)加上两个方向相反的单位力
结构力学第四章位移计算
M=1 M=1 C
若求结构两个截面的相对角位移 在两个截面上加两个方向相反单 位力偶
FP
△
在常力FP作用下，物体沿力的方向发生位移△，则常力FP 在位移过程中作的功为: W=FP△ 力偶M在物体转动θ过程中作的功为: W=Mθ 广义力P：作功的可以是一个集中力、一个力偶、一组集中 力、一组集中力偶，统称为广义力P 广义力P由于相应广结义构力位学移第四△章位作移计功算： W=P△
力在其它因素引起位移上作的功叫虚功
1
d
1
d
d
A
求结构两个截面的相对角位移
B C
若求桁架中AB杆的角位移，应 加一单位力偶，构成这一力偶 的两个集中力取 1/d，垂直作 用于杆端
求AB杆的角位移
结构力学第四章位移计算
§4.４ 荷载作用下的位移计算
一 计算公式 荷载作用下，微段变形由内力 F NP FQP M P 引起，当材料
处于弹性工作阶段，其拉伸、剪切应变和弯曲曲率：
该式即为结构位移计结算构力的学第一四般章位公移计式算
1 适用范围： ① 静定结构和超静定结构； ② 弹性体系和非弹性体系； ③ 各种因素产生的位移计算
2 单位荷载
A
△ A′
θ
FP=1
A
求某点线位移
A M=1
若求结构上某截面角位移 求某截面角位移 在截面处加一单位力偶
结构力学第四章位移计算
A A′
三 求△C
A
B
C 2 c x 2 cy 0 .5 2 1 结.5 构2 力 学1 第.5 四章c 位8 ( 移m 计算) 1
§4.3 变形体系虚功原理
一 变形体虚功原理
任意平衡力系作用下的变形体系，给其以几何可能的变形和 位移，则体系上外力所作虚功恒等于体系内力虚功
+t1 +t2
C
外力虚功 W12=Wi12 结构内力学力第四虚章功位移计算
W12=０
1 虚设位移状态，求未知力
FP
FX·1-FP ·b/a =０
FX
a
b力状态
δP=b/a
FX= b/aFP
δX=1
位移状态
应用于实际力状态与虚设位移状态间的虚功原理，称虚位
移原理
结构力学第四章位移计算
２虚设力状态，求未知位移
C
1·Δ- b/a ·C =０
位移状态
△
a
b1
Δ=b/aC
FR b a
力状态
应用于实际位移状态与虚设力状态间的虚功原理，称虚力
原理
二 支座移动时静定结构的位移计算
1 单位荷载法 用虚设单位荷载求结构位移的方法 单位荷载应与拟求位移对应
结构力学第四章位移计算
２ 计算步骤
i
K
i FP=1
K
△
K′
C3
i
F R1
i
C1
C2 位移状态
F R3
力状态
F R2
① 在Ｋ点沿拟求位移方向虚设相应的单位荷载，求出单位
二 位移计算的目的
1 验算结构的刚度 结构变形不得超过容许值
2 结构设计、制作、养护过程中，常需预先知道结构变形后 的位置，以便采取相应的施工措施
3 位移计算是超静定结构计算的基础 超静定结构计算要同时满足平衡条件和变形连续条件
结构力学第四章位移计算
三 位移计算中的基本假定
１材料处于弹性阶段，应力与应变之间成正比（物理线性） ２结构变形微小，不影响力的作用（几何线性）
第四章 结构位移计算
结构力学第四章位移计算
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§4.1 概述
一 结构的位移
在荷载、温度改变、支座移动等外因作用下，结构上各点 各截面发生移动、转动，这些移动和转动统称为结构位移
A △Ay
A △A
A′ A′
△Ax
θA
△A A A′
θA
△B
θB B′ B θAB
以上位移统称位移△， △为广义位移
结构力学第四章位移计算
+t1 K +t2
△
K′ C
i
i FP=1 K
i
① 在Ｋ点沿拟求位移方向虚设相应的单位荷载，求出单位荷
载作用下的支座反力 F RK 及结构内力F N 、F Q 、M
② 虚力状态外力由于实际位移所作虚功，按变形体虚功原理
1 • F R C K K ( F N F Q 0 M ) ds ( F N F Q 0 M ) d sF R C K K
荷载作用下的支座反力 F RK ②虚力状态外力由于实际位移所作虚功，按刚体体系虚功原理
1• FRC KK0
FRK CK
式中
F RKCK
为支座反力
F RK
在相应支座位移
C
上所作虚功，
K
当两者方向一致时为结正构力学第四章位移计算
例4-1 图示刚架支座发生图示位移，求Ｃ点位移
C
D
FP=1 C
D
6m
FNP
EA
0
k
FQP GA
FN
FN FQ
M
FQ
ds
ds
M
ds dθ=κds
γ0
ds微段 整根杆 变形体系
dλ=εds
dη= γ0 ds
dwi12=FN ds+FQ 0ds +M ds
w’i12= ∫ (FN ds+FQ 0ds +M ds)
wi12=结∑构∫力(F学N第四d章s位+移F计Q算0ds +M ds)
二 位移计算的一般公i 式
A
B
1.5cm
1A
B
6m
1
1cm
解 一 求△CX
二 求△Cy
1 取虚力状态如图，求支座反力 F RK
２求△CX
2 求△Cy
FP=1
C
D
C XF R C K K ( 1 1 1 1 . 5 ) 0 . 5 c ( m )
c yF R C K K ( 1 1 .5 ) 1 .5 c( ) m
可用结构原尺寸计算力的作用与位移 ３体系所有约束为理想约束，即位移过程中体系约束力不
作功 即本章讨论的是线性变形体系的位移计算问题，体系位移与 荷载呈线性关系，位移计算可以应用叠加原理
结构力学第四章位移计算
§4.2 刚体体系虚功原理及应用
一 实功与虚功
1 实功 力在其本身引起位移中作的功(real work)
W12=P△ ①称虚功是为了强调作功的力与产生位移的原因无关这一
特点 ②实功恒为正值，虚功可为正也可为负值
③虚功中的力、位移两个要素互不相关，它们分别属于同 一体系的两种独立无关的状态
+t1
+t2
+t1 +t2 结构△力学第四章位移计算
力状态 位移状态
二 刚体体系的虚功原理
任意平衡力系作用下的刚体体系，设体系发生任一符合约束 条件的无限小的刚体位移，则体系上所有外力在位移上作的 虚功总和恒等于零