结构力学第四章位移计算
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结构力学4静定结构的位移计算
4.3 平面杆件结构位移计算的一般公式
4.3.1 单位荷载法与结构位移计算的一般公式
P R1 1
F D 1 D F
c F R 2 c2 D F R c
c2 c1
d d du i1
D F R c M d FQ dh FN du
河南理工大学万方科技学院
结构力学
第四章 静定结构的位移计算
F1 1 FB B F2 2 F3 3 0
(a)
虚位移之间的关系为 1 1 1 B 2 2
1 1 4 2 2 2 C B B 2 2 3 3 3
1 1 1 1 3 E 2 B 2 2 3 3 1 2 1 将以上各关系式代入式(a)，得 FB F1 F2 F3 2 3 3 河南理工大学万方科技学院
4.1.3 计算位移的方法
虚功法——依据虚功原理的单位荷载法。
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结构力学
第四章 静定结构的位移计算
4.2 变形体系的虚功原理 4.2.1 实功与虚功 1．功
｛
W FD cos
W 2 Fr
α
力，Δ表示广义位移） Δ
功是力与位移的矢量点积
a c l
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结构力学
第四章 静定结构的位移计算
沿所求位移方向虚设单位荷载 F=1的方法称为 单位荷载法，或称为单位力法。 当支座有给定位移时，静定结构的位移可用单 位荷载法来求解，其计算步骤如下： 1. 沿欲求位移的方向虚设相应的单位荷载，并求出
在单位荷载作用下给定位移的支座处的反力
虚功原理
W =U
可写为
位移状态 位移状态
结构力学 结构的位移计算
k
F Ndu
Md
F Q 0ds
F RC
只有荷载作用
无支座移动
k F Ndu Md FQ 0ds
由材料力学知
du
FNP d s EA
d
M Pds EI
d s
k FQP d s GA
10
1.2
9
k--为截面形状系数
A A1 [Al为腹板截面积]
FP
X
待分析平衡的力状态
(c)
直线
几点说明：
X C (1) 对静定结构，这里实际用的是刚体
虚设协调的位移状态
虚位移原理，实质上是实际受力状态 的平衡方程，即
由外力虚功总和为零，即：
X F 0
X
P
C
M 0 B
(2) 虚位移与实际力状态无关，故可设
1 x
X P b 0 (3) 求解时关键一步是找出虚位移状态的
计算结构的位移，就必须明确广义力与广义位移的对应关系。常见的对应有
以下几种情况：
基本原则
求哪个方向的位移就在要求位移的方向上施加相应的单位力。
A
B
位移方向未知
时无法直接虚
拟单位荷载！
求A点的 水平位移
P=1
m=1 求A截面 的转角
m=1
m=1
求AB两截面 的相对转角
P=1
P=1
求AB两点 的相对位移
位移与约束协调:位移函数在约束处的数值等于约束位移。
§4-2 虚功原理
一、虚功原理的三种形式
1、质点系的虚位移原理
具有理想约束的质点系，其平衡的必要和充分条件是：作用于质点系的主
《结构力学》第四章 静定结构的位移计算 (3)
A M k M P ds
B EI
2
R 1
cos
( FP R
sin
)
Rd
0
EI
d
FPR3
2EI
FPk 1
A
B Bx 2 By 2
B kP
B
A M k M P ds B EI
2
(1)
(FPR sin
)
Rd
0
EI
R
O
FP R2 （
）
EI
（1）梁与刚架
三、结构的外力虚功
作用在结构上的外力可能是单个的集中力、力 偶、均布力，也可能是一个复杂的力系，为了 书写方便，通常将外力系的总虚功记为：
W = Fk × km
其中，Fk为作功的力或力系，称为广义力; km为广义力作功的位移，称为广义位移。 下面讨论几种常见广义力的虚功。
1) 集中力的虚功
Pk
k
M
4EIk
GAl 2
kP
若截面为矩形，则：A bh, I bh3 /12,k 6 l 1, 2
h / l 1 , 10
h/l 1 , 15
则：
Q kP
( h)2
Q
M kP
l
kP 25% kMP
对于粗短杆来说，剪 切变形产生的位移不可忽
Q
kP 1%
1
m
ds
第i根杆件静力状态上的力在位移状态的位移上所 作的虚功：
Vi
s FNk
mds
s FQk mds
s Mk
1
m
ds
整个杆件结构各个截面上的内力在位移状态的位 移上的所作的总虚功：
N
N
N
B EI
2
R 1
cos
( FP R
sin
)
Rd
0
EI
d
FPR3
2EI
FPk 1
A
B Bx 2 By 2
B kP
B
A M k M P ds B EI
2
(1)
(FPR sin
)
Rd
0
EI
R
O
FP R2 （
）
EI
（1）梁与刚架
三、结构的外力虚功
作用在结构上的外力可能是单个的集中力、力 偶、均布力，也可能是一个复杂的力系，为了 书写方便，通常将外力系的总虚功记为：
W = Fk × km
其中，Fk为作功的力或力系，称为广义力; km为广义力作功的位移，称为广义位移。 下面讨论几种常见广义力的虚功。
1) 集中力的虚功
Pk
k
M
4EIk
GAl 2
kP
若截面为矩形，则：A bh, I bh3 /12,k 6 l 1, 2
h / l 1 , 10
h/l 1 , 15
则：
Q kP
( h)2
Q
M kP
l
kP 25% kMP
对于粗短杆来说，剪 切变形产生的位移不可忽
Q
kP 1%
1
m
ds
第i根杆件静力状态上的力在位移状态的位移上所 作的虚功：
Vi
s FNk
mds
s FQk mds
s Mk
1
m
ds
整个杆件结构各个截面上的内力在位移状态的位 移上的所作的总虚功：
N
N
N
结构力学 位移法典型方程、计算举例
r11 B r12 CH
r21 B r22 CH R2
满足此方程，就消去了施加的2个约束
即，
r11 B r12 CH R1P 0 r21 B r22 CH R2 P 0
4）弯矩图的作法----消去最先附加的刚臂 P R1P R2P + MP图 R2
r
j 1
n
ij
Zj
，为消去该处的约束力，令： R iP
r
j 1
n
ij
Z j =0 即可。写成方程组的形式为：
r11 Z1 r12 Z 2 r1n Z n R1P 0 r Z r Z r Z R 0 21 1 22 2 2n n 2P rn1 Z1 rn 2 Z 2 rnn Z n RnP 0
R1P
R2P
+ +
r11 R A
1
r21R 2A
MP图 +
r12 B
r22 B
或
P
qL2/12
PL/8
4i
2i
q
R1P
R2P
+ A•
r11 8i r21 2i
2i
M 1图
MP图
4i
+
B•
4i r22 11i 2i r12 2i 3i 2i
M 2图
M M P M 1 A M 2 B
叠加右侧2个图，意味着结点B转动 及结点C侧移都发生。
叠加后B处的转角和C处的位移
分别为：B CH 则两处的约 束力必为R1，R2
r12 CH
r21 B r22 CH R2
满足此方程，就消去了施加的2个约束
即，
r11 B r12 CH R1P 0 r21 B r22 CH R2 P 0
4）弯矩图的作法----消去最先附加的刚臂 P R1P R2P + MP图 R2
r
j 1
n
ij
Zj
，为消去该处的约束力，令： R iP
r
j 1
n
ij
Z j =0 即可。写成方程组的形式为：
r11 Z1 r12 Z 2 r1n Z n R1P 0 r Z r Z r Z R 0 21 1 22 2 2n n 2P rn1 Z1 rn 2 Z 2 rnn Z n RnP 0
R1P
R2P
+ +
r11 R A
1
r21R 2A
MP图 +
r12 B
r22 B
或
P
qL2/12
PL/8
4i
2i
q
R1P
R2P
+ A•
r11 8i r21 2i
2i
M 1图
MP图
4i
+
B•
4i r22 11i 2i r12 2i 3i 2i
M 2图
M M P M 1 A M 2 B
叠加右侧2个图，意味着结点B转动 及结点C侧移都发生。
叠加后B处的转角和C处的位移
分别为：B CH 则两处的约 束力必为R1，R2
r12 CH
结构力学位移法
M=1 C
M=1
若求结构两个截面的相对角位移 在两个截面上加两个方向相反单 位力偶
1 d
1 d
A
求结构两个截面的相对角位移 B
d
C 求AB杆的角位移 杆的角位移
若求桁架中AB杆的角位移，应 加一单位力偶，构成这一力偶 的两个集中力取 1/d，垂直作 用于杆端
1 d1
1 d1
A
B 求AB、AC杆的角位移 、 杆的角位移
式中k—考虑剪应力沿截面分布不均匀的修正系数， 考虑剪应力沿截面分布不均匀的修正系数， 式中k 考虑剪应力沿截面分布不均匀的修正系数 与截面形状有关
∆ = ∑∫
FQ FQP FN FNP MMP ds + ∑ ∫ ds + ∑ ∫ k ds EI EA GA
式中 F N FQ M ——虚设单位荷载引起的内力 虚设单位荷载引起的内力
l
q
A B
L
∆Q ∆M
∆Q ∆M
EI = 4.8 GAl 2
= 4.8
E 8 = 2(1 + µ ) = G 3
I h2 = A 12
EI h = 1.067( ) 2 GAl 2 l
∆Q ∆M h = 1.067( ) 2 = 1.067% l
当 h= 1 时 l 10 h 1 当 = 时 l 2
FN FQ FQ
ds ds
M
M
ds dθ=κds
γ0 dη= γ0 ds dλ=εds
ds微段 微段 整根杆 变形体系
dwi12=FN εds+FQ γ0ds +M κds w’i12= ∫ (FN εds+FQ γ0ds +M κds) wi12= ∑∫(FN εds+FQ γ0ds +M κds)
结构力学-第四章-结构位移计算-2
M ( x) x (0 x a )
位移状态 (实际状态)
MP A ql 2
（2）写出各杆单位力作用下的弯矩方程式，画出弯矩图 横梁BC 竖柱CA
M ( x) a (0 x a )
ΔBV
o a
a B C
力状态 (虚设状态)
MMP dx EI 5 qa 4 1 1 4 1 3 x a x () 4 2 2 8 EI o
F N FNP Δ dx EA
桁架各杆均为等截面直杆则
F N FNP l Δ EA
§4-4 静定结构在荷载作用下的位移计算
（3）组合结构
F N FNP l MMP Δ ds EI EA
(4) 跨度较大的薄拱，其轴力和弯矩的影响相当，剪力 的影响不计，位移计算公式为
ql / 4
§4-5 图乘法
例9.图示结构 EI 为常数，求AB两点(1)相对竖向位 移,(2)相对水平位移,(3)相对转角 。 Pl P yc P ABY 对称结构的对称弯矩图与 EI A B 其反对称弯矩图图乘 ,结果 l 1 1 2 MP ( 为零 l Pl . l 4 l Pl l 2) EI 2 3 反对称弯矩图 l l 10 Pl3 1 1 () l 3 EI yc y c Mi 0 AB 0 ABX EI EI
C
§4-5 图乘法
ql2 / 2
MP
q ql2 / 8
A
B
A y c C l/2 l/2 c EI l/2 1 1 2 l ql 2 1 l 1 l ql 2 2 l ( M C EI 3 2 32 2 2 2 2 2 3 2 q 2 2 2 1 l ql 1 l ql / 2 ql / 8 ) 2 2 8 3 2 4 2 17 ql ql / 32 () 2 ql / 2 384 EI ql2 / 8
位移状态 (实际状态)
MP A ql 2
（2）写出各杆单位力作用下的弯矩方程式，画出弯矩图 横梁BC 竖柱CA
M ( x) a (0 x a )
ΔBV
o a
a B C
力状态 (虚设状态)
MMP dx EI 5 qa 4 1 1 4 1 3 x a x () 4 2 2 8 EI o
F N FNP Δ dx EA
桁架各杆均为等截面直杆则
F N FNP l Δ EA
§4-4 静定结构在荷载作用下的位移计算
（3）组合结构
F N FNP l MMP Δ ds EI EA
(4) 跨度较大的薄拱，其轴力和弯矩的影响相当，剪力 的影响不计，位移计算公式为
ql / 4
§4-5 图乘法
例9.图示结构 EI 为常数，求AB两点(1)相对竖向位 移,(2)相对水平位移,(3)相对转角 。 Pl P yc P ABY 对称结构的对称弯矩图与 EI A B 其反对称弯矩图图乘 ,结果 l 1 1 2 MP ( 为零 l Pl . l 4 l Pl l 2) EI 2 3 反对称弯矩图 l l 10 Pl3 1 1 () l 3 EI yc y c Mi 0 AB 0 ABX EI EI
C
§4-5 图乘法
ql2 / 2
MP
q ql2 / 8
A
B
A y c C l/2 l/2 c EI l/2 1 1 2 l ql 2 1 l 1 l ql 2 2 l ( M C EI 3 2 32 2 2 2 2 2 3 2 q 2 2 2 1 l ql 1 l ql / 2 ql / 8 ) 2 2 8 3 2 4 2 17 ql ql / 32 () 2 ql / 2 384 EI ql2 / 8
结构力学4静定结构的位移计算习题解答
第4章 静定结构的位移计算习题解答习题 是非判定题(1) 变形体虚功原理仅适用于弹性体系，不适用于非弹性体系。
（ ） (2) 虚功原理中的力状态和位移状态都是虚设的。
（ ）(3) 功的互等定理仅适用于线弹性体系，不适用于非线弹性体系。
（ ） (4) 反力互等定理仅适用于超静定结构，不适用于静定结构。
（ ） (5) 关于静定结构，有变形就必然有内力。
（ ） (6) 关于静定结构，有位移就必然有变形。
（ ）(7) 习题(7)图所示体系中各杆EA 相同，那么两图中C 点的水平位移相等。
（ ） (8) M P 图，M 图如习题(8)图所示，EI =常数。
以下图乘结果是正确的：4)832(12ll ql EI ⨯⨯⨯ （ ）(9) M P 图、M 图如习题(9)图所示，以下图乘结果是正确的：033202201111)(1y A EI y A y A EI ++ （ ）(10) 习题(10)图所示结构的两个平稳状态中，有一个为温度转变，现在功的互等定理不成立。
（ ）(a)(b)习题 (7)图图(b)M图(a)M P 81qM 图(b)P M 图(a)习题 (8)图 习题 (9)图(a)P习题 (10)图【解】（1）错误。
变形体虚功原理适用于弹性和非弹性的所有体系。
（2）错误。
只有一个状态是虚设的。
（3）正确。
（4）错误。
反力互等定理适用于线弹性的静定和超静定结构。
（5）错误。
譬如静定结构在温度转变作用下，有变形但没有内力。
（6）错误。
譬如静定结构在支座移动作用下，有位移但没有变形。
（7）正确。
由桁架的位移计算公式可知。
（8）错误。
由于取0y 的M 图为折线图，应分段图乘。
（9）正确。
（10）正确。
习题 填空题(1) 习题(1)图所示刚架，由于支座B 下沉∆所引发D 点的水平位移∆D H =______。
(2) 虚功原理有两种不同的应用形式，即_______原理和_______原理。
其中，用于求位移的是_______原理。
结构力学——静定结构位移计算 ppt课件
刚体位移变形力状态满足平衡条件位移状态满足约束条件第二节变形体虚功原理按外力虚功和内力虚功计算微段虚功总和微段内力虚功所以由于变形连续及相邻截面内力是作用力和反作用力的关系第二节变形体虚功原理可编辑课件ppt按刚体虚功和变形虚功计算微段虚功总和微段变形虚功所以基于平衡状态的刚体虚功原理第二节变形体虚功原理可编辑课件ppt对于直杆体系由于变形互不耦连有
要求： 领会变形体虚功原理和互等定理。 掌握实功、虚功、广义力、广义位移的概念。 熟练荷载产生的结构位移计算。 熟练掌握图乘法求位移。
第一节 位移计算概述
1、结构的位移
杆系结构在外界因素作用下会产生变形和位移。
• 变形 是指结构原有形状和尺寸的改变； • 位移 是指结构上各点位置产生的变化
线位移（位置移动） 角位移（截面转动）。
5
G0.4E
则：
ΔAV85qE4lI171501150
第三节 位移计算公式
各类结构的位移计算公式
荷载引起的位
1、梁和刚架：
ΔiP
MMPds EI
移与杆件的绝 对刚度值有关
2、桁
架： ΔiP
FNFNdPs FNFNlP
EA
EA
3、组合结构：
Δ kP
M M Pds EI
F N F Nd Ps EA
任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移 时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功 We恒等于 变形体各微段外力在微段变形上作的虚功之和 Wi。
也即恒有如下虚功方程成立：
We = Wi
第二节 变形体虚功原理 变形体虚功原理的必要性证明:
力状态
位移状态
（满足平衡条件）
（满足约束条件）
刚体位移
4、拱结构：
要求： 领会变形体虚功原理和互等定理。 掌握实功、虚功、广义力、广义位移的概念。 熟练荷载产生的结构位移计算。 熟练掌握图乘法求位移。
第一节 位移计算概述
1、结构的位移
杆系结构在外界因素作用下会产生变形和位移。
• 变形 是指结构原有形状和尺寸的改变； • 位移 是指结构上各点位置产生的变化
线位移（位置移动） 角位移（截面转动）。
5
G0.4E
则：
ΔAV85qE4lI171501150
第三节 位移计算公式
各类结构的位移计算公式
荷载引起的位
1、梁和刚架：
ΔiP
MMPds EI
移与杆件的绝 对刚度值有关
2、桁
架： ΔiP
FNFNdPs FNFNlP
EA
EA
3、组合结构：
Δ kP
M M Pds EI
F N F Nd Ps EA
任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移 时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功 We恒等于 变形体各微段外力在微段变形上作的虚功之和 Wi。
也即恒有如下虚功方程成立：
We = Wi
第二节 变形体虚功原理 变形体虚功原理的必要性证明:
力状态
位移状态
（满足平衡条件）
（满足约束条件）
刚体位移
4、拱结构：
讲课 第四章 静定结构的位移计算
(1)虚设位移状态——求未知力（虚功的应用之一——虚位移原理） FX 例：图(a)示扛杆，其中B端作用巳知荷载 FP ，求扛杆平衡时在A端需加的未知力。 A
C
解：扛杆是一个可变体系，可绕 C 点自由 转动，如图(b)示。把这个刚体位移取作虚 位移，可得出虚功方程为：
a (a)
b
B
P
FX X FP P 0 设 P 表示位移 P 和 X 之间的 b 比例系数： P P X a
虚功：力在其它因素引起的位移上作 的功。力与位移是彼此无关的量，分 别属于同一体系的两种彼此无关的状 态。
△11
2
P2
△22
B
△12
A
1
P1
2
B
△21
△11
Tkj=Pk· △kj
虚功是代数量，有正有负。
A
1
P2
2
B
△12
△22
9
注意：作功的力必须和位移在一条作用线上，否则，二者的乘积就不是功。
4.2 刚体体系的虚功原理
小结： ⑴ 虚功原理（这里用虚位移原理）的特点是用几何方法解决平衡问题。 ⑵ 求解问题直接，不涉及约束力。
15
4.2 刚体体系的虚功原理
例：如图(a)所示简支梁，现欲求B支座反力X。步骤如下 ①首先解除 B 支座的约束，以相应的未知 力 X 代替，于是原结构变成了具有一个自 由度的体系，它在荷载与未知力 X 的共同
应的广义位移。
当广义位移与广义力方向一致时，虚功为正，相反时为负。
12
12
4.2 刚体体系的虚功原理
计算静定结构内力的另一个普遍方法 — 虚功原理，它等价于平衡方程。
应该指出，在虚功方程中，力状态与位移状态是彼此独立的，因
《结构力学》静定结构的位移计算
A
x
C
x
C
∆AV
l 2 l 2
(a) 实际状态 1）列出两种状态的内力方程： ）列出两种状态的内力方程：
AC段 0 ≤ x ≤ 段 l 2
B
l 2
l 2
(b) 虚设状态
N =0 M = −x Q = −1
NP = 0 MP = 0 Q =0 P
2
2
∆Q ∆Q h 1 h 1 当 = 时, = 1.83%;当 = 时, = 7.32% l 10 ∆M l 5 ∆M
计算屋架顶点的竖向位移。 例2 计算屋架顶点的竖向位移。
q(N/m )
1 1 1
4.5
3.0
1.5
P 2
P
D
C
ql P= 4 P
F G 0.25l
NP
1
1.5
P 2
B 0 1.5 0.5 0
二、利用虚功原理，用单位荷载法求结构位移一般公式： 利用虚功原理，用单位荷载法求结构位移一般公式：
K
K′
实际状态 （位移状态） 外虚功： 外虚功：W
e
∆
t1 t2
c2 c1
1
R 1
虚拟状态 （力状态） 内虚功： 内虚功：W
i
R2
= 1 ⋅ ∆ + ∑ Rk ⋅ ck
1 ⋅ ∆ + ∑ R k ck = ∑ ∫ (Mκ + N ε + Q γ )d s
第4章 静定结构的位移计算
Calculation of Statically Displacement Structures
目
录
§4-1 结构位移和虚功的概念 §4-2 变形体系的虚功原理和单位荷载法 §4-3 静定结构由荷载所引起的位移 §4-4 图乘法 §4-5 互等定理
结构力学考研《结构力学习题集》4-静定位移
第四章 静定结构位移计算一、是非题1、虚位移原理等价于变形谐调条件，可用于求体系的位移。
2、按虚力原理所建立的虚功方程等价于几何方程。
3、在非荷载因素(支座移动、温度变化、材料收缩等)作用下，静定结构不产生内力，但会有位移且位移只与杆件相对刚度有关。
4、用图乘法可求得各种结构在荷载作用下的位移。
5、功的互等、位移互等、反力互等和位移反力互等的四个定理仅适用于线性变形体系。
6、已知M p 、M k 图，用图乘法求位移的结果为：()/()ωω1122y y EI +。
Mk M p21y 1y 2**ωω7、图示桁架各杆EA 相同，结点A 和结点B 的竖向位移均为零。
A8、图示桁架各杆EA =常数，由于荷载P 是反对称性质的，故结点B 的竖向位移等于零。
aa9、图示简支梁，当P 11=，P 20=时，1点的挠度为0.01653l EI /，2点挠度为0.0773l EI /。
当P 10=，P 21=时，则1点的挠度为0.0213l EI /。
（ ）l10、图示为刚架的虚设力系，按此力系及位移计算公式即可求出杆AC 的转角。
C1P11、图示梁AB 在所示荷载作用下的M图面积为ql 3。
lAl /212、图示桁架结点C水平位移不等于零。
13、图示桁架中，结点C 与结点D 的竖向位移相等。
二、选择题1、求图示梁铰C 左侧截面的转角时，其虚拟状态应取：A.;;B.D.M C.=1=1=12、图示结构A 截面转角（设顺时针为正）为：A.22Pa EI / ;B.-Pa EI 2/ ;C.542Pa EI /() ;D.-542Pa EI /() 。
aa3、图示刚架l a >>0 , B 点的水平位移是：A .不定，方向取决于a 的大小；B .向左；C .等于零；D .向右。
4、图示静定多跨粱，当EI 2增大时，D 点挠度：A .不定，取决于EI EI 12；B .减小；C .不变；D .增大。
5、图示刚架中杆长l ，EI 相同，A 点的水平位移为:A.()2302M l EI /→;B.()M l EI 023/→;C.()2302M l EI /←;D.()023M l EI /←。
结构力学位移计算公式
结构力学位移计算公式结构力学是研究结构体系的力学性能和运动规律的学科，是工程力学的一个重要分支。
在结构力学中，位移是一个重要的物理量，它描述了结构体系在受外力作用下发生的变形情况。
位移计算公式是用来计算结构体系的位移的数学公式。
1.剪力梁位移计算公式：在剪力梁中，位移是一个表示结构体系纵向变形的物理量。
当在剪力梁上施加一个集中力作用时，位移可以通过以下公式进行计算：δ=(F*L)/(G*A)其中，δ表示位移，F表示施加在剪力梁上的集中力，L表示剪力梁的长度，G表示剪力梁的剪切模量，A表示剪力梁的截面面积。
2.弹性梁位移计算公式：在弹性梁中，位移是一个表示结构体系纵向变形的物理量。
当在弹性梁上施加一个力矩作用时，位移可以通过以下公式进行计算：θ=(M*L)/(E*I)其中，θ表示位移，M表示施加在弹性梁上的力矩，L表示弹性梁的长度，E表示弹性梁的弹性模量，I表示弹性梁的截面惯性矩。
3.压杆位移计算公式：在压杆中，位移是一个表示结构体系纵向变形的物理量。
当在压杆上施加一个轴向力作用时，位移可以通过以下公式进行计算：δ=(F*L)/(E*A)其中，δ表示位移，F表示施加在压杆上的轴向力，L表示压杆的长度，E表示压杆的弹性模量，A表示压杆的截面面积。
4.梁柱位移计算公式：在梁柱中，位移是一个表示结构体系纵向变形的物理量。
当在梁柱上施加一个集中力作用时，位移可以通过以下公式进行计算：δ=(F*L)/(E*A)其中，δ表示位移，F表示施加在梁柱上的集中力，L表示梁柱的长度，E表示梁柱的弹性模量，A表示梁柱的截面面积。
上述的位移计算公式是基于简化假设和力学理论推导得出的，适用于较为简单的结构体系。
在实际工程设计中，考虑到结构的复杂性和非线性效应，可能需要使用更为复杂的有限元分析等方法来计算位移。
在实际应用中，还需要根据具体情况进行适当的修正和调整，以获得更加准确的位移计算结果。
结构力学课件位移计算的一般公式
P 1
变形协调的 位移状态(P)
平衡的力 状态(i)
l
iP
(N Q M )dx
0
i
l
iP
( N Q M )dx
0
i
对于由线弹性直杆组成的结构，有：
NP , kQP , M P
EA GA
EI
适用于线弹性 直杆体系,
ip
NP E
N A
i
kQPQi GA
MPMi EI
拉压变形（应变）： 弯曲变形（曲率）： 剪切变形（剪切角）：
N l
EA l
M 1 EI
k Q
GA
内力虚功：
当力状态的外力在结构位移状态的位移作虚 功时，力状态的内力也在位移状态的相对变形上 作虚功，这种虚功称为内力虚功（虚应变能）， 用“V”表示。
微段外力: 微段变形:
M
M dM
N
N dN
NP Nil EI
（4）拱
ip
MPMi
EI
NP Ni EA
ds
例:求图示桁架(各杆EA相同)k点水平位移.
解：
P
P
0
NP 0
P a
2P k
a
kx
NP Nil EA
1
1 2
1
2
Ni
1
1 [(P)(1)a (P)(1)a 2P 2 2a] 2(1 2) Pa ()
EA
EA
作业 (8)
两种应用： 虚位移原理：虚设位移状态求力——理论力学学过 虚力原理：虚设力状态求位移——支座移动时结构位移计算
A. 虚位移原理
例： 求 A 端的支座反力。
直线
A
B
变形协调的 位移状态(P)
平衡的力 状态(i)
l
iP
(N Q M )dx
0
i
l
iP
( N Q M )dx
0
i
对于由线弹性直杆组成的结构，有：
NP , kQP , M P
EA GA
EI
适用于线弹性 直杆体系,
ip
NP E
N A
i
kQPQi GA
MPMi EI
拉压变形（应变）： 弯曲变形（曲率）： 剪切变形（剪切角）：
N l
EA l
M 1 EI
k Q
GA
内力虚功：
当力状态的外力在结构位移状态的位移作虚 功时，力状态的内力也在位移状态的相对变形上 作虚功，这种虚功称为内力虚功（虚应变能）， 用“V”表示。
微段外力: 微段变形:
M
M dM
N
N dN
NP Nil EI
（4）拱
ip
MPMi
EI
NP Ni EA
ds
例:求图示桁架(各杆EA相同)k点水平位移.
解：
P
P
0
NP 0
P a
2P k
a
kx
NP Nil EA
1
1 2
1
2
Ni
1
1 [(P)(1)a (P)(1)a 2P 2 2a] 2(1 2) Pa ()
EA
EA
作业 (8)
两种应用： 虚位移原理：虚设位移状态求力——理论力学学过 虚力原理：虚设力状态求位移——支座移动时结构位移计算
A. 虚位移原理
例： 求 A 端的支座反力。
直线
A
B
结构力学 第4章 静定结构的位计算
例如，图1(a)所示两个梯形应用图乘法，可不必求 梯形的形心位置，而将其中一个梯形(设为MP图)分成 两个三角形，分别图乘后再叠加。
图1
对于图2所示由于均布荷载q所引起的MP图，可以 把它看作是两端弯矩竖标所连成的梯形ABDC与相应简
支梁在均布荷载作用下的弯矩图叠加而成。
四、几种常见图形的面积和形心的位置
零。
P
2Δ
PP2P30
22
2
YA P/2
YB P/2
2.变形体系的虚功原理 We Wi
体系在任意平衡力系作用下，给体系以几何可能的
位移和变形，体系上所有外力所作的虚功总和恒等于体
系各截面所有内力在微段变形位移上作的虚功总和。
说明： （1）虚功原理里存在两个状态：力状态必须满足平衡条件；位移状态
PR3 PRk PR
4EI 4EA 4GA
M N Q
P θ
P=1
钢筋混凝土结构G≈0.4E 矩形截面,k=1.2，I/A=h2/12
Q M
kGEAI2R14Rh2
N M
I AR2
1 h2 12R
如 h 1 ， 则Q 1 ， N 1
1
EA 2(1 2)Pa()
1 2
1
EA
2
1
例3.求图示1/4圆弧曲杆顶点的竖向位移Δ。
解：1）虚拟单位荷载
2）实际荷载
虚拟荷载
ds
M P PR sin
M R sin
QP P cos
Q cos
dθ
N P P sin
N sin
d d ds d
d dd sd sN Pds
结构力学 位移计算
已有基础： 1. 静定结构的内力计算； 2. 利用位移计算公式求静定结构的位移；
3. 杆件结构在荷载作用下的位移计算公式,即:
P MM P ds NN P ds kQ QP ds EI EA GA
P
MM P ds NN P ds kQ QP ds EI EA GA
二、几种常见图形的面积和形心位置的 确定方法
顶点指曲 线切线与 杆轴重合 或平行
hl n 1
C
h
( n 1)l n2
l n2
三、注意事项：
1. 图乘法的应用条件： （1）等截面直杆，EI为常数； （2）两个M图中应有一个是直线；
yc 应取自直线图中。 yc取正值； 2. 若 与 y c 在杆件的同侧，
A
R
外力虚功 内力虚功
W外虚 =ΣRi Ci+PKΔK
W内虚 Nd Md Q d
由虚功方程
W外虚 = W内虚
则结构虚功方程改写为 位移计算的一般公式
令PK=1
K Nd Md Q d R C
K Nd Md Q d R C
Ri ci N [( d ) P (d ) t ] Q [( d ) P
等于0
(d ) t ] M [( d ) P (d ) t ]
Ri ci N (d ) P Q (d ) P M (d ) P N ( d ) t M ( d ) t
制造误差
另外，温度变化时，杆件不引起剪应变， 微段轴向伸长和截面转角为：
d tds
d
结构力学 位移计算
n1
h
C
(n 1)l n2
l n2
例:求图示梁(EI=常数,跨长为l)B截面转角 B
1
q
A
B
2
1
MP 图
解:
1 ql2
M图
8
B
1 EI
[(2 3
l
1 8
ql2 )
1] 2
1 ql3 （ ）
24 EI
三、图形分解
求 B
20
40
A
B
MP
EI
20kN m10m40kN m
1
Mi
1/3 2/3
1
1 [(P)(1)a (P)(1)a EA
2P k
2P 2 2a] 2(1 2) Pa () a
2
Ni
1
EA
练习:求图示桁架(各杆EA相同)k点竖向位移.
P
2P
0 a NP
P
1
0a k
2 0
Ni
kx
NP Nil EA
1 1 [P 1 a ( 2P)( 2) 2a]
EA
1
(1 2
对于由线弹性直杆组成的结构，有：
P
NP EA
,
P
kQP GA
,
P
MP EI
适用于线弹性 直杆体系,
ip
[
NP N EA
i
kQP Qi GA
M P M i ]ds EI
例 1：已知图示粱的E 、G,
q
求A点的竖向位移。
解：构造虚设单位力状态.
Ah
Ni (x) 0, NP (x) 0
l
b
Qi (x) 1,QP (x) q(l x)
结构力学--虚功原理和结构的位移计算 ppt课件
vu
A’
θ
微段刚体位移
ds du= eds
g0
ds
dv
ds
微段相对位移 微段相对位移 微段相对位移 （轴向变形） （剪切变形） （弯曲变形）
一个微杆段的位移可分解为刚体位移和变形体位移之和 （1）刚体位移（不计微段的变形）：u、v、θ （2）变形位移（反映微段的变形）：du、dv、dθ 。这是 描述微段总变形的三个基本参数。
1
P
11
P1
P1
1
11
o
静力荷载所做的实功为变力实功。
W1 12P1Δ11
11
3、常力所做的虚功
所谓虚功，是指力在另外的原因（诸如另外的荷载、温度变化、 支座移动等）引起的位移上所做的功。
FP1 (先)
M2(后)
1
11
1’ 12 1’’
21
2
22
FP1在Δ12上做的功:
W12FP1Δ12
FP1 1
11
1
12
2
M2 2
W12是力FP1在另外的原因（M2）引起的位移上所做的功，故为 虚功。所谓“虚”，就是表示位移与做功的力无关。在作虚功
时，力不随位移而变化是常力，故式中没有系数1/2 。
二、广义力和广义位移
对于各种形式常力所做的虚功，用力和相应位移这两个彼此 独立无关的因子的乘积来表示，即:
式中:
c t1
c
t2 t1
以上都是绝对位移
AV
BV
以上都是相对位移
广义位移
1.一个截面的位移（绝对位移）
（1）截面A 位置的移动（用截面形
心的移动来表示）ΔA，称为线位移，
可分解为：
结构力学第四章虚功原理和结构的位移计算
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓d↓s↓↓↓ 1
2
即：T12=
V1变2
微段的变形可分为ε2ds，
γ2ds， κ2ds
dV1变 =N1ε2ds+Q1γ2ds+M1κ2ds
V 变2 12
dV 变
12
N1
ds
2
Q ds
12
M ds
12
M1 ↓↓↓↓ M1+dM
N1
ds
N1+dN
Q1
Q1+dQ
d2=κ2ds ds dλ2=ε2ds
基本要求：
领会变形体虚功方程。 掌握实功与虚功、广义力与广义位移确
定，掌握互等定理；支座移动和温 度改变引起的位移计算。 熟练掌握荷载产生的位移计算、用图乘 法求位移。
线支温图结虚
弹
座 移
度 改
乘
构 位
功
性动变 移及
体产产法计虚 生生 算
互的的及的功
等位位 一原
定
移 计
移 计
举
般 公
理
理算算例式理
§4·1 位移计算概述
N QM
虚拟力状态 1
c1 P=1
R1
§4·4荷载作用下的位移计算
一、荷载作用下的位移计算的一般公式与简化公式
↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑
( ) 注:（1）EI、iPEA、GAN是杆NEN件AQP截面k刚MQG度QA；P. ds
M M EI
PR.icdi s
k是截面形状系数k矩=1.2， k圆=10/9。 （2）NP、QP、MP实际荷载引起的内力，
X P Pb
a
虚设位移求未知力（虚位移原理） 1）由虚位移原理建立的虚功方程，实质上是平衡方程。 2）虚位移与实际力系是彼此独立无关的，为了方便，可 以随意虚设，如设δX=1。 3）虚功法求未知力的特点是采用几何的方法求解静力平 衡问题。
第四章结构力学 位移计算2
( M FN FQ 0 )ds 计算公式：
图（a）所示的结构在荷 载作用下产生位移。位移计 算公式中的变形 、、 0 是由荷载产生的。
FP
1
M、FN、FQ
（ b）
M P、FNP、FQP
、、 0
具体计算步骤：
1）荷载
2）内力
1 d M P R ds EI M P、FNP、FQP 。 F NP E EA M P、FNP、FQP 、、 0 。 F 0 0 k QP
AV ( M FN FQ 0 )ds F Rk ck
19
( M FN FQ 0 )ds F Rk ck
—位移计算的一般公式
M ds FN ds
B
x
A
M图
B B
1 A
27
FQ图
ql 4 ql 2 V M Q 0.6 8EI GA
15
讨论： 1、变形体虚功原理是基于如下两点：力系的平衡条 件和变形的连续条件。即虚功原理是平衡条件和连续条件
的综合。反之，虚功原理既可以代替平衡条件，也可以代
替连续条件。 2、推倒过程中并没有牵涉到材料的性质，所以虚功 原理既适合弹性材料，也适合非弹性材料。 3、变形体虚功原理的两个状态并非一定是同一体 系，只要两个体系具有相同的几何形状，则变形体虚功原 理都将成立。
ds
ds
dW12=dW刚+dW变
(2)位移状态
dW刚—微段上的力在对应微段刚体位移变上作的功； dW变—微段上的力在对应微段自身变形位移上作的功。 由刚体虚功原理 dW刚=0 dW12=dW变
图（a）所示的结构在荷 载作用下产生位移。位移计 算公式中的变形 、、 0 是由荷载产生的。
FP
1
M、FN、FQ
（ b）
M P、FNP、FQP
、、 0
具体计算步骤：
1）荷载
2）内力
1 d M P R ds EI M P、FNP、FQP 。 F NP E EA M P、FNP、FQP 、、 0 。 F 0 0 k QP
AV ( M FN FQ 0 )ds F Rk ck
19
( M FN FQ 0 )ds F Rk ck
—位移计算的一般公式
M ds FN ds
B
x
A
M图
B B
1 A
27
FQ图
ql 4 ql 2 V M Q 0.6 8EI GA
15
讨论： 1、变形体虚功原理是基于如下两点：力系的平衡条 件和变形的连续条件。即虚功原理是平衡条件和连续条件
的综合。反之，虚功原理既可以代替平衡条件，也可以代
替连续条件。 2、推倒过程中并没有牵涉到材料的性质，所以虚功 原理既适合弹性材料，也适合非弹性材料。 3、变形体虚功原理的两个状态并非一定是同一体 系，只要两个体系具有相同的几何形状，则变形体虚功原 理都将成立。
ds
ds
dW12=dW刚+dW变
(2)位移状态
dW刚—微段上的力在对应微段刚体位移变上作的功； dW变—微段上的力在对应微段自身变形位移上作的功。 由刚体虚功原理 dW刚=0 dW12=dW变
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FNP
EA
0
k
FQP GA
FP
△
在常力FP作用下，物体沿力的方向发生位移△，则常力FP 在位移过程中作的功为: W=FP△ 力偶M在物体转动θ过程中作的功为: W=Mθ 广义力P：作功的可以是一个集中力、一个力偶、一组集中 力、一组集中力偶，统称为广义力P 广义力P由于相应广结义构力位学移第四△章位作移计功算： W=P△
力在其它因素引起位移上作的功叫虚功
W12=P△ ①称虚功是为了强调作功的力与产生位移的原因无关这一
特点 ②实功恒为正值，虚功可为正也可为负值
③虚功中的力、位移两个要素互不相关，它们分别属于同 一体系的两种独立无关的状态
+t1
+t2
+t1 +t2 结构△力学第四章位移计算
力状态 位移状态
二 刚体体系的虚功原理
任意平衡力系作用下的刚体体系，设体系发生任一符合约束 条件的无限小的刚体位移，则体系上所有外力在位移上作的 虚功总和恒等于零
+t1 K +t2
△
K′ C
i
i FP=1 K
i
① 在Ｋ点沿拟求位移方向虚设相应的单位荷载，求出单位荷
载作用下的支座反力 F RK 及结构内力F N 、F Q 、M
② 虚力状态外力由于实际位移所作虚功，按变形体虚功原理
1 • F R C K K ( F N F Q 0 M ) ds ( F N F Q 0 M ) d sF R C K K
A
B
1.5cm
1A
B
6m
1
1cm
解 一 求△CX
二 求△Cy
1 取虚力状态如图，求支座反力 F RK
２求△CX
2 求△Cy
FP=1
C
D
C XF R C K K ( 1 1 1 1 . 5 ) 0 . 5 c ( m )
c yF R C K K ( 1 1 .5 ) 1 .5 c( ) m
B′ B
求结构上两点水平(竖向 或连线方向)相对线位移
FP=1
A
FP=1
B
FP=1 FP=1
AB
求结构上两点水平(竖向或连线方向)相对线位移，在两点 沿水平(竖向或连线方向)加上两个方向相反的单位力
结构力学第四章位移计算
M=1 M=1 C
若求结构两个截面的相对角位移 在两个截面上加两个方向相反单 位力偶
1
d
1
d
d
A
求结构两个截面的相对角位移
B C
若求桁架中AB杆的角位移，应 加一单位力偶，构成这一力偶 的两个集中力取 1/d，垂直作 用于杆端
求AB杆的角位移
结构力学第四章位移计算
§4.４ 荷载作用下的位移计算
一 计算公式 荷载作用下，微段变形由内力 F NP FQP M P 引起，当材料
处于弹性工作阶段，其拉伸、剪切应变和弯曲曲率：
FN
FN FQ
M
FQ
ds
ds
M
ds dθ=κds
γ0
ds微段 整根杆 变形体系
dλ=εds
dη= γ0 ds
dwi12=FN ds+FQ 0ds +M ds
w’i12= ∫ (FN ds+FQ 0ds +M ds)
wi12=结∑构∫力(F学N第四d章s位+移F计Q算0ds +M ds)
二 位移计算的一般公i 式
W12=０
1 虚设位移状态，求未知力
FP
FX·1-FP ·b/a =０
FX
a
b力状态
δP=b/a
FX= b/aFP
δX=1
位移状态
应用于实际力状态与虚设位移状态间的虚功原理，称虚位
移原理
结构力学第四章位移计算
２虚设力状态，求未知位移
C
1·Δ- b/a ·C =０
位移状态
△
a
b1
Δ=b/aC
FR b a
可用结构原尺寸计算力的作用与位移 ３体系所有约束为理想约束，即位移过程中体系约束力不
作功 即本章讨论的是线性变形体系的位移计算问题，体系位移与 荷载呈线性关系，位移计算可以应用叠加原理
结构力学第四章位移计算
§4.2 刚体体系虚功原理及应用
一 实功与虚功
1 实功 力在其本身引起位移中作的功(real work)
力状态
应用于实际位移状态与虚设力状态间的虚功原理，称虚力
原理
二 支座移动时静定结构的位移计算
1 单位荷载法 用虚设单位荷载求结构位移的方法 单位荷载应与拟求位移对应
结构力学第四章位移计算
２ 计算步骤
i
K
i FP=1
K
△
K′
C3
i
F R1
i
C1
C2 位移状态
F R3
力状态
F R2
① 在Ｋ点沿拟求位移方向虚设相应的单位荷载，求出单位
荷载作用下的支座反力 F RK ②虚力状态外力由于实际位移所作虚功，按刚体体系虚功原理
1• FRC KK0
FRK CK
式中
F RKCK
为支座反力
F RK
在相应支座位移
C
上所作虚功，
K
当两者方向一致时为结正构力学第四章位移计算
例4-1 图示刚架支座发生图示位移，求Ｃ点位移
C
D
FP=1 C
D
6m
二 位移计算的目的
1 验算结构的刚度 结构变形不得超过容许值
2 结构设计、制作、养护过程中，常需预先知道结构变形后 的位置，以便采取相应的施工措施
3 位移计算是超静定结构计算的基础 超静定结构计算要同时满足平衡条件和变形连续条件
结构力学第四章位移计算
三 位移计算中的基本假定
１材料处于弹性阶段，应力与应变之间成正比（物理线性） ２结构变形微小，不影响力的作用（几何线性）
第四章 结构位移计算
结构力学第四章位移计算
§4.1 概述
一 结构的位移
在荷载、温度改变、支座移动等外因作用下，结构上各点 各截面发生移动、转动，这些移动和转动统称为结构位移
A △Ay
A △A
A′ A′
△Ax
θA
△A A A′
θA
△B
θB B′ B θAB
以上位移统称位移△， △为广义位移
结构力学第四章位移计算
该式即为结构位移计结算构力的学第一四般章位公移计式算
1 适用范围： ① 静定结构和超静定结构； ② 弹性体系和非弹性体系； ③ 各种因素产生的位移计算
2 单位荷载
A
△ A′
θ
FP=1
A
求某点线位移
A M=1
若求结构上某截面角位移 求某截面角位移 在截面处加一单位力偶
结构力学第四章位移计算Leabharlann A A′三 求△C
A
B
C 2 c x 2 cy 0 .5 2 1 结.5 构2 力 学1 第.5 四章c 位8 ( 移m 计算) 1
§4.3 变形体系虚功原理
一 变形体虚功原理
任意平衡力系作用下的变形体系，给其以几何可能的变形和 位移，则体系上外力所作虚功恒等于体系内力虚功
+t1 +t2
C
外力虚功 W12=Wi12 结构内力学力第四虚章功位移计算