可分离变量的微分方程
可分离变量的微分方程
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例2 铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比 已知t0时铀的含量为M0 求在衰变过程中铀含量Mt)随时间t 变化的规律
解 根据题意 得微分方程 即 lnMtlnC
dM M ( 是正常数)
dt 初始条件为M|t0M0
将方程分离变量 得
dM dt
M 两边积分 得
也即 MCe t
由初始条件 得M0Ce0C 所以铀含量Mt)随时间t变化的 规律MM0e t
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例3 设降落伞从跳伞塔 两边积分得
下落后 所受空气阻力与速度 成正比 并设降落伞离开跳伞
dv mg kv
dt m
塔时速度为零 求降落伞下落 即 速度与时间的函数关系
1 k
ln(
mg
k
v)
t m
C1
解 设降落伞下落速度为 vt) 根据题意得初值问题
m
dv dt
mg
kv
v |t 0 0
将方程分离变量得
是否可分离变量 是 是 不是 是 是
不是
例 1 求微分方程 dy 2xy 的通解 dx
解 这是一个可分离变量的微分方程
分离变量得
1 dy 2xdx y
两边积分得
1dy y
2xdx
即ln|y|x2C1 来自 加常数的另一方法从而
y eC1ex2 Cex2 从而
其中 C eC1 为任意常数
ln|y|x2lnC y Cex2
§.2 可分离变量 的微分方程
❖可分离变量的微分方程 如果一个一阶微分方程能写成
gy)dyf(x)dx (或写成y(x)(y))
的形式 那么原方程就称为可分离变量的微分方程 ❖可分离变量的微分方程的解法
微分方程求解方法
微分方程求解方法微分方程是数学中的一个重要概念，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
微分方程求解是通过已知条件找到满足方程的未知函数的过程。
根据方程的类型和性质，有多种解法可供选择。
一、可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程形式为dy/dx = f(x)g(y)，可以通过变量的分离和积分的方法进行求解。
具体步骤如下：1. 将方程变形为dy/g(y) = f(x)dx。
2. 对两边同时积分，得到∫(1/g(y))dy = ∫f(x)dx。
3.求出积分的表达式，然后求解原方程。
二、一阶线性微分方程一阶线性微分方程的一般形式为dy/dx + P(x)y = Q(x)，可通过线性变换和积分的方法进行求解。
具体步骤如下：1. 通过线性变换将方程变为dy/dx + yP(x) = Q(x)P(x)。
2. 确定积分因子μ(x) = e∫P(x)dx。
3. 将原方程两边同时乘以μ(x)，并进行化简得到d(yμ(x))/dx = Q(x)μ(x)。
4. 对等式两边同时积分得到∫d(yμ(x))/dx dx = ∫Q(x)μ(x)dx。
5.求出积分的表达式，然后求解原方程。
三、二阶线性齐次微分方程二阶线性齐次微分方程的一般形式为d²y/dx² + p(x)dy/dx + q(x)y = 0，可以通过特征根法求解。
具体步骤如下：1. 假设解的形式为y = e^(mx)。
2. 将形式代入原方程，得到特征方程m² + pm + q = 0。
3.求解特征方程得到特征根m₁和m₂。
4.根据特征根的情况，得到相应的通解。
四、二阶线性非齐次微分方程二阶线性非齐次微分方程的一般形式为d²y/dx² + p(x)dy/dx +q(x)y = f(x)，可以通过常数变易法求解。
具体步骤如下：1.假设原方程的特解为y=u(x)，将其代入原方程，得到关于u和它的导数的代数方程。
2.根据原方程的非齐次项f(x)的形式，设定特解的形式。
高等数学课件7第二节 可分离变量的微分方程ppt
思考与练习
1. 求下列方程的通解 :
提示:
(1)
分离变量
y
x
1 y2 dy 1 x2 dx
(2) 方程变形为 y 2cos x sin y
ln tan y 2sin x C 2
4
y5,
dx
是可分离变量的微分方程．
4
y 5dy
Байду номын сангаас
2 x 2dx,
若 dy f ( x, y) dx
dy dx
f1(x) f2( y) ；
或由 P( x, y)dx Q( x, y)dy 0
M1( x)M2( y)dx N1( x)N2( y)dy 0 .
则均为可分离变量的微分方程．
二、分离变量法
( Q( x, y) 0 )
将它看成以 y 为自变量、x 为未知函数的方程
dx Q( x, y) dy P( x, y)
( P(x, y) 0 )
引例1. 求一阶微分方程 dy 2x 的通解． dx
解: 两端积分得通解 y x2 C ．
引例2. 求一阶微分方程 dy 2xy2 的通解． dx
说明: 在求解过程中 每一步不一定是同解 变形, 因此可能增、 减解.
令 C eC1
( C 为任意常数 ) ( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )
例2. 求下列微分方程的通解:
解: 原方程化为
dy ex e y dx
分离变量
e ydy exdx
两边积分
通解： e y e x C
(2)
反之，
当 g( y) 0 时，
由(2)式所确定的隐函数y ( x)是(1)式的解;
微分方程(可分离变量的微分方程)
即 y xu,
dy du u x , dx dx du 代入原式 u x f ( u), dx du f ( u) u 即 . 可分离变量的方程 dx x
6
齐次微分方程的解
1 : 当 f (u) u 0时,
du 得 ln C1 x , f ( u) u du 即 x Ce ( u ) , （ ( u ) ） f ( u) u y
dy y P ( x )dx ,
ln y P ( x )dx ln C ,
齐次方程的通解为 y Ce
P ( x ) dx
.
13
dy (2) 线性非齐次方程 P ( x ) y Q( x ). dx dy Q( x ) P ( x ) dx, 讨论 y y Q( x ) 两边积分 ln y dx P ( x )dx , y Q( x ) 设 dx为v ( x ), ln y v ( x ) P ( x )dx , y
9.2一阶微分方程
最基本的微分方程是一阶微分方程。 一阶微分方程的一般形式为F(x,y,y’)=0或 y’=f(x,y),其中F(x,y,y’)是x,y,y’的已知函数； f(x,y)是x,y的已知函数。
1
一、可分离变量方程
分离变量方程： g( y )dy f ( x )dx 可分离变量的微分方程：通过适当 变形，能够转化为分离变量方程
dy dx 2 例如 y x , x sin t t 2 , 线性的; dx dt yy 2 xy 3, y cos y 1, 非线性的.
12
一阶线性微分方程的解法
(1) 线性齐次方程
可分离变量的微分方程公式
可分离变量的微分方程公式可分离变量的微分方程公式，这可是数学中的一个重要知识点呢！咱们先来说说啥是可分离变量的微分方程。
简单来讲，就是能把方程中的变量和它们的导数分离开来，写成一边只有 x 和 dx，另一边只有 y 和 dy 的形式。
比如说，像 dy/dx = f(x)g(y) 这样的式子，就能通过变形变成 g(y)dy = f(x)dx 。
给大家举个例子哈，比如说有个微分方程 dy/dx = x/y ，咱们就能把它变成 ydy = xdx 。
然后两边积分，左边积分得到 1/2 * y^2 ，右边积分得到 1/2 * x^2 + C ，这就求出了方程的解。
我记得我之前教过一个学生，叫小李。
这孩子刚开始接触可分离变量的微分方程时，那叫一个迷糊，怎么都弄不明白。
我就一点点给他讲，先从最简单的例子入手，让他自己动手去分离变量，去积分。
结果他总是在一些小细节上出错，不是积分公式记错了，就是忘了加常数 C 。
我看着他着急的样子，心里也挺着急的。
但我知道不能急，得慢慢来。
于是我又给他重新梳理了一遍知识点，让他多做几道练习题。
慢慢地，他好像找到了一点感觉，能做出一些简单的题目了。
可是，当遇到稍微复杂一点的题目，比如 dy/dx = (x^2 + 1) / (y^2 - 1) 这样的，他又懵了。
我就陪着他，一步一步地分析，告诉他怎么把方程变形，怎么确定积分的上下限。
经过好几天的努力，小李终于掌握了可分离变量的微分方程。
他开心得不行，我也为他感到高兴。
再来说说可分离变量的微分方程在实际中的应用。
比如说，在物理学中，研究物体的运动规律时，经常会用到这个公式。
还有在生物学中，分析种群的增长模型时，也能派上用场。
总之，可分离变量的微分方程公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们掌握了方法，多做练习，就能轻松应对。
可别像小李刚开始那样被它给难住啦！希望大家都能学好这个知识点，在数学的海洋里畅游无阻！。
可分离变量的微分方程
一、可分离变量的微分方程
g( y )dy f ( x )dx 可分离变量的微分方程. 4 4 dy 例如 2 x 2 y 5 y 5 dy 2 x 2dx , dx 解法 设函数 g( y ) 和 f ( x ) 是连续的,
g( y )dy f ( x )dx
分离变量法
； 4 x 2、cos ydx (1 e ) sin ydy 0 , y x 0 . 4
1、cos x sin ydy cos y sin xdx , y x 0
三、质量为 1 克 的质点受外力作用作直线运动,这外力 t 10 和时间成正比,和质点运动的速度成反比.在 2 50 厘米 / 秒 4 克 厘米 / 秒 秒时,速度等于 ,外力为 , 问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少? 四、 小船从河边点 0 处 出发驶向对岸(两岸为平行直线). 设船速为 a , 船行方向始终与河岸垂直, 设河宽 为 h , 河中任意点处的水流速度与该点到两岸距离 的乘积成正比(比例系数为 k ).求小船的航行路 线 .
例 3 衰变问题:衰变速度与未衰变原子含量M 成 正比,已知 M
t 0
M 0 ,求衰变过程中铀含量M ( t )
随时间t 变化的规律.
解 衰变速度 , 由题设条件 dt dM M ( 0衰变系数) dt
dM M dt ,
dM
dM dt M
ln M t ln C ,
dy x y x y cos cos 0, dx 2 2 dy x y 2 sin sin 0, dx 2 2
x sin dx , y 2 2 sin 2
为所求解.
dy
y y x ln csc cot 2 cos C , 2 2 2
什么是可分离变量的微分方程
可分离变量的微分方程是指可以通过分离变量的方法将微分方程转化为两个只包含一个变量的方程，然后分别对这两个方程进行积分的微分方程形式。
具体而言，可分离变量的微分方程可以写成以下形式：
dy/dx = f(x)g(y)
其中，f(x)是关于自变量x的函数，g(y)是关于因变量y的函数。
为了解这个微分方程，我们可以将dy/dx 移至方程的一边，将g(y) 移至方程的另一边，得到：
1/g(y) dy = f(x) dx
然后我们可以对两边同时积分，得到：
∫(1/g(y)) dy = ∫f(x) dx
这样就将原始的微分方程分离成两个只包含一个变量的方程，分别是关于y的方程和关于x的方程。
最后，通过求解这两个方程，可以得到原始微分方程的解析解或者特定的解形式。
需要注意的是，并非所有的微分方程都是可分离变量的微分方程，但可分离变量的微分方程是一类比较容易求解的常见微分方程形式。
可分离变量的微分方程
M t=0 = M 0 (初始条件)
对方程分离变量,
然后积分:
∫
dM M
=
∫(−λ )d t
得 ln M = −λ t + ln C, 即 M = C e−λ t
M
利用初始条件, 得 C = M 0
M0
故所求铀的变化规律为 M = M 0 e−λ t . o
t
解法 1 分离变量 e− y d y = ex dx
− e−y = ex + C
即
(ex +C)ey +1= 0 ( C < 0 )
解法 2 令 u = x + y, 则u′ = 1+ y′
故有 积分
u′ =1+ eu
∫
1
d +
u eu
=
x+C
∫
(1
+ eu 1+
)− eu
eu
du
u − ln (1+ eu ) = x + C
(1 −
−
e
k m
t
)
v
≈
mg k
k
内容小结
1. 微分方程的概念 微分方程; 阶; 定解条件; 解; 通解; 特解 说明: 通解不一定是方程的全部解 .
例如, 方程 (x + y) y′ = 0 有解
y=–x 及 y=C 后者是通解 , 但不包含前一个解 . 2. 可分离变量方程的求解方法: 分离变量后积分; 根据定解条件定常数 .
dt
初始条件为 v t=0 = 0
∫ ∫ 对方程分离变量, 然后积分 :
dv = mg − kv
dt m
同济版大一高数下第二节可分离变量的微分方程公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
解: 令 u x y 1, 则 u 1 y 故有 1 u sin 2 u 即 u 1 sin2 u u cos2 u
sec2 u du dx 解得
tan u x C
所求通解: tan(x y 1) x C ( C 为任意常数 )
8
例5. 求下述微分方程旳通解:
拟定旳隐函数 y f (x).
解: 因积分与途径无关 , 故有
[F (x, y) cos x ] [F (x, y) y sin x]
x
y
即 Fx cos x F sin x Fy y sin x F sin x
Fx y tan x
y
Fy
所以有
y y tan x y x0 1
提醒: 方程变形为
y sin(x y) sin(x y)
y 2 cos x sin y
dy 2 cos xdx sin y
ln tan y 2sin x C
2
13
y 1 sec x cos x
11
内容小结
1. 可分离变量方程旳求解措施: 分离变量后积分; 根据定解条件定常数 . 阐明: 通解不一定是方程旳全部解 .
12
思索与练习
sin A sin B 2 cos A B sin A B
2
2
求下列方程旳通解 :
y sin(x y) sin(x y)
解: 分离变量得
d y ln 1 ln C ln x2 1
C x2 1
即
y x2 1 C ( C 为任意常数 )
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
y x2 1 1
5
例3 求下列方程旳通解 :
可分离变量的微分方程典型例题分析
流量系数 孔口截面面积 重力加速度
S 1 cm2 ,
h
dV 0.62 2gh dt, (1)
h h dh r
设在微小的时间间隔 [t, t dt], o
100 cm
水面的高度由 h 降至 h+dh , 则 dV r 2dh, r 1002 (100 h)2 200h h2 ,
y Ce x2为所求通解 .
例２ 求解微分方程 y e y2x 的通解.
解 分离变量,得 e ydy e2 xdx,
两端积分,得
e ydy e2xdx,
解得
ey
1 e2x 2
C1
即 2e y e2 x C (C 为任意常数 )
2e y e2 x C 为所求通解 .
例5 求 y y2 cos x 满足初始条件 y(0) 1的特解.
四、小船从河边点 0 处出发驶向对岸(两岸为平行直线). 设船速为 a ,船行方向始终与河岸垂直,设河宽 为 h ,河中任意点处的水流速度与该点到两岸距离 的乘积成正比(比例系数为 k ).求小船的航行路 线.
练习题答案
一、1、tan x tan y C ； 2、(e x 1)(e y 1) C ； 3、4( y 1)3 3 x4 C .
求方程的通解 : y sin( x y) sin( x y) 提示:
方程变形为
y 2cos x sin y ln tan y 2sin x C 2
练习题
一、求下列微分方程的通解:
1、sec2 x tan ydx sec2 y tan xdy 0； 2、(e x y e x )dx (e x y e y )dy 0；
7-2 可分离变量的微分方程
返回
例 4 衰变问题:衰变速度与未衰变原子含量 M 成 正比,已知 M
t 0
M0 , 求 衰 变 过 程 中 铀 含 量
M (t )随时间 t 变化的规律.
解 衰变速度 , 由题设条件 dt dM M ( 0衰变系数) dt
dM M dt ,
dM
dM dt M
ln M t ln C ,
t
即M Ce t ,
代入M
t 0
M 0 得 M 0 Ce 0 C ,
衰变规律 返回
M M 0e
思考题
解答
dy x y x y cos cos . 解方程 dx 2 2 dy x y x y cos cos , dx 2 2
返回
例 3 解方程 ( x xy 2 )dx ( y x 2 y )dy 0 .
y x 解 方程变形得 dy 2 dx , 2 1 y x 1
1 1 1 2 2 两边积分 ln(1 y ) ln( x 1) ln C , 2 2 2
原方程的通解为 1 y 2 C ( x 2 1).
返回
dy 例 2 解方程 e 2 x y xe y , y x 0 0 . dx
解
分离变量得 e y dy (e 2 x x )dx
y
1 2x 1 2 两边积分 e e x C , 2 2 1 y x 0 0 , C , 2 1 2x y e (e x 2 1). 故所求方程特解为 2 或 y ln( e x x 2 1) ln 2.
dy
dy x y 2 sin sin , dx 2 2
可分离变量的微分方程
（2）两边积分：
g(y)dy f (x)dx
（3）得通解:
G( y) F(x) C
其中函数 G( y)和 F (x)分别为g( y) 和 f (x)的原函数.
（4）若给出了初始条件，可确定 C 的值，求出特解.
例2 求微分方程 dy y 2 cosx 在满足初始条件 y 1的特解．
dx
x0
解
把方程分离变量，得到
dy y2
cos
xdx
两端积分
dy y2
cos
xdx
得
1 sin x C
y
将 y 1代入上式可得 C = －1. x0
所求的特解为 y 1 . 1 sin x
练习：
方程 y x 的通解是否为 y2 x2 C
A
y
A .是
B .否
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
三、小结
1.可分离变量的方程 : g( y)dy f (x)dx
2.解法: (分离变量法)
(1)分离变量; (2)两端积分;
(3)得到通解.
例如 dy 2xydx
1 dy 2xdx
y
练习：
判断下列方程是否为可分离变量的微分方程
(1) dy 3x2 y
A
dx
(2) y exy
B
(3) yy y x 0
B
(4) y ex2 y
A
A .是
B .否
二、可分离变量的微分方程的解法
例1
求微分方程 dy exy 的通解.
dx
解 此方程是可分离变量的，分离变量后得
eydy exdx
可分离变量的微分方程
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令u = xy, 则 du = xdy + ydx ,
du − ydx f ( u) ydx + g ( u) x ⋅ = 0, x u [ f ( u) − g ( u)] dx + g ( u)du = 0, x
dx g(u) du = 0, + x u[ f (u) − g(u)] g ( u) du = C . 通解为 ln | x | + ∫ u[ f ( u) − g ( u)]
u − ln(1 + eu ) = x + C ln(1 + ex+ y ) = y − C ( C 为任意常数 ) 所求通解: 所求通解
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三、小结
1.可分离变量微分方程的概念 可分离变量微分方程的概念 说明］ ［说明］通解不一定是方程的全部解 . 例如, 例如 方程
y x 提示］ ［提示］(1) 分离变量 1 + y2dy = 1 + x2dx
(2) 方程变形为 y′ = −2cos xsin y y ln tan = −2sin x + C 2
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补例1】 【补例 】 当一次谋杀发生后，尸体的温度从原来的37° 按照牛 当一次谋杀发生后，尸体的温度从原来的 °C按照牛 顿冷却定律（ 顿冷却定律（物体温度的变化率与该物体和周围介质 温度之差成正比）开始变凉。 温度之差成正比）开始变凉。假设两个小时后尸体温 并且假定周围空气的温度保持 空气的温度保持20° 度变为 35°C ，并且假定周围空气的温度保持 °C ° 不变。 不变。 (1)求出自谋杀发生后尸体的温度 是如何作为时间 t 求出自谋杀发生后尸体的温度H是如何作为时间 求出自谋杀发生后尸体的温度 以小时为单位）的函数随时间变化的; （以小时为单位）的函数随时间变化的; (2)画出温度 画出温度——时间曲线； 时间曲线； 画出温度 时间曲线 (3)最终尸体的温度如何？用图象和代数两种方式表示 最终尸体的温度如何？ 最终尸体的温度如何 这种结果； 这种结果； (4)如果尸体被发现时的温度是 °C， 时间是下午 如果尸体被发现时的温度是30° ， 时间是下午4 如果尸体被发现时的温度是 那么谋杀是何时发生的？ 时，那么谋杀是何时发生的？
《微积分》第二节 可分离变量的微分方程
x ydx ( x2 1) dy 0
y(0) 1
dy y
1
x x
2
dx
两边积分得
即
y C x2 1
( C 为任意常数 )
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
1 y
x2 1
例3. 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原
子的含量 M 成正比,已知 t = 0 时铀的含量为 求在
衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律.
半衰期：放射性元素衰减一半所需时间.
M0 e t
1 2
M0
.
半衰期： ln 2 .
小结：
一、可分离变量的微分方程类型：
二、可分离变量方程的求解方法: 分离变量后积分; 根据定解条件定常数 .
作业
P270习题4_2 1(单)，2(单)，3
解: 根据题意, 有
dM M ( 0)
dt M t 0 M 0 (初始条件)
分离变量, 然后积分:
得 ln M t ln C M0
故所求铀的变化规律为 M M 0 e t . O
t
M M 0 e t . ( 0 ) 指数衰减
第二节 可分离变量的微分方程
变量分离的微分方程的标准形式：g( y)dy f ( x)dx
例如
dy
2x2
4
y5
4
y 5dy
2 x2dx,
dx
解法：两边积分
g( y)dy f ( x)dx
设G( y)和F( x)分别为g( y)和 f ( x)的原函数,则
G ( y ) F ( x ) C 为微分方程的通解.
例1 求微分方程
的通解.
解: 分离变量得 d y 3x2 dx y
6.2可分离变量的微分方程解析
dy k (a1 x b1 y ) c 对于 dx a1 x b1 y c1
令u a1 x b1 y，则方程化为
du ku c a1 b1 , dx u c1 此为变量分离方程。
a b 若 , a1 b1
ax by c 0, 则 有唯一解h, k。 a1x b1 y c1 0,
练习题答案
一、1、tan x tan y C ； 2、(e x 1)(e y 1) C ； 3、4( y 1) 3 3 x 4 C . 二、1、 2 cos y cos x ； 2、e x 1 2 2 cos y . 三、v 269.3 厘米/秒. 四、取 0 为原点,河岸朝顺水方向为x 轴 ,y 轴 指向对 k h 2 1 3 岸,则所求航线为 x ( y y ) . a 2 3
x X h 可化为齐次方程的方程 令 . y Y k
小结3
y 1.齐次方程 y f ( ) x
2.线性非齐次方程 3.伯努利方程
令 y xu;
P ( x ) dx
令 y u( x )e
;
令 y 1 n z;
思考题
方程 2 y( t )
x 0
g( y )dy f ( x )dx
数,
分离变量法
设函数G ( y ) 和 F ( x ) 是依次为g( y ) 和 f ( x ) 的原函
G( y ) F ( x ) C 为微分方程的解.
典型例题
例1 求解微分方程 解 分离变量
dy 2 xy 的通解. dx
dy 2 xdx , y
2 3
三、可化为分离变量的方程 dy ax by c 1. 形如 的微分方程 dx a1 x b1 y c1
可分离变量的微分方程
解: 分离变量得
dy y
1
x x2
dx
两边积分得
即
y x2 1 C ( C 为任意常数 )
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
y x2 1 1
2020年7月26日星期日
(Spring 2010, 21ppt. L.G.YUAN)
4
例3. 求下述微分方程的通解:
解: 令 u x y 1, 则
或
说明: 在求解过程中 每一步不一定是同解 变形, 因此可能增、 减解.
即
令C eC1
ln y x3 ln C
( C 为任意常数 )
( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )
2020年7月26日星期日
(Spring 2010, 21ppt. L.G.YUAN)
3
xydx ( x2 1) dy 0 例2. 解初值问题 y(0) 1
2020年7月26日星期日
(Spring 2010, 21ppt. L.G.YUAN)
10
例6. 解微分方程
解: 方程变形为 dy 2 y y 2 ,令 u y , 则有
dx x x
x
u xu 2u u2
分离变量
u
d
2
u
u
dx x
即 1 1 du dx
u 1 u
x
积分得 ln u 1 ln x ln C , 即 x (u 1) C
12
*二、可化为齐次方程的方程
( c2 c12 0 )
1.当 a1 b1 时,作变换 x X h, y Y k ( h, k 为待 ab
定常数), 则d x d X , d y dY , 原方程化为
ahbk c a1h b1k c1
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可分离变量的微分方程
观察与分析:
1. 求微分方程y '=2x 的通解. 为此把方程两边积分, 得
y =x 2+C .
一般地, 方程y '=f (x )的通解为C dx x f y +=⎰)((此处积分后不再加任意常数).
2. 求微分方程y '=2xy 2 的通解.
因为y 是未知的, 所以积分⎰
dx xy 22无法进行, 方程两边直 接积分不能求出通解.
为求通解可将方程变为
xdx dy y 212=, 两边积分, 得 C x y +=-21, 或C
x y +-=21, 可以验证函数C
x y +-=21是原方程的通解. 一般地, 如果一阶微分方程y '=ϕ(x , y )能写成
g (y )dy =f (x )dx
形式, 则两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程
G (y )=F (x )+C ,
由方程G (y )=F (x )+C 所确定的隐函数就是原方程的通解
对称形式的一阶微分方程:
一阶微分方程有时也写成如下对称形式:
P (x , y )dx +Q (x , y )dy =0
在这种方程中, 变量x 与y 是对称的.
若把x 看作自变量、y 看作未知函数, 则当Q (x ,y )≠0时, 有
)
,(),(y x Q y x P dx dy -=. 若把y 看作自变量、x 看作未知函数, 则当P (x ,y )≠0时, 有
),(),(y x P y x Q dy dx -=. 可分离变量的微分方程:
如果一个一阶微分方程能写成
g (y )dy =f (x )dx (或写成y '=ϕ(x )ψ(y ))
的形式, 就是说, 能把微分方程写成一端只含y 的函数和dy , 另一端只含x 的函数和dx , 那么原方程就称为可分离变量的微分方程.
讨论: 下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？
(1) y '=2xy , 是. ⇒y -1dy =2xdx .
(2)3x 2+5x -y '=0, 是. ⇒dy =(3x 2+5x )dx .
(3)(x 2+y 2)dx -xydy =0, 不是.
(4)y '=1+x +y 2+xy 2, 是. ⇒y '=(1+x )(1+y 2).
(5)y '=10x +y , 是. ⇒10-y dy =10x dx . (6)x
y y x y +='. 不是. 可分离变量的微分方程的解法:
第一步 分离变量, 将方程写成g (y )dy =f (x )dx 的形式;
第二步 两端积分:⎰⎰=dx x f dy y g )()(, 设积分后得G (y )=F (x )+C ;
第三步 求出由G (y )=F (x )+C 所确定的隐函数y =Φ(x )或x =ψ(y )
G (y )=F (x )+C , y =Φ (x )或x =ψ(y )都是方程的通解, 其中G (y )=F (x )+C 称为隐式(通)解.
例1 求微分方程xy dx
dy 2=的通解. 解 此方程为可分离变量方程, 分离变量后得
xdx dy y
21=, 两边积分得
⎰⎰=xdx dy y 21, 即 ln|y |=x 2+C 1,
从而 2
112x C C x e e e y ±=±=+. 因为1C e ±仍是任意常数, 把它记作C , 便得所给方程的通解
2
x Ce y =.
解 此方程为可分离变量方程, 分离变量后得
xdx dy y
21=, 两边积分得
⎰⎰=xdx dy y 21, 即 ln|y |=x 2+ln C ,
从而 2x Ce y =.
例2 铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M 成正比. 已知t =0时铀的含量为M 0, 求在衰变过程中铀含量M (t )随时间t 变化的规律.
解 铀的衰变速度就是M (t )对时间t 的导数dt
dM . 由于铀的衰变速度与其含量成正比, 故得微分方程
M dt
dM λ-=, 其中λ(λ>0)是常数, λ前的曲面号表示当t 增加时M 单调减少. 即
0<dt dM . 由题意, 初始条件为
M |t =0=M 0.
将方程分离变量得
dt M
dM λ-=. 两边积分, 得
⎰⎰-=dt M dM )(λ, 即 ln M =-λt +ln C , 也即M =Ce -λt .
由初始条件, 得M 0=Ce 0=C ,
所以铀含量M (t )随时间t 变化的规律M =M 0e -λt .
例3 设降落伞从跳伞塔下落后, 所受空气阻力与速度成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时速度为零. 求降落伞下落速度与时间的函数关系.
解 设降落伞下落速度为v (t ). 降落伞所受外力为F =mg -kv ( k 为比例系数). 根据牛顿第二运动定律F =ma , 得函数v (t )应满足的方程为
kv mg dt
dv m -=, 初始条件为
v |t =0=0.
方程分离变量, 得
m
dt kv mg dv =-, 两边积分, 得⎰⎰=-m
dt kv mg dv , 1
)ln(1
C m t kv mg k +=--, 即 t m k Ce k mg v -+=(k
e C kC 1--=), 将初始条件v |t =0=0代入通解得k
mg C -=, 于是降落伞下落速度与时间的函数关系为)1(t m k e k
mg v --=. 例4 求微分方程221xy y x dx
dy +++=的通解. 解 方程可化为
)1)(1(2y x dx
dy ++=, 分离变量得
dx x dy y )1(112+=+, 两边积分得
⎰⎰+=+dx x dy y )1(112, 即C x x y ++=22
1arctan . 于是原方程的通解为)21tan(2C x x y ++=.
例4 有高为1m 的半球形容器, 水从它的底部小孔流出, 小孔横截面面积为1cm 2. 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面高度h 随时间t 变化的规律.
解 由水力学知道, 水从孔口流出的流量Q 可用下列公式计算:
gh S dt dV Q 262.0==
,
其中0. 62为流量系数, S 为孔口横截面面积, g 为重力加速度. 现在孔口横截面面积S =1cm 2, 故 gh dt
dV 262.0=, 或dt gh dV 262.0=. 另一方面, 设在微小时间间隔[t , t +d t ]内, 水面高度由h 降至h +dh (dh <0), 则又可得到 dV =-πr 2dh ,
其中r 是时刻t 的水面半径, 右端置负号是由于dh <0而dV >0的缘故. 又因
222200)100(100h h h r -=--=,
所以 dV =-π(200h -h 2)dh .
通过比较得到
dh h h dt gh )200(262.02--=π,
这就是未知函数h =h (t )应满足的微分方程.
此外, 开始时容器内的水是满的, 所以未知函数h =h (t )还应满足下列初始条件: h |t =0=100.
将方程dh h h dt gh )200(262.02--=π分离变量后得
dh h h g dt )200(262.02321--
=π. 两端积分, 得
⎰--=dh h h g t )200(262.02321π
,
即 C h h g t +--=)523
400(262.02523π, 其中C 是任意常数.
由初始条件得
C g t +⨯-⨯-=)100521003
400(262.02523π, 5101514262.0)52000003400000(262.0⨯⨯=-=
g g C ππ
.
因此 )310107(262.0252335h h g t +-⨯=π
.
上式表达了水从小孔流出的过程中容器内水面高度h 与时间t 之间的函数关系.。