工程力学-点的复合运动

ve x'
vr
x
•瞬时重合点： 在某瞬时动系上与动点重合的点 •牵连（加）速度： 瞬时重合点相对定系的（加）速度
牵连速度 v e 牵连加速度 a e
绝对速度、相对速度和牵连速度
例如，直管OB以匀角速度ω绕定轴O转动，小球M以速度u
在直管OB中作相对的匀速直线运动，如图示。将动坐标系固 结在OB管上，以小球M为动点。随着动点M的运动，牵连点 在动坐标系中的位置在相应改变。设小球在t1、t2瞬时分别到 达M1、M2位置，则动点的牵连速度分别为
va cosθ = ve ve = Rω cos300
例 急回机构中，曲柄OA的一端与滑块A用铰链连接。当曲柄OA
以匀角速度ω 绕定轴O转动时，滑块在摇杆上滑动，并带动摇杆
绕固定轴O1来回摆动。设曲柄长OA=r，两轴间距离OO1 = l ，求
曲柄在水平位置瞬时，摇杆O1B绕O1轴的角速度ω1及滑块A相对
¾若选凸轮上的点（例如与A重合之点）为动点， 而动坐标系与AB杆固结，这样，相对运动轨迹不 仅难以确定，而且其曲率半径未知。因而相对运动 轨迹变得十分复杂，这将导致求解（特别是求加速 度）的复杂性。
3 点的复合运动
例： 已知图示瞬时圆盘的角速度ω 和角加速度α ， 求杆
上A点的速度。
A
θ =Hale Waihona Puke Baidu300
M1是瞬时t的牵连点， MM 1 是此牵连点的轨迹。
MM 1′ = MM 1 + M 1M 1′
lim
MM
′
1
=
lim
MM1
+
lim
M
1M
′
1
Δt→0 Δt
Δt→0 Δt Δt→0 Δt
速 度
va
=
lim
Δt →0
MM1′ Δt
合 成
ve
=
lim
Δt →0
MM1 Δt
定
理
vr
=
lim
Δt →0
M
1M
3 点的复合运动
z'
z
o'
x'
r' M
ro'
o
x
y' r
y
r = xi + yj + zk r'= x'i'+ y' j'+z'k' ro' = xo'i + yo' j + zo'k r = ro' + r'
•绝对（加）速度：动点相对定系的（加）速度
va = xi + yj + zk
aa = xi + yj + zk
va ve
牵连运动：动坐标系绕O轴的定轴转动
ϕ vr
ve = OA ⋅ ωO = 2eωO
tan ϕ = OC = va AC ve
OC = e ， AC = r = 3e
va = 1 eωO 方向如图
3
关关于于动动点点动动系系选选择择的的讨讨论论
¾本题中，选择AB杆的A点为动点，动坐标系与凸 轮固结。因此，三种运动、特别是相对运动轨迹十 分明显、简单已知的圆，使问题得以顺利解决。
′
1
Δt
lim
MM
′
1
=
lim
MM1
+
lim
M
1M
′
1
Δt→0 Δt
Δt→0 Δt Δt→0 Δt
va = ve + vr
动点的绝对速度 等于它的牵连速度与 相对速度的矢量和。
矢量方程中包含绝对速度、牵连速度和相对速度的大 小、方向六个量，已知其中四个量可求出其余两个量。
3 点的复合运动
y' y ω
ω1
=
l
r 2ω
2 +r
2
其转向为逆时针
例 火车车厢以速度v1沿直线轨道行驶。雨滴M铅垂落下，其速 度为v2。求雨滴相对于车厢的速度。
ve
v1
ϕ
vr
va
解：动点:雨滴M，动系：Ox′y′与车厢固结，静系：Oxy
绝对运动：雨滴相对地面铅垂落下
相对运动 ：雨滴相对于车厢的运动
点的复合运动第二次课
3 点的复合运动
相对运动、牵连运动和绝对运动
z'
z
o'
M
x'
y'
o
x
y
O x y z 为定参考系
O’x’y’z’为动参考系
研究运动的点为动点
• 绝对运动(absolute motion)： 动点相对定系的运动 • 相对运动(relative motion)： 动点相对动系的运动 • 牵连运动(convected motion)： 动系相对定系的运动
ve1 = OM1 ⋅ω
ve2 = OM 2 ⋅ω
动点与牵连点
动点和牵连点是一对相伴点，在运动的同一瞬 时，它们是重合在一起的。
动点是与动系有相对运动的点 。 牵连点是动系上的几何点 。 在运动的不同瞬时，动点与动坐标系上不同的点 重合，而这些点在不同瞬时的运动状态往往不同 。
例 偏心圆凸轮的偏心距 OC = e ，半径 r = 3e，设凸轮以
•相对（加）速度：动点相对动系的（加）速度
vr = x'i'+ y' j'+ z'k'
ar = x'i'+ y' j'+z'k'
动点在一个任意运动的刚体 K上沿弧AB相对于刚体K运动。
动坐标系固结在刚体K上， 静坐标系固结在地面上。
瞬时t，动点位于M处
Δt后，动点运动到
M
′
1
处
绝对运动轨迹 MM ′1
ω
c
α
O θR
3 点的复合运动
3 点的复合运动
3 点的复合运动
3 点的复合运动
3 点的复合运动
A
θ = 300
va
ve
ω
vr
O
c
θR
α
速度分析： va = ve + vr
解：动点： 盘心C 动系： 杆 定系： 地面
运动分析 绝对运动： 圆周运动 相对运动： 直线运动
牵连运动： 直线平移
求：牵连速度、牵连加速度
匀角速度ωO绕轴O转动，试求OC与CA垂直的瞬时，杆AB的速
度。
解：凸轮为定轴转动，AB杆为直线平 移，只要求出A点的速度就可以知道AB杆 各点的速度。由于A点始终与凸轮接触，因 此，它相对于凸轮的相对运动轨迹为已知 的圆。
选A为动点， 动坐标系Ox′y′固结在凸轮上
绝对运动：直线运动 相对运动：以C为圆心的圆周运动
摇杆O1B的相对速度。
解：该机构在运动过程中，滑块A相 对于摇杆O1B的相对运动轨迹为已
知¾。动点：滑块 A
¾动系：与摇杆O1B固连 绝对运动：圆周运动
相对运动：滑块沿滑槽的直线运动
va ϕ vr ve
A
牵连运动：摇杆绕O1轴的转动
将速度合成定理的矢量方程分别向 x′, y′ 轴上投影
va sin ϕ = ve + 0, va cos ϕ = 0 + vr
sin ϕ = OA =
O1 A
r , cosϕ = OO1 =
l2 + r2
O1 A
l , va = rω
l2 + r2
ve = r 2ω , vr = rlω
l2 + r2
l2 + r2
va ϕ vr ve
又因为 ve = O1 A ⋅ ω1 = l 2 + r 2 ⋅ ω1
摇杆此瞬时 的角速度为