微分方程稳定性理论简介
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0 1 0 2
lim x2 (t ) x
,
(8)
则称平衡点P0是稳定的(渐进稳定); 否则， 称P0是不稳定的(不渐进稳定).
先看线性常系数方程
1 (t ) a1 x1 a2 x2 x , 2 (t ) b1 x1 b2 x2 x
将f(x)在x0点作Taylor展开，只取一次项， 方程(1)近似为 (t ) f ( x0 )( x x0 ), x (4) (4)称为(1)的近似线性方程，x0也是方程(4)的 平衡点. 关于x0点稳定性有如下结论： 若f '(x0) < 0，则x0对于方程(4)和(1)都是 稳定的; 若f '(x0) > 0，则x0对于方程(4)和(1)都是 不稳定的.
(9)
(非齐次方程组，可用平移的方法(x1= u1+c1, x2 = u2+c2)化为齐次方程组) 系数矩阵记作
a1 a2 A b b , 2 1
(10)
为研究方程(9)的唯一平衡点P0(0, 0)的稳定 性，假定A的行列式 detA 0 . (11)
P0(0, 0)的稳定性由(9)的特征方程 det(A I) = 0 (12) 的根(特征根)决定. 方程(12)可以写成更加明晰 的形式 2 p q 0 p ( a1 b2 ) . (13) q det A 将特征根记作1, 2，则 1 1, 2 ( p p2 4q ). 2
6.2 军备竞赛 两个国家或国家集团之间由于相互不 信任和各种矛盾的存在、发展而不断增加 自己的军事力量，防御对方可能发动的战 争. 本节介绍L. F. Richardson1939年提出的 一个模型.
军备竞赛 (arms race)
军事大国为了实行对外扩张，争夺世界霸权，竞 相增加、提高军事装备的数量和质量，并向高技术领 域发展的特有过程。第一次世界大战以前，主要在英 国和德国之间进行海军竞赛。第二次世界大战以后主 要在美国、苏联两国之间进行，可分为下列几个阶段： ①常规武器竞赛。战后美、苏在冷战中大规模加强常 规军备。双方不断更新各种武器装备和发展现代技术， 以服务于军事、政治目的。②核武器竞赛。20世纪70 年代，美、苏核武器竞争激烈，结果双方拥有世界核 弹头库存总数的97％，同时双方在核武器运载工具、 多弹头分导等高技术领域的研制投入大量人力和物力。 ③太空武器竞赛。
注: x0点对方程(4)稳定性很容易由定义 (3)证明：记f '(x0) = a，则(4)的一般解为 x(t) = ceat + x0 (5) 其中常数c由初始条件确定，显然，a < 0时 (3)式成立.
二阶方程的平衡点和稳定性 二阶方程可用两个一阶方程表为
1 (t ) f ( x1 , x2 ) x , 2 (t ) g ( x1 , x2 ) x
80 年代军备竞赛转向太空和其他高技术领域， 美国制定的星球大战计划即是例证。军事预算的迅 速增长、武器质量性能优势的争夺以及军事战略的 不断变化，是美、苏军备竞赛的主要特点。 90 年代世界经济不断国际化、各国间相互依存 关系的加强，以及由于美、苏政治战略的调整，带 来了国际局势的缓和，使军备竞赛的势头趋缓。在 实现实质性裁军的同时，美、苏的竞争更多地转向 了以经济为中心的综合国力方面。但美国依旧发展 了如隐形飞机等的新式武器装备。 1991 年苏联解体，持续 40 多年的美、苏军备竞 赛结束。但 80 年代后期至 90 年代初期军备竞赛出现 了一些新特点，地区间的中小国家为推行地区霸权 主义，大力加强军备，造成局部战争和地区冲突， 成为影响国际和平的一个因素。
6.6 微分方程稳定性理论简介
一阶方程的平衡点及稳定性 设有微分方程
(t ) f ( x ), x
(1)
右端不含字变量t，称为自治方程. 代数方程 f(x) = 0 (2) 的实根x = x0称为方程(1)的平衡点(或奇点). 它 也是(1)的解(奇解).
如果存在某个邻域，使方程(1)的解x(t) 从这个邻域内的某个x(0)出发，满足 lim x(t ) x0 , (3) t 则称平衡点x0是稳定的(稳定性理论中称渐进 稳定); 否则，称x0是不稳定的(不渐进稳定). 判断平衡点x0是否稳定通常有两种方法. 利用定义即(3)式称间接法. 不求方程(1)的解 x(t)，因而不利用(3)式的方法称直接法. 下 面介绍直接法.
(6)
右端不显含t，是自治方程. 代数方程组
f ( x1 , x2 ) 0 g ( x1 , x2 ) 0
(7)
的实根x1 = x10, x2 = x20称为方程(6)的平衡点， 记作P0(x10, x20).
如 果 存 在 某 个 邻 域 ， 使 方 程 (6) 的 解 x1(t), x2(t)从这个邻域内的某个(x1(0), x2(0)) 出发，满足
模型的假设和构成 为了方便起见，用 军备表示军事力量的总和，如兵力、装备、 军事预算等. 甲乙双方在时刻t的军备分别 记作 x(t) 和 y(t) ，假设它们的变化只取决于 下面3个因素： 1. 由于相互不信任及矛盾的发展，一 方军备越大，另一方军备增加得越快; 2. 由于各方本身经济实力的限制，任 一方军备越大，对军备增长的制约作用越 大; 3. 由于相互敌视或领土争端，每一方 都存在着增加军备的固有潜力.
(14)
方程(9)的一般解具有形式 或
c1e t c2e t (1 2 )
1 2
c1e t c2te t (1 2 ),
1 1
c1, c2为任意常数. (注意：课本p199是否误为 c1e t c2te t (1 2 ) )
1 1
按照稳定性的定义(8)式可知，当1, 2 均为负数或均有负实部时P0(0, 0)是稳定平 衡点; 而当1, 2有一个为正数或有正实部 时P0(0, 0)是不稳定平衡点. 在条件(11)下1, 2均不为零. 按上述理论可得根据特征方程的系数p, q的正负来判断平衡点稳定性的准则： 若 p > 0, q > 0，则平衡点稳定; 若 p < 0, q < 0，则平衡点不稳定. 对一般的非线性方程(6)，仍可在平衡 点作一次Taylor展开，得常系数的近似线性 方程来讨论.
lim x2 (t ) x
,
(8)
则称平衡点P0是稳定的(渐进稳定); 否则， 称P0是不稳定的(不渐进稳定).
先看线性常系数方程
1 (t ) a1 x1 a2 x2 x , 2 (t ) b1 x1 b2 x2 x
将f(x)在x0点作Taylor展开，只取一次项， 方程(1)近似为 (t ) f ( x0 )( x x0 ), x (4) (4)称为(1)的近似线性方程，x0也是方程(4)的 平衡点. 关于x0点稳定性有如下结论： 若f '(x0) < 0，则x0对于方程(4)和(1)都是 稳定的; 若f '(x0) > 0，则x0对于方程(4)和(1)都是 不稳定的.
(9)
(非齐次方程组，可用平移的方法(x1= u1+c1, x2 = u2+c2)化为齐次方程组) 系数矩阵记作
a1 a2 A b b , 2 1
(10)
为研究方程(9)的唯一平衡点P0(0, 0)的稳定 性，假定A的行列式 detA 0 . (11)
P0(0, 0)的稳定性由(9)的特征方程 det(A I) = 0 (12) 的根(特征根)决定. 方程(12)可以写成更加明晰 的形式 2 p q 0 p ( a1 b2 ) . (13) q det A 将特征根记作1, 2，则 1 1, 2 ( p p2 4q ). 2
6.2 军备竞赛 两个国家或国家集团之间由于相互不 信任和各种矛盾的存在、发展而不断增加 自己的军事力量，防御对方可能发动的战 争. 本节介绍L. F. Richardson1939年提出的 一个模型.
军备竞赛 (arms race)
军事大国为了实行对外扩张，争夺世界霸权，竞 相增加、提高军事装备的数量和质量，并向高技术领 域发展的特有过程。第一次世界大战以前，主要在英 国和德国之间进行海军竞赛。第二次世界大战以后主 要在美国、苏联两国之间进行，可分为下列几个阶段： ①常规武器竞赛。战后美、苏在冷战中大规模加强常 规军备。双方不断更新各种武器装备和发展现代技术， 以服务于军事、政治目的。②核武器竞赛。20世纪70 年代，美、苏核武器竞争激烈，结果双方拥有世界核 弹头库存总数的97％，同时双方在核武器运载工具、 多弹头分导等高技术领域的研制投入大量人力和物力。 ③太空武器竞赛。
注: x0点对方程(4)稳定性很容易由定义 (3)证明：记f '(x0) = a，则(4)的一般解为 x(t) = ceat + x0 (5) 其中常数c由初始条件确定，显然，a < 0时 (3)式成立.
二阶方程的平衡点和稳定性 二阶方程可用两个一阶方程表为
1 (t ) f ( x1 , x2 ) x , 2 (t ) g ( x1 , x2 ) x
80 年代军备竞赛转向太空和其他高技术领域， 美国制定的星球大战计划即是例证。军事预算的迅 速增长、武器质量性能优势的争夺以及军事战略的 不断变化，是美、苏军备竞赛的主要特点。 90 年代世界经济不断国际化、各国间相互依存 关系的加强，以及由于美、苏政治战略的调整，带 来了国际局势的缓和，使军备竞赛的势头趋缓。在 实现实质性裁军的同时，美、苏的竞争更多地转向 了以经济为中心的综合国力方面。但美国依旧发展 了如隐形飞机等的新式武器装备。 1991 年苏联解体，持续 40 多年的美、苏军备竞 赛结束。但 80 年代后期至 90 年代初期军备竞赛出现 了一些新特点，地区间的中小国家为推行地区霸权 主义，大力加强军备，造成局部战争和地区冲突， 成为影响国际和平的一个因素。
6.6 微分方程稳定性理论简介
一阶方程的平衡点及稳定性 设有微分方程
(t ) f ( x ), x
(1)
右端不含字变量t，称为自治方程. 代数方程 f(x) = 0 (2) 的实根x = x0称为方程(1)的平衡点(或奇点). 它 也是(1)的解(奇解).
如果存在某个邻域，使方程(1)的解x(t) 从这个邻域内的某个x(0)出发，满足 lim x(t ) x0 , (3) t 则称平衡点x0是稳定的(稳定性理论中称渐进 稳定); 否则，称x0是不稳定的(不渐进稳定). 判断平衡点x0是否稳定通常有两种方法. 利用定义即(3)式称间接法. 不求方程(1)的解 x(t)，因而不利用(3)式的方法称直接法. 下 面介绍直接法.
(6)
右端不显含t，是自治方程. 代数方程组
f ( x1 , x2 ) 0 g ( x1 , x2 ) 0
(7)
的实根x1 = x10, x2 = x20称为方程(6)的平衡点， 记作P0(x10, x20).
如 果 存 在 某 个 邻 域 ， 使 方 程 (6) 的 解 x1(t), x2(t)从这个邻域内的某个(x1(0), x2(0)) 出发，满足
模型的假设和构成 为了方便起见，用 军备表示军事力量的总和，如兵力、装备、 军事预算等. 甲乙双方在时刻t的军备分别 记作 x(t) 和 y(t) ，假设它们的变化只取决于 下面3个因素： 1. 由于相互不信任及矛盾的发展，一 方军备越大，另一方军备增加得越快; 2. 由于各方本身经济实力的限制，任 一方军备越大，对军备增长的制约作用越 大; 3. 由于相互敌视或领土争端，每一方 都存在着增加军备的固有潜力.
(14)
方程(9)的一般解具有形式 或
c1e t c2e t (1 2 )
1 2
c1e t c2te t (1 2 ),
1 1
c1, c2为任意常数. (注意：课本p199是否误为 c1e t c2te t (1 2 ) )
1 1
按照稳定性的定义(8)式可知，当1, 2 均为负数或均有负实部时P0(0, 0)是稳定平 衡点; 而当1, 2有一个为正数或有正实部 时P0(0, 0)是不稳定平衡点. 在条件(11)下1, 2均不为零. 按上述理论可得根据特征方程的系数p, q的正负来判断平衡点稳定性的准则： 若 p > 0, q > 0，则平衡点稳定; 若 p < 0, q < 0，则平衡点不稳定. 对一般的非线性方程(6)，仍可在平衡 点作一次Taylor展开，得常系数的近似线性 方程来讨论.