2020秋王老师数学高二第四讲

第4讲几何体之垂直问题

知识点一：线面垂直与面面垂直的证明 考点1：线面垂直的判定、性质及证明

【例1】⑴如图1，在三棱锥P ABC -中，PB PC =，AB AC =．求证：PA BC ⊥．

⑵如图2，在正方体1111ABCD A B C D -中．求证：1BD ⊥面1AB C ．

【拓1】如图，已知平行六面体1111ABCD A B C D -的底面是菱形，

且1160A AB A AD ∠=∠=︒，求证：1CC BD ⊥．

原图：解析图：

【例2】在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，M 、N 分别为PC 、AB 的中点．若

45PDA ∠=︒，

求证：MN ⊥面PCD ．

【追问】设AB =，则PC ⊥面DMN ．

原图：法一图：法二图：

【拓2】在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为1DD 的中点，O 为底面ABCD 的中心．求证：1B O ⊥面PAC ．

原图：法一图：法二图： 考点2：面面垂直的判定、性质及证明

【例3】如图，设平面,,EF AB CD αβαα=⊥⊥ ，垂足分别为B D 、，且AB CD ≠，如果增加一个条件

就能推出BD EF ⊥，

给出四个条件：①AC β⊥；②AC EF ⊥；③AC 与BD 在β内的正投影在同一条直线上；④AC 与

BD 在平面β内的正投影所在直线交于一点．那么这个条件不可能．．．

是（）

A ．①②

B ．②③

C ．③

D ．④【铺1】如图，棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是菱形，11B C A B ⊥．证明：平面1AB C ⊥平面11A BC ．

【例4】在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD ，SA AB =，点M 是SD 的中点，

AN SC ⊥，且交SC 于点N ，证明：平面SAC ⊥平面AMN ．

【拓2】如图，已知BCD △中，90BCD ∠=︒，1BC CD ==，AB ⊥平面BCD ，60ADB ∠=︒，E 、F

分别是AC 、AD 上的动点，且()01AE AF AC AD

λλ==<<．⑴求证：不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ；

⑵当λ为何值时，平面BEF ⊥平面ACD ？

【拓3】如图，四边形ABCD 是面积为23的菱形，DAB ∠为菱形的锐角，P 是平面外的一点，PAD △是

边长为2的正三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，M 是PC 的中点．⑴求证：PB ⊥AD ；

⑵求证：平面ADM ⊥平面PBC ．

原图：解析图：

考点3：线、面垂直综合

【铺1】（2011江苏16）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB AD =，60BAD ∠=︒，

E 、

F 分别是AP 、AD 的中点．求证：⑴直线EF ∥平面PCD ；⑵平面BEF ⊥平面PAD ．

【例5】直三棱柱111ABC A B C -中，11190C A B ∠=︒，11111A C A B BB ==，M 、N 分别是11A C 、1B C 的中点．

⑴求证：MN ∥平面11ABB A ；⑵求证：MN ⊥平面1ACB ．

原图：解析图：

【拓2】如图，在三棱柱111ABC A B C -中，每个侧面均为正方形，,D E 分别为侧棱1,AB CC 的中点，1AB 与

1A B 的交点为O ．

⑴求证：CD ∥面1A BE ；⑵求证：1AB ⊥平面1A EB ．

原图：解析图：

【拓3】如图，四边形ABCD 为矩形，BC ⊥平面ABE ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE ．

⑴求证：AE BE ⊥；

⑵设点M 为线段AB 的中点，点N 为线段CE 的中点．

求证：MN ∥平面DAE ．

原图：解析图：

知识点二：立体几何垂直的探究问题 考点4：垂直的存在问题

【例6】已知矩形ABCD ，1AB =，2BC =．将ABD △沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻

折过程中（）

A ．存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直

B ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直

C ．存在某个位置，使得直线A

D 与直线BC 垂直

D ．对任意位置，三对直线“AC 与BD ”，“AB 与CD ”，“AD 与BC ”均不垂直

【追问】是否存在某个位置，使得直线AB 与直线AC 垂直？

【例7】如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，ABCD 为正方形，PD DC =，F 是PB 的中点．

⑴求证：PA FC ⊥；

⑵在平面PAD 内是否存在一点G ，使GF ⊥平面PCB ？并证明你的结论．

原图：解析图：

【拓3】如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，且PD AB =，E 是

PB 的中点．在平面PAD 内求一点F ，使得EF ⊥平面PBC ．

原图：法一图：法二图：

【演练1】已知m n ，是两条不同直线，αβγ，，是三个不同平面，下列命题中正确的为

（）

A ．若αγβγ⊥⊥，，则αβ

∥B ．若m n αα⊥⊥，，则m n ∥C ．若m n αα∥，∥，则m n ∥D ．若m m αβ∥，∥，则αβ∥【演练2】如图，正方形ABCD 所在平面与三角形CDE 所在平面相交于CD ，AE ⊥平面CDE ．

求证：AB ⊥平面ADE ．

【演练3】在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别在1AA ，1CC 上且11B E A B ⊥，11B F BC ⊥，

求证：1BD ⊥面1B EF ．