充分条件和必要条件(含区分和例题)
高考数学充分条件与必要条件 Word版含解析
充分条件与必要条件一、基础知识1、定义：（1）对于两个条件,p q ，如果命题“若p 则q ”是真命题，则称条件p 能够推出条件q ，记为p q ⇒，（2）充分条件与必要条件：如果条件,p q 满足p q ⇒，则称条件p 是条件q 的充分条件；称条件q 是条件p 的必要条件2、对于两个条件而言，往往以其中一个条件为主角，考虑另一个条件与它的关系，这种关系既包含充分方面，也包含必要方面。
所以在判断时既要判断“若p 则q ”的真假，也要判断“若q 则p ”真假3、两个条件之间可能的充分必要关系：（1）p 能推出q ，但q 推不出p ，则称p 是q 的充分不必要条件（2）p 推不出q ，但q 能推出p ，则称p 是q 的必要不充分条件（3）p 能推出q ，且q 能推出p ，记为p q ⇔，则称p 是q 的充要条件，也称,p q 等价（4）p 推不出q ，且q 推不出p ，则称p 是q 的既不充分也不必要条件4、如何判断两个条件的充分必要关系（1）通过命题手段，将两个条件用“若……，则……”组成命题，通过判断命题的真假来判断出条件能否相互推出，进而确定充分必要关系。
例如2:1;:10p x q x =-=，构造命题：“若1x =，则210x -=”为真命题，所以p q ⇒，但“若210x -=，则1x =”为假命题（x 还有可能为1-），所以q 不能推出p ；综上，p 是q 的充分不必要条件（2）理解“充分”，“必要”词语的含义并定性的判断关系① 充分：可从日常用语中的“充分”来理解，比如“小明对明天的考试做了充分的准备”，何谓“充分”？这意味着小明不需要再做任何额外的工作，就可以直接考试了。
在逻辑中充分也是类似的含义，是指仅由p 就可以得到结论q ，而不需要再添加任何说明与补充。
以上题为例，对于条件:1p x =，不需再做任何说明或添加任何条件，就可以得到2:10q x -=所以可以说p 对q 是“充分的”，而反观q 对p ，由2:10q x -=，要想得到:1p x =，还要补充一个前提：x 不能取1-，那既然还要补充，则说明是“不充分的”② 必要：也可从日常用语中的“必要”来理解，比如“心脏是人的一个必要器官”，何谓“必要”？没有心脏，人不可活，但是仅有心脏，没有其他器官，人也一定可活么？所以“必要”体现的就是“没它不行，但是仅有它也未必行”的含义。
理解充分条件、充分不必要条件、必要条件和必要不充分条件
理解充分条件、充分不必要条件、必要条件和必要不充分条件充分条件： 只要有A，就⼀定能达成B，A是B的充分条件。
充分不必要条件: 有A，⼀定能达到B；就算没有A，也有可能达到B。
举例：某次考试，试卷满分为100分。
⼩明考了90分。
对于“及格”这件事来说，90分是“充分条件”；再细致⼀点说的话，“及格”并不需要90分那么多，就算再少⼀点，也可能及格，也就是说，90分是及格的“充分不必要条件”。
必要条件： 如果能做到A，则必定做到了B，B是A的必要条件。
必要不充分条件： 如果能做到A，则必定能做到B，但如果只做到B的话，还不够做到A。
举例：某次考试，满分为100分，第⼀道的分值为41分（或41分以上），题⽬是个单选题：“本门课的任课⽼师是谁？”备选项是4张⼤头照。
⼩明如果想及格，则必须做对这道单选题。
也就是说，做对第⼀题是这堂考试及格的必要条件。
可问题是⼩明经常翘课，只在考前最后⼀堂课时奔着“划重点”的⽬标去点个卯，结果⽼师说“俺向来不给划重点”，恨得⼩明⽛痒痒地，⼀边百⽆聊赖地转笔，⼀边死盯着⽼师的脸，⼼⾥恨恨地想着“我从未见过如此厚颜⽆耻之⼈”。
所以呢，到了考试时，虽然第⼀题做对了，但后⾯的题⽬完全⽆从下笔。
也就是说，做对第⼀题是这堂考试及格的必要不充分条件。
充要条件： 如果能做到A，则必定能做到B；如果做到了B，则必定能做到A，A、B互为对⽅的充要条件。
强调⼀下，在说“充要条件”的时候，必定是“互相”的。
举例：某次考试，满分为100分，出题⽼师玩了⼀把⾏为艺术，第⼀道题的分值为60分（或60分以上），题⽬仍然是那道“本门课的任课⽼师是谁”的单选题。
如果想及格，就必须做对这道题；如果做对了这道题，则必然能及格。
也就是说“做对这道题”与“这次考试及格”互为“充要条件”。
既不充分⼜不必要条件： 直接上例⼦吧： 还是那门课考试，结果呢学校的有关部门提前核查了⼀下试卷，对出题⽼师的⾏为艺术提出了异议，于是出题⽼师修改了分值，保留了那道单选题，但改成了10分（只要40分以下都可以）。
必要条件与充分条件
必要条件与充分条件在逻辑学和数学中，必要条件与充分条件是经常用到的概念。
它们被用来描述某些陈述之间的关系，帮助我们理解事物之间的因果关系和逻辑关系。
本文将详细探讨必要条件与充分条件的含义和区别，并通过实例来说明它们在实际生活中的应用。
一、必要条件的含义和举例必要条件是指一个陈述中必须成立的条件，如果这个条件不满足，那么该陈述就不成立。
换句话说，必要条件是指没有它就不可能有结果或情况发生。
举例来说明，我们可以说“雨天是草地湿润的必要条件”。
这句话的意思是，如果没有雨天，草地就不可能湿润。
雨天是导致草地湿润的原因，是使草地变湿的必要条件。
另一个例子是“学生具备一定的知识是参加考试的必要条件”。
这意味着如果一个学生没有足够的知识，他就不能参加考试。
知识水平的达到是参加考试的必要条件。
二、充分条件的含义和举例充分条件是指一个条件足以保证一个结果或情况发生，即当这个条件满足时，该结果或情况一定会发生。
举例来说明，我们可以说“有机食物是健康饮食的充分条件”。
这句话的意思是，如果一个人的饮食中有机食物占据了主要部分，那么他的饮食就可以被称为健康饮食。
有机食物的摄入足以保证健康饮食的实现。
另一个例子是“积极学习是取得好成绩的充分条件”。
这意味着如果一个学生能够积极学习，他就能取得好成绩。
积极学习的态度和方法足以保证好成绩的取得。
三、必要条件与充分条件的区别必要条件是一个事件或结果发生时不可或缺的条件，没有它就不能实现。
而充分条件是一个足以导致一个结果或情况发生的条件，它可以确保结果或情况的实现。
从逻辑关系上来看，必要条件为前提，充分条件为结论。
必要条件是因，充分条件是果。
必要条件是导致，充分条件是保证。
从语义上来看，必要条件是对条件的要求，充分条件是对结果或情况的描述。
必要条件关注的是一个条件的必不可少性，充分条件关注的是一个条件的足够性。
四、必要条件与充分条件的应用理解和应用必要条件与充分条件的概念有助于我们解决问题，进行推理和分析。
充分条件、必要条件、充要条件题型解析
ʏ朱珠充分条件与必要条件是高中数学的重要概念,因其抽象性而成为同学们难以理解的内容㊂下面就这方面的题型进行举例分析㊂一㊁充分条件㊁必要条件㊁充要条件的判断充分条件与必要条件:若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件;若p⇒/q,则p不是q的充分条件,q不是p的必要条件㊂一般地,如果p⇒q,且q⇒p,就记作p⇔q,则p是q的充分必要条件,简称充要条件㊂概括地说,如果p⇔q,那么p与q互为充要条件㊂判断p是q的什么条件,主要判断p⇒q,及q⇒p这两个命题的正确性,若p⇒q真,则p是q成立的充分条件;若q⇒p 真,则p是q成立的必要条件㊂要否定p与q不能相互推出时,举出一个反例即可㊂例1(1)已知实系数一元二次方程a x2+b x+c=0(aʂ0),则下列结论正确的是()㊂①Δ=b2-4a cȡ0是这个方程有实根的充要条件;②Δ=b2-4a c=0是这个方程有实根的充分条件;③Δ=b2-4a c>0是这个方程有实根的必要条件;④Δ=b2-4a c<0是这个方程没有实根的充要条件㊂A.③④B.②③C.①②③D.①②④(2)若p:AɘB=A,q:∁U B⊆∁U A,则p 是q的()㊂A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件分析:对于(1),利用Δ=b2-4a c判断方程根的情况,当Δ=0时,一元二次方程有两个等根;当Δ>0时,一元二次方程有两个不相等的根;当Δ<0时,一元二次方程没有实数根㊂对于(2),画出V e n n图(如图1),结合图形,可帮助求解㊂图1解:(1)Δȡ0⇔一元二次方程a x2+b x+ c=0(aʂ0)有实根,①正确㊂Δ=0⇒一元二次方程a x2+b x+c=0(aʂ0)有实根,②正确㊂Δ>0⇒一元二次方程a x2+b x+c=0 (aʂ0)有实根,但a x2+b x+c=0(aʂ0)有实根⇒/Δ>0,③错误㊂Δ<0⇔一元二次方程a x2+b x+c=0(aʂ0)无实根,④正确㊂应选D㊂(2)结合图1可得AɘB=A⇔A⊆B⇔∁U A⊇∁U B,即p是q的充要条件㊂应选C㊂充分条件与必要条件的两种判断方法:直接利用定义判断;集合法,将命题p,q分别看作集合A, B,当A⊆B时,p是q的充分条件,q是p的必要条件,当A=B时,p,q互为充要条件㊂二㊁充分条件㊁必要条件㊁充要条件的应用利用充分条件㊁必要条件求参数的取值范围问题,常利用集合法求解,先化简集合A={x|p(x)}和B={x|q(x)},然后根据p 与q的关系(充分㊁必要㊁充要条件),得出集合A与B的包含关系,进而得到相关不等式组,最后求出参数的取值范围㊂例2已知集合A={x|a<x<a+2}, B={x|x<-1或x>3},且A是B的充分不必要条件,求实数a的取值范围㊂分析:由A是B的充分不必要条件,说0 1知识结构与拓展高一数学2023年9月Copyright©博看网. All Rights Reserved.明集合A 是B 的真子集,即A ⫋B ,由此可得实数a 满足的条件,从而得到实数a 的取值范围㊂解:因为A 是B 的充分不必要条件,所以A ⫋B ㊂又因为A ={x |a <x <a +2},B ={x |x <-1或x >3},所以a +2ɤ-1或a ȡ3,解得a ȡ3或a ɤ-3,所以实数a 的取值范围是{a |a ȡ3或a ɤ-3}㊂充分条件㊁必要条件中的含参数问题,往往是通过集合的包含关系来解答的㊂三㊁充要条件的证明充要条件的证明,可分为充分性和必要性的证明,证明时要注意两种叙述方式的区别:①p 是q 的充要条件,由p ⇒q 是充分性,由q ⇒p 是必要性;②p 的充要条件是q ,由p ⇒q 是必要性,由q ⇒p 是充分性㊂例3 求证:方程m x 2-2x +3=0有两个同号且不相等实根的充要条件是0<m <13㊂分析:先找出条件和结论,然后证明充分性和必要性都成立㊂证明:先证充分性(由条件推结论)㊂因为0<m <13,所以方程m x 2-2x +3=0的判别式Δ=4-12m >0,所以方程有两个不相等的实根㊂设方程的两根为x 1,x 2,当0<m <13时,x 1+x 2=2m >0且x 1x 2=3m>0,所以方程m x 2-2x +3=0有两个同号且不相等的实根,所以0<m <13⇒方程m x 2-2x +3=0有两个同号且不相等的实根㊂再证必要性(由结论推条件)㊂若方程m x 2-2x +3=0有两个同号且不相等的实根,则Δ=4-12m >0,x 1x 2=3m>0,所以0<m <13,所以方程m x 2-2x +3=0有两个同号且不相等的实根⇒0<m <13㊂综上可得,方程m x 2-2x +3=0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0<m <13㊂ 证明p 是q 的充要条件,既要证明命题 p ⇒q为真,又要证明 q ⇒p 为真,前者证明的是充分性,后者证明的是必要性㊂证明充要条件,即证明原命题和逆命题都成立㊂要注意 p 是q 的充要条件 与 p 的充要条件是q 这两种说法的差异,要分清哪个是条件,哪个是结论㊂1.求证:关于x 的方程a x 2+b x +c =0有一个根是1的充要条件是a +b +c =0㊂提示:先证明p ⇒q ,即证明必要性,再证明q ⇒p ,即证明充分性㊂设命题p :方程a x 2+b x +c =0有一个根是1,命题q :a +b +c =0㊂先证明p ⇒q ,即证明必要性,由x =1是方程a x 2+b x +c =0的根,可得a ㊃12+b ㊃1+c =0,即a +b +c =0㊂再证明q ⇒p ,即证明充分性,由a +b +c =0,可得c =-a -b ,因为a x 2+b x +c =0,所以a x 2+b x -a -b =0,即a (x 2-1)+b (x -1)=0,也即(x -1)(a x +a +b )=0,所以x =1是方程的一个根㊂综上可知,方程a x 2+b x +c =0有一个根是1的充要条件是a +b +c =0㊂2.已知三个不等式:a b >0,b c -a d >0,c a -db>0(其中a ,b ,c ,d 均为实数)㊂用其中两个不等式作为条件,余下的一个不等式作为结论组成一个命题,则可组成的正确命题的个数是( )㊂A.0 B .1 C .2 D .3提示:a b >0为①,b c -a d >0为②,ca-d b >0为③㊂若①②成立,则1a b (b c -a d )>,可得c a -d b >0,即③成立㊂若①③成立,则a bc a -d b>0,可得b c -a d >0,即②成立㊂若②③成立,则由③得b c -a da b>0,由②b c -a d >0得a b >0,即①成立㊂应选D ㊂作者单位:江苏省阜宁县东沟中学(责任编辑 郭正华)11知识结构与拓展高一数学 2023年9月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
2.1 充分条件与必要条件(共14张PPT)
学习新知 1、判别步骤：
判别充分条件 与必要条件
① 认清条件和结论。 ② 考察p q和q p的真假。
2、判别技巧：
① 可先简化命题。 ② 否定一个命题只要举出一个反例即可。
⑴命题：若“A为绿色”，则“B为 绿色”中，“A为绿色”是“B为绿 色”的什么条件； “B为绿色”又是 “A为绿色”的什么条件.
⑵命题：若“红点在B内”，则“红点一定在 A内”中，“红点在B内”是“红点在A内” 的什么条件；
“红点在A内”又是“红点在B内”的什么条 件.
应用新知
练习：下列“若p，则q”形式的命题中 p是q的
（1） x2=y2
x=y；
（2）内错角相等
两直线平行；
（3）整数a能被6整除 a的个位数字
为偶数；
（4）ac=bc a=b
学习新知
（1）若一个三角形有两个角相等，则这个三角 形是等腰三角形。 （2）若a2>b2，则a>b。
在真命题（1）中，p足以推出q，也就是说条件p 充分了。在假命题（2）中条件p不充分。
在真命题（1）中， q是p 成立所必须具备的前提。 在假命题（2）中， q不是p 成立所必须具备的前提。
学习新知
定义:“如果若p则q” 为真命题是指由p通 过推理可以得出q,这时我们就说，由p可
以推出q，记作 p q 并且说
p是q的充分条件(sufficient condition),
q是p的必要条件(necessary condition).
（1）“0<x <5”是“ x – 2 <3”的
充分条件与必要条件(共14张PPT)
∴p 是 q 的充分而不必要条件. 选A.
例4、已知P：|1- x3-1| 2，q：x2 -2x+1-m2 0，(m>0), 若 q是 p的充分不必要条件，求实数m的取值范围?
解: 由x2－2x＋1－m2≤0，得q:1－m≤x≤1＋m.
(3)若 p q ，那么q是p的充要条件 条件
p (4)若 p
q q ，那么q是p的 既不充分也不必要条件
例3. 已知条件 P: x + y ≠－2,条件q: x , y不都 是－1, 则p 是 q的( A )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 解: 由p : x + y ≠－2 ,q: x , y不都是－1,
所以由“｜¬q1－”：x－A3 ＝1 {|≤x∈2，R｜得xp＞：1－＋2m≤或x≤x＜101，－m,m＞0}
所以“¬p”：B＝{x∈R｜x＞10或x＜－2}．
由“¬q ”是“¬p”的充分而不必要条件知：A
B．
m 0
从而可得 1 m 2
1 m 10
解得 m≥ 9为所求．
1-m -2
10 1+m
②从集合角度看
⑴p是q的充分不必要条 件，相当于P Q,如右图
⑵p是q的必要不充分条 件,相当于P Q ,如左图
⑶p q,相当于P=Q ,
即:互为充要条件的两个事物
表示的是——同一事物。如 右图:
练习：下列电路图中，闭合开关A是灯泡B亮的什么条件？
A
B
C
A
CB
A
B
充分条件与必要条件
解:(1)当 a=0 时,原方程化为 2x+1=0,即 x=- 1 ,符合要求. 2
(2)当 a≠0 时,ax2+2x+1=0 为一元二次方程.它有实根,则必须 Δ≥0,
而至少有一个负实根可分为有两个负实根和只有一个负实根的情况:
不妨令方程的根为 x1,x2.
4 4a 0,
当方程有两个负实根时,则有
题都成立,若不易直接证明,可根据命题之间的关系进行等价转换,然后 再加以证明.
一、充分条件、必要条件和充要条件的判断
判断 p 是 q 的什么条件: (1)p:x-2=0,q:(x-2)(x-3)=0; (2)p:m<-2,q:方程 x2-x-m=0 无实根; (3 )p :一个 四边形 是矩形 ,q:四边 形的对 角线相 等. 思路分析:分别判断 p⇒q 以及 q⇒p 能否成立,再根据定义得出相 应的 结论.
1.在证明充要条件问题时,通常从“充分性”和“必要性” 两个方面来证明.在证明时,要注意题目给出的推式,若证明“p 的充要条
件是 q”,那么“充分性”是 q⇒ p,“必要性”就是 p⇒ q.若证明“p 是 q 的充
要条件”,则与之相反. 2.证明充要条件问题,其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命
所以 p 是 q 的充分不必要条件.
1.“x>0”是“x≠0”的( ). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:A
解析:由“x>0⇒ x≠0”且“x≠0 x>0”,可知“x>0”是“x≠0”的充分不
必要条件.
2.判断 p 是 q 的什么条件: (1)p:a2+b2=0,q:a+b=0; (2)p:a≤-2 或 a≥2,q:方程 x2+ax+a+3=0 有实根; (3)p:圆 x2+y2=r2 与直线 ax+by+c=0 相切,q:c2=(a2+b2)r2.
充分条件和必要条件(含区分和例题)
充分条件和必要条件解释：如果有事物情况A，则必然有事物情况B；如果没有事物情况A，则必然没有事物情况B，A就是B的充分必要条件（简称：充要条件）。
简单地说，满足A，必然B；不满足A，必然不B，则A是B的充分必要条件。
（A可以推导出B，且B也可以推导出A）例如： 1. A=“三角形等边”；B=“三角形等角”。
2. A=“某人触犯了刑律”；B=“应当依照刑法对他处以刑罚”。
3. A=“付了足够的钱”；B=“能买到商店里的东西”。
例子中A都是B的充分必要条件：其一、A必然导致B；其二，A是B发生必需的。
区分：假设A是条件，B是结论由A可以推出B~由B可以推出A~~则A是B的充要条件（充分且必要条件）由A可以推出B~由B不可以推出A~~则A是B的充分不必要条件由A不可以推出B~由B可以推出A~~则A是B的必要不充分条件由A不可以推出B~由B不可以推出A~~则A是B的不充分不必要条件简单一点就是：由条件能推出结论，但由结论推不出这个条件，这个条件就是充分条件如果能由结论推出条件，但由条件推不出结论。
此条件为必要条件如果既能由结论推出条件，又能有条件推出结论。
此条件为充要条件例子：1.充分条件：由条件a推出条件b，但是条件b并不一定能推出条件a，天下雨了，地面一定湿，但是地面湿不一定是下雨造成的。
2.必要条件：由后一个条件推出前一个条件，但是前一个条件并一定能推出后一个条件。
我们把前面一个例子倒过来：地面湿了，天下雨了。
我这里在简单说下哲学上的充分条件和必要条件1. 充分条件是指根据提供的现有条件可以直接判断事物的运行发展结果。
充分条件是事物运行发展的必然性条件，体现必然性的哲学内涵。
如父亲和儿子的关系属于亲情关系吗答必然属于。
2. 必要性条件。
事物的运行发展有其规律性，必要性条件是指一些外在或内在的条件符合该事物的运行规律的要求，但不能推动事物规律的最终运行。
如亲情关系和父子关系，亲情关系符合父子关系的一种现象表达，但不能推倒出亲情关系属于父子关系。
题型4-充要条件(充分性和必要性的判定)
例题
例1 对下列命题,判断前者是后者的什么条件，后 者是前者的什么条件.
（1）若 x y，则x2 y2 ；
（2）面积相等的三角形是全等三角形；
（3）若三角形的三条边相等，则三个角也相等；
（4）若 a2 b2，则a b.
答：（1）充分不必要； （2）必要不充分； （3）充要； （4）既不充分也 不必要；
四边形对角线 四边形是平行边 既不充分 既不充分
相等
形
也不必要 也不必要
a=b
ac=bc
充分不必要 必要不充分
x A且x B x A B
充要
充要
题型4
充要条件---充分性和必要性的判定
引例 ： 判断下列电路图中p与q的充要关系,其中
p：开关闭合, q：灯亮.
p
q
p
q
） 充分不必要
p
q
（3）必要不充分
（4）既不充分也不必要
题型 探究
充分条件和必要条件：
如果已知p q,则p是q 的充分条件,q 是p 的必要条件
如果已知p q, 但q p,则p 是 q
必要不充分. 充分不必要. 充要.
既不充分也 不必要.
例2 填表
p
x0
q
xy 0
p是q的什 q是p的什 么条件 么条件
充分不必要 必要不充分
两个角相等 两个角是对顶角 必要不充分充分不必要
aQ
aR
充分不必要 必要不充分
内错角相等 两直线平行
充要
充要
(x 2)(x 3) 0 x 2 0 必要不充分充分不必要
2019专题二：充分条件与必要条件(基础)含答案
专题二：充分条件与必要条件【学习目标】1．理解充分条件、必要条件、充要条件的定义；2．会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件；3．会应用充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件表达命题之间的关系；4.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明.【要点梳理】要点一：充分条件与必要条件、充要条件的概念1. 符号p q ⇒与p q ⇒/的含义“若p ，则q ”为真命题，记作：p q ⇒；“若p ，则q ”为假命题，记作：p q ⇒/.2. 充分条件、必要条件与充要条件①若p q ⇒，称p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件.②如果既有p q ⇒，又有q p ⇒，就记作p q ⇔，这时p 是q 的充分必要条件，称p 是q 的充要条件. 要点诠释：对p q ⇒的理解：指当p 成立时，q 一定成立，即由p 通过推理可以得到q .①“若p ，则q ”为真命题；②p 是q 的充分条件；③q 是p 的必要条件.以上三种形式均为“p q ⇒”这一逻辑关系的表达.要点二：充分条件、必要条件与充要条件的判断1. 从逻辑推理关系看命题“若p ，则q ”，其条件p 与结论q 之间的逻辑关系.①若p q ⇒，但q p ⇒/，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件；②若p q ⇒/，但q p ⇒，则p 是q 的必要不充分条件，q 是p 的充分不必要条件；③若p q ⇒，且q p ⇒，即p q ⇔，则p 、q 互为充要条件；④若p q ⇒/，且q p ⇒/，则p 是q 的既不充分也不必要条件.2. 从集合与集合间的关系看若p ：x ∈A ，则q ：x ∈B .①若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；②若A 是B 的 真子集，则p 是q 的充分不必要条件；③若A =B ，则p 、q 互为充要条件；④若A 不是B 的子集且B 不是A 的子集，则p 是q 的既不充分也不必要条件.要点诠释：充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.判断方法通常按以下步骤进行：①确定哪个是条件，哪个是结论；②尝试用条件推结论；③再尝试用结论推条件；④最后判断条件是结论的什么条件.要点三：充要条件的证明要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立）.要点诠释：对于命题“若p ，则q ” ：①如果p 是q 的充分条件，则原命题“若p ，则q ”与其逆否命题“若q ⌝，则p ⌝”为真命题；②如果p 是q 的必要条件，则其逆命题“若q ，则p ”与其否命题“若p ⌝，则q ⌝”为真命题；③如果p 是q 的充要条件，则四种命题均为真命题.【典型例题】类型一：充分条件、必要条件、充要条件的判定例1. 指出下列各题中，p 分别是q 的什么条件？(1) p ：(2)(3)0x x --=， q ： 2x =；(2) p ：0c =， q ： 抛物线2y ax bx c =++过原点；(3) p ：一个四边形是矩形， q ： 四边形的邻边相等.举一反三：【变式1】指出下列各题中，p 是q 的什么条件？（1）p ：A B ∠=∠， q ：A ∠和B ∠是对顶角.（2）p ：1x =， q ：21x =；【变式2】判断下列各题中p 是q 的什么条件.（1）p ：0a >且0b >， q ：0ab >；（2）p ：1x y>， q ： x y >. 例2. 已知p ：0<x <3，q ：|x -1|<2，则p 是q 的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件举一反三：【变式1】设x ∈R ，则条件“2x >”的一个必要不充分条件为（ ）A.1x >B.1x <C.3x >D.3x <【变式2】下列各小题中，p 是q 的什么条件？（1）p ：22x -≤≤， q ： 20x -<<；（2）p ：03x <<， q ：13x -<<.【变式3】设条件甲为“250x x -<”，条件乙为“2560x x --<””那么甲是乙的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件类型二：充要条件的探求与证明例3. 设x y 、∈R ，求证：|x y +|=|x |+|y |成立的充要条件是xy ≥0.举一反三：【变式1】已知a b c ，，都是实数，证明ac < 0是关于x 的方程2ax bx c ++=0有一个正根和一个负根的充要条件.【变式2】求关于x 的方程2210ax x ++=至少有一个负的实根的充要条件.类型三：充要条件的应用例4. 已知条件p ：2x +ax ＋1≤ 0，条件q ：23x x －＋2≤ 0，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．举一反三：【变式1】已知命题p ：()110c x +c c <<>－，命题q ：x >7或x <－1，并且p 是q 的既不充分又不必要条件，则c 的取值范围是________．【变式2】已知p ：1|1|23x --≤，q ：22210(0)x x m m -+-≤>，若p 是q 的充分不必要条件，求m 的取值范围.【巩固练习】一、选择题1．设a b 、∈R ，那么ab ＝0的充要条件是( )A ．a ＝0且b ＝0B ．a ＝0或b ≠ 0C ．a ＝0或b ＝0D ．a ≠ 0且b ＝02．命题p ：(1)(2)x y －－＝0；命题q ：22(1)(2)x y －＋－＝0，则命题p 是命题q 的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件3．已知a b c d ，，，为实数，且c d >，则“a b >”是“a c b d >－－”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件．4．“0b=c=”是二次函数“2y=ax +bx+c ”的图象经过原点的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．命题p ：不等式221ax +ax+>0的解集为R ，命题q ：0<a <1，则p 是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．设02x π<<，则“2sin 1x x <”是“sin 1x x <”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题7．若x ∈R ，则函数()()20f x ax +bx+c a ≠＝的值恒为正的充要条件是_________________，恒为负的充要条件是_________________．8．已知数列{}n a ，那么“对任意的n ∈N ＋，点()n n P n a ，，都在直线2y=x ＋1上”是“{}n a 为等差数列”的________条件．9．用“充分不必要条件”， “必要不充分条件”， “充要条件”， “既不充分也不必要条件”填空：(1) “m ≠3”是“m ≠3”的________；(2) “四边形ABCD 为平行四边形”是“AB ∥CD ”的________；(3) “a >b ，c d >”是“a c b d > ”的________．10. 函数()()20f x =ax bx c a ≠＋＋的图象关于y 轴对称的充要条件是________．三、解答题11．下列各题中，p 是q 的什么条件？(1) p ：x ＝1； q ：x －1(2) p ：－1≤x ≤5； q ：x ≥－1且x ≤5.(3) p ：三角形是等边三角形； q ：三角形是等腰三角形．12．(1)写出x < 2的一个充分不必要条件；(2) 写出x >-1的一个必要不充分条件；(3) 写出x1>2的一个充要条件. 13．已知p ：2820x x -->0，，q ：2221x x a -+->0， 若p 是q 的充分而不必要条件，求正实数a 的取值范围.14．不等式221x mx －－>0对一切1≤x ≤3都成立，求m 的取值范围．15．证明：方程2ax +bx+c ＝0有一根为1的充要条件是a+b+c ＝0.专题二：充分条件与必要条件参考答案【典型例题】类型一：充分条件、必要条件、充要条件的判定例1.【思路点拨】本题中，p 是条件，q 是结论. 尝试用条件推结论，再尝试用结论推条件，从而判断p 分别是q 的什么条件.【解析】(1)∵p ： 2x =或3x =， q ： 2x =，∴p q ⇒/且q p ⇒，∴p 是q 的必要不充分条件.(2)∵p q ⇒且q p ⇒，∴p 是q 的充要条件，(3)∵p q ⇒/且q p ⇒/，∴p 是q 的既不充分条件也不必要条件.【总结升华】判定充要条件的基本方法是定义法，即“定条件——找推式——下结论”.有时需要将条件等价转化后再判定.举一反三：【变式1】【解析】（1）∵p q ⇒/且q p ⇒，∴p 是q 的必要不充分条件，q 是p 的充分不必要条件.（2）∵2:111q x x x =⇔==-或∴211x x =⇒=，但211x x =⇒=/，∴p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件.【变式2】【答案】（1）p 是q 的充分不必要条件.∵0a >且0b >时，0ab >成立；反之，当0ab >时，只要求a 、b 同号即可.∴必要性不成立.（2）p 是q 的既不充分也不必要条件 ∵1x y>在0y >的条件下才有x y >成立.∴充分性不成立，同理必要性也不成立.例2.【答案】A【解析】解不等式|x-1|<2得-1<x<3，即q：-1<x<3.将集合P={|03}<<与Q={|13}x x=<<在数轴上表示出来，如图，A x x从图中看P Q⊆，所以p⇒q，但q⇒/p，故p是q的充分不必要条件.【总结升华】①先对已知条件进行等价转化化简，然后由定义判断；②不等式（解集）表示的条件之间的相互关系可以借助集合间的关系判断.举一反三：【变式1】【答案】A【变式2】【答案】(1) p是q的必要不充分条件；(2) p是q的充分不必要条件.【变式3】【答案】B类型二：充要条件的探求与证明例3.【思路点拨】注意分清条件与结论. 本题中条件：xy≥0；结论：|x y+|=|x|+|y|. 要证明充要条件的成立，须从两方面着手：条件∣结论；结论∣条件.【证明】（1）充分性：若xy=0，那么①x=0，y≠0；②x≠0，y=0；③x=0，y=0，于是|x+y|=|x|+|y|如果xy＞0，即x＞0，y＞0或x＜0，y＜0，当x＞0，y＞0时，|x+y|=x+y=|x|+|y|.当x＜0，y＜0时，|x+y|=－(x+y)=－x+(－y)=| x|+|y|.总之，当xy≥0时，有|x+y|=|x|+|y|.（2）必要性：由|x+y|=|x|+|y|及x、y∈R，得(x+y)2=(|x|+|y|)2，即222222x xy y x xy y++=++，|xy|=xy，∴xy≥0.综上可得|x y+|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.【总结升华】充要条件的证明关键是根据定义确定哪是已知条件，哪是结论，然后搞清楚充分性是证明哪一个命题，必要性是证明哪一个命题.判断命题的充要关系有三种方法：（1）定义法；（2）等价法，即利用A B⇒与B A⌝⇒⌝；B A⇒与A B⌝⇒⌝；A B⇔与A B⌝⇔⌝的等价关系，对于条件或结论是不等关系（否定式）的命题，一般运用等价法.（3）利用集合间的包含关系判断，若A B⊆，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A=B，则A是B 的充要条件.举一反三：【变式1】【解析】（1）充分性：若ac<0，则Δ=b2-4ac>0，方程2ax bx c++=0有两个相异实根，设为x1， x2，∵ac<0，∴x1·x2=ca<0，即x1，x2的符号相反，即方程有一个正根和一个负根.（2）必要性：若方程2ax bx c++=0有一个正根和一个负根，设为x1，x2，且x1>0， x2<0，则x1·x2=ca<0，∴ac<0.综上可得ac<0是方程2ax bx c++=0有一个正根和一个负根的充要条件. 【变式2】【解析】（1）a=0时适合.（2）当a≠0时，显然方程没有零根.若方程有两异号的实根，则必须满足1440aaa⎧<⎪⇒<⎨⎪∆=->⎩；若方程有两个负的实根，则必须满足102001440a a a a ⎧>⎪⎪⎪-<⇒<≤⎨⎪⎪∆=-≥⎪⎩综上知，若方程至少有一个负的实根，则a≤1；反之，若a≤1，则方程至少有一个负的实根，因此，关于x 的方程ax 2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是a≤1类型三：充要条件的应用例4.【答案】－2≤a ≤2【解析】解不等式23x x －＋2≤ 0得1≤x ≤2.令A ＝{x ∈R |2x +ax ＋1≤ 0}，B ＝{x |1≤x ≤2}，∵p 是q 的充分不必要条件，∴p q ⇒，即A ⊆B ，可知A =∅或方程2x +ax ＋1＝0的两根要在区间[1，2]内， ∴Δ＝a 2－4<0或01224210110a a a ∆≥⎧⎪⎪≤-≤⎪⎨⎪++≥⎪++≥⎪⎩，得－2≤a ≤2. 【总结升华】解决这类参数的取值范围问题，应尽量运用集合法求解，即先化简集合A 、B ，再由它们的因果关系，得到A 与B 的包含关系，进而得到相关不等式组，解之即可.举一反三：【变式1】【答案】0<c ≤2【解析】命题p 对应的集合A ＝{x|1－c<x<1＋c ，c>0}，同理，命题q 对应的集合B ＝{x|x>7或x<－1}．因为p 是q 的既不充分又不必要条件，所以A B =∅或A 不是B 的子集且B 不是A 的子集，所以1117c c -≥-⎧⎨+≤⎩，①或1117c c +≥-⎧⎨-≤⎩，②，解①得c≤2，解②得c≥－2，又c>0，综上所述得0<c≤2. 【变式2】【答案】9m ≥【解析】由22210(0)x x m m -+-≤>解得11m x m -≤≤+ 又由1|1|23x --≤解得210x -≤≤p 是q 的充分不必要条件，所以012,110m m m >⎧⎪-≤-⎨⎪+>⎩或012,110m m m >⎧⎪-<-⎨⎪+≥⎩解得9m ≥【巩固练习】【答案与解析】1. 【答案】 C【解析】 由ab ＝0，知a 、b 至少有一个为0.2. 【答案】 B【解析】 命题p ：(x －1)(y －2)＝0⇒x ＝1或y ＝2.命题q ：(x －1)2＋(y －2)2＝0⇒x ＝1且y ＝2.由q ⇒p 成立，而由p ⇒q 不成立．3. 【答案】 B【解析】 本小题主要考查不等式的性质和充要条件的概念． 由a －c >b －d 变形为a －b >c －d ，因为c >d ，所以c －d >0，所以a －b >0，即a >b ，∴a －c >b －d ⇒a >b .而a >b 并不能推出a －c >b －d .所以a >b 是a －c >b －d 的必要而不充分条件．故选B.4. 【答案】 A【解析】 若b ＝c ＝0，则二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ＝ax 2经过原点， 若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 过原点，则c ＝0，故选A.5. 【答案】 B【解析】 当a ＝0时，不等式ax 2＋2ax ＋1>0的解集为R ； 当20440a a a >⎧⎨∆=-<⎩，即0<a <1时，不等式ax 2＋2ax ＋1>0的解集为R . 综上，不等式ax 2＋2ax ＋1>0的解集为R 时，0≤a <1，故选B.6. 【答案】 B【解析】 本题考查了充要条件及不等式关系． ∵02x π<<，∴0<sin x <1 ∴0<sin 2x <sin x <1，∴x sin 2x <x sin x则x ·sin x <1⇒x ·sin 2x <1成立，故选B.7. 【答案】 a >0且b 2－4ac <0 a <0且b 2－4ac <08. 【答案】 充分不必要【解析】 点P n (n ，a n )都在直线y ＝2x ＋1上，即a n ＝2n ＋1，∴{a n }为等差数列， 但是{a n }是等差数列却不一定就是a n ＝2n ＋1.9. 【答案】 (1)必要不充分条件(2)充分不必要条件11 / 12 (3)既不充分也不必要条件10．【答案】b ＝0【解析】f (x )关于y 轴对称⇔002b b a -=⇔=. 11. 【解析】 (1)充分不必要条件当x ＝1时，x －1＝1x -成立；当x －1＝1x -时，x ＝1或x ＝2.(2)充要条件∵－1≤x ≤5⇔x ≥－1且x ≤5.(3)充分不必要条件∵等边三角形一定是等腰三角形，而等腰三角形不一定都是等边三角形．12. 【解析】(1)此题为开放题，只要写出{x|-2<x<2}的一个非空真子集即可，如x=0.(2) 仿(1) 只要写出一个包含{x|x>-1}的集合即可，如{x|x>-2}即x>-2.(3) 0<x<21 13．【解析】解不等式x 2-8x-20>0，得p: A={x|x>10或x<-2}解不等式x 2-2x+1-a 2>0，得q: B={x|x>1+a 或x<1-a ， a<0}依题意，p ⇒q 且q p ， 说明A B ， 于是有⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤+>211010a a a 且等号不同时成立，解得：0<a≤3，∴正实数a 的取值范围是0<a≤314．【解析】 令f (x )＝x 2－2mx －1要使x 2－2mx －1>0对一切1≤x ≤3都成立，只需f (x )＝x 2－2mx －1在[1，3]上的最小值大于0即可．（1）当m ≤1时，f (x )在[1，3]上是增函数， f (x )min ＝f (1)＝－2m >0，解得m <0，又m ≤1，∴m <0.（2）当m ≥3时，f (x )在[1，3]上是减函数，f (x )min ＝f (3)＝8－6m >0，解得43m <， 又m ≥3，∴此时不成立． （3）当1<m <3时，f (x )min ＝f (m )＝－m 2－1＝－(m 2＋1)>0不成立，综上所述，m 的取值范围为m <0.15. 【解析】证明：(1)充分性：∵a ＋b ＋c ＝0，∴c ＝－a －b ，∴ax 2＋bx ＋c ＝ax 2＋bx －a －b ＝0，∴a (x －1)(x ＋1)＋b (x －1)＝0，∴(x －1)[a (x ＋1)＋b ]＝0，∴x ＝1或a (x ＋1)＋b ＝0，∴x ＝1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根．(2)必要性：∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，∴a＋b＋c＝0.综上(1)(2)命题得证．12 / 12。
充分条件,必要条件,充要条件题型解析文章
充分条件,必要条件,充要条件题型解析文章充分条件、必要条件、充要条件是数学和逻辑学中非常重要的概念，对于解题、证明和推理都有着重要的作用。
在解题中，对于这些条件的理解可以帮助我们更好地找到解题的关键点，进行有效的推理，从而得出正确的结论。
下面我将就这些条件的概念、特点、解题技巧和例题进行解析，希望能为你对这些条件的理解提供一些帮助和启发。
一、充分条件、必要条件、充要条件的概念1. 充分条件：如果A是B的充分条件，那么表示A是B发生的一个足够的条件，即如果B发生，则A一定发生。
充分条件通常用“若……则……”表示。
2. 必要条件：如果A是B的必要条件，那么表示A是B发生的一个必需条件，即只有当A发生时，B才能发生。
必要条件通常用“只有……才……”表示。
3. 充要条件：A是B的充要条件，表示A不仅是B发生的充分条件，也是B发生的必要条件，即当且仅当A发生时，B才能发生。
二、充分条件、必要条件、充要条件的特点1. 充分条件和必要条件是对偶关系，即A是B的充分条件，等价于B 是A的必要条件，反之亦然。
2. 充要条件是充分条件和必要条件的结合，即A是B的充要条件，表示A既是B发生的充分条件，又是B发生的必要条件。
3. 在数学证明中，常常用“充要条件”的推理方式来进行证明，因为它包含了充分条件和必要条件的双重性质，能够更准确地得出结论。
三、解题技巧与例题解析充分条件、必要条件、充要条件在数学中有着广泛的应用，特别是在逻辑推理、证明方法和解题技巧中。
在解题时，我们可以根据充分条件和必要条件的特点，灵活运用以下几种方法来进行推理和证明：1. 分情况讨论法：对于充分条件和必要条件，我们可以分别讨论条件成立和不成立的情况，从而得出结论。
2. 双向推理法：对于充要条件，我们可以采用双向推理的方法，即从A推出B，再从B推出A，从而证明A是B的充要条件。
下面通过一个例题来进行解析：例题：已知命题P：若x > 3，则x^2 > 9。
充分条件、必要条件ppt课件
解析：由题意知，成功实现太空握手 空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨
道高度，空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度
太空握手，所以“梦
天实验舱与天和核心舱成功实现‘太空握手’
”是“空间站组合体与梦天实验舱
处于同一轨道高度”的充分不必要条件.故选 A.
5.若“ x 2 ”是“ m 2 x 2 (m 3) x 4 0 ”的充分不必要条件，则实数 m 的值为
2014年3月4日）；
（3）“积极乐观的人，相信办法总比问题多，内心充满希望，当然，他们更懂得
去寻求必要的帮助，给自己创造更多的机会”（《中国青年报》2015年6月22日）；
（4）“文学不只是知识，同时也是一种能力，写作对于一个文学系的学生而言是
一种必要的素质”（《人民日报》2015年7月28日）．
等边三角形”是等边三角形的定义，这就意味着，只要三角形的三条边都相等，
那么这个三角形一定是等边三角形；反之，如果一个三角形是等边三角形，那
么这个三角形的三条边都相等. 不难看出，一个数学对象的定义实际上给出了这
个对象的一个充要条件，上例中，“三角形的三条边都相等”是“三角形是等
边三角形”的充要条件.
出其中涉及的充分条件或必要条件：
（1）形如 y = ax2（a是非零常数）的函数是二次函数；
（2）菱形的对角线互相垂直．
解：（1）这可以看成一个判定定理，因此“ y = ax2(a 是非零常数)的函数”
是“这个函数是二次函数”的_______条件.
充分
（2） 这可以看成菱形的一个性质定理，因此“四边形对角线互相垂直”
1
.当 m 1 时， x 2 是
2
1
1
典型例题：充分条件与必要条件的判断方法
充分条件与必要条件的判断方法充分条件与必要条件的判断，是学习常用逻辑用语时的重点和难点，也是后继学习的理论基础．对于如何判断充分条件与必要条件，方法比较多，下面通过实例对充分条件与必要条件的判断常用的方法加以解析．一．定义法给出条件p 、q ，根据定义，只要判断“p 能否推出q ”与“q 能否推出p ”，从而确定条件p 、q 的充分条件与必要条件的关系．例1 “1=a ”是“函数||)(a x x f -=在区间),1[+∞上为增函数”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件解析：若“1=a ”，则函数|1|||)(-=-=x a x x f 在区间),1[+∞上为增函数；而若“函数||)(a x x f -=在区间),1[+∞上为增函数”，则有1≤a ； 所以“1=a ”是“函数||)(a x x f -=在区间),1[+∞上为增函数”的充分不必要条件，即选A ．评析：定义法是判断充分条件与必要条件的最基本的方法，也是最常用的方法之一．在判断一个命题不成立时，只需要举出一个反例就可以．二．集合法设满足条件p 的元素构成集合Ｐ，满足条件q 的元素构成集合Ｑ，把判断条件p 、q 的充分、必要关系转化为判断集合Ｐ、Ｑ间的关系，即（1）若Q P ⊆，则p 是q 的充分条件；若Q P ⊂，则p 是q 的充分而不必要条件；（2）若P Q ⊆，则p 是q 的必要条件；若P Q ⊂，则p 是q 的必要而不充分条件；（3）若Q P =，则p 是q 的充要条件；（4）如果上述三种关系均不成立，即p 、q 之间没有包含或相等的关系，即p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件．例2 设p ：0202>--x x ，q ：02||12<--x x ，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：p ：0202>--x x ⇔4-<x 或5>x ，q ：02||12<--x x ⇔2-<x 或11<<-x 或2>x ，借助图形可知，条件集}54|{>-<x x x 或是结论集}2112|{><<--<x x x x 或或的真子集，所以p 是q 的的充分不必要条件，即选Ａ。
高考数学必考之充分条件与必要条件
高考数学必考之充分条件与必要条件一、基础知识1、定义：（1）对于两个条件,p q ，如果命题“若p 则q ”是真命题，则称条件p 能够推出条件q ，记为p q ⇒，（2）充分条件与必要条件：如果条件,p q 满足p q ⇒，则称条件p 是条件q 的充分条件；称条件q 是条件p 的必要条件2、对于两个条件而言，往往以其中一个条件为主角，考虑另一个条件与它的关系，这种关系既包含充分方面，也包含必要方面。
所以在判断时既要判断“若p 则q ”的真假，也要判断“若q 则p ”真假3、两个条件之间可能的充分必要关系：（1）p 能推出q ，但q 推不出p ，则称p 是q 的充分不必要条件（2）p 推不出q ，但q 能推出p ，则称p 是q 的必要不充分条件（3）p 能推出q ，且q 能推出p ，记为p q ⇔，则称p 是q 的充要条件，也称,p q 等价（4）p 推不出q ，且q 推不出p ，则称p 是q 的既不充分也不必要条件4、如何判断两个条件的充分必要关系（1）通过命题手段，将两个条件用“若……，则……”组成命题，通过判断命题的真假来判断出条件能否相互推出，进而确定充分必要关系。
例如2:1;:10p x q x =-=，构造命题：“若1x =，则210x -=”为真命题，所以p q ⇒，但“若210x -=，则1x =”为假命题（x 还有可能为1-），所以q 不能推出p ；综上，p 是q 的充分不必要条件（2）理解“充分”，“必要”词语的含义并定性的判断关系① 充分：可从日常用语中的“充分”来理解，比如“小明对明天的考试做了充分的准备”，何谓“充分”？这意味着小明不需要再做任何额外的工作，就可以直接考试了。
在逻辑中充分也是类似的含义，是指仅由p 就可以得到结论q ，而不需要再添加任何说明与补充。
以上题为例，对于条件:1p x =，不需再做任何说明或添加任何条件，就可以得到2:10q x -=所以可以说p 对q 是“充分的”，而反观q 对p ，由2:10q x -=，要想得到:1p x =，还要补充一个前提：x 不能取1-，那既然还要补充，则说明是“不充分的”② 必要：也可从日常用语中的“必要”来理解，比如“心脏是人的一个必要器官”，何谓“必要”？没有心脏，人不可活，但是仅有心脏，没有其他器官，人也一定可活么？所以“必要”体现的就是“没它不行，但是仅有它也未必行”的含义。
【例题讲解】充分条件与必要条件例完整版课件
充分条件与必要条件
本题小结
充分条件必要条件
知识梳理
充分、必要条件与集合的关系
若p成立的对象构成的集合为A，q成立的对象构成的集合为B， 即A={x|p(x)}, B={x|q(x)}.
则充分条件、必要条件与集合的关系为： （1）若AB ，则p是q的充分条件； （2）若BA ，则p是q的必要条件； （3）若A=B ，则p是q的充要条件，如图所示：
A（B）
充分条件与必要条件
知识梳理
充分、必要条件与集合的关系
（4）若A⫋B ，则p是q的充分不必要条件 ； 如 （图5）①若所B示⫋A：，则p是q的必要不充分条件 ； 如（图6）②若所A示∩B：=或A、B既有公共元素也有 非公共元素，则p是q的既不充分也不必要 条件；如图③④所示：
①
BA
②
AB
AB
③
AB
④
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充分条件与必要条件
典例精讲
例 判断下列各题中，p是q的什么条件？（
从“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、 “充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选 出一种）
（1）p：数a能被6整除，q：数a能被3整除； （2）p：x>1，q：x2>1； （3）p： △ABC有两个角相等，
q：△ABC是正三角形； （4）p: a，b至少有一个不为零，
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充分条件和必要条件解释：如果有事物情况A，则必然有事物情况B;如果没有事物情况A，则必然没有事物情况B，A 就是B的充分必要条件（简称：充要条件）。
简单地说，满足A，必然B;不满足A，必然不B,则A 是B的充分必要条件。
（A可以推导出B,且B也可以推导出A）例如： 1. A=三角形等边”；B=三角形等角”。
2. A=某人触犯了刑律”；B=应当依照刑法对他处以刑罚”。
3. A=付了足够的钱”；B=能买到商店里的东西”。
例子中A都是B的充分必要条件：其一、A必然导致B ;其二，A是B发生必需的。
区分：假设A是条件，B是结论由A可以推出B~由B可以推出A~~则A是B的充要条件（充分且必要条件）由A可以推出B~由B不可以推出A~~则A是B的充分不必要条件由A不可以推出B~由B可以推出A~~则A是B的必要不充分条件由A不可以推出B~由B不可以推出A~~则A是B的不充分不必要条件简单一点就是：由条件能推出结论，但由结论推不出这个条件，这个条件就是充分条件如果能由结论推出条件，但由条件推不出结论。
此条件为必要条件如果既能由结论推出条件，又能有条件推出结论。
此条件为充要条件例子：1.充分条件：由条件a推出条件b，但是条件b并不一定能推出条件a，天下雨了，地面一定湿，但是地面湿不一定是下雨造成的。
2.必要条件：由后一个条件推出前一个条件，但是前一个条件并一定能推出后一个条件。
我们把前面一个例子倒过来：地面湿了，天下雨了。
我这里在简单说下哲学上的充分条件和必要条件1. 充分条件是指根据提供的现有条件可以直接判断事物的运行发展结果。
充分条件是事物运行发展的必然性条件，体现必然性的哲学内涵。
如父亲和儿子的关系属于亲情关系吗？答必然属于。
2. 必要性条件。
事物的运行发展有其规律性，必要性条件是指一些外在或内在的条件符合该事物的运行规律的要求，但不能推动事物规律的最终运行。
如亲情关系和父子关系，亲情关系符合父子关系的一种现象表达，但不能推倒出亲情关系属于父子关系。
集合表示：设A、B是两个集合，A是B的充分条件，即满足A的必然满足B，表示为A包含于B ；A是B的必要条件，即满足B的必然满足A，表示为A包含B,或B包含于A ；A是B的充分不必要条件，即A是B的真子集，表示为A真包含于B;A是B的必要不充分条件，即B是A的真子集，表示为A真包含B，或者B真包含于A ；A是B的充分必要条件，即A、B等价，表示为A=B。
其中包含与真包含的符号打不出，自己写吧。
不过这种表示方法非常的不严格，实际中A、B两集合的元素未必是同一各类，而只是有一定的逻辑关系，所以这种表示法也只能在特别的情况下适用。
例题：例1 已知p : x1 , x2是方程x2 + 5x — 6 = 0的两根，q : x1 + x2 =—5，贝U p是q的[]A •充分但不必要条件B •必要但不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件分析利用韦达定理转换.解•/ x1 , x2是方程x2 + 5x — 6 = 0的两根，••• x1 , x2的值分别为1 , —6 ,x1 + x2 = 1 —6 =—5 .因此选A .说明：判断命题为假命题可以通过举反例.例2 p 是q的充要条件的是[]A . p : 3x + 2 > 5 , q: —2x —3 > —5B . p : a > 2 , b v 2 , q: a > bC• p :四边形的两条对角线互相垂直平分，q :四边形是正方形D • p : a和,q：关于x的方程ax = 1有惟一解分析逐个验证命题是否等价.解对A • p : x > 1 , q: x v 1，所以，p是q的既不充分也不必要条件；对B • p q但q p , p是q的充分非必要条件；对C • p q且q p , p是q的必要非充分条件；说明：当a = 0时，ax = 0有无数个解.例3 若A是B成立的充分条件，D是C成立的必要条件，C是B成立的充要条件，则 D 是A成立的[]A .充分条件B .必要条件C.充要条件 D .既不充分也不必要条件分析通过B、C作为桥梁联系A、D .解•/ A是B的充分条件，••• A B①•/ D是C成立的必要条件，• C D②由①③得A C④由②④得A D .• D是A成立的必要条件.选B.说明：要注意利用推出符号的传递性.例4 设命题甲为：0 v x v 5，命题乙为|x —2| v 3，那么甲是乙的[]C• p :四边形的两条对角线互相垂直平分，q :四边形是正方形A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件分析先解不等式再判定.解解不等式|x —2| v 3得一1 v x v 5 .■/ 0 v x v 5 —1 v x v 5 ,但一1 v x v 5 0 v x v 5•••甲是乙的充分不必要条件，选 A .说明：一般情况下，如果条件甲为x € A，条件乙为x € B .当且仅当A = B时，甲为乙的充要条件.例5 设A、B、C三个集合，为使 A (B U C)，条件A B是[]A .充分条件B .必要条件C.充要条件 D .既不充分也不必要条件分析可以结合图形分析•请同学们自己画图.• A (B U C).但是，当 B = N , C = R , A = Z 时，显然A (B U C)，但A B不成立，综上所述：A B ” A (B U C) ”，而A (B U C) ” A B ”.即A B ”是A (B U C)”的充分条件(不必要).选A .说明：画图分析时要画一般形式的图，特殊形式的图会掩盖真实情况. 例6 给出下列各组条件：(1) p : ab = 0 , q : a2 + b2 = 0 ;(2) p : xy 初,q: |x| + |y| = |x + y| ;⑶p : m > 0 , q :方程x2 —x —m = 0有实根;(4)p : |x —1| > 2 , q : x v—1.其中p是q的充要条件的有[]A . 1组B . 2组C . 3组D . 4组分析使用方程理论和不等式性质.解(1)p 是q的必要条件⑵p是q充要条件(3) p是q的充分条件⑷p是q的必要条件.选A .说明：ab = 0指其中至少有一个为零，而a2 + b2 = 0指两个都为零.分析将前后两个不等式组分别作等价变形，观察两者之间的关系.例8 已知真命题a纹)c > d "和a v b e尋”贝U c "是e尋"的_________条件. 分析■/ a纹)c >d(原命题),••• c旬a v b(逆否命题).而a v b e尋,• c旬e尋即c 是e詣的充分条件.答填写充分”说明：充分利用原命题与其逆否命题的等价性是常见的思想方法.例9 ax2 + 2x + 1 = 0至少有一个负实根的充要条件是A . 0 v a <1B . a v 1C. a <1 D . 0 v a <1 或a v 0分析此题若采用普通方法推导较为复杂，可通过选项提供的信息，用排除法解之.当 a = 1时，方程有负根x = - 1，当a = 0时，x =当a和时综上所述a < .即ax2 + 2x + 1 = 0至少有一个负实根的充要条件是 a < .说明：特殊值法、排除法都是解选择题的好方法.例10 已知p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么s, r, p分别是q的什么条件？分析画出关系图1 —21 ,观察求解.解s是q的充要条件；(s r q , q s)r是q的充要条件；(r q , q s r)p是q的必要条件；(q s r p)说明：图可以画的随意一些，关键要体现各个条件、命题之间的逻辑关系.例11 关于x的不等式分析化简A和B，结合数轴，构造不等式(组)，求出a .解 A = {x|2a <a2 + 1} , B = {x|(x —2)[x —(3a + 1)] O}B = {x|2 纟Wa + 1}.B = {x|3a + 1 <x<2}说明：集合的包含关系、命题的真假往往与解不等式密切相关.在解题时要理清思路，表达准确，推理无误.要条件？分析将充要条件和不等式同解变形相联系.说明：分类讨论要做到不重不漏.例13 设a B是方程x2 —ax + b = 0的两个实根，试分析 a >2且b > 1是两根a B均大于1的什么条件？分析把充要条件和方程中根与系数的关系问题相联系，解题时需••• q p .上述讨论可知：a > 2 , b > 1是a> 1 , 3> 1的必要但不充分条件.说明：本题中的讨论内容在二次方程的根的分布理论中常被使用.例14 （1991 年全国高考题）设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么[]A .丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B .丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C .丙是甲的充要条件D .丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件分析1:由丙乙甲且乙丙，即丙是甲的充分不必要条件. 分析2 :画图观察之.答：选A .说明：抽象命题之间的逻辑关系通常靠画图观察比较方便。