三棱锥的特殊到一般

序曲
四面体复杂根从简单起线线、线面到面面讨论角度和距离
解三棱锥
三棱锥对于多面体，如同三角形对于多边形.
三角形为多边形之根，三棱锥为多面体之根. 注意，三棱锥是个四面体，有4个面、6条棱.
图形的认识，从特殊到一般：
（1）三棱锥中最特殊的是正四面体，次特殊的是正三棱锥.（2）与等腰直角三角形对应的有“正直三棱锥”.
（3）与直三角形对应的有直三棱锥.
（4）与等腰三角形对应的有“等腰四面体”.
解正四面体
正四面体化归为正方体求解.
在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，
由6条面对角线A 1D 、BC 1、A 1C 1、
BD 、A 1B 、DC 1为棱的四面体即为
正四面体A 1 -BC 1D .
正四面体A 1-BC 1D 的棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1 棱长的倍；体积为正方体的1/3；且有公共的外接球，公共的中心和相等的外半径.
22/3
三棱锥确定条件个数
一般情况下,确定一个三角形需要3个条件. 同样，一般情况下确定一个三棱锥需要6个条件.
确定一个等腰三角形需要2个条件，对应的，确定一个正三棱锥需要2个条件.
确定一个等腰直三角形只需1个条件，对应的，确定一个“正直三棱锥”只需1个条件.
解三角形，一般是解斜三角形，已知条件需要3个. 而解三棱锥，一般是解特殊的三棱锥，已知条件不多于3个.
“正直”三棱锥
我们把“三条侧棱相等且两两垂直的三棱锥”称作“正直三棱锥”. 它的三个侧面是全等的等腰直角三角形，1个底面是正三角形.正直棱锥的直观图画法有“立式”（左）和“卧式”（右）两种.
立式图中，1个侧面置于水平位置. 可以清楚地看到它在对应的正方体中的位置；卧式图中，它的底面置于水平位置，便于在
解正直三棱锥
化为正方体求解
一、线线关系：
（1）相交垂直：AD⊥DD
1
（2）相交45°：AD与AD
1
（3）相交60°：AD
1
与AC
（4）异面垂直AC与DD
1距离为/2
2
二、线面关系
（1）垂直：AD与DCD
1（2）交成45 °：AD与ACD
1
三、面面关系
（1）垂直：三侧面两两之间
（2）交成arctan ：如平面ACD
1与平面ACD
2
正直三棱锥的高线
【题目】若正直三棱锥V -ABC 的侧棱长为
VA =1. 求它高线VH 的长度.
设斜高在△ABC 上的射影为H ，则H 为△ABC 的中心.
6/631==CD DH 【解1】（斜高法）
正直三棱锥V -ABC 中，易知AB = BC =
CA =22斜高VD = /2
故有高线33)26()22(222
2=-=-=DH VD VH 【说明】正直三棱锥的高线长为外接正方体对角线长的1/3 .
3
【题目】若正直三棱锥V -ABC 的侧棱长为
VA =1. 求它高线VH 的长度.
【解2】（等积法）立式图中，易知正直三棱锥的体积为6131=∙=VAB S VC V 【证明】等积法常用来“求点到平面的距离”.又23)232(22121=∙∙=∙=∆CD AB S ABC
故得6
12331=∙VH 33=VH
正直三棱锥的外接球
【题目】正直三棱锥的侧棱长为1，求其外半径长.
正直三棱锥与其外接正方体有共同的外接球，因此“单位正直三棱锥”与单位正方体有共同的外半径.一般探讨为2/3【解答】易知正直三棱锥的“外心”O 在高线VH 的延长线上.
设VO = CO =x ，则HO =3
3-x 又3
62323232=∙∙==DC HC 由OC 2 = HO 2 +HC 2 得解得23=x 222)36()33(+-=x x
考题展示
【考题】（2006年川卷第13题）
【分析】已知的三棱锥为正直三棱锥.
【解1】立式图如右，OM 在ABC 上射影
为MC ，OM 与ABC 的成角为∠OMC .
【说明】线面角（OM 与ABC 成角）化为线线角（OM 与MC ）亦即面面角（C -AB -O ）.在三棱锥O -ABC ，三条棱OA 、OB 、OC 两两垂直且相等.M 为AB 的中点. 则OM 与平面ABC 的成角的大小为.
设OC =a ，则OM =a 222tan ==∠OM OC OMC 故∠OMC = arctan （答案）
2
【考题】（2006年川卷第13题）
【分析】已知的三棱锥为正直三棱锥.
【解2】卧式图如右，H 为底面正三角形
ABC 的中心.
【说明】本法容易误入迁解. 如先求OH 和MH 的长度.
在三棱锥O -ABC ，三条棱OA 、OB 、OC 两两垂直且相等.M 为AB 的中点. 则OM 与平面ABC 的成角的大小为.2tan ==∠OM
OC OMC 得∠OMC = arctan （答案）
2OM 与ABC 的成角为∠OMC .
正方体内接三棱锥的个数
【问题】以正方体8个顶点中的4个顶点作三棱锥，这样的三棱锥称正方体的内接三棱锥. 求正方体内接三棱锥的个数.
其中，共面的4点的个数是
（1）正方体的6个面；（2）正方体的6个对角面.
故正方体的内接三棱锥有70 –12 = 58 （个）
【答案】从8个顶点中任取4个的组合数为70
C 48 【说明】这58个三棱锥与正方体同外心，共外接球.
“长棱”三棱锥
正方体内接三棱锥可分四类. 除了内接正四面体和内接正直三棱锥外，还有两类.
（1）斜三棱锥(图左). （2）底面为直三角形的直三棱锥(图右). 它们各有1条长度为的“长棱”，其外心在长棱的中点上.
3
直正三棱锥
底面为正三角形，且有一条侧棱垂直于底面的三棱锥称作“直正三棱锥”.
确定一个“直正三棱锥”需2个条件，即底棱长a和直棱长b.
―直正三棱锥”与“正直三棱锥”不同，后者的确定条件只1个. 直正三棱锥的四个面中：
（1）底面是正三角形；
（2）有2个侧面为直角三角形，它们都
垂直于底面；
（3）另一个侧面为等腰三角形；
解直正三角形
（1）求三棱锥P -ABC 的体积；
【题目】三棱锥P -ABC 中，PA ⊥面
ABC ，且PA = ，又AB = BC = CA =1.3（2）求A 到平面PBC 的距离.
【解答】（1）P -ABC 的体积
（2）设A 到平面PBC 的距离为h .
41343
3131=∙∙==∆PA S S ABC 易得三角形PBC 的面积为4
15
15
115
1=⇒=∙h h 由等积原理：（答案）
【题目】三棱锥P —ABC 中，PA ⊥面
ABC ，且PA = ，
又AB = BC = CA =1.3【证明】易知BO ⊥AC ，又BO ⊥PA
由（1），（2）知PC ⊥平面BOH.
【说明】由此可知∠BHO 为二面角B —PC —A 的平面角.
（3）O 为AC 的中点，OH ⊥PC 于H .
求证：PC ⊥平面BOH .
所以BO ⊥面PAC BO ⊥PC （1）
又OH ⊥PC （2）
正三棱锥
侧棱长相等、底面为正三角形的三棱锥为正三棱锥. 确定一个正三棱锥需2个条件.即侧棱长b和底棱长a .
正三棱锥的直观图一般画成卧式，即置
正三角形于水平面上，且使底面上的一
条高线，如CD于水平线上.
锥顶V在底面上的射影为底面正三角形的中心H.
截面三角形VCD为锥体的轴截面：
（1）侧棱与底面的所成角为∠VCD.
（2）侧面与底面所成二面角的平面角为∠VDC.
（3）截面三角形的高线VH就是锥体的高.
【考题】（2005年全国Ⅱ题16）
下面是关于三棱锥的四个命题：
①底面是等边三角形，侧面与底面所成
的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.
【判定】由此推出，三侧面上的斜高相等，从而推得三斜高在底面上的射影相等，从而确定H为底面三角形的中心.
由此得，三侧棱相等（见右边的轴截面图）.
命题①为真命题. 它成为正三棱锥“判定定理”之一.
【考题】（2005年全国Ⅱ题16）
下面是关于三棱锥的四个命题：
②底面是等边三角形，侧面都是等腰三
角形的三棱锥是正三棱锥.
【判定】侧面是等腰三角形，其底边不一定是底面三角形的边.
如图右所示，可设VC=BC=AC，并让点V在直线VD上移动，可使△VAB也为等腰三角形.
故命题②是个假命题.
正三棱锥的判断【考题】（2005年全国Ⅱ题16）
下面是关于三棱锥的四个命题：
③底面是等边三角形，侧面的面积都相
等的三棱锥是正三棱锥.
【判定】侧面的面积都相等，只须顶点V到三底边的距离相等.
到三边等距的点在平面上是三角形的内心和旁心.
到空间中，过底面三角形的内心和旁心的底面垂线上所有的点，都分别与三边等距.
故命题③是假命题.
正三棱锥的判断
【考题】（2005年全国Ⅱ题16）
下面是关于三棱锥的四个命题：
④侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底
面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.
【判定】由侧棱与底面所成的角都相等，可推
断三条侧棱相等.
由侧面与底面所成的二面角相等，可推断侧面上的三条斜高相等，并推断底面三角形为正三角形.故三棱锥为正三棱锥.
命题④为真命题，它成为正三棱锥“判定定理”之一.
【证明（I ）】
∠ACB =90°，∴BC ⊥AC .
∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥BC
∴BC ⊥平面PAC .
（I ）求证: BC ⊥平面PAC ；
直三棱锥到直四棱锥
像四棱锥可化为三棱锥求解一样，直四棱锥也可化归为直三棱锥求解.
【题目】四棱锥P –ABCD 中，AB ∥CD ,
AD =CD =1，∠BAD =120°，PA = , ∠ACB =90°.
3
【题目】四棱锥P –ABCD 中，AB ∥CD ,
AD =CD =1，∠BAD =120°，PA = , ACB =90°.【证明（Ⅱ）】易知∠ADC =60°,
（Ⅱ）求二面角D –PC –A 的大小；
3又AD=CD=1，∴△ADC 为等边三角形，且AC =1.
取AC 的中点O ，则DO ⊥AC ，∴PA ⊥底面ABCD ，
∴PA ⊥DO ，∴DO ⊥平面PAC.
过O 作OH ⊥PC ，垂足为H ，连DH ，由三垂线定理知DH ⊥PC.∴∠DHO 为二面角D –PC –A 的平面角.由
.2
3 ,43==DO OH .2arctan ,2tan =∠∴==∴DHO OH DO DHO ∴二面角D –PC –A 的大小为arctan2.
【题目】四棱锥P –ABCD 中，AB ∥CD ,
AD =CD =1，∠BAD =120°，PA = , ∠ACB =90°.
（Ⅲ）求点B 到平面PCD 的距离.
3
【证明（Ⅲ）】设点B 到平面PCD 的距离为d .
∵AB ∥CD ，AB 平面PCD ，CD
平面PCD,∴AB ∥平面PCD .
∴点B 到平面PCD 的距离等于点A 到平面PCD 的距离.
⊄⊂343415 ,==∴--d V V ACD P PCD A 5
15=∴d 【说明】就是上面所说的“等积法”求点到平面的距离.
三棱锥的外心
任何一个三棱锥都有外接球，就像任何一个三角形都有外接圆一样.
三棱锥外接球的球心，称作三棱锥的外心.
三角形的外心到三个顶点等距，这个距
离就是三角形的外半径.
三棱锥的外心到四个顶点等距，这个距
离就是三棱锥的外半径.
外心的“心、顶等距”性质，是我们寻
找外心的依据.
外心位置的确定等腰三角形的外心在底边的高线上；
正三角形的外心为其中心；
直三角形的外心在斜边的中点上.
类比可以推出，一些特殊三棱锥的外
心位置：
（1）正三棱锥的外心在底面的高线上.
（2）正四面体的外心为其中心.
（3）“长棱”三棱锥的外心在“长棱”
的中点上.
（1）试确定三棱锥外心位置.
（2）求外半径的长度.
【解答】（1）VA ⊥AB ，取VB 的中点O ，
【题目】三棱锥V –ABC 中，底面ABC 是边长为1的正三角形.
且VA =VC = ，且VA ⊥AB .2/2显然有OV =OA =OB
又△VAB 与△VCB 全等.
故VC ⊥CB ，即O 为Rt △VCB 斜边的中点.故O 为三棱锥V –ABC 的外心.
（2）三棱锥的外半径长为VB 长度的一半，故外半径长
6)2(1122=+
在“长棱”上猜外心
我们见到三棱锥常为特殊的三棱锥. 在对三棱锥的外心进行猜想时：
（1）先找“长棱”的中点；
（2）再找“长棱”的中垂线；
（3）后找“长棱”的中垂面.
上题中的三棱锥V –ABC ，实为正方体的内接斜式“长棱”三棱锥（右下），外心在体对角线BD 1的中点上，外半径为体对角线长度的一半.
2/6。