拉格朗日乘数法教学教材

拉格朗日乘数法

拉格朗日乘数法是高等数学中求多元函数极值常用的方法，该方法针对某些高考中二元及三元变量最值问题，不失为一种既实用又简便的方法。

拉格朗日乘数法：求在约束条件

,下f(x,y,z)的极值时，拉格朗日函数 L(x,y,z)= f(x,y,z)-λμ,可由L x =0, L y =0, L z =0,,,解出函

数可能的极值点，求出目标函数f(x,y,z)的极值。这里L x =0, L y =0, L z =0可以理解为关于x,y,z 求

偏导数，λ，μ称为拉格朗日乘数。

例．已知223x y xy ++=，求22x y xy +-的最大值和最小值。

1.已知正实数,x y 满足24xy

x y ，则1x y 的最小值为__________．

2.若正实数y x ，，满足115x y x y +

++=，则x y +的最大值是 ．

3.若实数,x y 满足221x

y xy ++=，则x y +的最大值_________.

4.设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当z xy 取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为( )

5.设a,b,c 为实数，且满足a+2b+3c=6,则a 2+4b 2+9c 2的最小值为__________

6．已知实数a,b,c 满足a+b+c=0, a 2+b 2+c 2=1,则a 的最大值为___________.

7．对于0c >，当非零实数a ，b 满足224240a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，345a b c

-+的最小值为 .

8.已知a,b[0,1],a+b=1,求++(1-a)(1-b)的取值范围。（若去掉条件a+b=1呢）