幂函数与指数函数

汇贤公学TM·精品讲义

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幂函数

教学目标

1.掌握幂函数的概念；

2.掌握幂函数的性质和图像；

3.通过研究幂函数的性质作出幂函数的图像；

4.熟悉特殊到一般的数学研究方法及数形结合的数学思想.

导入

函数的生活实例：

问题1：如果张红购买了每千克1元的苹果w 千克，那么她需要付的钱数p w =元，这里p 是w 的函数 问题2：如果正方形的边长为a ，那么正方形的面积是2

S a =，这里S 是a 的函数； 问题3：如果立方体的边长为a ，那么立方体的体积是3

V a =，这里V 是a 的函数； 问题4：如果正方形场地的面积为S ，那么正方形的边长12

a S =，这里a 是S 的函数；

问题5：如果某人t 秒内骑车行进了1千米，那么他骑车的平均速度1

/v t km s -=，这里v 是t 的函数.

若将它们的自变量全部用x 来表示，函数值用y 来表示，则它们的函数关系式将是：

（1）y x =；（2）2

y x =；（3）3

y x =；（4）1

2

y x =；（5）1

y x -=.

这些关系式的共同特征是：都是以自变量x 为底数，指数为常数，自变量x 前的系数为1，只有一项。 由此，引入幂函数的定义.

知识梳理

1.幂函数的定义：一般地，形如k

y x =的函数称为幂函数，其中x 是自变量，k 是常数； 2.幂函数的定义域：

若(

)*

N

n n k ∈=，其定义域是一切实数；例如：3

x

y =、2

x y =.

若(

)

互质、、n m m N m n m

n k ,2,*≥∈=，则m n

m n

x x =，其定义域满足：奇次方根被开方数为实数，偶次方根被开方数为非负数；例如：3

2

3

2x x y =

=、434

3x x y ==.

若(

)*

N

n n k ∈-=，则n n

x

x

1=

-；例如：5-=x y 、6

-=x y 若()

互质、、n m m N m n m n

k ,2,*≥∈-=，则m n m n x x 1=-；例如：3232

1x

x y ==-、

4

3

4

31

x

x y =

=-.

后两种情况只需注意分母不为0，其他与前两种情形类似 3.幂函数的性质：

所有的幂函数在（0，＋∞）上都有定义，并且图像都过点（1，1）．

k ＞0时，图像过（0，0）和（1，1）；且在第一象限随x 的增大而上升, 函数在区间[)+∞,0上是单调

增函数。

k ＜0时，图像过（1，1）；且在第一象限随x 的增大而下降，函数在区间),0(+∞上是单调减函数，向

右无限接近x 轴，向上无限接近y 轴.（以提问为主，让学生回答.）

典例精讲

例1、函数2

221

(1)m

m y m m x --=--是幂函数，则该幂函数的解析式是.

解：2

11,1m m m --==-或2，

1m =-时，2y x =； 2m =时，1y x -=.

（掌握幂函数的概念）

巩固练习：已知幂函数2

23

()()m

m f x x m Z --=∈为偶函数，且在(0,)+∞上是减函数，求()f x 的解析式.

解：由题设知2

230m m --<得13m -<<.因为m Z ∈，所以0,1,2;m =又因为()f x 为偶函数，所以

21.234m m m =--=-，所以4()f x x -=.

（掌握幂函数的概念、单调性、奇偶性） 例2、研究函数12

y x -=的奇偶性、单调性，并作出函数的图像.

解：函数12

y x

-=的定义域为(0,)+∞，值域为(0,)+∞.

（1）奇偶性

因为函数的定义域不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶的函数. （2）单调性

对任意12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <.

可得0<

<

0>>.即12y y >. 所以函数12

y x -=在(0,)+∞上为减函数.

由以上几点分析函数的图像的性质：

由0,0x y >>，可知函数的图像只在第一象限； 由函数非奇非偶，可知图像不对称；

描点作图：

例3、指出23

y x =的定义域、值域、奇偶性、单调性，并作出它的图像.

解：23

y x ==

R ，值域为[0,)+∞.

（1）奇偶性

对任意x R ∈，满足x R -∈，

使得()()f x f x -=

==

所以该函数是偶函数。 （2）单调性

对任意12,[0,)x x ∈+∞，且12x x <.

所以22120x x <<，故有0<

<, 即12y y <.

所以23

y x =在[0,)+∞上为增函数. 同理可得23

y x =在(,0]-∞上为增减数. 描点作图：