小学奥数-几何五大模型(燕尾模型)-精选.
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燕尾定理：
在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ， 那么，
::ABO ACO S S BD DC ∆∆=
O
F
E D
C
B
A
上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ∆和ACO ∆的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.
通过一道例题 证明燕尾定理：
如右图，D 是BC 上任意一点，请你说明：1423:::S S S S BD DC ==
S 3
S 1S 4S 2E
D
C
B
A
【解析】 三角形BED 与三角形CED 同高，分别以BD 、DC 为底，
所以有14::S S BD DC =； 例题精讲
燕尾定理
三角形ABE 与三角形EBD 同高，12::S S ED EA =；
三角形ACE 与三角形CED 同高，43::S S ED EA =，所以1423::S S S S =；
综上可得， 1423:::S S S S BD DC ==.
【例 1】 （2009
年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形ABC 的面积是1，
E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点
F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．
F
E
D C
B
A
3332
1F E D
C B
A
A
B
C
D
E
F
【解析】 方法一：连接CF ，
根据燕尾定理，12ABF
ACF
S BD S DC =
=△△，1ABF CBF S AE
S EC
==△△, 设1BDF S =△份，则2DCF S =△份，3ABF S =△份，3AEF EFC S S ==△△份，如图所标
所以5512
12
DCEF ABC S S ==△
方法二：连接DE ，由题目条件可得到113
3
ABD ABC S S ==△△，
1121
2233
ADE ADC ABC S S S ==⨯=△△△，所以
11ABD ADE S BF FE S ==△△， 1111111
22323212
DEF DEB BEC ABC S S S S =⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=△△△△，
而211323CDE ABC S S =⨯⨯=△△．所以则四边形DFEC 的面积等于512
．
【巩固】如图，已知BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，求阴影部分面积
.
【解析】 题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比
例的关系，由此我们可以初步判断这道题不应该通过面积公式求面积. 又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线，
(法一)连接CF ，因为BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30， 所以1103
ABE ABC S S ==△△，1152
ABD ABC S S ==△△．
根据燕尾定理，12ABF
CBF
S AE S EC ==△△，1ABF ACF S BD
S CD
==△△, 所以17.54
ABF ABC S S ==△△，157.57.5BFD S =-=△，
所以阴影部分面积是30107.512.5--=．
(法二)连接DE ，由题目条件可得到1103ABE ABC S S ==△△，
112
10223
BDE BEC ABC S S S ==⨯=△△△，所以
1
1
ABE BDE S AF FD S ==△△， 111111 2.5223232
DEF DEA ADC ABC S S S S =⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=△△△△，
而211032
CDE ABC S S =⨯⨯=△△．所以阴影部分的面积为12.5．
【巩固】如图，三角形ABC 的面积是2200cm ，E 在AC 上，点D 在BC 上，且
:3:5AE EC =,:2:3BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．
F
E
D C
B
A
A
B
C D
E
F F
E
D
C
B
A
【解析】 连接CF ，
根据燕尾定理，26
39
ABF ACF
S BD S DC =
==△△，36
510
ABF
CBF
S AE S EC =
==△△, 设
6
ABF S =△份，则
9
ACF S =△份,
10
BCF S =△份，
5459358
EFC S =⨯
=+△份，
310623CDF S =⨯
=+△份，所以24545
200(6910)(6)8(6)93(cm )88
DCFE S =÷++⨯+=⨯+=
【巩固】如图，已知3BD DC =，2EC AE =，BE 与CD 相交于点O ,则ABC △被分成的
4部分面积各占ABC △ 面积的几分之几？
O
E D
C
B
A
13.5
4.59
2
1121
3
O E D C
B
A
【解析】 连接CO ,设1AEO S =△份，则其他部分的面积如图所示，所以
1291830ABC S =+++=△份，所以四部分按从小到大各占ABC △面积的12 4.5139313.59
,,,30
30
6030
1030
20
+===
【巩固】(2007年香港圣公会数学竞赛)如图所示，在ABC △中，12
CP CB =，
1
3
CQ CA =，BQ 与AP 相交于点X
，若ABC △的面积为6，则ABX △的面积