苏科版-数学-八年级上册-一次函数中常用的数学思想方法 (2)

一次函数中常用的数学思想方法

数学思想是解决数学问题的灵魂，在本章的学习中起着非常重要的作用。它起着培养学生的阅读理解、运用知识、解决实际问题及发现问题的能力。现将本章常用的思想方法总结如下：函数思想

例1：已知等腰三角形周长为20cm .

(1)写出底边ycm与腰长xcm之间的函数关系式(x为自变量)

(2) 写出自变量x的取值范围.

解： (1) y = 20 – 2x

(2) ∵y为底边，∴ y = 20 – 2x > 0 ∴ x < 10

又因为三角形中两边之和大于第三边∴ 2x > y = 20 – 2x ∴ 4x > 20

∴ x > 5 ∴ 5 < x < 10

分类讨论思想

例2 某学校需刻录一批教学用的VCD光盘，电脑公司刻录每张需9元(包括空白VCD光盘费);若学校自刻，除租用刻录机需120元外，每张还需成本4元(包括空白VCD光盘费).问刻录这批VCD光盘，到电脑公司刻录费用省，还是自刻费用省？

解: 设学校需刻录x张光盘，到电脑公司刻录费用为y1元，学校自刻费用为y2元，根据题意，得

y1 = 9x ， y2 = 4x + 120

当y1 > y2 时，即9x > 4x + 120 ，解得x > 24

当y1 = y2 时，即9x = 4x + 120 ，解得x = 24

当y1 < y2 时，即9x < 4x + 120 ，解得x < 24

所以当要刻光盘多于24时，自刻费用省; 当要刻光盘等于24时，费用一样; 当要刻光盘少于24时，到电脑公司刻录费用省.

数形结合思想

例3在一次蜡烛燃烧实验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y (厘米)与燃烧时间x(小时)之间的关系如图所示.请根据所提供的信息解答下列问题:

(1) 甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是________，从点燃到燃尽所用的时间分别是______.

(2) 分别求甲、乙两根蜡烛燃烧时，y 与x 之间的函数关系式;

(3)燃烧多长时间时， 甲、乙两根蜡的高度相等(不考虑燃尽时的情况)？在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛高？ 在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛低？

解：(1) 30厘米 25厘米 ; 2小时 2.5小时

(2) 设甲蜡烛燃烧时，y 与x 之间的函数关系式为y = k1x + b1 ，由图象可知，函数的图象过点（2，0），（0，30）

⎩⎨⎧≤≤+-=∴=-=⎩⎨⎧==+∴)20(30153015300211111x x y b k b b k 解得

设乙蜡烛燃烧时，y 与x 之间的函数关系式为y = k2x + b2 ，由图象可知，函数的图象过点（2.5，0），（0，30）

⎩⎨⎧≤≤+-=∴=-=⎩⎨⎧==+∴)5.20(251025102505.22

2222x x y b k b b k 解得

(3)由题意，得 - 15x +30 = - 10x +25 解得 x = 1 ∴当燃烧1小时的时候，甲、乙两根蜡的高度相等。观察图象可知，当0≤ x <1时，甲蜡烛比乙蜡烛高；当1〈 x 〈 2.5 时， 甲蜡烛比乙蜡烛低.

待定系数法

例4已知直线m 与直线y = 2x+1的交点的横坐标为2，与直线y= - x+2的交点的纵坐标为1，求直线m 的函数关系式.

解：由题意知：当x=2时，y=5 ; 当y=1时，x=1 所以直线m 过点（2，5），（1，1） 设直线m 的解析式为y = kx + b ，把点（2，5），（1，1）代入，得

⎩

⎨⎧⎩⎨⎧-===+=+34152b k b k b k 解得 所以直线m 的解析式为 y = 4x – 3 数学建模思想

例5 A 市和B 市分别有某种库存机器12台和6台.现决定支援C 村10台，D 村8台，已知从A 市调运一台机器到C 村和D 村的运费分别是400元和800元，从B 市调运一台机器到C 村和D 村的运费分别是300元和500元.

(1)设B 市运往C 村机器x 台，求总运费W(元)关于x 的函数关系式;

(2)若要求总运费不超过9000元，共有几种调运方案;

(3)求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？

解：(1)由题意得:

W = 300x + 500(6-x) + 400(10-x) + 800=200x + 8600(0≤x≤6的整数)

∴W与x的函数关系式是W = 200x + 8600(0≤x≤6的整数)

(2)由W = 200x + 8600≤9000 得x≤2

又因为x必须是自然数，所以x可以取0，1，2这三个数，即共有三种调运方案

(3)∵W = 200x + 8600是一次函数，且k=200>0，W随x的增大而增大，所以当x取最小值时，W最小。即当x=0时，W最小= 200 × 0 + 8600 = 8600（元）

所以从A市运往C村10台机器，运往D村2台；从B市运往D村6台时总运费最低，最低运费是8600元。