17成本最小化

c w1 x1 w2 x2
w1 斜率 w2
x1
c c
等产量线
x2
所有产出为y*的投入要素的集合。 哪一个最便宜？
f(x1,x2) ＝y* x1
成本最小化问题
x2 在一个成本最小化的内点解上：
* * * (a) f ( x1 , x2 ) y
(b) 等成本线的斜率等于等产量线的斜率
不变规模报酬和平均成本
如果厂商技术是规模报酬不变的，那么产量 增加一倍 ，从y′到 2y′，需要所有要素投入量 增加一倍。 总成本增加一倍。 平均成本不变。

规模报酬递减和平均成本
如果厂商技术是规模报酬递减的，那么产量 增加一倍 ，从y′到 2y′，需要所有要素投入量 增加超过一倍。 总成本增加超过一倍。 平均成本递增。
y
y
要素1的有条 件需求曲线
* * ) x1 ( y ) x1 ( y) x (y
y
x1
x ( y )
* 1
* x1 ( y)
* 1
* x1
厂商的总成本函数为：
c( w 1 , w 2 , y ) w 1 x* ( w 1 , w 2 , y ) w 2 x* ( w 1 , w 2 , y ) 1 2 w2 w1 2w 1 1 2
对于生产y产量的产品，短期总成本和长期总成本的区别如 何？
长期成本最小化的问题是：min
x1 , x 2 0

w1 x 1 w 2 x 2
s .t . f ( x1 , x2 ) y

min w1 x1 w2 x 短期成本最小化的问题是： 2
x1 0
s .t . f ( x1 , x ) y 2
min{ 4 x1 , x2 }
x* ( w 1 , w 2 , y ) y 2
4
有条件的要素需求函数为：x* ( w , w , y ) y 1 1 2 厂商的总成本函数为：
c( w1 , w 2 , y ) w1 x ( w1 , w 2 , y ) w 2 x ( w1 , w 2 , y )

有条件的要素需求曲线 要素 2的有条
yy
x2 w1 、 w2不变
y
y
y
件需求曲线
产出扩展线
* x2 ( y)
* x2 ( y)
y y
y
* x2 ( y)x* ( y) x* ( y) 2 2
* x2
x ( y)
* 2
y y
x1* ( y)
(a) (b)
y(x ) (x )
* 1/ 3 1
* 2/ 3 2
w1 x* 2 w2 2 x* 1
* 1/ 3 1
2 w1 * x x1 w2
* 2
代入(a)得：
2 w1 * y(x ) w x1 2
所以 x* 2 1 2w 1 需求函数。

短期和长期总成本
c(y)
短期成本曲线总是只有一点和长期 成本曲线相等，除此之外，短期成 本曲线总是高于长期成本曲线! cs(y) c(y)
F w1 x1
y
y
Leabharlann Baidu
y
y
不变成本、准不变成本和沉没成本

不变成本是指与产出水平无关的成本。不变成本与 不变要素有关。

准不变成本也是与产出水平无关的成本，只要厂商 生产一定单位的产量，就必须支付这种成本；但只 要厂商停产，无须支付这种成本。
了厂商在短期实现其长期成本最小化的最优点，导致其
生产y产量的短期成本超过长期成本。
x2
y
长期成本为：
长期产量 扩展曲线
y
y
c( y ) w1 x1 w 2 x 2
' ) w1 x1 w 2 x'2 c( y c( y ) w1 x1 w 2 x 2
沉没成本是指厂商已经支付而无法收回的成本。这 种成本对厂商的决策不产生影响。

x2
x2
x2
x1
x1
x1
x1
x2
y
y
y
短期产量 扩展线 长期产量 扩展曲线
假设厂商在短期受到约束 x1 = x1〞，短期成本为：
x2
x2
c s ( y ) c( y ) c s ( y ) c( y ) c s ( y ) c( y )
2 w1 y w 2
1/ 3
y 是厂商对于投入要素2的

w 2 / 3 2w 1 / 3 x* ( w1 , w 2 , y ), x* ( w1 , w 2 , y ) 2 y， 1 y 1 2 2w w 1 2
成本最小化
本章要点：
1. 2.
成本最小化 规模报酬和平均成本
3.
短期和长期总成本
1、成本最小化

假设厂商的生产函数为：y = f(x1,x2)（其中 y≥0是给定的） 假定投入品价格 w1 、 w2 是给定的。则投入组合的成本为 C=w1x1 + w2x2 对于给定的w1, w2 和 y, 厂商的成本最小化问题可以表述为：
* 1 * 2
y w1 w1 w 2 y w2 y 4 4
成本最小化：完全替代技术的例子
在 完 全 替 代 的 情 况 下 产 函 数 为 ：( x1 , x 2 ) x1 x 2 ,生 f
由于要素是 完全替代的 商显然会 使用价格低的生产要 素。 ,厂 较 c( w 1 , w 2 , y ) minw 1 y , w 2 y minw 1 , w 2 y
x2
x1
x1
x1
x1
短期和长期总成本
除了受限制的短期投入要素量恰好是长期投入 的最优选择，短期成本总是会超过长期成本。 这就是说对于任意一个短期的成本曲线，长期 成本曲线总有一点和它相等。 因此，短期成本大于或等于长期成本。当短期 中不变要素的使用恰等于长期中对该要素选择 的使用量时，短期成本等于长期成本。
w
2/ 3
2/ 3
2 w1 w 2
2/ 3
x
* 1
y是厂商对于投入要素1的有条件的要素
• 有条件的要素需求函数考察在厂商生产某个既定产量y的条件下，价格、 产量以及厂商的最优要素选择之间的关系。 • 有条件的要素需求与实现利润最大化的要素需求的区别：有条件的要素 需求函数给出的是既定产量水平下的成本最小化选择；实现利润最大化 的要素需求则给出了既定产出品价格下的利润最大化选择。

换句话说，短期成本最小化问题实际上是对长期成本最
小化问题附加了一个额外的约束条件：x2 = x2′。

如果长期成本最小化选择的要素2的需求就是x2′，那么额 外的约束条件x2 = x2′ 并不是真正的约束条件，因此生产 相同产量的长短期的生产成本是一致的。

但是，如果长期选择 x2≠x2′ ，那么额外约束 x2 = x2′ 阻止
y ( x* )1 / 3 ( x* )2 / 3 1 2
1 * 2 / 3 * 2 / 3 ( x ) ( x2 ) w1 y / x1 3 1 x* 2* w 2 y / x 2 2 * 1 / 3 * 1 / 3 2 x1 ( x1 ) ( x 2 ) 3
2/ 3 1 2 1 2 w1 / 3 w 2 / 3 y 2 1 / 3 w1 / 3 w 2 / 3 y 2 2 2/ 3
2 w1 y w2 w 2
1/ 3
y
w1 w 3 4

1/ 3
y
成本最小化：完全互补技术的例子
厂商的生产函数为： y
因 此 ， 当 产 量 为 ， 最 小 成 本 是1 y和w 2 y中 较 小 的 一 个 ， 即 ： y时 w
2、规模报酬和平均成本


厂商生产技术的规模报酬特征决定了厂商的平均 成本随着产量变化如何变化。 假定我们的成本最小化的厂商生产 y′单位的产品。 假定厂商现在产量为2y′，平均成本如何变化？

规模报酬递增和平均成本
如果厂商技术是规模报酬递增的，那么产量 增加一倍 ，从y′到 2y′，需要所有要素投入量 增加少于一倍。 总成本增加少于一倍。 平均成本递减。

规模报酬和平均成本
AC(y) 规模报酬递减
规模报酬不变
规模报酬递增 y
3、短期和长期总成本

从长期来看，一个企业的所有投入品的使用量都是可变的。 在短期，一个或多个投入品的数量是有限制的。
等成本线

等成本线是所有耗费相同成本的投入要素组合点的集合。 例如：给定 w1 和 w2，耗费成本c的等成本线表示为 ：
w1 x1 w2 x2 c

重新排列得到：
w1 c x2 x1 w2 w2

等成本线的斜率为- w1/w2，纵截距为c/w2
等成本线
x2
c w1 x1 w2 x2
x1 , x 2 0

min w1 x1 w2 x2
s .t . f ( x1 , x2 ) y

厂商生产y的最小可能成本（成本函数）为：
c ( x 1 , x 2 , y ) w 1 x * ( w1 , w 2 , y ) w 2 x * ( w 1 , w 2 , y ) 1 2
2 w1 * * 由于 x 2 x1 且 x* 1 w2
2 w1 w 2 则x w 2 w 2 1
* 2 2/ 3
w2 2w 1
2/ 3
y
有条件的要素需求函数。 在投入要素价格为 w1 、w2时，生产既定产量y的 成本最小的要素组合是：
即在（x1*,x2*）， w1
w2 MRT MP1 MP2
x2* f(x1,x2) ＝y*
x1*
x1
成本最小化：柯布—道格拉斯的例子

一个具有柯布—道格拉斯生产技术厂商的生产函数为：
y f ( x1 , x 2 ) x x

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厂商面临给定的要素价格 w1 、 w2。 生产给定产量成本最小化的投入要素组合 (x1*,x2*) 满足