全国高中数学联赛福建省预赛试题及详解
解析版-2024年全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷
2024年全国高中数学联赛福建赛区预赛暨2024年福建省高中数学竞赛试卷(考试时间:2024年6月22日上午9:00-11:30, 满分160分)一、填空题(共10小题, 每小题6分, 满分60分. 请直接将答案写在题中的横线上)1在△ABC 中,已知AB =4,BC =2,AC =23,若动点P 满足CP =1,则AP ⋅BP的最大值为.【答案】 5【解答】取 AB 中点 O ,则AP ⋅BP =PA ⋅PB =14PA +PB 2-PA -PB 2 =142PO 2-BA 2 =PO 2-14×42=PO 2-4由 AB =4,BC =2,AC =23,知 AB 2=CA 2+CB 2,于是 CA ⊥CB .所以 CO =12AB =2 .又 CP =1,所以 PO的最大值为 CO +1=3 .所以 AP ⋅BP的最大值为 32-4=5 .2已知z 1,z 2,z 3为方程z 3=-i 的三个不同的复数根,则z 1z 2+z 2z 3+z 3z 1=.【答案】 0【解答】设 z =x +yi x ,y ∈R 为方程 z 3=-i 的复数根,则 z 3=x +yi 3=x 3+3x 2yi +3x yi 2+yi 3=-i .即 x 3+3x 2yi -3xy 2-y 3i =-i ,x 3-3xy 2+3x 2y -y 3 i =-i .由 x ,y ∈R ,得 x 3-3xy 2=03x 2y -y 3=-1,解得 x 1=0y 1=1 , x 2=32y 2=-12,x 3=-32y 3=-12.于是 z 1=i , z 2=32-12i , z 3=-32-12i .所以 z 2+z 3=32-12i+-32-12i =-i ,z 2z 3=32-12i-32-12i =-12i 2-322=-14-34=-1.因此 z 1z 2+z 2z 3+z 3z 1=z 1z 2+z 3 +z 2z 3=i ×-i -1=0 .3设a =66⋯6⏟10个6,b =33⋯3⏟6个3,则a ,b 的最大公约数为.【答案】 33【解答】用 x ,y 表示正整数 x ,y 的最大公约数.则 a ,b =66⋯6⏟10个6,33⋯3⏟6个3=33⋯3⏟10个3,33⋯3⏟6个3=311⋯1⏟10个1,11⋯1⏟6个1.设 m =11⋯1⏟10个1, n =11⋯1⏟6个1,则由 m =11⋯1⏟10个1=104×11⋯1⏟6个1+1111,可知 m ,n =1111,11⋯1⏟6个1.同理可得, m ,n =1111,11⋯1⏟6↑1=11,1111 =11,11 =11 .所以 a ,b =3m ,n =33 .4某校三个年级举办乒乓球比赛, 每个年级选派4名选手参加比赛. 组委会随机将这12名选手分成6组, 每组2人, 则在上述分组方式中每组的2人均来自不同年级的概率为.【答案】64385【解答】设三个年级为甲、乙、丙.12名选手随机分成6组,每组2人的分组方式有:C 212C 210C 28C 26C 24C 22A 66=11×9×7×5×3×1 种.下面考虑每组的2人均来自不同年级的分组情形.先考虑甲年级4名选手的配对方式: 由于每组2人均来自不同年级, 因此需从乙, 丙两个 年级中每个年级各取 2 名选手与甲年级的 4 名选手配对. 故有 C 24×C 24×A 44=36×24 种方式.再考虑余下 4 人的配对方式,此时乙、丙年级各有 2 人,其分组方式有 2×1 种.所以每组的 2 人均来自不同年级的分组方式有 36×24×2 种.所以每组的 2 人均来自不同年级的概率为36×24×211×9×7×5×3×1=64385.5如图,在棱长为6的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,点E ,F分别为AB ,BC 的中点,点G 在棱CC 1上. 若平面EFG 与底面ABCD 所成角的余弦值为31717,则平面EFG 截正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1所得截面多边形的周长为.【答案】 613+32【解答】如图,以 D 为原点,射线 DA ,DC ,DD 1 分别为 x 轴, y 轴,(第 5 题图)z 轴非负半轴建立空间直角坐标系.(第 5 题答题图)则 E 6,3,0 ,F 3,6,0 . 设 G 0,6,t ,则 EF =-3,3,0 , EG=-6,3,t .设 m=x ,y ,z 为平面 EFG 的一个法向量,则m ⋅EF=-3x +3y +0=0m⋅EG =-6x +3y +tz =0,于是 m=t ,t ,3 为平面 EFG 的一个法向量.又 n =0,0,1 为平面 ABCD 的一个法向量,且平面 EFG 与底面 ABCD 所成角的余弦值 为31717,所以 cos ⟨m ,n⟩ =m ⋅nm ⋅n=32t 2+9⋅1=31717 .结合 t >0,解得 t =2 . 所以 G 0,6,2 ,CG =2 .延长 EF 交直线 DC 于点 M ,由 E ,F 分别为 AB ,BC 的中点,知点 M 在 DC 延长线上, 且 CM =3 .由CG DD 1=26=39=MCMD知, M ,G ,D 1 三点共线.于是 GD 1 是截面多边形的一条边.延长 FE 交直线 DA 于点 N ,连接 D 1N 交 AA 1 于点 P ,则 D 1P 也是截面多边形的一条边. 另由 AN =3=12A 1D 1 可知, AP =12A 1P ,所以 AP =2,A 1P =4 .连接 PE ,则五边形 EFGD 1P 为平面 EFG 截正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1 所得的截面多边形.易知 EF =32+32=32,FG =32+22=13,GD 1=42+62=213 ,D 1P =62+42=213, PE =22+32=13.所以截面五边形的周长为 613+32 .注: 作 CH ⊥EF 与 H ,则 GH ⊥EF ,∠GHC 为二面角 G -EF -D 的平面角,于是 tan ∠GHC =CG CH=CG 322=223,因此 CG =2 。
解析版-2024年全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷
2024 年全国高中数学联赛福建赛区预赛 暨 2024 年福建省高中数学竞赛试卷参考答案(考试时间: 2024 年 6 月 22 日上午 9:00-11:30, 满分 160 分)一、填空题 (共 10 小题, 每小题 6 分, 满分 60 分. 请直接将答案写在题中的横线上) 1. 在 △ABC 中,已知 AB =4,BC =2,AC =2√3 ,若动点 P 满足 |CP⃗⃗⃗⃗⃗ |=1 ,则 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 . 【答案】 5【解答】取 AB 中点 O ,则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =14[(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2−(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2]=14[(2PO ⃗⃗⃗⃗⃗ )2−BA⃗⃗⃗⃗⃗ 2]=PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−14×42=PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−4由 AB =4,BC =2,AC =2√3 ,知 AB 2=CA 2+CB 2 ,于是 CA ⊥CB . 所以 CO =12AB =2 .又 |CP⃗⃗⃗⃗⃗ |=1 ,所以 |PO ⃗⃗⃗⃗⃗ | 的最大值为 CO +1=3 . 所以 AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 32−4=5 . 2. 已知 z 1,z 2,z 3 为方程 z 3=−i 的三个不同的复数根,则 z 1z 2+z 2z 3+z 3z 1= . 【答案】 0【解答】设 z =x +yi (x,y ∈R ) 为方程 z 3=−i 的复数根, 则 z 3=(x +yi )3=x 3+3x 2(yi )+3x (yi )2+(yi )3=−i . 即 x 3+3x 2yi −3xy 2−y 3i =−i,x 3−3xy 2+(3x 2y −y 3)i =−i . 由 x,y ∈R ,得 {x 3−3xy 2=03x 2y −y 3=−1,解得 {x 1=0y 1=1 , {x 2=√32y 2=−12,{x 3=−√32y 3=−12.于是 z 1=i, z 2=√32−12i, z 3=−√32−12i . 所以 z 2+z 3=(√32−12i)+(−√32−12i)=−i ,z 2z 3=(√32−12i)(−√32−12i)=(−12i)2−(√32)2=−14−34=−1.因此 z 1z 2+z 2z 3+z 3z 1=z 1(z 2+z 3)+z 2z 3=i ×(−i )−1=0 .3. 设a=66⋯6⏟10个6,b=33⋯3⏟6个3,则a,b的最大公约数为 .【答案】 33【解答】用(x,y)表示正整数x,y的最大公约数.则(a,b)=(66⋯6⏟10个6,33⋯3⏟6个3)=(33⋯3⏟10个3,33⋯3⏟6个3)=3(11⋯1⏟10个1,11⋯1⏟6个1) .设m=11⋯1⏟10个1, n=11⋯1⏟6个1,则由m=11⋯1⏟10个1=104×11⋯1⏟6个1+1111 ,可知(m,n)=(1111,11⋯1⏟6个1) .同理可得, (m,n)=(1111,11⋯1⏟6↑1)=(11,1111)=(11,11)=11 .所以(a,b)=3(m,n)=33 .4. 某校三个年级举办乒乓球比赛, 每个年级选派 4 名选手参加比赛. 组委会随机将这 12 名选手分成 6 组, 每组 2 人, 则在上述分组方式中每组的 2 人均来自不同年级的概率为 .【答案】64385【解答】设三个年级为甲、乙、丙.12名选手随机分成6组,每组2人的分组方式有: C122C102C82C62C42C22A66=11×9×7×5×3×1种.下面考虑每组的2人均来自不同年级的分组情形.先考虑甲年级4名选手的配对方式: 由于每组2人均来自不同年级, 因此需从乙, 丙两个年级中每个年级各取 2 名选手与甲年级的 4 名选手配对. 故有C42×C42×A44=36×24种方式.再考虑余下 4 人的配对方式,此时乙、丙年级各有 2 人,其分组方式有2×1种.所以每组的 2 人均来自不同年级的分组方式有36×24×2种.所以每组的 2 人均来自不同年级的概率为36×24×211×9×7×5×3×1=64385.5. 如图,在棱长为 6 的正方体ABCD−A1B1C1D1中,点E,F分别为 AB,BC 的中点,点 G 在棱 CC 1 上. 若平面 EFG 与底面 ABCD 所成角的余弦值为 3√1717,则平面 EFG 截正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 所得截面多边形的周长为 . 【答案】 6√13+3√2【解答】如图,以 D 为原点,射线 DA,DC,DD 1 分别为 x 轴, y 轴,(第 5 题图) z 轴非负半轴建立空间直角坐标系.(第 5 题答题图)则 E (6,3,0),F (3,6,0) . 设 G (0,6,t ) ,则 EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,3,0) , EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−6,3,t ) . 设 m ⃗⃗ =(x,y,z ) 为平面 EFG 的一个法向量,则{m ⃗⃗ ⋅EF⃗⃗⃗⃗⃗ =−3x +3y +0=0m ⃗⃗ ⋅EG⃗⃗⃗⃗⃗ =−6x +3y +tz =0 ,于是 m ⃗⃗ =(t,t,3) 为平面 EFG 的一个法向量.又 n ⃗ =(0,0,1) 为平面 ABCD 的一个法向量,且平面 EFG 与底面 ABCD 所成角的余弦值 为 3√1717, 所以 |cos⟨m ⃗⃗ ,n ⃗ ⟩|=|m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗ ||=√2t 2+9⋅1=3√1717. 结合 t >0 ,解得 t =2 . 所以 G (0,6,2),CG =2 .延长 EF 交直线 DC 于点 M ,由 E,F 分别为 AB,BC 的中点,知点 M 在 DC 延长线上, 且 CM =3 . 由 CG DD 1=26=39=MCMD 知, M,G,D 1 三点共线.于是 GD 1 是截面多边形的一条边.延长 FE 交直线 DA 于点 N ,连接 D 1N 交 AA 1 于点 P ,则 D 1P 也是截面多边形的一条边. 另由AN =3=12A 1D 1 可知, AP =12A 1P ,所以 AP =2,A 1P =4 .连接 PE ,则五边形 EFGD 1P 为平面 EFG 截正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 所得的截面多边形. 易知 EF =√32+32=3√2,FG =√32+22=√13,GD 1=√42+62=2√13 ,D 1P =√62+42=2√13, PE =√22+32=√13.所以截面五边形的周长为 6√13+3√2 .注: 作 CH ⊥EF 与 H ,则 GH ⊥EF,∠GHC 为二面角 G −EF −D 的平面角,于是 tan∠GHC =CGCH =3√22=2√23,因此 CG =2 。
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2024年全国高中数学联赛一试(A卷)试题(含答案)
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2024年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1. 若实数1m 满足98log (log )2024m ，则32log (log )m 的值为 ． 答案：4049．解：323898log (log )log (3log )12log (log )1220244049m m m ．2. 设无穷等比数列{}n a 的公比q 满足01q ．若{}n a 的各项和等于{}n a 各项的平方和，则2a 的取值范围是 ．答案：1,0(0,2)4． 解：因为数列{}n a 的各项和为11a q，注意到{}n a 各项的平方依次构成首项为21a 、公比为2q 的等比数列，于是2{}n a 的各项和为2121a q． 由条件知211211a a q q，化简得11a q ． 当(1,0)(0,1)q 时，22111(1),0(0,2)244a q q q ． 3. 设实数,ab 满足：集合2{100}A x x x a R 与3{}B x bx b R 的交集为[4,9]，则a b 的值为 ．答案：7．解：由于2210(5)25x x a x a ，故A 是一个包含[4,9]且以5x 为中点的闭区间，而B 是至多有一个端点的区间，所以必有[1,9]A ，故9a ．进一步可知B 只能为[4,) ，故0b 且34b b ，得2b ．于是7a b ．4. 在三棱锥P ABC 中，若PA 底面ABC ，且棱,,,AB BP BC CP 的长分别为1,2,3,4，则该三棱锥的体积为 ．答案：34． 解：由条件知PA AB ，PA AC ．因此PA AC ．在ABC 中，22219131cos 22132AB BC AC B AB BC ，故sin B ．所以1sin 2ABC S AB BC B 又该三棱锥的高为PA ，故其体积为1334ABC V S PA ． 5. 一个不均匀的骰子，掷出1,2,3,4,5,6点的概率依次成等差数列．独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为,a b ．若事件“7a b ”发生的概率为17，则事件“a b ”发生的概率为 ． 答案：421． 解：设掷出1,2,,6 点的概率分别为126,,,p p p ．由于126,,,p p p 成等差数列，且1261p p p ，故16253413p p p p p p ． 事件“7a b ”发生的概率为1162561P p p p p p p ． 事件“a b ”发生的概率为2222126P p p p ． 于是22221216253411()()()333P P p p p p p p ． 由于117P ，所以21143721P ． 6. 设()f x 是定义域为R 、最小正周期为5的函数．若函数()(2)x g x f 在区间[0,5)上的零点个数为25，则()g x 在区间[1,4)上的零点个数为 ．答案：11．解：记2x t ，则当[0,5)x 时，[1,32)t ，且t 随x 增大而严格增大．因此，()g x 在[0,5)上的零点个数等于()f t 在[1,32)上的零点个数．注意到()f t 有最小正周期5，设()f t 在一个最小正周期上有m 个零点，则()f t 在[2,32)上有6m 个零点，又设()f t 在[1,2)上有n 个零点，则625m n ，且0n m ，因此4,1m n ．从而()g x 在[1,4)上的零点个数等于()f t 在[2,16)[1,16)\[1,2) 上的零点个数，即311m n ．7. 设12,F F 为椭圆 的焦点，在 上取一点P （异于长轴端点），记O 为12PF F 的外心，若12122PO F F PF PF ，则 的离心率的最小值为 ．答案 解：取12F F 的中点M ，有12MO F F ，故120MO F F ． 记1212,,PF u PF v F F d ，则121212PO F F PM F F MO F F 12211()()2PF PF PF PF 222v u ， 222121222cos PF PF uv F PF u v d ，故由条件知222222v u u v d ，即22232u v d ． 由柯西不等式知222281(3)1()33d u v u v （当3v u 时等号成立）．所以 的离心率d e u v ．当::u v d 时， 的离心率e 取到最小值8. 若三个正整数,,a b c 的位数之和为8，且组成,,a b c 的8个数码能排列为2,0,2,4,0,9,0,8，则称(,,)a b c 为“幸运数组”，例如(9,8,202400)是一个幸运数组．满足10a b c 的幸运数组(,,)a b c 的个数为 ．答案：591．解：对于幸运数组(,,)a b c ，当10a b c 时，分两类情形讨论． 情形1：a 是两位数，,b c 是三位数．暂不考虑,b c 的大小关系，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置还未填，任选其中两个填2，最后三个位置填写4,8,9，这样的填法数为3255C C 3!600 ．再考虑其中,b c 的大小关系，由于不可能有b c ，因此b c 与b c 的填法各占一半，故有300个满足要求的幸运数组．情形2：,a b 是两位数，c 是四位数．暂不考虑,a b 的大小关系，类似于情形1，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置填2,2,4,8,9，这样的填法数为600．再考虑其中,a b 的大小关系．若a b ，则必有20a b ，c 的四个数字是0,4,8,9的排列，且0不在首位，有33!18 种填法，除这些填法外，a b 与a b 的填法各占一半，故有600182912个满足要求的幸运数组． 综上，所求幸运数组的个数为300291591 ．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9. （本题满分16分） 在ABC 中，已知sin cos sin cos cos 22A AB B C，求cos C 的值．解：由条件知cos 44C A B． …………4分 假如44A B，则2C ，cos 0C ，但sin 04A ，矛盾． 所以只可能44A B ．此时0,2A B ，2C A ． …………8分注意到cos 04C A ，故2C ，所以,42A B ，结合条件得cos cos 2sin 22sin cos 244C A A A A2C ，又cos 0C ，化简得28(12cos )1C ，解得cos C…………16分 10.（本题满分20分）在平面直角坐标系中，双曲线22:1x y 的右顶点为A ．将圆心在y 轴上，且与 的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”．若两个好圆外切于点P ，圆心距为d ，求d PA 的所有可能的值． 解：考虑以0(0,)y 为圆心的好圆2220000:()(0)x y y r r ．由0 与 的方程消去x ，得关于y 的二次方程2220002210y y y y r ．根据条件，该方程的判别式22200048(1)0y y r ，因此220022y r ．…………5分对于外切于点P 的两个好圆12, ，显然P 在y 轴上．设(0,)P h ，12, 的半径分别为12,r r ，不妨设12, 的圆心分别为12(0,),(0,)h r h r ，则有2211()22h r r ，2222()22h r r ．两式相减得2212122()h r r r r ，而120r r ，故化简得122r r h． …………10分 进而221211222r r r r ，整理得 221122680r r r r ．① 由于12d r r ，(1,0)A ，22212()114r r PA h ，而①可等价地写为2212122()8()r r r r ，即228PA d ，所以d PA…………20分 11.（本题满分20分）设复数,z w 满足2z w ，求2222S z w w z 的最小可能值．解法1：设i (,)z a b a b R ，则2i w a b ，故2222242(1)i 642(3)i S a a b b a a a b b a ，22222464a a b a a b2222(1)5(3)5a b a b ． ①…………5分记1t a ．对固定的b ，记255B b ，求22()(4)f t t B t B 的最小值．由()(4)f t f t ，不妨设2t ．我们证明0()()f t f t ，其中0t ． 当0[2,]t t 时，04[2,4]t t ，22200()()()((4))((4))f t f t B t B t B t2222220000(4)((4))(28)(28)t t t t t t t t0 （用到02t t 及228y x x 在[2,) 上单调增）． …………10分当0[,)t t 时，22200()()(4)(4)f t f t t B t B t B222200(4)(4)t t t t 000()8t t t t t t0 （用到04t t ）． …………15分所以200()(4)1616S f t B t ．当0b （①取到等号），011a t 时，S 取到最小值16．…………20分解法2：设1i,1i (,)R z x y w x y x y ，不妨设其中0x ． 计算得2222(41)(24)i z w x x y x y ，2222(41)(24)i w z x x y x y ．所以22Re(2)Re(2)S z w w z 22224141x x y x x y ． …………5分利用a b a b ，可得8S x ，① 亦有22222212(1)2(1)S x y x y x ． ②…………10分注意到方程282(1)x x 2．当2x 时，由①得816S x ．当02x 时，由②得222(1)2(12))16S x ．因此当2,0x y 时，S 取到最小值16． …………20分 解法3：因为2w z =−，所以我们有222(2)2411z z z z z22(2)26411z z z z z从而上两式最右边各项分别是z 到复平面中实轴上的点1−1−，33+的距离，所以把i z x y =+换成其实部x 时，都不会增大.因此只需 考虑函数22()2464f x x x x x +−+−+在R 上的最小值.…………10分因为1313−−<<−+<，因此我们有以下几种情况：1.若1x≤−,则2()24f x x x=−,在这一区间上的最小值为(116f−=+；2.若(13x∈−−，则()88f x x=−+，在这一区间上的最小值为(316f=−+…………15分3.若31x∈−，则2()24f x x x=−+，在这一区间上的最小值为((3116f f=−+=−+；4.若13x∈− ，则()88f x x=−，在这一区间上的最小值为(116f−+=−+；5.若3x≥+，则2()24f x x x=−，在这一区间上的最小值为(316f=+.综上所述，所求最小值为((3116f f=−+=−.…………20分。
全国高中数学联赛福建省预赛试题及详解
2014年福建省高中数学竞赛暨2014年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷（考试时间：2014年5月17日上午9: 00—11: 30,满分160分）一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。
请直接将答案写在题中的横线上）1 .已知直线h : ax2y 6=0 , I2: x（a-1）y a -1=0，若h_l2，则a =___________________ 。
2. 函数f（x） = ..3sin2x sinxcosx-的值域为。
2 M2 2」3. 在三棱锥D - ABC 中，AB = BC =2，AB _ BC，BC _ CD，DA _ AB，CDA = 60。
则三棱锥D - ABC的体积为________________ 。
24 .已知F1、F2为双曲线C : x2-丄1的左、右焦点，P为双曲线C上一点，且点P在24第一象限。
若］卩匸I =4，贝U △ PF1F2内切圆半径为_____________ 。
| PFJ 35.已知集合A = {x x2+2x—8>0 }, B={ x|x2—2ax + 4 兰0}。
若a>0,且Ac B 中恰有1个整数，则a的取值范围为___________________ 。
6 .若分数P（p，q为正整数）化成小数为卫=0.198||（，则当q取最小值时，q qp q = _______________ 。
7.随机地投掷3粒骰子，则其中有2粒骰子出现的点数之和为7的概率为^ 。
T t8 .已知点A（1,1），B（4 ,0），C（2,2）。
平面区域D由所有满足AP — AB AC（1 ：：：■ _a , 1 ：：：」_b ）的点P（x, y）组成的区域。
若区域D的面积为8,则a b的最小值为_____ 。
9. A = 8 L & 8 8 被63除的余数为。
（符号〔X1表示不S」［9」［9」［9」超过x的最大整数。
）10 .若a , b , c为关于x的方程x3-x2-x，m = 0的三个实根，则m的最小值为。
全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷
全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷 考试时间：9月11日上午8：00～10：30一、选择题：每题6分，满分36分1、设函数)(x f 的定义域为R ，且对任意实数)2,2(ππ-∈x ，x x f 2sin )(tan =，则)sin 2(x f 的最大值为（ ）A 0 B21 C 22 D 12、实数列}{n a 定义为,7,1,,3,2,1291112===++-=--a a n a a a a a n nn n n 则5a 的值为（ ）A 3B 4C 3或4D 83、正四面体ABCD 的棱长为1，E 是△ABC 内一点，点E 到边AB,BC,CA 的距离之和为x ，点E 到平面DAB,DBC,DCA 的距离之和为y ，则22y x +等于（ ）A 1 B26 C 35 D 127 4、数列10021,,,x x x 满足如下条件：对于k x k ,100,2,1 =比其余99个数的和小k ，已知nmx =50，m ，n 是互质的正整数，则m+n 等于（ ） A 50 B 100 C 165 D 173 5、若26cos cos ,22sin sin =+=+y x y x ，则)sin(y x +等于（ ） A22 B 23 C 26D 16、P 为椭圆191622=+y x 在第一象限上的动点，过点P 引圆922=+y x 的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点M 、N ，则MON S ∆的最小值为（ ） A29 B 329 C 427 D 3427 二、填空题：每小题9分，满分54分7、实数z y x ,,满足,146,74,72222-=+-=+=+x z z y y x 则222z y x ++＝.8、设S 是集合｛1，2，…，15｝的一个非空子集，若正整数n 满足：S S n S n ∈+∈,，则称n 是子集S 的模范数，这里|S|表示集合S 中元素的个数。
全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷
全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷考生注意：1本试卷共三大题（16个小题），全卷满分150分 .2．完卷时间150分钟 ,用钢笔,签字笔或圆珠笔作答.不能使用计算器 .3.解答题书写不要超出装订线。
一、选择题（本题满分24分，每小题4分）本题共有6个小题,每题均给出A 、B 、C 、D 四个结论,其中有且仅有一个是正确的.请将正确答案的代表字母填在题后的括号内.每小题选对得4分;不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否在括号内），一律得0分。
1． 已知,点(x,y)在直线 x+2y=3上移动,当24xy+取最小值时,点(x ,y )与原点的距离是( ) B .4516C ．4D ．98 2．设双曲线22221x y a b -= 的离心率e 2⎤∈⎥⎣⎦，则双曲线的两条渐近线夹角α的取值范围是 ( )A. ,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦3. 正四面体的4个面分别写着1，2，3，4，将4个这样均匀的正四面体同时投掷于桌面上，与桌面接触的4个面上的4个数的乘积被4整除的概率是 ( )A ．18 B ．964 C ． 116 D. 13164．甲、乙、丙三人用擂台赛形式进行训练.每局两人单打比赛,另一人当裁判.每一局的输方去当下一局的裁判,而由原来的裁判向胜者挑战.半天训练结束时,发现甲共打12局,乙共打21局,而丙共当裁判8局.那么整个比赛的第10局的输方 （ ） A ．必是甲 B ．必是乙 C ．必是丙 D ．不能确定5．曲线x 2+y 2－ay=0 与ax 2+bxy+x=0 有且只有3个不同的公共点,那么必有（ ）A ．(a 4+4ab+4)(ab+1)=0B ．(a 4－4ab －4)(ab+1)=0C ．(a 4+4ab+4)(ab －1)=0D ．(a 4－4ab －4)(ab －1)=06．两个周期函数y 1,y 2 的最小正周期分别为a,b,且b = na (n ≥2,n 为整数).如果函数y 3=y 1+y 2的最小正周期为t . 那么五种情形：”t<a ”,”t=a ”,”a<t<b ”,”t=b ”,”t>b ” 中,不可能出现的情形的个数是 （ ） A. 1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6个小题，要求直接将答案写在横线上 . 7．已知 log a x = 24, log b x = 40, log abc x = 12 . 那么 log c x =8 . 设 f (x) = (x 2 – 8x +c 1 ) ( x 2 – 8x+c 2 ) (x 2 – 8x +c 3 ) ( x 2 – 8x+c 4 ) . M =｛x ︱f ( x )= 0 ｝.已知 M =｛x 1,.x 2 , x 3, x 4.,x 5, x 6, x 7, x 8｝⊆ N . 那么max ｛c 1,.c 2, c 3, c 4｝– min ｛c 1,.c 2, c 3, c 4｝= 9 . 如果实数 x ,y 满足3x + 2y －1≥0 , 那么 u = x 2 + y 2 + 6x －2y 的最小值是 .10 . 不等式组sinx > cosx > tanx > cotx 在 (0 , 2π)中的解集 (用区间表示)是 . 11 . 四面体ABCD 中, AB = CD = a , BC = AD = b , CA = BD = c . 如果异面直线AB 与CD 所成的角为θ, 那么cos θ= .12． 设a , b , x ∈N * , a ≤b . X 为关于x 的不等式lgb －lga < lgx < lgb ＋lga 的解集 . 已知 card (X) = 50 . 当a ⋅b 取最大可能值时 ,b a + =三、解答题（本题90分.共4个小题 .第13，14, 15题各20分，第16题30分）13 . 求函数f (x) =︱sinx + cosx +tanx + cotx + secx + cscx ︱ 的最小值 . 其中 secx=x cos 1, cscx=xsin 1.14.椭圆 x 2 + 4y 2 = 8 中, AB 是长为25的动弦 .O 为坐标原点 . 求∆AOB 面积的取值范围 .15 . 无穷数列｛x n ｝中（n ≥1），对每个奇数n ，x n, x n+1,x n+2 成等比数列，而对每个偶数n, x n, x n+1, x n+2 成等差数列.已知x1= a , x 2=b .(1) 求数列的通项公式 . 实数a , b 满足怎样的充要条件时, 存在这样的无穷数列? (2) 求2x ,4x ,……,n x 2的调和平均值, 即∑=nk kxn121的值 .16．(1) 给定正整数n ≥5,集合 A n ={}n ,,2,1 .是否存在一一映射 φ: A n →A n 满足条件：对一切k ( 1≤ k ≤n －1 ) , 都有k |φ(1)+φ(2) +……+φ(k) ?(2) N * 为全体正整数的集合,是否存在一一映射 φ: N *→ N * 满足条件： 对一切k ∈N *, 都有k | φ(1)+φ(2) + ……+φ(k) ?证明你的结论 .注: 映射 φ: A →B 称为一一映射,如果对任意 b ∈B,有且只有一个 a ∈A 使得 φ(a)=b . 题中“|”为整除符号.二00四年全国高中数学联赛福建赛区预赛试题参考解答及评分标准说明:1.选择,填空题只按0分与满分两档给分,不设中间档次.2.解答题5分一个档次.如果考生的解法与参考解答不同.可参照本标准酌情给分.13. 设 u = sin x + cos x , 则 sin x cos x =21( u 2－ 1 ) . sin x + cos x + tan x + cot x + sec x + csc x = u + 12-u , ( 5 分 )当 u > 1 时 , f ( x ) = 1 + u －1 + 12-u ≥ 1 + 22 . ( 5 分 )当 u < 1 时 , f ( x ) = －1 + 1－u +u-12≥ 22－1 ( u = 1－2时等号成立 ) . ( 5 分)因此, f ( x ) 的最小值是 22－1 . ( 5 分 )14. 令 A, B 的坐标为 ( x 1 , y 1 ) ,( x 2 , y 2 ) , 直线 AB 的方程为 y = kx + b , 代入椭圆方程整理得: (4k 2+1)x 2+ 8kbx + 4(b 2－2) = 0 . 故 x 1 + x 2 =－1482+k kb, x 1x 2 =14)2(422+-k b . ( 5 分 )由 425 = AB 2 = (k 2+1)(x 2－x 1)2 = (k 2+1)((x 1+x 2)2－4 x 1x 2) =222)14()1(16++k k (2(4k 2+1)－b 2) 得到 b 2= 2 (4k 2+1)－)1(64)14(25222++k k ( 5 分) 原点O 到 AB 的距离为12+k b, ∆AOB 的面积 S = ⋅4512+k b, 记 u = 11422++k k , 则有 S 2= －1024625(u 2－25128u ) = 4－1024625(u －2564)2 ( 5 分)u = 4－132+k 的范围为 []4,1 , (u = 4 为竖直弦 ). 故 u =2564时, max S 2 = 4 , 而 u = 1时, min S 2 =10242575, 因此 S 的 取值范围是 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,103325. ( 5 分) 15. (1) 观察前几项: a , b , a b 2, a a b b )2(-, a a b 2)2(-, a a b a b )23)(2(--,a ab 2)23(-,… 猜测: x 2 k-1 = aa kb k 2))2()1((---, x 2k = aa k kb a k b k ))1()()2()1((-----,( k ≥ 1 ). ( 5 分 )对k 归纳证明通项公式: k =1 显然成立,设 x 2 k-1, x 2k 如上,则x 2k+1 = 1222)(-k k x x = a a k kb 2))1((--,x 2k+2 = 2x 2k+1－x 2k =aka b k a k kb ))1)(()1((-+--, 因此, 公式成立 . ( 5 分 )存在这样的无穷数列 ⇔ 所有的 x n ≠0 ⇔∉a b ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+N n n n |1. ( 5 分 ) (2) b ≠a 时,k x 21= a b a-(ak kb a k b k )1(1)2()1(1------),故∑=nk kx n 121=))1(11(an nb a a b a n----= nb －(n －1)a .( b = a 时所有的x n = a ,结果也对). ( 5 分 )16. (1) 不存在. ( 5 分)记 S k =∑=ki i 1)(φ.当 n = 2m+1 时 ( m ≥2 ), 由 2m | S 2 m 及S 2 m =2)22)(12(++m m －φ(2m+1) 得 φ(2m+1)≡m+1(mod 2m), 但 φ(2m+1)∈A 2m+1,故φ(2m+1)= m+1.再由 2m －1 | S 2m －1 及S 2m －1=2)22)(12(++m m －(m+1)－φ(2m) 得φ(2m) ≡m+1(mod 2m －1),又有φ(2m)= m+1,与φ的一一性矛盾. ( 5 分) 当 n = 2m+2 时 ( m ≥2 ), S 2m+1=2)32)(22(++m m －φ(2m+2) 给出φ(2m+2)=1 或 2m+2,同上又得φ(2m+1)= φ(2m)= m+2 或 m+1 ,矛盾. ( 5 分)(2) 存在. 对n 归纳定义φ(2n －1)及φ(2n) 如下： ( 5 分) 令φ(1)=1, φ(2)=3 .设已定义出不同的正整数值φ(k) (1≤k ≤2n)满足整除条件且包含1,2,…,n ,设 v 是未取到的最小正整数值,由于 2n+1 与 2n+2 互素,根据孙子定理,存在不同于v 及φ(k) (1≤k ≤2n)的正整数u 满足同余式组 u ≡－S 2n (mod 2n+1)≡－S 2n －v (mod 2n+2) . ( 5 分)定义φ(2n+1)=u, φ(2n+2)=v .则正整数φ(k) ( 1≤k ≤2n+2 )也互不相同,满足整除条件,且包含 1,2,…,n+1 .根据数学归纳法原理,已经得到符合要求的一一映射φ：N * → N *. ( 5 分)附：选择、填空题简解：1. 2x +4y≥. x =32, y =34时取最小值,此时=4. 2.设渐近线y =ba x 的倾斜角为β, 1 +22b a = e 2∈4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦, tan β=b a∈, ,63ππβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, 故 α= min ｛2β,π－2β｝,32ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.3. 事件 “4个数均为奇数”的概率p 1=412⎛⎫ ⎪⎝⎭=116，事件“3个为奇数，1个为2”的概率p 2=3141142C ⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭=18. 故p =1－p 1－p 2 =1316 .4. 共比赛12+21－8 = 25局,甲当裁判25－12 = 13局.由于同一人不会接连当两局裁判, 故甲是第1,3,5,……,21,23,25局的裁判, 从而第10局的输方为甲 .5. 易知a ≠0.曲线ax 2+bxy+x = 0是两条直线x = 0与ax+by+1 = 0. 直线x = 0与圆x 2+y 2ay=0有两个不同的公共点(0,0), (0,a), 依题意有两种可能：(1).ax+by+1 = 0与圆x 2+(y －2a )2 =24a 相切于第三点.|01|2aa b a ⋅+⋅+=, 即a 4－4ab －4=0; (2).ax+by+1= 0过点(0,a)且不与坐标轴平行, 此时ab+1= 0.6. b 是y 3的一个周期,故t ≤b.若t = a, 则由y 2=y 3－y 1可得b ≤a,矛盾.故”t=a ”和”t>b ”不可能.下面的例子表明另外的三种情形都可能出现：取y 2 = sinx + sin 23x, 则b = 6π. (1).令y 1 = －sin23π, 此时a =3π, y 3= sinx, t =2π, t < a ; (2). 令y 1 = －sinx, 此时a =2π, y 3= sin 23π, t =3π, a < t< b ;(3). 令y 1 = sinx, 此时a = 2π, y 3 = 2sinx+sin 23π, t = 6π, t = b ;7. log x c = log x abc －log x a －log x b =121－241－401=601, log c x = 60 .8. 令x 2－8x+c = 0 的两根为α,β, 则α+β=8. (α,β)的不等非负整数值只有(0,8), (1,7), (2,6), (3,5) 故｛c 1,c 2,c 3, c 4｝=｛0,7,12,15｝.9. u = (x+3)2+(y －1)2－10 .半平面 3x+2y －1≥0 中的点到定点 (－3,1) 距离的最小值是13129-+-=138, 所以 min u = (138)2－10 = －1366 . 2π10. 在象限图上用区间法求解：各分界线为4πk (0≤k ≤7) 与方程 cosx = tanx 的解 arcsin 215-,π－arcsin215-. 由 sinx> cosx 排除区间 ①, 由 tanx> cotx 排除 ②, 由 cosx> tanx 排除 ③, 解集为 (43π,π－arcsin 215-) . ,11. (1) 向量法： 记 = , = , = .由已知条件, | -| = ||, a 2 + b 2－2b a ⋅ = c 2 . 故 b a ⋅ =2222c b a -+,同理 c a ⋅ =2222b c a -+. cos θ=222ac b -.(2) 几何法： 该四面体各棱是一个长方体的面对角线 , 设长方体三边为 x , y , z , 则a 2 = y 2+z 2 ,b 2 = z 2+x 2 ,c 2 = x 2+y 2 . θ 是 y , z 矩形中两对角线的夹角 , 故cos θ=222|)2()2(|222a a y aa ⋅⋅-+=222||a c b - 12. a b < x < ab , a ≥2 , 50 ≥ ab －a b －1 = ab(1－21a)－1 ≥43ab －1 , 故 ab ≤ 68 .等号当且仅当 a =2 ,b =34 时成立 , 此时 b a += 6 .。
2021年全国高中数学联赛(福建赛区)预赛暨2021年福建省高中数学竞赛试题(含答案)
3
2
所以， a 的取值范围为 (3， 1) ( 1 ，1) .
2
23
3．如图，在四边形 ABCD 中，已知 cos BAD 3 ，BAC DAC ，AD AB ，且 AB 5 ，
uuur uuur uuur
4
AC BD 14 .若 AC AB AD （ ， R ），则
又 h(1) 21g(1) 20 f (1) 0 ， h(1) 21g(1) 20 f (1) 0 ，
所以， h(x) (x 1)(x 1) x 2 1 .
因此， h(6) 21g(6) 20 f (6) 6 2 1 35 .
所以， 21 35 20 f (6) 35 ， f (6) 35 .
f (1) g (1)
f (1) g (1)
21 20
，则
f
(6)
.
6．若关于 x 的不等式 (x 2)ex ax 1 有且仅有三个不同的整数解，则整数 a 的最小值
为
.
3
7．若正实数 x ， y 满足 x(x 2 y) 9 ，则 x5 y 的最大值为
.
8．已知离心率为
6 2
的双曲线 C ：
1，1
3 e
a
e3 1 3
.
经检验， a 3符合要求.
所以，符合条件的 a 的最小值为 3 .
7．若正实数 x ， y 满足 x(x 2 y) 9 ，则 x5 y 的最大值为
.
【答案】 54
【解答】 解法一：由题设及平均不等式知，
9 x(x 2y) x(1 x 1 x 2y) x 33 1 x 1 x 2y .
14 m2
， 14
，m
2
，
2020年全国高中数学联赛(福建赛区)预赛暨2020年福建省高中数学竞赛试卷
当1 x 2 时，f (x) ln x . 若关于 x 的方程 f (x) ax 1 0 在 x 3 ，5上有两个不相等的实数
根，则 a 的取值范围为
.
【答案】
0
，15
【解答】 如图，分别作出函数
y f (x) 与 y ax 1 的图像，其中
P(0 ，1) ， G( 1 ，0) . a
十八边形无公共边的三角形的个数为
1 3
18
(C125
14)
.
因此，所求的概率为
1 3
18 (C125 C138
14)
91 136
.
3
7．如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，点 E 、 F 、G 分别在棱 AA1 、 A1D1 、 D1C1 上， E
为
AA1
中点，
D1F D1 A1
D1G D1C1
1. 3
记平面 EFG 与平面 A1B1CD 的交线为 m ，则直线 m 与平面
ABCD 所成角的正切值为
.
【答案】 3 58 58
【解答】 如图，设 A1D 、 EF 的交点为 P . 延长 GF 、 B1A1
交于点 Q ，则 PQ 为平面 EFG 与平面 A1B1CD 的交线为 m .
不 妨 设 正 方 体 棱 长 为 3 ， 则 由 D1F D1G 1 知 ， D1 A1 D1C1 3
由图像可
知，当
xG
1 a
5
，即
（第 4 题答题图）
0
a
1 5
时，两函数图像在
x
3
，5
上有两个不同的交点.
所以，
a
的取值范围为
0
，1 5
2021年全国高中数学联赛(福建赛区)预赛暨2021年福建省高中数学竞赛试卷参考答案
所以， x 6 时， f (x) 有最大值 f ( 6) 54 .
因此， x 6 ， y 6 时， x5 y 取最大值 54 . 4
所以， x5 y 的最大值为 54 .
8．已知离心率为
6 2
的双曲线 C ：
x2 a2
y2 b2
1（ a
0，b
0 ）的左、右焦点分别为 F1 、
F2 ， P 为双曲线上一点， R 、 r 分别为 △PF1F2 的外接圆、内切圆半径.若 F1PF2 60 ，则
r2 2 2a sin PF1F2 2 2a sin15 2 2a
6 4
2 ( 3 1)a ， r1 ( 3 1)a .
△PF1F2 周长 l r1 r2 2c ( 3 1)a ( 3 1)a 6a (2 3 6)a ，
△PF1F2
的面积
S
1 2
r1r2
sin
60
3 a 2 .由 S r l ，得 r
1
解法一：如图，在 AB 上取点 E ，使得 AE 2 .连接 DE ，交 AC 于点 F . 则由 AC 为 BAD 的平分线知，AF DE ，F 为 DE 中点. 在 △ADE 中由余弦定理，得 DE 2 22 22 2 2 2 3 2 .
4
所以， AF AE 2 (1 DE )2 4 1 14 1 AC .
f (2) 0 g(2) 2a 1 ， 因此， 0 ，1， 2 是不等式 (x 2)ex ax 1 的三个整数解.
（第 6 题答题图）
由于不等式 (x 2)ex ax 1 有且仅有三个不同的整数解，
3
所以，
f f
(1) g(1) (3) g(3)
，即
3e1 a e3 3a 1
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2014年福建省高中数学竞赛暨2014年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷（考试时间：2014年5月17日上午9：00－11：30，满分160分）一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。
请直接将答案写在题中的横线上） 1．已知直线1l ：260ax y ++=，2l ：2(1)10x a y a +-+-=，若12l l ⊥，则a = 。
2．函数2()sin cos f x x x x =+（122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，）的值域为 。
3．在三棱锥D ABC -中，2AB BC ==，AB BC ⊥，BC CD ⊥，DA AB ⊥，60CDA ∠=︒。
则三棱锥D ABC -的体积为 。
4．已知1F 、2F 为双曲线C ：22124y x -=的左、右焦点，P 为双曲线C 上一点，且点P 在第一象限。
若1243PF PF =，则12PF F △内切圆半径为 。
5．已知集合{}2280A x x x =+->，{}2240B x x ax =-+≤。
若0a >，且A B ⋂中恰有1个整数，则a 的取值范围为 。
6．若分数pq（p ，q 为正整数）化成小数为0.198p q =，则当q 取最小值时，p q += 。
7．随机地投掷3粒骰子，则其中有2粒骰子出现的点数之和为7的概率为 。
8．已知点(11)A -，，(40)B ，，(22)C ，。
平面区域D 由所有满足AP AB ACλμ=+（1a λ<≤，1b μ<≤）的点()P x y ，组成的区域。
若区域D 的面积为8，则a b +的最小值为 。
9． 23201488889999A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦被63除的余数为 。
（符号[]x 表示不超过x 的最大整数。
）10．若a ，b ，c 为关于x 的方程320x x x m --+=的三个实根，则m 的最小值为 。
二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分。
要求写出解题过程） 11．已知{}n a 为递增的等比数列，且126a a +=，3424a a +=。
2(1)nn n a b a =-，数列{}nb 的前n 项和为n T ，求证：对一切正整数n 均有，3n T <。
12．已知F 为椭圆C ：22143x y +=的右焦点，椭圆C 上任意一点P 到点F 的距离与点P 到直线l ：x m =的距离之比为12。
（1）求直线l 方程；（2）设A 为椭圆C 的左顶点，过点F 的直线交椭圆C 于D 、E 两点，直线AD 、AE 与直线l 分别相交于M 、N 两点。
以MN 为直径的圆是否恒过一定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由。
13．如图，在五边形ABCDE 中，BC AE ∥，AB BC AE =+，ABC CDE ∠=∠，M 为CE 中点，O 为BCD △的外心，且OM MD ⊥。
延长DM 至点K ，使得MK MD =。
（1）求证：BKC BDC ∠=∠； （2）求证：2ABC BDA ∠=∠。
14．已知1()ln(1)311f x a x x x =+++-+。
（1）若0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （2）求证：222223411ln(21)411421431414n n n +++++>+⨯-⨯-⨯-⨯-对一切正整数n 均成立。
15．给定2014个和为1的非负实数1a ，2a ，3a ，…，2014a 。
证明：存在1a ，2a ，3a ，…，2014a 的一个排列1x ，2x ，3x ，…，2014x ，满足1223201320142014112014x x x x x x x x ++++≤。
2014年福建省高中数学竞赛暨2014年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷参考答案（考试时间：2014年5月17日上午9：00－11：30，满分160分）一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。
请直接将答案写在题中的横线上） 1．已知直线1l ：260ax y ++=，2l ：2(1)10x a y a +-+-=，若12l l ⊥，则a = 。
【答案】23【解答】12212(1)03l l a a a ⊥⇔⨯++-=⇔=。
2．函数23()3sin sin cos f x x x x =+-（122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，）的值域为 。
【答案】 112x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 【解答】1cos 21313()3sin 2sin 2cos 2sin(2)222223x f x x x x x π-=⨯+-=-=-。
由122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，知，22633x πππ-≤-≤，1sin(2)123x π-≤-≤。
3．在三棱锥D ABC -中，2AB BC ==，AB BC ⊥，BC CD ⊥，DA AB ⊥，60CDA ∠=︒。
则三棱锥D ABC -的体积为 。
【答案】43【解答】如图，作DE ABC ⊥面于E ，连EA 、EC 、ED 。
∵ BC CD ⊥，DA AB ⊥，∴ EC CB ⊥，EA AB ⊥，四边形EABC 为矩形。
由AB BC =知，四边形EABC 为正方形，且DA DC =。
又60CDA ∠=︒，因此，DAC △为正三角形，DA AC =。
∴2222EA ED EA EC +=+。
于是，2ED EC ==。
∴ 三棱锥D ABC -的体积为114(22)2323⨯⨯⨯⨯=。
4．已知1F 、2F 为双曲线C ：22124y x -=的左、右焦点，P 为双曲线C 上一点，且点P 在第一象限。
若1243PF PF =，则12PF F △内切圆半径为 。
【答案】 2【解答】设14PF t =，则23PF t =，12432t t PF PF -=-=。
于是，2t =，18PF =，26PF =，结合1210F F =知，12PF F △为直角三角形，12PF PF ⊥。
∴ 12PF F △内切圆半径681022r +-==。
5．已知集合{}2280A x x x =+->，{}2240B x x ax =-+≤。
若0a >，且A B ⋂中恰有1个整数，则a 的取值范围为 。
【答案】 13562⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【解答】{}42A x x x =<->或。
设2()24f x x ax =-+，则()f x 的轴对称0x a =>。
由(4)16840f a -=++>，知{}4B x x φ⋂<-=。
因此，A B ⋂中恰有的一个整数为3。
∴ (3)9640(4)16840f a f a =-+≤⎧⎨=-+>⎩，解得13562a ≤<。
故，a 的取值范围为13562⎡⎫⎪⎢⎣⎭，。
6．若分数pq（p ，q 为正整数）化成小数为0.198p q =，则当q 取最小值时，p q += 。
【答案】 121 【解答】由10.1985pq=<，知15p q <，5q p >，记5q p m =+（m 为正整数）。
于是，0.1985pp m=+，0.198(5)0.199(5)p m p p m +<<+。
∴ 19.839.8m p m <<。
当1m =时，2039p ≤≤，取20p =，1m =时，q 最小为101。
又200.198********=符合要求。
故，当q 最小时，121p q +=。
7．随机地投掷3粒骰子，则其中有2粒骰子出现的点数之和为7的概率为 。
【答案】512【解答】投掷3粒骰子共有36216=种可能。
考虑7162534=+=+=+。
投掷三粒骰子，有两粒骰子出现1和6的可能有66630⨯-=（种）。
（分为(16)⨯，，，(16)⨯，，，(61)⨯，，，(61)⨯，，，(16)⨯，，，(61)⨯，，这6种可能，每类有6种情况。
其中，(161)，，，(166)，，，(116)，，，(611)，，，(616)，，，(661)，，重复出现）同理，投掷三粒骰子，有两粒骰子出现2和5的可能与有两粒骰子出现3和4的可能均为30种。
∴ 投掷3粒骰子，其中有2粒骰子出现的点数之和为7的有33090⨯=种可能。
∴ 所求概率为90521612=。
8．已知点(11)A -，，(40)B ，，(22)C ，。
平面区域D 由所有满足AP AB AC λμ=+（1a λ<≤，1b μ<≤）的点()P x y ，组成的区域。
若区域D 的面积为8，则a b +的最小值为 。
【答案】 4【解答】如图，延长AB 至点N ，延长AC 至点M ，使得AN a AB =，AM b AC =。
四边形ABEC 、ANGM 、EHGF 均为平行四边形。
由条件知，点()P x y ，组成的区域D 为图中的阴影部分，即四边形EHGF （不含边界EH 、EF ）。
∵ (31)AB =，，(13)AC =，，(22)BC =-，。
∴10AB =，10AC =，22BC =，3cos 521010CAB ∠==⨯⨯，4sin 5CAB ∠=。
∴ 四边形EHGF 的面积为4(1)10(1)1085a b -⨯-⨯=。
∴ (1)(1)1a b --=，11(1)(1)211a b a a a a +=++=-++--。
由1a >，1b >知，当且仅当11a -=，即2a b ==时，a b +取最小值4。
9． 23201488889999A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦被63除的余数为 。
（符号[]x 表示不超过x 的最大整数。
）【答案】 56【解答】∵ 对任意正整数k ，2189k -与289k 均不是整数，且2122188899k kk --+=。
∴ 对任意正整数k ，2122122188881817(mod 63)9999k k k k k ---⎡⎤⎡⎤+=+-=-≡⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。
∴ 23201488881007756(mod 63)9999A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++++≡⨯≡⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦。
10．若a ，b ，c 为关于x 的方程320x x x m --+=的三个实根，则m 的最小值为 。
【答案】 527-【解答】依题意，有32()()()x x x m x a x b x c --+=---。
∴ 3232()()x x x m x a b c x ab bc ca x abc --+=-+++++-。
∴ 1()1a b c ab bc ca m abc -=-++⎧⎪-=++⎨⎪=-⎩，11a b c ab bc ca m abc ++=⎧⎪++=-⎨⎪=-⎩。