特征值和特征向量 矩阵的相似对角化

f ( ) det(E A) 0,
则称上述等式为方阵A的特征方程；
线性方程组(E A)X 0 则称为A的特征方程组.
4
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矩阵A的特征值是特征方程 E A 0 的根,或者说，矩阵
A的特征值是矩阵A的特征多项式 f ( ) E A 的根.
设 是方阵A的一个特征值，则矩阵A的属于特征值的特
E A ( 1 )( 2 ) ( n ) a11 a12 a1n
另外 a21 a22 a2n
an1 an2 ann
( a11 )( a22 ) ( ann )
令 0，即得12 n A .
比较两端的 n1的系数，可得
1 2 n a11 a22 ann .
14
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推论4.1 n阶方阵A可逆的充分必要条件是它的任一特征 值不等于零.
Thm4.3 设 是方阵A的特征值， 是A的属于 的特征向
量，则
(1) k 是kA的特征值(k是任意常数);
(2) k 是Ak 的特征值(k是正整数);
(3) g( ) a0 a1 a22 amm 是矩阵 g( A) a0 E a1 A a2 A2 am Am
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例1.5 设3阶方阵A的行列式 A 3，A有一个特征值为-2,
则 A必有一个特征值为 一个特征值为 0
，A3 232
，A3 2A2 A2 4A 8E
4A
0
8
E必有 .
解：A* A A1 3 A1
(2)3 2 (2)2 4 (2) 8 0
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A(1 2 ) 11 22 ,
若1 2 是A的特征向量，对应的特征值为 ，则有
A(1 2 ) (1 2 ), 从而有(1 2 ) 11 22 ,
( 1 )1 ( 2 )2 0, 1 0, 2 0, 1 2 , 这与题意矛盾，因此 1 2不是A的特征向量. 属于不同特征值的特征向量的线性组合一般不是特征向量.
16
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(4) 当A可逆时，由推论得 0，
A A1( A ) A1( )
A1 A1 1 , 所以1是 A1的特征值，且 也是 A1属于1 的特征向量.
17
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例1.4 设3阶矩阵A的特征值 1,1,2, 为求 A 3A 2E .
解：方阵A的行列式=A的全部特征值之积. 因为的特征值为1,1,2，全不为0，
所以k是 Ak的特征值，且 也是 Ak属于k 的特征向量.
(3) g( A) (a0 E a1 A a2 A2 am Am ) a0 a1 A a2 A2 am Am a0 a1 a22 amm (a0 a1 a22 amm ) g( )
所以 g()是 g( A)的特征值，且 也是 g( A)属于g() 的特 征向量.
3
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二、特征值和特征向量的求法
A (E A) 0 是齐次线性方程组(E A)X 0的解. 如果 是A的对应特征值 的特征向量，则方程组 (E A)X 0有非零解，因此det(E A) 0.
Def4.2 设n阶方阵 A (aij )nn ,令
f () det(E A), 则称 f ( )为方阵A的特征多项式；令
征向量是齐次方程
(E A)x 0
的非零解；矩阵A的属于特征值 的线性无关特征向量就
是齐次方程组(E A)X 0的基础解系.
5
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求n阶方阵A的特征值与特征向量的步骤： (1) 求出n阶方阵A的特征多项式
a11 a12 a1n
E A a21
a22
a2n ;
则n
n
(1) i 1 2 n a11 a22 ann , 其中 aii
i 1
i 1
是A的主对角元之和，称为方阵A的迹，记作tr(A); n
(2) i 12 n A .
i 1
13
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证: 因为 1 , 2 , , n是A的n个特征向量，则有 E A 0 的根为1 , 2 , , n，所以
x111 x222 xmmm 0,
再左乘A，得 x1121 x2222 xm2mm 0, 如此下去，x1131 x2322 xm3mm 0,
x11m
1 1
x2m2 1 2
xmmm1 m
0,
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1 1 12
( x11 , x22 ,
1
,
xm
m
)
2
22
12
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三、特征值和特征向量的性质 1. 特征值的性质 Thm4.1 设A是n阶方阵，则 AT 与A有相同的特征值.
证: E AT (E A)T E A 所以A与 AT的特征多项式相同，故A与AT的特征值相同.
Thm4.2 设n阶矩阵 A (aij )nn 的n个特征值为1, 2 , , n ,
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例1.1
求矩阵
A
3 1
31 的特征值和特征向量.
解: 这是一道非常简单的求特征值和特征向量的题目，意 在熟悉特征值和特征向量的求法和步骤. A的特征多项式
E A 3 1 1 3
(3 )2 1 2 6 8
( 2)( 4)
所以A的特征值为 1 2, 2 4.
Thm4.5 若1, 2 , , m 是方阵A的不同的特征值，而 i1 , i2 ,iri (i 1,2, , m)是属于i 特征值的线性无关的特征 向量，则向量组
11 ,12 ,1r1 , 21 ,22 ,2r2 , .m1 ,m2 ,mrm ,
是线性无关的.
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例1.6 设1 和2 是方阵A的两个不同的特征值，对应的特 征向量依次为1和 2 ，证明1 2 不是A的特征向量. 证：A1 11 , A2 22 ,
3
0
1 ( 2)
1
1 0 2
4 3
( 2)(2 2 1) ( 2)( 1)2
所以A的特征值为1 2, 2 3 1.
当
1
2时，解齐次方程 (2E
3
2E A 4
1 1
0 0
r
A)x
1 0
0
1
0，
0 0
1 0 0
0 0 0
9
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得基础解系 p1 (0, 0, 1)T ,
所以对应于1 2 的全部特征向量为kp1(k 0).
当2 3 1时，解齐次方程 (E A)x 0，
2
EA 4
1 2
0 0
r
1 0 1 2 1 0
1 0 1
0 0 0
得基础解系 p2 (1,2,1)T ,
所以对应于2 3 1的全部特征向量为kp2(k 0).
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1 m 2m
1m1
m1 2
0
m1 m
因为后面一个矩阵的行列式是范德蒙德行列式，当 1,2, ,m 不为零时，它可逆，因此
( x11 , x22 , , xmm ) 0,
因此一定有 x1 0, x2 0, , xm 0.
这就证明了1,2 , ,m是线性无关的.
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2. 特征向量的性质
Thm4.4 属于不同的特征值的特征向量是线性无关的.
证：设1, 2 , , m 是方阵A的互异特征值，1,2 , ,m是分 别属于它们的特征向量，现在证明它们线性无关.
设有数 x1, x2 , , xm，使
x11 x22 xmm 0,
左乘A，得 x1 A1 x2 A2 xm Am 0,
an1 an2 ann
(2) 求出特征方程 E A 0的根 1 , 2 , , n ，即是A的
特征值；
(3) 对于每个特征值 i ，求齐次方程(i E A)X 0 的基 础解系，即是A的属于i的线性无关特特征向量, 基础解系 的线性组合(零向量除外)就是A的属于i 的全部特征向量.
所以A可逆，且 A 2, A 3A 2E A A1 3A 2E 2A1 3A 2E ( A)
则有 ( ) 21 3 2, 故 ( A)的特征值为 (1) 2 11 3 1 2 1
(1) 2 (1)1 3 (1) 2 3
(2) 2 21 3 2 2 3 因此 A 3A 2E (1)(1)(2) 9.
7
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当1 2 时，解齐次方程组(2E A)X 0，即
2
1
3
2
1
3
x1 x2
0 0
1
得基础解系11 1, 即A的属于1 2的线性无关的特征向
量，因此A的属于1 2 的全部特征向量为 k11(k 0).
当2 4 时，解齐次方程组(4E A)X 0 ，即
4
1
3
4
1
23
§4.2 相似矩阵
理学院数学科学系
左乘可逆矩阵PA，是对A施行初等行变换; 右乘可逆矩阵AP，是对A施行初等列变换; 在线性代数中, 这样的乘积P1AP, 称为对A施行相似变换.
相似变换是线性代数中一类十分重要的变换，因为变换 之后的矩阵与原矩阵有多不变量, 也有很多应用.
1 1 例1.3 求矩阵 A 2 2
2 1
解: A的特征多项式 1 1 2
2
2 的特征值和特征向量.
3
(教材P115，例3)
1 13 2
E A 2 2 2 2 42 2
2 1 3 0 10 1
( 2)( 1)2
所以A的特征值为1 2, 2 3 1.
3
x1 x2
源自文库
00
得基础解系12 11, 即A的属于2 4 的线性无关的特征向
量，因此A的属于2 4 的全部特征向量为 k12 (k 0).
8
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1 1 0 例1.2 求矩阵 A 4 3 0的特征值和特征向量.
1 0 2
解: A的特征多项式
1 1 0
E A 4
当1 2时，解齐次方程 (2E A)x 0 ，
3
2E A 2
1 0
2 2
r
1 0
0 1
1 1
2 1 1 0 0 0
11
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得基础解系 p1 (1, 1, 1)T ,
所以对应于1 2 的全部特征向量为kp1(k 0).
当2 3 1时，解齐次方程 (E A)x 0，
的特征值(m是正整数)；
(4) 当A可逆时，1是A1 的特征值.
且 也是矩阵kA，Ak，g( A)，A1的特征向量.
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证：根据定义有 A , (1) (kA) k( A ) k() (k) , 所以k 是kA的特征值，且 也是kA属于k 的特征向量. (2) Ak Ak1( A ) ( Ak1 ) k ,
1
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§4.1 特征值和特征向量
设 是一个n元列非零向量，A为n阶矩阵， 问题：向量 , A是否会线性相关？
换一个角度问：能否找到一个数 ，使得 与A 相等？
一、特征值和特征向量的概念 二、特征值和特征向量的求法 三、特征值和特征向量的性质
2
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一、特征值和特征向量的概念
Def4.1 设A为n阶方阵，若有数 和n元非零列向量 ，使 得 A 成立，则称数 是方阵A的特征值， 称向量 为方阵A的属于(或对应于)特征值 的特征向量.
特征向量是非零的向量.
特征值与特征向量是互相对应的，数 是特征值就一定有
非零向量与它对应；反之，非零向量 是特征向量就一定
有一个数与它对应. 一个特征向量对应唯一一个特征值. 一个特征值对应的特征向量有无穷多个, 因此我们关心线 性无关的特征向量.
2
EA 2
1 1
2 2
r
2 0
1 0
2 0
2 1 2
0 0 0
得基础解系 p2 (1, 2, 0)T , p3 (0, 2, 1)T ,
所以对应于2 3 1的全部特征向量为kp2 lp3( 0).
多重特征值对应的线性无关特征向量的个数有可能等于
重数，也有可能不等于重数.
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第四章 特征值和特征向量、矩阵 的相似对角化
工程技术和经济管理的许多定量分析问题，如振动问题 和稳定问题、动态经济模型，常可归结为求一个方阵的 特征值和特征向量. 特征值和特征向量是矩阵的两个重 要概念. 另外，将矩阵化为简单形式是线性代数的一个 重要内容，本章介绍将方阵相似化为对角阵. 本章重点： 特征值和特征向量(定义、求法、性质) 相似的定义和性质 方阵相似化为对角阵的条件和方法 实对称矩阵关于特征值和特征向量的基本性质