线性规划问题的解法比较与分析

线性规划问题的解法比较与分析

【摘要】 总结了线性规划问题数学模型各种解法的优势和局限性，结合具体实例介绍一种适用性强，便于理解和记忆的新解法—新两阶段的解题思想和步骤，并通过初等行变换对单纯形法进行了进一步的改进。 关键词： 新两阶段法；换基迭代； 单纯形法； 初等行变换

1.问题的提出

线性规划问题的数学模型的一般表示形式为：

112211112211211222221122

12,max(min)(,)(,)(,),,0n n

n n n n m m mn n m

n z c x c x c x a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b

x x x =++++++≤=≥⎧⎪+++≤=≥⎪⎪⎨

⎪+++≤=≥⎪≥⎪

⎩

由于有的线性规划问题目标函数求“最大值”，有的求“最小值”；约束条件中数量约束部分有的为“等式”约束，有的为“不等式”约束，故在解线性规划问题数学模型时，除图解法外，通常先规定线性规划问题的标准形式，然后给出标准形式的解法。在此我们规定，线性规划问题数学模型的标准形式为：

112211112211

21122222

1122

12,max ,,0n n

n n n n m m mn n m

n z c x c x c x a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b

x x x =++++++=⎧⎪+++=⎪⎪

⎨

⎪+++=⎪≥⎪

⎩

且：0(1,2,

)i

b i m ≥=

2.新两阶段法

以往，根据标准形式的不同形式的不同特点需要采用不同的解法。常用方法有：单纯形方法,大M 法，两阶段法及对偶单纯形方法等等。

在吕为的《线性规划数学模型的一种新解法》【1】

一文中，给出了适用性强，便于理解和记忆

的新解法——新两阶段法，下面我们结合例题介绍其解题方法和步骤： 例1：求解线性规划问题：

123

123123

13max 428228212..230(1,2,3)

j z x x x x x x x x x s t x x x j =-+-++≥⎧⎪-+≤⎪⎨

-=-⎪⎪≥=⎩

1. 标准化

新两阶段法标准化时必须引入m 个松弛变量，若某约束条件在原始问题中为等式约束，引入松弛变量的系数为0.因而标准形中共有n+m 个决策变量。例1标准化为：

123

12341235136max 428228

212..2030(1,2,,6)

j z x x x x x x x x x x x s t x x x x j =-+-++-=⎧⎪-++=⎪⎨

-++=⎪⎪≥=⎩ 显然标准形中无现成单位阵作初始可行基，可以采用大M 法或两阶段法先找出第一个单位阵作可行基，而用新两阶段法相对简单一些。 2. 列表

表1：

其中第一行为标准形式目标函数中各决策变量系数的相反数和常数，最后一行为虚拟检验数行，即是松弛变量系数不等于1的各约束条件决策变量系数不等于1的各约束条件决策变量系数的相反数之和。 表2

：

若表1得到的虚拟检验数行所有元素均为0，说明松弛变量系数恰为单位阵，可取其作初始可行基；若有非0元素，需进行换基迭代；若无负虚拟检验数，且不全为0，说明该线性规划问题无可行解。

取表1虚拟检验数行最小者-3<0，根据单纯形法选取主元，换基迭代的表2， 表3：

继续迭代得表3，因其虚拟检验数均为0，即出现单位阵作为可行基，去掉最后一行，继续换基迭代，得表4。 表4：

表4所有检验数均大于等于0，所以为最优单纯性表，即例1的最优解为：

1235,11,13x x x ===

最优值为：

max 11z =

3.对单纯形法的改进

通常我们用单纯形法解决线性规划问题时，往往计算过程复杂易出错，于是我们通过对系数增广矩阵的初等行变换来对单纯行法进行改进，以达到提高计算效率的目的。我们通过一个例题来讲述这个改进方法： 例2：求解

123

1234123513min 3211423..210(1,2,,5)

i z x x x x x x x x x x x s t x x x i =-++-++=⎧⎪-++-=⎪⎨

-+=⎪⎪≥=⎩ 首先，对系数增广矩阵做保持可行性的初等行变换：

121101132010103001212412013010011010011201001201001201001⎡-⎤⎡-⎤⎡-⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥--→-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦

然后，安排初始单纯形表如下：

于是，得到最优解*

(4,1,9,0,0)T x

=及最优值*2z =-

而该例用书上的大M 法进行了3次迭代才得到最优解；用两阶段法进行了2次迭代才完成了第一阶段，然后进入了第二阶段，又进行了1次迭代才求得最优解。

4.各解法的优势和局限性

通常，根据标准形式的不同形式的不同特点需要采用不同的解法。教材中给出的方法有：图解法，单纯形方法,大M 法，两阶段法及对偶单纯形方法等等。每种方法各有其优势和局限性。现对各方法的优缺点进行比较： i.

图解法：

优点：简单直观，有助于了解线性规划问题求解的基本原理 缺点：当变量数多于三个以上时无法求解

ii.

单纯形法：

优点：解法简单，易于掌握

缺点：1.只适用于标准形约束方程组系数矩阵A 中含有现成的m 阶单位子阵为初始可行

基的情况， 2.计算步骤繁杂；

iii.

对偶单纯形法：

优点：解法简单，易于掌握

缺点：只适用于一小部分无现成单位阵的情况；

iv.

大M 法

优点：适用于所有的线性规划模型，

缺点：1.需引用人工变量，使计算量大幅度增加，

2.使用大M 法时事先无法确定M 究竟多大才能保证人工变量出基，手算时工作量大

3.上机计算时，选取过分大的M 会使计算产生困难或误差；

v.

两阶段法

优点：适用于所有的线性规划模型，

缺点：当第一阶段完成进入第二阶段时，需重新计算检验数才行，使计算量和计算难度

增加。

vi.

新两阶段法 优点：

1. 通用性强，适用于所以线性规划问题数学模型。

2. 克服了大M 法中M 无法确定，决策变量增加，检验数难于计算等弱点。

3. 两个阶段所用的换基迭代及判优的方法前后一致，连贯性强，便于理解，记忆和计

算。