第3章多维随机变量及其分布

f(x, y)
1
e ,
1 2(12
[ )
(
x1 12
)2
2
(
x1 )(y 12
2
)

(
y
2 22
)2
]
212 1 2
其中，1、2为实数，1>0,2>0, | |<1，则称(X, Y) 服从参数1,2, 1, 2, 的二维正态分布，可记为
元函数f(Dx1,x2,x.1.,...x. nx)n使 :得a对1 任x意的bn1元,...立a方n 体x bn
有
PX1...X n D
...
D
f (x1, x2 ,...xn )dx1...dxn
则称(X1,X2,...Xn)为n维连续型随机变量，称f(x1,x2,...xn) 为(X1,X2,...Xn)的概率密度。
A6
1
(2)F (1,1) 16e(2x3y)dxdy (1 e2 )(1 e3) 0 0
(3) (X, Y)落在三角形区域D：x0, y0, 2X+3y6 内的概率。
解 P{(X ,Y ) D} 6e(2x3y)dxdy
D
3 22x3
dx 6e(2x3y)dy
F ( x,) lim F ( x, y) 0 y
(2)单调不减 对任意y R, 当x1<x2时， F(x1, y) F(x2 , y)； 对任意x R, 当y1<y2时， F(x, y1) F(x , y2).
(3)右连续 对任意xR, yR,
F(x,
y0

0)
... ... ... ... ... ...
联合分布律的性质
(1) pij 0 , i, j＝1, 2, … ； (2)
pij＝1
i1 j1
例2. 袋中有两只红球，三只白球，现不放回摸球二次。 令
1 第一次摸到红球 ,求(X,Y)的分布律。
X 0 第一次摸到白球 P{X 1,Y 1} P22
中的概率。如图阴影部分：
对于(x1, y1), (x2, y2)R2, (x1< x2， y1<y2 ), 则 P{x1<X x2， y1<yy2 }
＝F(x2, y2)－F(x1, y2)－ F (x2, y1)＋F (x1, y1).
(x1, y2)
(x2, y2)
(x1, y1)
(x2, y1)
第三章 多维随机变量及其分布
3.1 二维随机变量 3.2 边缘分布 3.3 条件分布 3.4 相互独立的随机变量 3.5 (多维)随机变量函数的分布
3.1 二维随机变量
引例： 实例1 炮弹的弹着点的位
置 (X,Y) 就是一个二维随
机变量.
实例2 考查某一地区学 前儿童的发育情况, 则儿
童的身高 H 和体重 W 就 构成二维随机变量(H,W).
3.4 相互独立的随机变量
定义: 称随机变量X与Y独立，如果对任意实数a<b,c<d， 有
P{a<Xb,c<Yd}=P{a<Xb}P{c<Yd} 即事件{a<Xb}与事件{c<Yd}独立，则称随机变量X 与Y独立。

lim
yy0
F(x,
y)

F(x,
y0
).
F(x0

0,
y)

lim
xx0
F(x,
y)

F(x0 ,
y);
(4)矩形不等式 对于任意(x1, y1), (x2, y2)R2, (x1< x2， y1<y2 ),
F(x2, y2)－F(x1, y2)－ F (x2, y1)＋F (x1, y1)0.
定义: 若(X1,X2,...Xn)的全部可能取值为Rn上的有限或可 列无穷多个点，称(X1,X2,...Xn)为n维离散型的，称
P{X1=x1,X2=x2,...Xn=xn} ，(x1,x2,...xn) 为n维随机变量(X1,X2,...Xn)的联合分布律。
定义: 对于n维随机变量(X1,X2,...Xn)，如果存在非负的n
三.联合分布律
定义：若二维随机变量(X, Y)只能取至多可列个值(xi, yj), (i, j＝1, 2, … )，则称(X, Y)为二维离散型随机变量。
定义：若二维离散型随机变量(X, Y) 取 (xi, yj)的概率 为pij, 则称
P{X＝xi, Y＝ yj,}＝ pij ，(i, j＝1, 2, … )， 为二维离散型随机变量(X, Y)的分布律，或随机变量 X与Y的联合分布律.可记为
y0
0x y 0 yx
其它
二、边缘分布律 若随机变量X与Y的联合分布律为 (X, Y)～ P{X＝xi, Y＝ yj,}＝ pij ，i, j＝1, 2, … 则称
P{X＝xi}＝pi.＝ pij ，i＝1, 2, …
为(X, Y)关于X的边缘分布j律1 ；
P{Y＝ yj}＝p.j＝ pij，j＝1, 2, … i1
(X ,Y)
~
N
(
1
,

2
,

2 1
,

2 2
,

)
分布函数的概念可推广到n维随机变量的情形。
事实上，对n维随机变量(X1, X2, … , Xn)， F(x1, x2, … , xn)＝P(X1 x1, X2 x2, … , Xn xn)
称为的n维随机变量(X1, X2, … , Xn)的分布函数，或随机变量 X1, X2, … , Xn的联合分布函数。
一. n维随机变量
定义: 将n个随机变量X1，X2，...,Xn构成一个 n维向量 (X1,X2,...,Xn)称为n维随机变量。
说明： 1. 一维随机变量X：R1上的随机点坐标 二维随机变量(X,Y)：R2上的随机点坐标 n维随机变量(X1,X2,…,Xn)：Rn上的随机点坐标 2. 二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X、Y有关，而且还依赖于X、 Y的相互关系。 3.多维随机变量的研究方法也与一维类似，用分布函数、概 率密度、或分布律来描述其统计规律
反之，任一满足上述四个性质的二元函数F(x, y)都 可以作为某个二维随机变量(X, Y)的分布函数。
例1.已知二维随机变量(X,Y)的分布函数为
F(x, y) A[B arctg( x)][C arctg( y )]
2
3
1)求常数A，B，C。 2)求P{0<X<2,0<Y<3}
解: F (, )
2F(x, y) f (x, y); xy
(4) 对于任意平面区域G R2,
P{(X ,Y ) G} f (x, y)dxdy.
G
例3. 设
1 (X ,Y ) ~ f (x, y) 0
求: P{X>Y}
0 x 1,0 y 1 others
P{X
非负可积函数f (x, y)，使对(x, y)R2，其分布
函数
xy
F(x, y) f (u, v)dudv,

则称 (X, Y)为二维连续型随机变量，f(x,y)为(X, Y)的密度函数(概率密度)，或X与Y的联合密度函 数，可记为
(X, Y)～ f (x, y)， (x, y)R2
P{( X ,Y } G} SG SD
例5.设(X,Y)服从如图区域D 上的均匀分布，
(1)求(X,Y)的概率密度； (2)求P{Y<2X} ； (3)求F(0.5,0.5)
SG
1
1 2
3 2
1
1 4
S3

1 2
1
1 2

1 4
SD 1
(2)二维正态分布N(1, 2, 1, 2, ) 若二维随机变量(X, Y)的密度函为
例1.已知(X,Y)的分布函数为
1 ex xe y
F (x, y) 1 ey yey

0
求FX(x)与FY(y)。
解：FX(x)=F(x,)=
1
e 0

x
x0 x0
1 e y ye y y 0
FY(y)=F(,y)=

0

A[ B

][C
2

] 1
2
F (, y) A[B ][C arctg( y )] 0
2
3
F ( x,) A[B arctg( x )][C ] 0
2
2

1
B C 2
A2
P{0 X 2,0 Y 3} F(0,0) F(2,3) F(0,3) F(2,0) 1 16
0
0
1 7e6
3. 两个常用的二维连续型分布 (1)二维均匀分布
若二维随机变量(X, Y)的密度函数为
f
( x,
y)


D的1面积，( x,
y)

D

R2
0
, 其它
则称(X, Y)在区域D上(内) 服从均匀分布。
易见，若（X，Y）在区域D上(内) 服从均匀分布， 对D内任意区域G，有
为(X, Y)关于Y的边缘密度函数。 易知N(1, 2, 12, 22, )的边缘密度函数fX(x)是N(1, 12)的密度函数，而fX(x)是N(2, 22)的密度函数，故 二维正态分布的边缘分布也是正态分布。
例3.设(X,Y)的概率密度为
f
( x,
y)

c
x2 y x
二. 联合分布函数
设(X, Y)是二维随机变量，(x, y)R2, 则称
F(x,y)=P{Xx, Yy} 为(X, Y)的分布函数，或X与Y的联合分布函数。
几何意义：分布函数F( x0 , y0)表 示随机点(X,Y)落在区域
x, y, x x0 , y y0
Y

1 0
第二次摸到红球 第二次摸到白球
Y X
1
0
13
10 10 33
P52
P{X P{X
1,Y 0} 0,Y 1}
23 3P522 P52
P{X

0,Y

0}
P32 P52
10
四. 二维连续型随机变量及其密度函数
1、定义 对于二维随机变量(X, Y)，若存在一个
一、边缘分布函数
3.2 边缘分布
FX(x)＝F
(x,
+)＝
lim
y
F(x,
y)
＝P{Xx}
称为二维随机变量(X, Y)关于X的边缘分布函数；
FY(y)＝F (+, y)＝
lim F(x, y) ＝P{Yy}
x
称为二维随机变量(X, Y)关于Y的边缘分布函数.
边缘分布实际上是高维随机变量的某个(某些)低 维分量的分布。
故关于X和Y的分布律分别为：
X1 0
Y10
P 2/5 3/5
P 2/5 3/5
三、边缘密度函数 设(X, Y)～f (x, y), (x, y)R2, 则称

f X (x)
f (x, y)dy

为(X, Y)关于X的边缘密度函数；
同理，称

fY ( y)
f (x, y)dx

0 others
（1）求常数c;(2)求关于X的边缘概率密度
1x
解:(1)由归一性 dx cdy 1 c 6 0 x2

0 x 0 or x 1
(2) fX (x) f (x, y)dy

x
6dy 6(x x2 ) 0 x 1
x2
分布函数F(x, y)具有如下性质： (1)归一性 对任意(x, y) R2 , 0 F(x, y) 1,
且 F (, ) lim F ( x, y) 1 x y F (,) lim F ( x, y) 0 x y F (, y) lim F ( x, y) 0 x
Y}
1
x
dx 1 dy

1
00
2
例4. 设
Ae(2x3y) , x 0, y 0
(X ,Y ) ~ f (x, y)
0, 其它
求：(1)常数A；(2) F(1,1)；
(3) (X, Y)落在三角形区域D：x0, y0, 2X+3y6
内的概率。
解：(1)由归一性
为(X, Y)关于Y的边缘分布律。
边缘分布律自然也满足分布律的性质。
例2.已知(X,Y)的分布律为 x\y 1 0 1 1/10 3/10 0 3/10 3/10
求X、Y的边缘分布律。 解：
x\y 1 0 pi. 1 1/10 3/10 2/5 0 3/10 3/10 3/5
p.j 2/5 3/5
(X, Y)～ P{X＝xi, Y＝ yj,}＝ pij ，(i, j＝1, 2, … )，
二维离散型随机变量的分布律也可列表表示如下:
X Y y1
x1 p11 x2 p21
y2 … yj …
p12 ... P1j ... p22 ... P2j ...
xi
pi1 pi2 ... Pij ...
... ...