计及离心力的摩擦型带传动受力及压轴力计算方法
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In the belt drive, the belt gets the centrifugal force, a kind of inertia force. As a result, the centripetal force is indwelled the whole belt. At the flexure part, the centrifugal force weakens the carrying capacity. The force relation is analyzed. The expression of centrifugal force is educed based on the force superposition principle. The expression of pull is educed according to the normal and tangent force balance of little belt piece. The expression of V-belt equivalent friction coefficient is introduced. The localization of axial force calculation is pointed out. A simplified formula of axial force is educed. A precise calculating method is presented. The axial force is analyzed on two upright directions, and then analyzed be integral method respectively. At last, the axial force on two directions is composed. The educing process and the calculating method of axial force can be used as the complementarity of relative teaching material. Keywords：belt drives；centrifugal force；axial force；multi-body dynamics；Machine Design；Machine Principle
参考文献
[1] 王永军, 常彦伟, 张国忠. 对带传动设计过程中离心力的剖析. 煤矿机械, 2006, 27(12):74-75 [2] 綦耀光, 刘峰. 机械设计基础. 东营: 中国石油大学出版社, 2006.2 [3] 邱香, 廖林清, 谢明, 孙北奇. 关于 V 带传动当量摩擦系数计算公式的修正. 重庆工学院学报, 2007,
θ cos
(13)
2
2
其中，φ 为摩擦力方向角，即摩擦力与周向切线的夹角，θ 为皮带轮槽角（见图 3、4）。
将式 3、4 代入式 12，整理后可得带所能传递的最大有效拉力 Fe max：
Fe max
=
2F0
e fα e fα
−1 +1
(14)
可见，最大有效拉力与初始张紧力、包角、摩擦系数、带速、带密度等有关。易得出临
α sin
2
(21)
如果将带轮、带弯曲部分当成整体研究对象，并且忽略两者之间的摩擦，则带传动工作
时的压轴力大小及方向为：
FQ = F12 + F22 − 2F1F2 cosα
ς
=
⎛ arcsin ⎜⎜⎝
F1 sinα FQ
⎞ ⎟⎟⎠ −
π
−α 2
(22)
其中， ς 为偏向紧边一方的角度。
在微段带受力分析的基础上进行的计算公式较复杂，不便列出。
F2 F − qv2 0
ln
F1 − qv2 F2 − qv2
=
fα
F1 − qv2 = e fα
(12)
F2 − qv2
其中，e 为自然对数的底，f 为摩擦系数（V 带的为当量摩擦系数 fv），α 为带轮上的包
角。V 带的当量摩擦系数 fv 可按下式计算[3]：
fv
=
θ sin
f cosϕ + f sinϕ
1．引言
离心力是惯性力，是为了力平衡计算而假想的力。它只有受力物体，而无施力物体[1]。 在高速带传动中，带的离心力是不能忽略的。由于带弯曲部分做圆周运动而使带受到的离心 拉力存在于整条带上，在带弯曲部分，离心力还使带与带轮间的正压力减小，影响承载能力。 因此，在进行带传动相关计算时，应考虑离心力的作用。在相关教材中，只有计算公式，而 无推导过程。有必要对相关公式进行必要的分析与推导。
轮间的极限摩擦力为 fdFN（见图 2），则沿法向和切向进行力的分析，可得力平衡方程：
dFN
+
dFC
=
F
sin
dα 2
+
(F
+
dF )sin
dα 2
(7)
fdFN
+ F cos dα 2
= (F
+ dF ) cos dα 2
(8)
-2-
http://www.paper.edu.cn
其中，FN 为带与带轮之间的正压力，f 为带与带轮之间的摩擦系数。因 dα 很小，也可
界状态下紧边拉力和松边拉力为：
F1
=
Fe max
⋅
e
e fα fα −1
+
qv 2
(15)
F2
=
Fe max
⋅
e
1 fα −1
+
qv 2
(16)
可见，离心拉力是紧边拉力和松边拉力的一部分。
图 3 摩擦力方向角 Fig. 3 the direction angle of friction force
-3-
ratio V-belt transmission[C]// SAE 730003 Detroit. USA: [s. n. ], 1973: 21-29 [6] Oliver L R, Henderson D D. Torque sensing variable sped V-belt drive[C]// Construction and Industrial
2Fc
dα sin
2
=
dFC
=
q ( Rdα ) v2
R
=
qv 2dα
(5)
-1-
http://www.paper.edu.cn
其中，q 为带单位长度质量，R 为带轮基准直径。因 dα 很小，可取 sin dα = dα ，得： 22
Fc = qv2
(6)
图 1 离心力分析 Fig. 1 the analysis of centrifugal force
近似取 sin
dα 2
=
dα 2
、 cos
dα 2
= 1 。略去二阶微量，考虑到微段离心力（式
3），于是有：
( ) dFN = F − qv2 dα
(9)
fdFN = dF
(10)
即：
F
dF − qv2
=
fdα
(11)
两边积分并整理可得计及离心力的柔韧体摩擦欧拉公式：
∫ ∫ F1 dF = α fdα
http://www.paper.edu.cn
计及离心力的摩擦型带传动受力及压轴力计算方法
李春明
中国石油大学(华东)机电工程学院机械设计系，山东东营（257061）
E-mail：Lchming@126.com, mingming000111@sina.com.cn
摘 要：带传动中带受到的离心力为惯性力，由此受到的离（向）心拉力存在于整条带上， 在弯曲部分，使带与带轮间的正压力减小，从而影响承载能力。分析了带的基本受力关系。 基于力的叠加原理推导了离心力的表达式。根据微段带的法向、切向受力平衡，推导了拉力 的表达式。介绍了 V 带当量摩擦系数的计算公式，指出了相关文献压轴力计算方法的局限 性。推导出了摩擦型带传动压轴力的一种简化计算公式，并提出了一种详细计算方法：在进 行微段带的受力分析时将轴向压力分解在两个正交方向上，然后对两组算式沿带长进行积 分，求得两个方向上的压轴力，最后将两力合成为带传动作用在带轮上的压轴力。本文提供 的推导过程及提出的压轴力计算方法可作为相关教材教学内容的补充。 关键词：带传动，离心力，压轴力，多体动力学，机械原理，机械设计 中图分类号：TH132.3
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2.4 最大应力
图 4 带轮槽角 Fig.4 the angle of belt wheel
带在工作过程中，截面上的应力为非对称循环变应力，直边部分只受到拉应力（包括离 心拉力），弯曲部分还受到弯曲应力。最大应力出现在紧边与小带轮接触处（小带轮主动则 为绕入，小带轮从动则为绕出），其值为紧边拉应力、弯曲应力之和。
-4-
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Fj
=
F1α1 2
⎜⎛
θ cos
−
⎜2
⎜⎜⎝
sin
θ 2
+
θ f sin
2 θ f cos 2
⎟⎞ ⎟ ⎟⎟⎠
(19)
θ
cos
Fd
= (F1 − F2 )
2 2f
(20)
其中，α1 为动弧区包角。 以上介绍的压轴力计算公式在推导过程中存在局限性。各微段带的轴向压力方向不同，
Machinery Meeting. Milwaukee: [s. n. ], 1972: 2130-2137 [7] 孙北奇, 廖林清, 谢明, 屈翔. V 带传动中轴向压力的研究. 重庆工学院学报, 2007, 21(6):24-28 [8] 邱宣怀, 郭可谦, 吴宗泽, 汤绍模, 郭芝俊, 黄纯颖, 杨景蕙. 机械设计（第四版）. 高等教育出版社,
21(4):40-43 [4] Wodey W S．Designing adjustable-sped V-belt drives for farm implements[c]// the SAE National Tractor
Meeting. Milwaukee: Wis, 1955: 321-333 [5] Oliver L R, Homung K G, Swenson J E, et a1. Design equations for a speed and torque controlled variable
2．摩擦型带传动受力分析
对基本受力关系、离心力、最大有效拉力、轴向压力进行分析。
2.1 基本受力关系
根据带的工作原理，带传动的有效拉力 Fe、紧边拉力 F1、松边拉力 F2、离心力 FC 和初 拉力 F0 间的关系式为：
F0 = (F1 + F2)/2 – FC
(1)
Fe = F1 – F2
(2)
F1 = F0 + Fe / 2 + FC
1997, 182-184
The expression of pull force and axial force for the friction belt drive counting the centrifugal force
Li Chunming
Department of Machine Design，School of Mechatronic Engineering，China University of Petroleum (East China)，Dongying，Shandong (257061) Abstract
2.3 最大有效拉力
图 2 微段带的受力分析 Fig.2 the analysis of mini belt piece
当其它条件不变且初拉力一定时，带与带轮之间的摩擦力有一极限值。该值在带处于打
滑（带与带轮之间全面的相对运动）临界状态时出现，此时带传动的有效拉力亦达最大值。
截取微段带为分离体，设两端拉力分别为 F、F+dF，带轮给带微段的正压力为 dFN，带与带
4．结束语
《机械设计》、《机械原理》的教学中仍存在一些需要补充和完善的内容，比如本文涉及 的摩擦型带传动中离心力和压轴力计算。将其较详细地计算，有助于对高速带传动进行动力 学分析，也有助于对轴承寿命的较准确计算。本文推导的紧边拉力和松边拉力表达式，以及 压轴力计算方法具有普遍意义。
-5-
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⎟⎞ ⎟ ⎟⎟⎠
(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ8)
只有在动弧区中 F 才为变量，满足欧拉公式，而在静弧区中 F 为常量，不满足欧拉公
式。将皮带包角区域分为动弧和静弧两部分，根据带轮在静弧区和动弧区的运动特性，在静
弧区可大致认为摩擦力方向角 φ=900，动弧区摩擦力方向角 φ =00。
如果将静弧区和动弧区分开研究，则静弧区轴向压力 Fj 和动弧区轴向压力 Fd 分别为[7]：
(3)
F2 = F0 – Fe / 2 + FC
(4)
2.2 离心力
图 1 中，取一微段带 dl，其对应的圆心角为 dα。微段带以速度 v、半径为 R 绕带轮圆
心作圆周运动。根据力的叠加原理，只考虑圆周运动及离心力的作用，则微段带两端面受到
离心拉力 FC 的作用。在法向，根据达朗伯原理可列出力平衡方程[2]：
3．摩擦型带传动的压轴力计算方法
文献[4-6]给出从动轮的轴压力公式为：
⎜⎛ cos θ − f sinϕ sin θ ⎟⎞
Fn
=
(F1
−
F2
)⎜
⎜⎜⎝
2 2 f cosϕ
2⎟ ⎟⎟⎠
(17)
主动轮的轴压力公式为：
Fn
=
F1α 2
⎜⎛ cos θ −
⎜2
⎜⎜⎝
sin
θ 2
+
f f
θ sin
2 θ cos 2
不能采用积分的方法求解。须采用正确的方法，即：在进行微段带的受力分析时将轴向压力
分解在两个正交方向上，然后对两组算式沿带长进行积分，求得两个方向上的压轴力，最后
将两力合成为带传动作用在带轮上的压轴力。
在通常的设计计算中，可以将带张紧时的初拉力产生的压轴力近似代替带传动工作时的
压轴力[2]：
FQ
=
2F0
参考文献
[1] 王永军, 常彦伟, 张国忠. 对带传动设计过程中离心力的剖析. 煤矿机械, 2006, 27(12):74-75 [2] 綦耀光, 刘峰. 机械设计基础. 东营: 中国石油大学出版社, 2006.2 [3] 邱香, 廖林清, 谢明, 孙北奇. 关于 V 带传动当量摩擦系数计算公式的修正. 重庆工学院学报, 2007,
θ cos
(13)
2
2
其中，φ 为摩擦力方向角，即摩擦力与周向切线的夹角，θ 为皮带轮槽角（见图 3、4）。
将式 3、4 代入式 12，整理后可得带所能传递的最大有效拉力 Fe max：
Fe max
=
2F0
e fα e fα
−1 +1
(14)
可见，最大有效拉力与初始张紧力、包角、摩擦系数、带速、带密度等有关。易得出临
α sin
2
(21)
如果将带轮、带弯曲部分当成整体研究对象，并且忽略两者之间的摩擦，则带传动工作
时的压轴力大小及方向为：
FQ = F12 + F22 − 2F1F2 cosα
ς
=
⎛ arcsin ⎜⎜⎝
F1 sinα FQ
⎞ ⎟⎟⎠ −
π
−α 2
(22)
其中， ς 为偏向紧边一方的角度。
在微段带受力分析的基础上进行的计算公式较复杂，不便列出。
F2 F − qv2 0
ln
F1 − qv2 F2 − qv2
=
fα
F1 − qv2 = e fα
(12)
F2 − qv2
其中，e 为自然对数的底，f 为摩擦系数（V 带的为当量摩擦系数 fv），α 为带轮上的包
角。V 带的当量摩擦系数 fv 可按下式计算[3]：
fv
=
θ sin
f cosϕ + f sinϕ
1．引言
离心力是惯性力，是为了力平衡计算而假想的力。它只有受力物体，而无施力物体[1]。 在高速带传动中，带的离心力是不能忽略的。由于带弯曲部分做圆周运动而使带受到的离心 拉力存在于整条带上，在带弯曲部分，离心力还使带与带轮间的正压力减小，影响承载能力。 因此，在进行带传动相关计算时，应考虑离心力的作用。在相关教材中，只有计算公式，而 无推导过程。有必要对相关公式进行必要的分析与推导。
轮间的极限摩擦力为 fdFN（见图 2），则沿法向和切向进行力的分析，可得力平衡方程：
dFN
+
dFC
=
F
sin
dα 2
+
(F
+
dF )sin
dα 2
(7)
fdFN
+ F cos dα 2
= (F
+ dF ) cos dα 2
(8)
-2-
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其中，FN 为带与带轮之间的正压力，f 为带与带轮之间的摩擦系数。因 dα 很小，也可
界状态下紧边拉力和松边拉力为：
F1
=
Fe max
⋅
e
e fα fα −1
+
qv 2
(15)
F2
=
Fe max
⋅
e
1 fα −1
+
qv 2
(16)
可见，离心拉力是紧边拉力和松边拉力的一部分。
图 3 摩擦力方向角 Fig. 3 the direction angle of friction force
-3-
ratio V-belt transmission[C]// SAE 730003 Detroit. USA: [s. n. ], 1973: 21-29 [6] Oliver L R, Henderson D D. Torque sensing variable sped V-belt drive[C]// Construction and Industrial
2Fc
dα sin
2
=
dFC
=
q ( Rdα ) v2
R
=
qv 2dα
(5)
-1-
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其中，q 为带单位长度质量，R 为带轮基准直径。因 dα 很小，可取 sin dα = dα ，得： 22
Fc = qv2
(6)
图 1 离心力分析 Fig. 1 the analysis of centrifugal force
近似取 sin
dα 2
=
dα 2
、 cos
dα 2
= 1 。略去二阶微量，考虑到微段离心力（式
3），于是有：
( ) dFN = F − qv2 dα
(9)
fdFN = dF
(10)
即：
F
dF − qv2
=
fdα
(11)
两边积分并整理可得计及离心力的柔韧体摩擦欧拉公式：
∫ ∫ F1 dF = α fdα
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计及离心力的摩擦型带传动受力及压轴力计算方法
李春明
中国石油大学(华东)机电工程学院机械设计系，山东东营（257061）
E-mail：Lchming@126.com, mingming000111@sina.com.cn
摘 要：带传动中带受到的离心力为惯性力，由此受到的离（向）心拉力存在于整条带上， 在弯曲部分，使带与带轮间的正压力减小，从而影响承载能力。分析了带的基本受力关系。 基于力的叠加原理推导了离心力的表达式。根据微段带的法向、切向受力平衡，推导了拉力 的表达式。介绍了 V 带当量摩擦系数的计算公式，指出了相关文献压轴力计算方法的局限 性。推导出了摩擦型带传动压轴力的一种简化计算公式，并提出了一种详细计算方法：在进 行微段带的受力分析时将轴向压力分解在两个正交方向上，然后对两组算式沿带长进行积 分，求得两个方向上的压轴力，最后将两力合成为带传动作用在带轮上的压轴力。本文提供 的推导过程及提出的压轴力计算方法可作为相关教材教学内容的补充。 关键词：带传动，离心力，压轴力，多体动力学，机械原理，机械设计 中图分类号：TH132.3
http://www.paper.edu.cn
2.4 最大应力
图 4 带轮槽角 Fig.4 the angle of belt wheel
带在工作过程中，截面上的应力为非对称循环变应力，直边部分只受到拉应力（包括离 心拉力），弯曲部分还受到弯曲应力。最大应力出现在紧边与小带轮接触处（小带轮主动则 为绕入，小带轮从动则为绕出），其值为紧边拉应力、弯曲应力之和。
-4-
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Fj
=
F1α1 2
⎜⎛
θ cos
−
⎜2
⎜⎜⎝
sin
θ 2
+
θ f sin
2 θ f cos 2
⎟⎞ ⎟ ⎟⎟⎠
(19)
θ
cos
Fd
= (F1 − F2 )
2 2f
(20)
其中，α1 为动弧区包角。 以上介绍的压轴力计算公式在推导过程中存在局限性。各微段带的轴向压力方向不同，
Machinery Meeting. Milwaukee: [s. n. ], 1972: 2130-2137 [7] 孙北奇, 廖林清, 谢明, 屈翔. V 带传动中轴向压力的研究. 重庆工学院学报, 2007, 21(6):24-28 [8] 邱宣怀, 郭可谦, 吴宗泽, 汤绍模, 郭芝俊, 黄纯颖, 杨景蕙. 机械设计（第四版）. 高等教育出版社,
21(4):40-43 [4] Wodey W S．Designing adjustable-sped V-belt drives for farm implements[c]// the SAE National Tractor
Meeting. Milwaukee: Wis, 1955: 321-333 [5] Oliver L R, Homung K G, Swenson J E, et a1. Design equations for a speed and torque controlled variable
2．摩擦型带传动受力分析
对基本受力关系、离心力、最大有效拉力、轴向压力进行分析。
2.1 基本受力关系
根据带的工作原理，带传动的有效拉力 Fe、紧边拉力 F1、松边拉力 F2、离心力 FC 和初 拉力 F0 间的关系式为：
F0 = (F1 + F2)/2 – FC
(1)
Fe = F1 – F2
(2)
F1 = F0 + Fe / 2 + FC
1997, 182-184
The expression of pull force and axial force for the friction belt drive counting the centrifugal force
Li Chunming
Department of Machine Design，School of Mechatronic Engineering，China University of Petroleum (East China)，Dongying，Shandong (257061) Abstract
2.3 最大有效拉力
图 2 微段带的受力分析 Fig.2 the analysis of mini belt piece
当其它条件不变且初拉力一定时，带与带轮之间的摩擦力有一极限值。该值在带处于打
滑（带与带轮之间全面的相对运动）临界状态时出现，此时带传动的有效拉力亦达最大值。
截取微段带为分离体，设两端拉力分别为 F、F+dF，带轮给带微段的正压力为 dFN，带与带
4．结束语
《机械设计》、《机械原理》的教学中仍存在一些需要补充和完善的内容，比如本文涉及 的摩擦型带传动中离心力和压轴力计算。将其较详细地计算，有助于对高速带传动进行动力 学分析，也有助于对轴承寿命的较准确计算。本文推导的紧边拉力和松边拉力表达式，以及 压轴力计算方法具有普遍意义。
-5-
http://www.paper.edu.cn
⎟⎞ ⎟ ⎟⎟⎠
(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ8)
只有在动弧区中 F 才为变量，满足欧拉公式，而在静弧区中 F 为常量，不满足欧拉公
式。将皮带包角区域分为动弧和静弧两部分，根据带轮在静弧区和动弧区的运动特性，在静
弧区可大致认为摩擦力方向角 φ=900，动弧区摩擦力方向角 φ =00。
如果将静弧区和动弧区分开研究，则静弧区轴向压力 Fj 和动弧区轴向压力 Fd 分别为[7]：
(3)
F2 = F0 – Fe / 2 + FC
(4)
2.2 离心力
图 1 中，取一微段带 dl，其对应的圆心角为 dα。微段带以速度 v、半径为 R 绕带轮圆
心作圆周运动。根据力的叠加原理，只考虑圆周运动及离心力的作用，则微段带两端面受到
离心拉力 FC 的作用。在法向，根据达朗伯原理可列出力平衡方程[2]：
3．摩擦型带传动的压轴力计算方法
文献[4-6]给出从动轮的轴压力公式为：
⎜⎛ cos θ − f sinϕ sin θ ⎟⎞
Fn
=
(F1
−
F2
)⎜
⎜⎜⎝
2 2 f cosϕ
2⎟ ⎟⎟⎠
(17)
主动轮的轴压力公式为：
Fn
=
F1α 2
⎜⎛ cos θ −
⎜2
⎜⎜⎝
sin
θ 2
+
f f
θ sin
2 θ cos 2
不能采用积分的方法求解。须采用正确的方法，即：在进行微段带的受力分析时将轴向压力
分解在两个正交方向上，然后对两组算式沿带长进行积分，求得两个方向上的压轴力，最后
将两力合成为带传动作用在带轮上的压轴力。
在通常的设计计算中，可以将带张紧时的初拉力产生的压轴力近似代替带传动工作时的
压轴力[2]：
FQ
=
2F0