江苏省2019年高考数学模拟试题及答案
2019年江苏省高考数学全真模拟试卷(1)含答案
2019年江苏省高考数学全真模拟试卷(1)含答案2019年江苏省高考数学全真模拟试卷（一）注意事项：1.本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）和解答题（第15题~第20题）两部分。
本试卷满分为160分，考试时间为120分钟。
2.答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内。
试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内。
考试结束后，交回答题纸。
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分。
不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1.已知集合A = {2.3}，B = {1.log2a}，若AB = {3}，则实数a的值为 ________。
2.已知复数z = 1 - i3，其中i为虚数单位，则z的模为________。
3.根据XXX所示的伪代码，可知输出的结果S为________。
4.一组数据2.x。
4.6.1的平均值是5，则此组数据的标准差是 ________。
5.有一个质地均匀的正四面体木块，4个面分别标有数字1.2.3.4.将此木块在水平桌面上抛两次，则两次看不到的数字都大于2的概率为 ________。
6.若抛物线x^2 = 4y的焦点到双曲线C：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1(a。
0，b。
0)的渐近线距离等于1/3，则双曲线C的离心率为 ________。
7.若实数a。
b满足a ≤ 1，b - a - 1 ≤ 0，则(a + 2b)/(2a + b)的最大值为 ________。
8.在三棱锥P-ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D-ABC的体积为V1，三棱锥DE-ABC的体积为V2，则V1/V2 = ________。
9.设等差数列{an}的公差为d（d ≠ 0），若a1 + a2 + a3 = 6，a2 + a3 + a4 = 8，则d的值为 ________。
10.已知tan(α + β) = 1，tan(α - β) = 2，其前n项和为Sn。
2019年高考真题和模拟题分项汇编数学(理)：专题03 导数及其应用 (含解析).docx
专题03导数及其应用1. [2019年高考全国III 卷理数】已知曲线y = ae x +xlnx 在点(1, ae)处的切线方程为y=2x+b,贝9 A. a = e, b = —1 B. a=e, b=l C. a — e _1, b = lD. a = e"1 > b = -\【答案】D【解析】T y' = ae* + lnx+l,切线的斜率 k = y' |Y=1= ae+1 = 2,a = e _1， 将(1,1)代入 y = 2x + b,得 2 + b = l,b = -l. 故选D.【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a, b 的等式，从而求解，属于常考题 型.了2 O XTTV 2d V* V 12. [2019年高考天津理数】已知tzeR ，设函数/(%)=' _ '若关于X 的不等式/(x)>0在R 上x-alnx, x>l.恒成立，则a 的取值范围为A. [0,1]B. [0,2]C. [0,e]D. [l,e]【答案】C【解析】当兀=1时，/(1) = 1 —2a + 2a = l>0恒成立;当 x<l 时，/(%) = x 2-2ajc + 2a>0^ 2a>^-恒成立,x-1令g(x) =—7x-1(1 —兀―1)2_ (1—兀)2—2(1 —兀)+ 1 1 — X 1 — X当1 —兀=丄，即x = 0时取等号,1-X贝0g(x) = ——1-X2a= 0,则a>0.Y当 x 〉l 时，f(x) = x-a\nx>0,即a< ---------------- 11 成立,lnx当x>e 时,h'(x) >0,函数〃(x)单调递增, 当0<x<e 时，h'(x) <0,函数力(x)单调递减, 则x = e 时，〃(x)取得最小值A(e) = e,•■- a<h(x)nin =e,综上可知，a 的取值范围是［0,e ］. 故选C.【名师点睛】本题考查分段函数的最值问题，分别利用基本不等式和求导的方法研究函数的最值，然后解决恒成 立问题.x,x<03. (2019浙江)已知a,bwR ，函数/(%) = < 1 1 2.若函数f(x)-ax-b 恰有3个零点, —X ——(Q + 1)兀 + ax, X > 0 13 2A. a<-\, b<0 C. tz>—1, Z?<0D. a>—1, Z?>0【答案】C【解析】当 x<0 时，y=f (x) -ax - b=x - ax - b= (1 - a) x - b=0,得 x= 丿丿 l-a则y=f (x) -ax-b 最多有一个零点；当 x>0 时，y=f (兀)-ax - b= -x 3—- (a+1) x^+ax - ax - b= -x 3—- (a+1) x 2 - b, —)J3 2 3 2y = x 2-(€l + l)x,当 a+lwo,即來-1 时，y>0, y=f (x) -ax-b 在［0, +oo)上单调递增， 则y =f -ax-b 最多有一个零点，不合题意；当a+l>0,即°>-1时，令y'>0得兀丘@+1, +oo),此时函数单调递增， 令WVO 得用［0, d+1),此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.根据题意，函数y=f (x) -ax-b 恰有3个零点o 函数y=f (x) - ax - b 在(-oo, 0)上有一个零点，在［0, +oo)令〃(x)=—, lnx则 h\x)=lnx-1(In x)2 B. a<-l, b>0上有2个零点,如图：b—b>01-a (a + l)3 - j (a + l)(a + l)2- b<0解得b<0, 1 - a>0, b> -- (a+1) 3,6则a>-l, b<0.故选C・【名师点睛】本题考查函数与方程，导数的应用.当兀V0时，y=f (x) -ax - b=x - ax - b= (l-°) x~ b最多有一个零点；当空0时，y=/(x) -ax-b=^-\ (a+1) - b,利用导数研究函数的单调性，根据单调性画出函数的草图，从而结合题意可列不等式组求解.4.[2019年高考全国I卷理数】曲线y = 3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线方程为_________________ .【答案】3x-y-0【解析】y = 3(2x+l)e A + 3(x2 + x)e r = 3(x2 +3x+l)e r,所以切线的斜率k = y' |x=0=3,则曲线y = 3(x2 + x)^在点(0,0)处的切线方程为y = 3x,即3x — y = 0 .【名师点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，而导致计算错误•求导要“慢”, 计算要准，是解答此类问题的基本要求._ 45.[2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y = x + —(无>0)上的一个动点，则点P到直线x+ y = 0的距离的最小值是一▲•【答案】44 4【解析】由y = x （x〉0）,得丁' = 1 ——,X X4 4设斜率为一1的直线与曲线_y = x + -（x>0）切于（x0,x0+—）,x 勺由1一一 =一1得x0 = A/2（x0=-A/2舍去），x o曲线y = x + -（x>o）±,点P（V2,3A/2）到直线x+y = o的距离最小，最小值为故答案为4 .【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到己知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法，利用数形结合和转化与化归思想解题.6.[2019年高考江苏】在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnr上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e, -l）（e 为自然对数的底数），则点A的坐标是▲.【答案】（e, 1）【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值，可得切点坐标.设点A（x0,y0）,则y Q =lnx0.又# =丄，X则曲线y = InX在点A处的切线为y - ％=丄（X —勺），即yin”。
2019年江苏省高考数学模拟试卷共八套含答案
2019年江苏省高考数学模拟试卷共十套 2019年江苏省高考数学全真模拟试卷01一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合}{1,1,2A =-，{}13B x x =-<<，则A B =I ． 2．已知复数12i z =+，其中i 是虚数单位，则z 的模为 ．3．已知一组数据4，3，5，7，1，则该组数据的方差为 ． 4．执行如图所示的伪代码，最后输出的a 的值是 ．5．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，则取到的2个数的和大于5的概率为 ．6．已知sin 2cos 0αα+=，则tan 2α= ．7．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2211x y m -=+的离心率为2，则实数m 的值 是 。
8．在三棱锥S ABC -中，直线SA ⊥平面ABC ，1SA =，ABC ∆的面积为3，若点G 为ABC ∆的重心，则三棱锥S AGB -的体积为 ．9．已知1130,15n n θθθ+=︒=+︒，1sin n n a θ+=，N *n ∈，则224a a += ． 10．在平面直角坐标系xOy 中，若圆2220x y x ay +-+=与曲线220x y -=有2个公共点，则实数a 的值是 ．11．已知定义在区间[2,2]-的函数()f x 满足1(2)()2f x f x +=，当20x -≤<时，2()f x x x =-，则不等式()f x x ≤的解集为 ．12．已知函数11()1,()(())k k f x x f x f f x +=-=，其中N k *∈，且6k ≤，若方程()l n 0k f x x -=恰有两个不相等的实数根，则k 的取值集合为 ． 13.在ABC ∆中，点D ，E 分别在线段AC ，BC 上，DE AB BE AD ⋅=⋅，若,AE BD 相交于点F3=，则=⋅BF BE ．（第4题）14. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2s i n s i n 2s i n C B A =，且3s i n bB a=，则实数m 的最小值是 。
2019年江苏卷数学高考试题精校版(含答案)(1)
锥体的体积V 1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积， h 是锥体的高． 3
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．已知集合 A {1, 0,1, 6}， B {x | x 0, x R}，则 A B ▲ .
2．已知复数 (a 2i)(1 i) 的实部为 0，其中 i 为虚数单位,则实数 a 的 值是 ▲ .
数学Ⅰ·参考答案
一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题5分，共计70分.
1。{1,6}
2.2 3.5 4.[ 1,7]
5。 5 3
6。 7 10
7. y 2x
8.16
1 3
,
2 4
9.10
10.4
11. (e, 1)
12。 3
13。
2
10
14。
二、解答题
15.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运 算求解能力。满分14分。
【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时 应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22.（本小题满分10分） 设 (1 x)n a0 a1x a2 x2 an xn , n… 4, n N* .已知 a32 2a2a4 。
2019 年江苏卷数学高考试题精校版(含答案)(1)(word 版可编辑修改)
解:(1）因为 a 3c,b 2, cos B 2 ， 3
由余弦定理 cos B a2 c2 b2 ，得 2 (3c)2 c2 ( 2)2 ，即 c2 1 .
2ac
3
2 3c c
3
江苏省2019年普通高校招生统一考试数学模拟试题(十)答案
分2 3 2 ) )) ⎦江苏省 2019 年普通高校招生统一考试数学模拟试题(十)数学Ⅰ试题参考答案一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答．题．卡．相．应．位．置．上．． 4 -π1. [1, 4) 2．23.必要不充分4. 215.6.4 37. 2 8. y 2= 2x9. x = 3或 4x - 3y + 3 = 0 10． 5 71411. (1,2)12.a ≥ 1 413. 4 - 414. (-∞, - ⎤ 二．解答题：本大题共 6 小题，15—17 每小题 14 分，18—20 每小题 16 分，共计 90 分． 请在答．题．卡．指．定．区．域．内．作．答．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 15.(1) f (x ) = m ⋅ n + 1 = (2 cos x ,- 3 sin x )(3cos x ,2 cos x ) + 1∴ f (x ) = 6 cos 2 x - 2 3 sin x cos x + 1………………………………2 分∴ f (x ) = 6 1 + cos 2x - 3 sin 2x + 1∴ f (x ) = 2 3( 3 cos 2x - 1sin 2x ) + 42 即 f (x ) = 23 cos(2x + π+ 4 2 2………………………………6 分6 故周期T = 2π= π 2 （2）令 y = kf (x ) - 1 = 0 ,则 1= k………………………………7 分f (x ) ， (k ≠ 0)由（1）得∴ f (x ) = 2 3 cos(2x + π+ 4 60 ≤ x ≤ π，∴π ≤ 2x + π ≤ 7π， ………………………………9 分2 6 6 6∴ -1 ≤ cos(2 x + π ≤ ，∴ 4 - 2 6 2 ≤ f (x ) ≤ 7 ，………………………………12 分 ∴ 4 - 2 ≤ 1 ≤ 7 ，∴ 1 ≤ k ≤ 1 + 3 ………………………………14 分 k 7 216.(1) SA = SB , N 是 AB 中点 ∴ SN ⊥ AB 平面 S AB ⊥平面 A BCD,平面 S AB ⋂ 平面 A BCD =AB , ∴ SN ⊥平面 A BCD AC ⊂平面 A BCDSN ⊂ 平面 S AB ………………………………2 分 ∴SN ⊥A C........................................................................... 6 (2)取 SD 的中点 E,连 EMM 是中点，∴EM//CD,且 EM= 1CD2底面 ABCD 是矩形, N 为 AB 中点∴AN//CD,且 AN= 1CD ，∴ EM //AN2∴四边形 EMNA 是平行四边形1033 34 3 4 3 33 3 h h )) x 2 ⎪ 2∴MN//AE ………………………………10 分 MN ⊄ 平面 S AD ，AE ⊂ 平面 S AD ， 所以 MN//平面 S AD ． ………………………………14 分17.（1）在 ∆ABC 中， ∠CBA = 120 ， ∠CAB = 45，所以∠BCA = 15，由正弦定理，得 AB = CB 10 ………………………………３分sin15 10 sin 45 sin12015 2 +5 6 所以 AB + BC = sin120(sin15 + sin 45 ) = ≈ 11.2 （米） 3答：折断前树的高度11.2米. …………………6 分（2）如图，设∆ABC 的内接矩形 DEFG 的边 DE 在 AC 上且 DE = 2 ,设 DG = EF = h因为∠CAB =θ， ∠CBA = 120 ，所以∠BCA = 60-θ，所以 AD + CE + DE = + + 2 = 10 ，………………………………８分cos θ tan θ cos(60-θ)tan(60-θ)BGF所以 h [sin θ + sin(60 -θ) ] = 8 ， 8sin θsin(60 -θ)h = sin 60=16 ( 3 sin 2θ- 1 - cos 2θ 3 44 = 8 3 sin(2θ+ π - 4 3 3 6 3 ………………………………10 分θ∈π π π 5π因为(0, ), 所以2θ+ ∈ ( , )3 6 6 6 π 1所以sin(2θ+ ) ∈ ( ,1]，所以 h ∈ (0, ] ………………………………12 分6 2 3因为 ≈ 2.3 < 2.5，所以救援车不能从此处通过. ………………………………14 分18.（1）由椭圆定义知 ∆F 2 AB 的周长为 4a ，所以 4a = 8 ，所以a = 2c又离心率 a = ，所以c = ，所以b = 1 2所以椭圆 C 的方程为 2 +y = 1． ……………………4 分 4（2）当l ⊥ x 轴， PB ≠ 2AP所以可设l ： y = kx + 1, A (x , y ) ， B (x , y )21 12 2⎧ y = k x + 1则 ⎨ x 2 2，消去 y 得(1+ 4k 2 ) x 2+ 4kx - 3 = 0⎩⎪4+ y = 1 ⎧⎪ 所以 ⎨x1 + x2 = - 4 k1 + 4 k 2- 3( * )……………………6 分⎩⎪x1 x2 =1+4k215m3m 3 m33m3m ⎨因为 PB = 2AP ，所以 x 2 - 0 = -2x 1 ，即 x 2 = -2x 1 代入(*) 化简得⎪⎧ - x 1= - 4 k 1 + 4 k 23 1 4k 2-3 所 以 = ( )2 ⎩⎪- 2 x 1= 1 + 4 k 22 4k 2 +1 1 + 4k 2解得 k = ±……………………9 分10所以直线l 方程为： y = ± 15x + 1 ，……………………10 分 10 2(3)当 AB x 轴可知 k 1 + k 2 = 0 ，此时存在λ= 1使得 k 1 + λk 2 = 0 成立，……11 分下面证明当λ= 1时 k 1 + λk 2 = 0恒成立kx + 1 - 2 kx + 1 - 2 2kx x - 3(x + x )k + k = y 1 - 2 + y 2 - 2 = 1 2 + 2 2 = 1 2 2 1 21 2 x - 0x - 0 x x …………13 分x x 1 2 1 2 1 23 -3 3 -4k 3因为 2kx 1x 2 - 2 (x 1 + x 2 ) = 2k 1+ 4k 2 - 所以 k 1 + k 2 = 0 恒成立 ( ) = -6k - 4k (- ) = 0 2 1+ 4k 22即存在λ= 1，使得 k 1 + λk 2 = 0恒成立．……………………16 分19．（1） f ' (x ) = -3x 2+ m因为函数 f (x )在x = 1处的切线垂直于直线 x - 2 y +1 = 0所以 f '(1) = -2 ，即 -3 + m = -2 ，所以m = 1；………………………3 分 （2） f '(x ) = -3x 2+ m ，当m ≤ 0 时， f '(x ) ≤ 0 恒成立，所以函数 f (x ) 的单调减区间为(-∞, +∞) ，无增区间；………………………4 分当 m > 0时，由 f '(x ) = -3x 2+ m =0 得 x = ±，列表如下： x (-∞, - m)3- m 3 (- m , m )3 3m 3 ( m, +∞) 3f ' (x ) 0+f (x )递减递增递减所以函数 f (x ) 的单调减区间为： (-∞, -m ) 、( 3 , +∞) ， 3所以单调增区间为： (-, ) ………………………8 分（3）由（2）知 f (x ) 的极小值为 f (-3 ) ，令 x 0 = - 3 设方程 f (x ) = f (x 0 ) 的根为t ，则 -x 03 + mx 0 + 1 = -t 3+ mt + 1 ，即(t - x 0 )(t 2+ tx 0 + x 0 2- m ) = 0 ，………………………10 分 所以t 2+ tx 0 + x 02 - m = 0,因为 f (x ) = f (x 0 ) 有两个相等实根 x 0 ，所以t 2+ tx 0 + x 02- m = 0必有一根为 x 0 ，………………………12 分m2 3m 2 3m 3n -1 n n +1 n -2 n -1 n n ⎭ 设另一个根为t 3 ，则t 3 + x 0 = -x 0 ， 所以t 3 = -2x 0 ，即t 1 = t 2 = x 0 ,t 3 = -2x 0 ，即t 3 =3………………………14 分 因为函数 f (x ) 在区间(- 1, ⎧-1 < - 2 )上的极小值也是 f (x ) 的最小值，⎪ 3 所以 ⎨⎪ ≥ ，解得 ≤ m < 3 2 ⎩⎪ 3 所以实数 m 的取值范围为 ⎡ 3 ,3⎫………………………16 分⎢⎣2 ⎪20. (1)因为 S + S + S = 3n 2 + 2(n ≥ 2,n ∈ N *) ① 所以 S + S + S = 3(n - 1)2+ 2(n ≥ 3) ② ②—①得： a n -1 + a n + a n +1 = 3(2n - 1) ③ ……………………………………2 分因为数列{a n }为等差数列，所以 a n -1 + a n +1 = 2a n 代入③得： a n = 2n -1(n ≥ 3) 所以{a n }是公差为 2 的等差数列， 所以 a 2 = a 3 - 2 = 3 ， a 1 = a 2 - 2 = 1 所以 a n = 2n -1.……………………………………4 分(2)由(1)知： a n -1 + a n + a n +1 = 3(2n - 1)(n ≥ 3) 所以 a n + a n +1 + a n +2 = 3(2n + 1) ④ ④—③ 得： a n +2 - a n -1 = 3(n ≥ 3)……………………………………6 分又b n = a 3n -2 ，所以b n +1 - b n = a 3n +1 - a 3n -2 = 6(n ≥ 2)若数列{b n }为等差数列，则只需 a 4 - a 1 = 6，又 a 1 = 1，所以 a 4 = 7 . 又 S 1 + S 2 + S 3 = 14所以3a 1 + 2a 2 + a 3 = 14 由③知a 2 + a 3 + a 4 = 15所以 a 2 = 3……………………………………8 分所以当b = 3 时，{b n }为等差数列； b ≠ 3时，{b n }不为等差数列.…………………10 分(3) 1当n = 3k +1( k ∈ N *)时：S 3k +1 = a 1 + (a 2 + a 3 + a 4 ) + …+ (a 3 k -1 + a 3 k + a 3 k +1 )= a + 3⨯ (2⨯ 2 + 1) + 3⨯ (2⨯ 5 + 1) + …+ 3[2⨯ (3k -1) + 1]= a + 3⨯k (5 + 6k -1)2= a + 9k 2 + 6k = (3k + 1)2 + a -1所以 S = n 2+ a -1,当 n = 1时也满足. ……………………12 分2 当 n = 3k ( k ∈ N * )时： S 3k = (a 1 + a 2 + a3 ) + (a4 + a5 + a6 )…+ (a 3 k -2 + a 3 k -1 + a 3 k ) 因为3a 1 + 2a 2 + a 3 = 14 所以 a 3 = 14 - 3a - 2b所以 S 3k = (14 - 2a - b ) + 3⨯ (2⨯ 4 +1) + …+ 3[2⨯ (3k - 2) +1]= (14 - 2a - b ) + 3⨯(k -1)(9 + 6k - 3)23m 2n n n n n -1 n n +1 ⎩= (14 - 2a - b ) + 9k 2 - 9 = 9k 2 + 5 - 2a - b所以 S = n 2+ 5 - 2a - b ……………………14 分3 当 n = 3k -1( k ∈ N * )时：因为 S + S + S = 3n 2+ 2(n ≥ 2,n∈ N * ) 所以(n -1)2+ a -1+ S + (n +1)2+ 5 - 2a - b = 3n 2+ 2 所以 S + 2n 2+ 6 - a - b = 3n 2+ 2 所以 S = n 2 + a + b - 4⎧n 2 + a -1, n = 3k - 2⎪ 综上所述： S n = ⎨n 2+ a + b - 4,n = 3k - 1(k ∈ N *) ……………………16 分⎪n 2 + 5 - 2a - b , n = 3k3 4 - 1 4⎩ 1 1 5 江苏省 2019 年普通高校招生统一考试数学模拟试题(十)数学附加题参考答案与评分标准21A 因为 PA 是圆 O 在点 A 处的切线，所以∠PAB ＝∠ACB ． 因为 PD ∥AC ，所以∠EDB ＝∠ACB ， 所以∠PAE ＝∠PAB ＝∠ACB ＝∠BDE ．又∠PEA ＝∠BED ，故△PAE ∽△BDE ．…………………… 10 分λ- 30 21B ．矩阵M 的特征多项式为 f (λ) == λ2- 4λ+ 3 ，……………2 分-1 λ-1令 f (λ) = 0 ，解得λ1 = 1 ,λ2 = 3， ……………4 分（⎧ λ- 3）⋅ x + 0 ⋅ y = 0, 将λ1 =1 代入二元一次方程组⎨-x + (λ-1) y = 0, 解得 x = 0 ，……………6 分⎡0⎤所以矩阵 M 属于特征值 1 的一个特征向量为 ⎢ ⎥ ；……………8 分 ⎣ ⎦ ⎡2⎤同理，矩阵M 属于特征值 3 的一个特征向量为 ⎢ ⎥ ．……………10 分⎣ ⎦21C 曲线 C ： ρ= 4sin θ的直角坐标方程为 x 2+ ( y - 2)2= 4 ， 直线l 的普通方程为 3x - y +1 = 0…………………… 4 分∴圆心到直线的距离d =0 ⨯ -1⨯ 2 +11 =∴ AB = 2 22 = 215…………………… 10 分21D 因为|m|+|n|≥|m －n|，所以| x - 1 + a | + | x - a |≥|x - 1 + a - ( x - a )|=|2a - 1 | ．……………………………… 8 分 又 a ≥2，故|2a -1| ≥3．所以| x -1 + a | + | x - a | ≥3 ．…………………………………… 10 分 22．（1）记恰有 2 个小球与盒子编号相同为事件 A ，将 5 个小球随机放入五个盒子中，每个盒子放一个共有 A 5即 120 种不同的放法，事件 A 共有C 2 ⨯ 2 = 20 种放法，∴ P ( A ) = 20 = 14120 61 答：恰有2 个盒子与小球编号相同的概率为 6（2）随机变量 X 的可能值为 0,1,2,3,5C 1 (2 + 3 + 3 + 3) 44 11 P ( X = 0) = 5= =120 120 30 C 1(3 + 3 + 3) 45 3P ( X = 1) = 5 = =120 120 8 C 2⨯ 2 20 1 P ( X = 2) = 5 = = 120 120 6 …………………… 4 分C 3 10 1P ( X = 3) = 5 = =120 120 12r 2- d 22n-1 P ( X = 5) =1∴ E (x ) = 0⨯+1⨯ + 2⨯ + 3⨯ + 5⨯ = 1 …………………… 10 分 30 8 6 12 12023．(1)从等式左侧看： x n 的系数为C n…………………………1 分 从等式右侧看： (1+ x )n -1 (1+ x )n= (C 0+ C 1x + …+ C n -1 x n -1 )(C 0 + C 1 x + … + C n x n ) n -1n -1n -1nn nx n的系数为C0 ⋅ C n + C 1⋅ C n -1+ … + C n -1⋅ C 1……………………………………3 分n -1 n n -1nn -1n所以C 0⋅ C n + C1⋅ C n -1 + … + C n -1 ⋅ C 1 = C n……………………………………4 分n -1n n -1nn -1n2n -1(2) 当 k ∈ N *时， kC k= k ⋅n ! =n !nk !(n - k )! (k -1)!(n - k )!= n ⋅ (n -1)! (k -1)!(n - k )!k -1n -1……………………………6 分nnn所以(C 1 )2 + 2(C 2 )2 + …+ n (C n )2= ∑[k (C k )2] = ∑(kC k ⋅C k) = ∑(nC k -1 ⋅C k)nnnnnnn -1nk =1n nk =1k =1= n ∑ (C k -1 ⋅ C k ) = n ∑ (C n -k ⋅ C k )……………………………8 分k =1n -1 n n -1 nk =1由(1)知C 0 ⋅ C n+ C1 ⋅ C n -1+ … + C n -1 ⋅ C 1 = C nn -1nn -1nnn -1n2n -1所以 ∑ (Cn -k⋅ C k ) = C nk =1n -1n 2n -1所以(C 1 )2+ 2(C 2 )2+ … + n (C n )2= nCn -1……………………………10 分nnn2n -1= nC。
2019年江苏省高考数学试卷及解析(20200802201550).pdf
2019年江苏省高考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，6}，B＝{x|x＞0，x∈R}，则A∩B＝．2．（5分）已知复数（a+2i）（1+i）的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是．3．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的S的值是．4．（5分）函数y＝的定义域是．5．（5分）已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是．6．（5分）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是．7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2﹣＝1（b＞0）经过点（3，4），则该双曲线的渐近线方程是．8．（5分）已知数列{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项和．若a2a5+a8＝0，S9＝27，则S8的值是．19．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E﹣BCD的体积是．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x+（x＞0）上的一个动点，则点P到直线x+y＝0的距离的最小值是．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（﹣e，﹣1）（e为自然对数的底数），则点A的坐标是．12．（5分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O．若?＝6?，则的值是．13．（5分）已知＝﹣，则sin（2α+）的值是．14．（5分）设f（x），g（x）是定义在R上的两个周期函数，f（x）的周期为4，g（x）的周期为2，且f（x）是奇函数．当x∈（0，2]时，f（x）＝，g（x）＝其中k＞0．若在区间（0，9]上，关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根，则k的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字2说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若a＝3c，b＝，cosB＝，求c的值；（2）若＝，求sin（B+）的值．16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB＝BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，1与圆F2：（x﹣1）2+y2＝4a2交于点A，与椭圆C交于点D．连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C 于点E，连结DF1．已知DF1＝．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标．318．（16分）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA，规划要求：线段PB，QA上的所有点到点O的距离均不小于．．．圆O的半径．已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD（C，D为垂足），测得AB＝10，AC＝6，BD＝12（单位：百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米），求当d最小时，P、Q两点间的距离．19．（16分）设函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c），a，b，c∈R，f′（x）为f（x）的导函数．（1）若a＝b＝c，f（4）＝8，求a的值；（2）若a≠b，b＝c，且f（x）和f′（x）的零6点均在集合{﹣3，1，3}中，求f（x）的极小值；4（3）若a＝0，0＜b≤1，c＝1，且f（x）的极大值为M，求证：M≤．20．（16分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M﹣数列”．（1）已知等比数列{a n}（n∈N*）满足：a2a4＝a5，a3﹣4a2+4a1＝0，求证：数列{a n}为“M﹣数列”；（2）已知数列{b n}（n∈N*）满足：b1＝1，＝﹣，其中S n为数列{b n}的前n 项和．①求数列{b n}的通项公式；②设m为正整数，若存在“M﹣数列”{c n}（n∈N*），对任意正整数k，当k≤m时，都有c k≤b k≤c k+1成立，求m的最大值．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．（10分）已知矩阵A＝．（1）求A2；（2）求矩阵A的特征值．B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．（10分）在极坐标系中，已知两点A（3，），B（，），直线1的方程为ρsin （θ+）＝3．（1）求A，B两点间的距离；5（2）求点B到直线l的距离．C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．设x∈R，解不等式|x|+|2x﹣1|＞2．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24．（10分）设（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+…+a n x n，n≥4，n∈N*．已知a32＝2a2a4．（1）求n的值；（2）设（1+）n＝a+b，其中a，b∈N*，求a2﹣3b2的值．25．（10分）在平面直角坐标系xOy中，设点集A n＝{（0，0），（1，0），（2，0），…，（n，0）}，B n＝{（0，1），（n，1）}，?n＝{（0，2），（1，2），（2，2），……，（n，2）}，n∈N*．令M n＝A n∪B n∪?n．从集合M n中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离．（1）当n＝1时，求X的概率分布；（2）对给定的正整数n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n表示）．62019年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，6}，B＝{x|x＞0，x∈R}，则A∩B＝{1，6}．【考点】1E：交集及其运算．【分析】直接利用交集运算得答案．【解答】解：∵A＝{﹣1，0，1，6}，B＝{x|x＞0，x∈R}，∴A∩B＝{﹣1，0，1，6}∩{x|x＞0，x∈R}＝{1，6}．故答案为：{1，6}．【点评】本题考查交集及其运算，是基础题．2．（5分）已知复数（a+2i）（1+i）的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是2．【考点】A5：复数的运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0求的a值．【解答】解：∵（a+2i）（1+i）＝（a﹣2）+（a+2）i的实部为0，∴a﹣2＝0，即a＝2．故答案为：2．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．73．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的S的值是5．【考点】EF：程序框图．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得x＝1，S＝0S＝0.5不满足条件x≥4，执行循环体，x＝2，S＝1.5不满足条件x≥4，执行循环体，x＝3，S＝3不满足条件x≥4，执行循环体，x＝4，S＝5此时，满足条件x≥4，退出循环，输出S的值为5．故答案为：5．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．84．（5分）函数y＝的定义域是[﹣1，7]．【考点】33：函数的定义域及其求法．【分析】由根式内部的代数式大于等于0求解一元二次不等式得答案．【解答】解：由7+6x﹣x2≥0，得x2﹣6x﹣7≤0，解得：﹣1≤x≤7．∴函数y＝的定义域是[﹣1，7]．故答案为：[﹣1，7]．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查一元二次不等式的解法，是基础题．5．（5分）已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是．【考点】BC：极差、方差与标准差．【分析】先求出一组数据6，7，8，8，9，10的平均数，由此能求出该组数据的方差．【解答】解：一组数据6，7，8，8，9，10的平均数为：＝（6+7+8+8+9+10）＝8，∴该组数据的方差为：S2＝[（6﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝．故答案为：．【点评】本题考查一组数据的方差的求法，考查平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．96．（5分）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】基本事件总数n＝＝10，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数m＝+＝7，由此能求出选出的2名同学中至少有1名女同学的概率．【解答】解：从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，基本事件总数n＝＝10，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数：m＝+＝7，∴选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是p＝．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2﹣＝1（b＞0）经过点（3，4），则该双曲线的渐近线方程是y＝．【考点】KB：双曲线的标准方程．【分析】把已知点的坐标代入双曲线方程，求得b，则双曲线的渐近线方程可求．10【解答】解：∵双曲线x2﹣＝1（b＞0）经过点（3，4），∴，解得b2＝2，即b＝．又a＝1，∴该双曲线的渐近线方程是y＝．故答案为：y＝．【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的简单性质，是基础题．8．（5分）已知数列{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项和．若a2a5+a8＝0，S9＝27，则S8的值是16．【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由已知列关于首项与公差的方程组，求解首项与公差，再由等差数列的前n项和求得S8的值．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，则，解得．∴＝6×（﹣5）+15×2＝16．故答案为：16．【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的前n项和，是基础题．9．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E﹣BCD的体积是10．11【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】推导出＝AB×BC×DD1＝120，三棱锥E﹣BCD的体积：V E﹣BCD＝＝＝×AB×BC×DD1，由此能求出结果．【解答】解：∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，∴＝AB×BC×DD1＝120，∴三棱锥E﹣BCD的体积：V E﹣BCD＝＝＝×AB×BC×DD1＝10．故答案为：10．12【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，考查长方体的结构特征、三棱锥的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x+（x＞0）上的一个动点，则点P到直线x+y＝0的距离的最小值是4．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】利用导数求平行于x+y＝0的直线与曲线y＝x+（x＞0）的切点，再由点到直线的距离公式求点P到直线x+y＝0的距离的最小值．【解答】解：由y＝x+（x＞0），得y′＝1﹣，设斜率为﹣1的直线与曲线y＝x+（x＞0）切于（x0，），由，解得（x0＞0）．∴曲线y＝x+（x＞0）上，点P（）到直线x+y＝0的距离最小，最小值为．故答案为：4．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查点到直线距离公式的应用，是中档题．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（﹣e，﹣1）（e为自然对数的底数），则点A的坐标是（e，1）．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．13【分析】设A（x0，lnx0），利用导数求得曲线在A处的切线方程，代入已知点的坐标求解x0即可．【解答】解：设A（x0，lnx0），由y＝lnx，得y′＝，∴，则该曲线在点A处的切线方程为y﹣lnx0＝，∵切线经过点（﹣e，﹣1），∴，即，则x0＝e．∴A点坐标为（e，1）．故答案为：（e，1）．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，区分过点处与在点处的不同，是中档题．12．（5分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O．若?＝6?，则的值是．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【分析】首先算出＝，然后用、表示出、，结合?＝6?得＝，进一步可得结果．14实用文档用心整理【解答】解：设＝λ＝（），＝+＝+μ＝+μ（）＝（1﹣μ）+μ＝+μ∴，∴，∴＝＝（），＝＝﹣+，6?＝6×（）×（﹣+）＝（++）＝++，∵?＝++，∴＝，∴＝3，∴＝．故答案为：【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．1513．（5分）已知＝﹣，则sin（2α+）的值是．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【分析】由已知求得tanα，分类利用万能公式求得sin2α，cos2α的值，展开两角和的正弦求sin（2α+）的值．【解答】解：由＝﹣，得，∴，解得tanα＝2或tan．当tanα＝2时，sin2α＝，cos2α＝，∴sin（2α+）＝＝；当tanα＝时，sin2α＝＝，cos2α＝，∴sin（2α+）＝＝．综上，sin（2α+）的值是．故答案为：．【点评】本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查两角和的三角函数及万能公式的应用，是基础题．1614．（5分）设f（x），g（x）是定义在R上的两个周期函数，f（x）的周期为4，g（x）的周期为2，且f（x）是奇函数．当x∈（0，2]时，f（x）＝，g（x）＝其中k＞0．若在区间（0，9]上，关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根，则k的取值范围是[，）．【考点】5B：分段函数的应用．【分析】由已知函数解析式结合周期性作出图象，数形结合得答案．【解答】解：作出函数f（x）与g（x）的图象如图，由图可知，函数f（x）与g（x）＝﹣（1＜x≤2，3＜x≤4，5＜x≤6，7＜x≤8）仅有2个实数根；要使关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根，则f（x）＝，x∈（0，2]与g（x）＝k（x+2），x∈（0，1]的图象有2个不同交点，由（1，0）到直线kx﹣y+2k＝0的距离为1，得，解得k＝（k＞0），17∵两点（﹣2，0），（1，1）连线的斜率k＝，∴≤k＜．即k的取值范围为[，）．故答案为：[，）．【点评】本题考查函数零点的判定，考查分段函数的应用，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若a＝3c，b＝，cosB＝，求c的值；（2）若＝，求sin（B+）的值．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值；HR：余弦定理．【分析】（1）由余弦定理得：cosB＝＝＝，由此能求出c的值．（2）由＝，利用正弦定理得2sinB＝cosB，再由sin2B+cos2B＝1，能求出sinB ＝，cosB＝，由此利用诱导公式能求出sin（B+）的值．【解答】解：（1）∵在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．18a＝3c，b＝，cosB＝，∴由余弦定理得：cosB＝＝＝，解得c＝．（2）∵＝，∴由正弦定理得：，∴2sinB＝cos B，∵sin2B+cos2B＝1，∴sinB＝，cosB＝，∴sin（B+）＝cosB＝．【点评】本题考查三角形边长、三角函数值的求法，考查正弦定理、余弦定理、诱导公式、同角三角函数关系式等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB＝BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．19【考点】L2：棱柱的结构特征；LS：直线与平面平行．【分析】（1）推导出DE∥AB，AB∥A1B1，从而DE∥A1B1，由此能证明A1B1∥平面DEC1．（2）推导出BE⊥AA1，BE⊥AC，从而BE⊥平面ACC1A1，由此能证明BE⊥C1E．【解答】证明：（1）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，∴DE∥AB，AB∥A1B1，∴DE∥A1B1，∵DE?平面DEC1，A1B1?平面DEC1，∴A1B1∥平面DEC1．解：（2）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是AC的中点，AB＝BC．∴BE⊥AA1，BE⊥AC，又AA1∩AC＝A，∴BE⊥平面ACC1A1，∵C1E?平面ACC1A1，∴BE⊥C1E．20【点评】本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，1与圆F2：（x﹣1）2+y2＝4a2交于点A，与椭圆C交于点D．连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C 于点E，连结DF1．已知DF1＝．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标．【考点】K4：椭圆的性质．【分析】（1）由题意得到F1D∥BF2，然后求AD，再由AD＝DF1＝求得a，则椭圆方程可求；（2）求出D的坐标，得到＝，写出BF2的方程，与椭圆方程联立即可求得点E的坐标．（2）由（1）知，D（1，），F1（﹣1，0），21∴＝，则BF2：y＝，联立，得21x2﹣18x﹣39＝0．解得x1＝﹣1或（舍）．∴．即点E的坐标为（﹣1，﹣）．【点评】本题考查直线与圆，圆与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，证明DF1∥BF2是解答该题的关键，是中档题．18．（16分）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA，规划要求：线段PB，QA上的所有点到点O的距离均不小于．．．圆O的半径．已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD（C，D为垂足），测得AB＝10，AC＝6，BD＝12（单位：百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；22（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米），求当d最小时，P、Q两点间的距离．【考点】JE：直线和圆的方程的应用．【分析】（1）设BD与圆O交于M，连接AM，以C为坐标原点，l为x轴，建立直角坐标系，则A（0，﹣6），B（﹣8，﹣12），D（﹣8，0）设点P（x1，0），PB⊥AB，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求得P的坐标，可得所求值；（2）当QA⊥AB时，QA上的所有点到原点O的距离不小于圆的半径，设此时Q（x2，0），运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求得Q的坐标，即可得到结论；（3）设P（a，0），Q（b，0），则a≤﹣17，b≥﹣，结合条件，可得b的最小值，由两点的距离公式，计算可得PQ．【解答】解：设BD与圆O交于M，连接AM，AB为圆O的直径，可得AM⊥BM，即有DM＝AC＝6，BM＝6，AM＝8，以C为坐标原点，l为x轴，建立直角坐标系，则A（0，﹣6），B（﹣8，﹣12），D（﹣8，0）（1）设点P（x1，0），PB⊥AB，23则k BP?k AB＝﹣1，即?＝﹣1，解得x1＝﹣17，所以P（﹣17，0），PB＝＝15；（2）当QA⊥AB时，QA上的所有点到原点O的距离不小于圆的半径，设此时Q（x2，0），则k QA?k AB＝﹣1，即?＝﹣1，解得x2＝﹣，Q（﹣，0），由﹣17＜﹣8＜﹣，在此范围内，不能满足PB，QA上所有点到O的距离不小于圆的半径，所以P，Q中不能有点选在D点；（3）设P（a，0），Q（b，0），则a≤﹣17，b≥﹣，PB2＝（a+8）2+144≥225，QA2＝b2+36≥225，则b≥3，当d最小时，PQ＝17+3．【点评】本题考查直线和圆的位置关系，考查直线的斜率和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，以及两点的距离公式，分析问题和解决问题的能力，考查运算能力，属于中档题．19．（16分）设函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c），a，b，c∈R，f′（x）为f（x）的导函数．24（1）若a＝b＝c，f（4）＝8，求a的值；（2）若a≠b，b＝c，且f（x）和f′（x）的零点均在集合{﹣3，1，3}中，求f（x）的极小值；（3）若a＝0，0＜b≤1，c＝1，且f（x）的极大值为M，求证：M≤．【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）由a＝b＝c，可得f（x）＝（x﹣a）3，根据f（4）＝8，可得（4﹣a）3＝8，解得a．（2）a≠b，b＝c，设f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2．令f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2＝0，解得x＝a，或x＝b．f′（x）＝（x﹣b）（3x﹣b﹣2a）．令f′（x）＝0，解得x＝b，或x ＝．根据f（x）和f′（x）的零点均在集合A＝{﹣3，1，3}中，通过分类讨论可得：只有a＝3，b＝﹣3，可得＝＝1∈A，可得：f（x）＝（x﹣3）（x+3）2．利用导数研究其单调性可得x＝1时，函数f（x）取得极小值．（3）a＝0，0＜b≤1，c＝1，f（x）＝x（x﹣b）（x﹣1）．f′（x）＝3x2﹣（2b+2）x+b．△＞0．令f′（x）＝3x2﹣（2b+2）x+b＝0．解得：x1＝∈，x2＝．x1＜x2，可得x＝x1时，f（x）取得极大值为M，通过计算化简即可证明结论．【解答】解：（1）∵a＝b＝c，∴f（x）＝（x﹣a）3，∵f（4）＝8，∴（4﹣a）3＝8，∴4﹣a＝2，解得a＝2．（2）a≠b，b＝c，设f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2．令f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2＝0，解得x＝a，或x＝b．25f′（x）＝（x﹣b）2+2（x﹣a）（x﹣b）＝（x﹣b）（3x﹣b﹣2a）．令f′（x）＝0，解得x＝b，或x＝．∵f（x）和f′（x）的零点均在集合A＝{﹣3，1，3}中，若：a＝﹣3，b＝1，则＝＝﹣?A，舍去．a＝1，b＝﹣3，则＝＝﹣?A，舍去．a＝﹣3，b＝3，则＝＝﹣1?A，舍去．．a＝3，b＝1，则＝＝?A，舍去．a＝1，b＝3，则＝?A，舍去．a＝3，b＝﹣3，则＝＝1∈A，．因此a＝3，b＝﹣3，＝1∈A，可得：f（x）＝（x﹣3）（x+3）2．f′（x）＝3[x﹣（﹣3）]（x﹣1）．可得x＝1时，函数f（x）取得极小值，f（1）＝﹣2×42＝﹣32．（3）证明：a＝0，0＜b≤1，c＝1，f（x）＝x（x﹣b）（x﹣1）．f′（x）＝（x﹣b）（x﹣1）+x（x﹣1）+x（x﹣b）＝3x2﹣（2b+2）x+b．26△＝4（b+1）2﹣12b＝4b2﹣4b+4＝4+3≥3．令f′（x）＝3x2﹣（2b+2）x+b＝0．解得：x1＝∈，x2＝．x1＜x2，x1+x2＝，x1x2＝，可得x＝x1时，f（x）取得极大值为M，∵f′（x1）＝﹣（2b+2）x1+b＝0，可得：＝[（2b+2）x1﹣b]，M＝f（x1）＝x1（x1﹣b）（x1﹣1）＝（x1﹣b）（﹣x1）＝（x1﹣b）（﹣x1）＝[（2b﹣1）﹣2b2x1+b2]＝＝，∵﹣2b2+2b﹣2＝﹣2﹣＜0，∴M在x1∈（0，]上单调递减，∴M≤＝≤．∴M≤．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．2720．（16分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M﹣数列”．（1）已知等比数列{a n}（n∈N*）满足：a2a4＝a5，a3﹣4a2+4a1＝0，求证：数列{a n}为“M﹣数列”；（2）已知数列{b n}（n∈N*）满足：b1＝1，＝﹣，其中S n为数列{b n}的前n 项和．①求数列{b n}的通项公式；②设m为正整数，若存在“M﹣数列”{c n}（n∈N*），对任意正整数k，当k≤m时，都有c k≤b k≤c k+1成立，求m的最大值．【考点】8K：数列与不等式的综合．【分析】（1）设等比数列{a n}的公比为q，然后根据a2a4＝a5，a3﹣4a2+4a1＝0列方程求解，在根据新定义判断即可；（2）求出b2，b3，b4猜想b n，然后用数学归纳法证明；（3）设{c n}的公比为q，将问题转化为，然后构造函数f（x）＝，g（x）＝，分别求解其最大值和最小值，最后解不等式，即可．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，则由a2a4＝a5，a3﹣4a2+4a1＝0，得∴，28∴数列{a n}首项为1且公比为正数即数列{a n}为“M﹣数列”；（2）①∵b1＝1，＝﹣，∴当n＝1时，，∴b2＝2，当n＝2时，，∴b3＝3，当n＝3时，，∴b4＝4，猜想b n＝n，下面用数学归纳法证明；（i）当n＝1时，b1＝1，满足b n＝n，（ii）假设n＝k时，结论成立，即b k＝k，则n＝k+1时，由，得＝＝k+1，故n＝k+1时结论成立，根据（i）（ii）可知，b n＝n对任意的n∈N*都成立．故数列{b n}的通项公式为b n＝n；②设{c n}的公比为q，29存在“M﹣数列”{c n}（n∈N*），对任意正整数k，当k≤m时，都有c k≤b k≤c k+1成立，即q k﹣1≤k≤k对k≤m恒成立，当k＝1时，q≥1，当k＝2时，，当k≥3，两边取对数可得，对k≤m有解，即，令f（x）＝，则，当x≥3时，f'（x）＜0，此时f（x）递增，∴当k≥3时，，令g（x）＝，则，令，则，当x≥3时，?'（x）＜0，即g'（x）＜0，∴g（x）在[3，+∞）上单调递减，即k≥3时，，则，下面求解不等式，30化简，得3lnm﹣（m﹣1）ln3≤0，令h（m）＝3lnm﹣（m﹣1）ln3，则h'（m）＝﹣ln3，由k≥3得m≥3，h'（m）＜0，∴h（m）在[3，+∞）上单调递减，又由于h（5）＝3ln5﹣4ln3＝ln125﹣ln81＞0，h（6）＝3ln6﹣5ln3＝ln216﹣ln243＜0，∴存在m0∈（5，6）使得h（m0）＝0，∴m的最大值为5，此时q∈，．【点评】本题考查了由递推公式求等比数列的通项公式和不等式恒成立，考查了数学归纳法和构造法，是数列、函数和不等式的综合性问题，属难题．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．（10分）已知矩阵A＝．（1）求A2；（2）求矩阵A的特征值．【考点】O1：二阶矩阵；OV：特征值与特征向量的计算．【分析】（1）根据矩阵A直接求解A2即可；（2）矩阵A的特征多项式为f（λ）＝＝λ2﹣5λ+4，解方程f（λ）＝0即可．【解答】解：（1）∵A＝31∴A2＝＝（2）矩阵A的特征多项式为：f（λ）＝＝λ2﹣5λ+4，令f（λ）＝0，则由方程λ2﹣5λ+4＝0，得λ＝1或λ＝4，∴矩阵A的特征值为1或4．【点评】本题考查了矩阵的运算和特征值等基础知识，考查运算与求解能力，属基础题．B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．（10分）在极坐标系中，已知两点A（3，），B（，），直线1的方程为ρsin （θ+）＝3．（1）求A，B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离．【考点】Q6：极坐标刻画点的位置．【分析】（1）设极点为O，则由余弦定理可得，解出AB；（2）根据直线l的方程和点B的坐标可直接计算B到直线l的距离．【解答】解：（1）设极点为O，则在△OAB中，由余弦定理，得32实用文档用心整理33AB 2＝OA 2+OB 2﹣2OA，∴AB ＝＝；（2）由直线1的方程ρsin （θ+）＝3，知直线l 过（3，），倾斜角为，又B （，），∴点B 到直线l 的距离为．【点评】本题考查了在极坐标系下计算两点间的距离和点到直线的距离，属基础题．C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．设x ∈R ，解不等式|x|+|2x ﹣1|＞2．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】对|x|+|2x ﹣1|去绝对值，然后分别解不等式即可．【解答】解：|x|+|2x ﹣1|＝，∵|x|+|2x ﹣1|＞2，∴或或，∴x＞1或x∈？或x＜﹣，∴不等式的解集为{x|x＜﹣或x＞1}．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，属基础题．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24．（10分）设（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+…+a n x n，n≥4，n∈N*．已知a32＝2a2a4．（1）求n的值；（2）设（1+）n＝a+b，其中a，b∈N*，求a2﹣3b2的值．【考点】DA：二项式定理．【分析】（1）运用二项式定理，分别求得a2，a3，a4，结合组合数公式，解方程可得n 的值；（2）方法一、运用二项式定理，结合组合数公式求得a，b，计算可得所求值；方法二、由于a，b∈N*，求得（1﹣）5＝a﹣b，再由平方差公式，计算可得所求值．【解答】解：（1）由（1+x）n＝C+C x+C x2+…+C x n，n≥4，可得a2＝C＝，a3＝C＝，a4＝C＝，a32＝2a2a4，可得（）2＝2??，解得n＝5；34（2）方法一、（1+）5＝C+C+C（）2+C（）3+C（）4+C（）5＝a+b，由于a，b∈N*，可得a＝C+3C+9C＝1+30+45＝76，b＝C+3C+9C＝44，可得a2﹣3b2＝762﹣3×442＝﹣32；方法二、（1+）5＝C+C+C（）2+C（）3+C（）4+C（）5＝a+b，（1﹣）5＝C+C（﹣）+C（﹣）2+C（﹣）3+C（﹣）4+C（﹣）5＝C﹣C+C（）2﹣C（）3+C（）4﹣C（）5，由于a，b∈N*，可得（1﹣）5＝a﹣b，可得a2﹣3b2＝（1+）5?（1﹣）5＝（1﹣3）5＝﹣32．【点评】本题主要考查二项式定理、组合数公式的运用，考查运算能力和分析问题能力，属于中档题．25．（10分）在平面直角坐标系xOy中，设点集A n＝{（0，0），（1，0），（2，0），…，（n，0）}，B n＝{（0，1），（n，1）}，?n＝{（0，2），（1，2），（2，2），……，（n，2）}，n∈N*．令M n＝A n∪B n∪?n．从集合M n中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离．（1）当n＝1时，求X的概率分布；（2）对给定的正整数n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n表示）．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）当n＝1时，X的所有可能取值为1，，2，，由古典概率的公式，结35合组合数可得所求值；（2）设A（a，b）和B（c，d）是从M n中取出的两个点，因为P（X≤n）＝1﹣P（X＞n），所以只需考虑X＞n的情况，分别讨论b，d的取值，结合古典概率的计算公式和对立事件的概率，即可得到所求值．【解答】解：（1）当n＝1时，X的所有可能取值为1，，2，，X的概率分布为P（X＝1）＝＝；P（X＝）＝＝；P（X＝2）＝＝；P（X＝）＝＝；（2）设A（a，b）和B（c，d）是从M n中取出的两个点，因为P（X≤n）＝1﹣P（X＞n），所以只需考虑X＞n的情况，①若b＝d，则AB≤n，不存在X＞n的取法；②若b＝0，d＝1，则AB＝≤，所以X＞n当且仅当AB＝，此时a＝0．c＝n或a＝n，c＝0，有两种情况；③若b＝0，d＝2，则AB＝≤，所以X＞n当且仅当AB＝，此时a＝0．c＝n或a＝n，c＝0，有两种情况；④若b＝1，d＝2，则AB＝≤，所以X＞n当且仅当AB＝，此时a＝0．c＝n或a＝n，c＝0，有两种情况；综上可得当X＞n，X的所有值是或，36且P（X＝）＝，P（X＝）＝，可得P（X≤n）＝1﹣P（X＝）﹣P（X＝）＝1﹣．【点评】本题考查随机变量的概率的分布，以及古典概率公式的运用，考查分类讨论思想方法，以及化简运算能力，属于难题．37。
[数学]2019年江苏省泰州市、南通市、扬州市、苏北四市七市高考数学一模试卷带答案解析
![[数学]2019年江苏省泰州市、南通市、扬州市、苏北四市七市高考数学一模试卷带答案解析](https://img.taocdn.com/s3/m/cff36bd81ed9ad51f11df281.png)
-2019年江苏省泰州市、南通市、扬州市、苏北四市七市高考数学一模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．（5分）已知集合A ＝{1，3}，B ＝{0，1}，则集合A ∪B ＝．2．（5分）已知复数（i 为虚数单位），则复数z 的模为．3．（5分）某中学组织学生参加社会实践活动，高二（1）班50名学生参加活动的次数统计如下：次数2345人数2015105则平均每人参加活动的次数为．4．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的b 的值为．5．（5分）有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为．6．（5分）已知正四棱柱的底面边长为3cm ，侧面的对角线长是3cm ，则这个正四棱柱的体积是cm 3．7．（5分）若实数x ，y 满足x ≤y ≤2x+3，则x+y 的最小值为．8．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）的准线为l ，直线l 与双曲线的两条渐近线分别交于A ，B 两点，，则p 的值为．9．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y ＝3x+t 与曲线y ＝asinx+bcosx （a ，b ，t ∈R ）相切于点（0，1），则（a+b ）t 的值为．10．（5分）已知数列{a n }是等比数列，有下列四个命题：①数列{|a n |}是等比数列；②数列{a n a n+1}是等比数列；③数列是等比数列；④数列{lga n 2}是等比数列．其中正确的命题有个．11．（5分）已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （x+2）＝f （x ）．当0＜x ≤1时，f （x ）＝x 3﹣ax+1，则实数a 的值为．12．（5分）在平面四边形ABCD 中，AB ＝1，DA ＝DB ，＝3，＝2，则|的最小值为．13．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2+y 2＝1，圆C ：（x ﹣4）2+y 2＝4．若存在过点P （m ，0）的直线l ，l 被两圆截得的弦长相等，则实数m 的取值范围．14．（5分）已知函数f （x ）＝（2x+a ）（|x ﹣a|+|x+2a|）（a ＜0）．若f （1）+f （2）+f （3）+…+f （672）＝0，则满足f （x ）＝2019的x 的值为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（14分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，M ，N 分别为棱PA ，PD 的中点．已知侧面P AD⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，DA ＝DP ．求证：（1）MN ∥平面PBC ；（2）MD ⊥平面PAB ．16．（14分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边的长，，．（1）求角B 的值；（2）若，求△ABC 的面积．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆（a ＞b ＞0）的左焦点为F ，右顶点为A，上顶点为B．（1）已知椭圆的离心率为，线段AF中点的横坐标为，求椭圆的标准方程；（2）已知△ABF外接圆的圆心在直线y＝﹣x上，求椭圆的离心率e的值．18．（16分）如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形ABCD，AB，AD的长分别为和4m，上部是圆心为O的劣弧CD，．（1）求图1中拱门最高点到地面的距离；（2）现欲以B点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形ABCD所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示．设BC与地面水平线l所成的角为θ．记拱门上的点到地面的最大距离为h，试用θ的函数表示h，并求出h的最大值．19．（16分）已知函数．（1）讨论f（x）的单调性；（2）设f（x）的导函数为f'（x），若f（x）有两个不相同的零点x1，x2．①求实数a的取值范围；②证明：x1f'（x1）+x2f'（x2）＞2lna+2．20．（16分）已知等差数列{a n}满足a4＝4，前8项和S8＝36．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足．①证明：{b n}为等比数列；②求集合．【选做题】本题包括21、22、C23三小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分0分）21．已知矩阵，，且，求矩阵M．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（t为参数）．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是ρsin（θ﹣）＝．求：（1）直线l的直角坐标方程；（2）直线l被曲线C截得的线段长．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知实数a，b，c满足a 2+b2+c2≤1，求证：．【必做题】第22、23题，每小题0分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3553等．显然2位“回文数”共9个：11，22，33，…，99．现从9个不同2位“回文数”中任取1个乘以4，其结果记为X；从9个不同2位“回文数”中任取2个相加，其结果记为Y．（1）求X为“回文数”的概率；（2）设随机变量ξ表示X，Y两数中“回文数”的个数，求ξ的概率分布和数学期望E （ξ）．25．设集合B是集合A n＝{1，2，3，……，3n﹣2，3n﹣1，3n}，n∈N *的子集．记B中所有元素的和为S（规定：B为空集时，S＝0）．若S为3的整数倍，则称B为A n的“和谐子集”．求：（1）集合A1的“和谐子集”的个数；（2）集合A n的“和谐子集”的个数．2019年江苏省泰州市、南通市、扬州市、苏北四市七市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．（5分）已知集合A＝{1，3}，B＝{0，1}，则集合A∪B＝{0，1，3}．【解答】解：根据题意，集合A＝{1，3}，B＝{0，1}，则A∪B＝{0，1，3}；故答案为：{0，1，3}．2．（5分）已知复数（i为虚数单位），则复数z的模为．【解答】解：＝，则复数z的模为．故答案为：．3．（5分）某中学组织学生参加社会实践活动，高二（1）班50名学生参加活动的次数统计如下：次数2345人数2015105则平均每人参加活动的次数为3．【解答】解：根据题意，计算这组数据的平均数为：＝×（20×2+15×3+10×4+5×5）＝3．故答案为：3．4．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的b的值为7．【解答】解：模拟程序的运行，可得a＝0，b＝1满足条件a＜15，执行循环体，a＝1，b＝3满足条件a＜15，执行循环体，a＝5，b＝5满足条件a＜15，执行循环体，a＝21，b＝7此时，不满足条件a＜15，退出循环，输出b的值为7．故答案为：7．5．（5分）有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为．【解答】解：有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，基本事件总数n＝3×3＝9，这两位同学参加不同兴趣小组包含的基本事件个数m＝3×2＝6，则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为p＝＝．故答案为：．6．（5分）已知正四棱柱的底面边长为3cm，侧面的对角线长是3cm，则这个正四棱柱的体积是54cm3．【解答】解：设正四棱柱的高为h，∵正四棱柱的底面边长为3cm，侧面的对角线长是3cm，∴＝3，解得h＝6（cm），∴这个正四棱柱的体积V＝Sh＝3×3×6＝54（cm3）．故答案为：54．7．（5分）若实数x，y满足x≤y≤2x+3，则x+y的最小值为﹣6．【解答】解：画出实数x，y满足x≤y≤2x+3的平面区域，如图示：由，解得A（﹣3，﹣3），由z＝x+y得：y＝﹣x+z，显然直线过A时z最小，z的最小值是﹣6，故答案为：﹣6．8．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）的准线为l ，直线l 与双曲线的两条渐近线分别交于A ，B 两点，，则p 的值为．【解答】解：抛物线y 2＝2px （p ＞0）的准线为l ：x ＝﹣，双曲线的两条渐近线方程为y ＝±x ，可得A （﹣，﹣），B （（﹣，），|AB|＝＝，可得p ＝2．故答案为：2．9．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y ＝3x+t 与曲线y ＝asinx+bcosx （a ，b ，t ∈R ）相切于点（0，1），则（a+b ）t 的值为4．【解答】解：根据题意得，t ＝1y ′＝acosx ﹣bsinx ∴k ＝acos0﹣bsin0＝a ∴a ＝3，bcos0＝1∴a ＝3，b ＝1故答案为4．10．（5分）已知数列{a n }是等比数列，有下列四个命题：①数列{|a n |}是等比数列；②数列{a n a n+1}是等比数列；③数列是等比数列；④数列{lga n 2}是等比数列．其中正确的命题有3个．【解答】解：由{a n}是等比数列可得＝q（q为常数，q≠0），①＝＝|q|为常数，故是等比数列；②＝＝q2为常数，故是等比数列；③＝＝常数，故是等比数列；④数列a n＝1是等比数列，但是lga n2＝0不是等比数列；故答案为：311．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+2）＝f（x）．当0＜x≤1时，f（x）＝x 3﹣ax+1，则实数a的值为2．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+2）＝f（x）．∴当x＝﹣1时，f（﹣1+2）＝f（﹣1）＝f（1），即﹣f（1）＝f（1），则f（1）＝0，∵当0＜x≤1时，f（x）＝x3﹣ax+1．∴f（1）＝1﹣a+1＝0，得a＝2，故答案为：212．（5分）在平面四边形ABCD中，AB＝1，DA＝DB，＝3，＝2，则|的最小值为2．【解答】解：如图，以A为原点，建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（1，0），因为DA＝DB，可设D（，m），因为?＝3，AB＝1，所以可设C（3，n），又?＝2，所以+mn＝2，即mn＝，+2＝（4，n+2m）|+2|＝＝≥＝2，当且仅当n＝2m，即n＝1，m＝时，等号成立．故答案为：213．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2+y 2＝1，圆C ：（x ﹣4）2+y 2＝4．若存在过点P （m ，0）的直线l ，l 被两圆截得的弦长相等，则实数m 的取值范围﹣4＜m．【解答】解：显然直线l 有斜率，设直线l ：y ＝k （x ﹣m ），即kx ﹣y ﹣km ＝0，依题意得1﹣（）2＝4﹣（）2＞0有解，即，∴13﹣8m ＞0且3m 2+8m ﹣16＜0解得﹣4＜m ＜，故答案为：﹣4＜m ．14．（5分）已知函数f （x ）＝（2x+a ）（|x ﹣a|+|x+2a|）（a ＜0）．若f （1）+f （2）+f （3）+…+f （672）＝0，则满足f （x ）＝2019的x 的值为337．【解答】解：注意到：，又因为：，，因此．所以，函数f （x ）关于点对称，所以，解得：a ＝﹣673，f （x ）＝（2x ﹣673）（|x+673|+|x ﹣2×673|）＝2019，显然有：0＜2x ﹣673＜2019，即，所以，f （x ）＝（2x ﹣673）（x+673+2×673﹣x ）＝2019，2x﹣673＝1，解得：x＝337．故答案为：337．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，M，N分别为棱PA，PD的中点．已知侧面P AD ⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，DA＝DP．求证：（1）MN∥平面PBC；（2）MD⊥平面PAB．【解答】证明：（1）在四棱锥P﹣ABCD中，M，N分别为棱PA，PD的中点，所以MN∥AD．……………………2分又底面ABCD是矩形，所以BC∥AD，所以MN∥BC．…………………………………………………………………4分又BC?平面PBC，MN?平面PBC，所以MN∥平面PBC．…………………………………………………………6分（2）因为底面ABCD是矩形，所以AB⊥AD．又侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD＝AD，AB?底面ABCD，所以AB⊥侧面P AD．……………………………………………………………8分又MD?侧面PAD，所以AB⊥MD．………………………………………………………………10分因为DA＝DP，又M为AP的中点，从而MD⊥P A．………………………………………………………………12分又P A，AB在平面PAB内，P A∩AB＝A，所以MD⊥平面P AB．…………………………………………………………14分16．（14分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长，，．（1）求角B的值；（2）若，求△ABC的面积．【解答】（本题满分为14分）解：（1）在△ABC中，因为，0＜A＜π，所以．………………………………………………………2分因为，由正弦定理，得．所以cosB＝sinB．…………………………………………………………………4分若cosB＝0，则sinB＝0，与sin2B+cos2B＝1矛盾，故cosB≠0．于是．又因为0＜B＜π，所以．…………………………………………………………………………7分（2）因为，，由（1）及正弦定理，得，所以．………………………………………………………………………9分又sin C＝sin（π﹣A﹣B）＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB＝．……………………………………………12分所以△ABC的面积为．……14分17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B．（1）已知椭圆的离心率为，线段AF中点的横坐标为，求椭圆的标准方程；（2）已知△ABF外接圆的圆心在直线y＝﹣x上，求椭圆的离心率e的值．【解答】解：（1）因为椭圆（a＞b＞0）的离心率为，所以，则a＝2c．因为线段AF中点的横坐标为，所以．所以，则a2＝8，b2＝a2﹣c2＝6．所以椭圆的标准方程为．…………………………………………………4分（2）因为A（a，0），F（﹣c，0），所以线段AF的中垂线方程为：．又因为△ABF外接圆的圆心C在直线y＝﹣x上，所以． (6)分因为A（a，0），B（0，b），所以线段AB的中垂线方程为：．由C在线段AB的中垂线上，得，整理得，b（a﹣c）+b2＝ac，…………………………………………………………10分即（b﹣c）（a+b）＝0．因为a+b＞0，所以b＝c．……………………………………………………………12分所以椭圆的离心率．…………………………………………14分18．（16分）如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形ABCD，AB，AD的长分别为和4m，上部是圆心为O的劣弧CD，．（1）求图1中拱门最高点到地面的距离；（2）现欲以B点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形ABCD所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示．设BC与地面水平线l所成的角为θ．记拱门上的点到地面的最大距离为h，试用θ的函数表示h，并求出h的最大值．【解答】解：（1）如图，过O作与地面垂直的直线交AB，CD于点O1，O2，交劣弧CD 于点P，O1P的长即为拱门最高点到地面的距离．在Rt△O2OC中，，，所以OO2＝1，圆的半径R＝OC＝2．所以O1P＝R+OO1＝R+O1O2﹣OO2＝5．答：拱门最高点到地面的距离为5m．…………………4分（2）在拱门放倒过程中，过点O作与地面垂直的直线与“拱门外框上沿”相交于点P．当点P在劣弧CD上时，拱门上的点到地面的最大距离h等于圆O的半径长与圆心O到地面距离之和；当点P在线段AD上时，拱门上的点到地面的最大距离h等于点D到地面的距离．由（1）知，在Rt△OO1B中，．以B为坐标原点，直线l为x轴，建立如图所示的坐标系．（2.1）当点P在劣弧CD上时，．由，，由三角函数定义，得O，则．…………………………………………………………8分所以当即时，h取得最大值．……………………………………………………10分（2.2）当点P在线段AD上时，．设∠CBD＝φ，在Rt△BCD中，，．由∠DBx＝θ+φ，得．所以＝．……………………………………14分又当时，．所以在上递增．所以当时，h取得最大值5．因为，所以h的最大值为．答：；艺术拱门在放倒的过程中，拱门上的点到地面距离的最大值为（）m．……………………………………………16分19．（16分）已知函数．（1）讨论f（x）的单调性；（2）设f（x）的导函数为f'（x），若f（x）有两个不相同的零点x1，x2．①求实数a的取值范围；②证明：x1f'（x1）+x2f'（x2）＞2lna+2．【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），且．（i）当a≤0时，f'（x）＞0成立，所以f（x）在（0，+∞）为增函数；………2分（ii）当a＞0时，①当x＞a时，f'（x）＞0，所以f（x）在（a，+∞）上为增函数；②当0＜x＜a时，f'（x）＜0，所以f（x）在（0，a）上为减函数．………4分（2）①由（1）知，当a≤0时，f（x）至多一个零点，不合题意；当a＞0时，f（x）的最小值为f（a），依题意知f（a）＝1+lna＜0，解得．……………………………………6分一方面，由于1＞a，f（1）＝a＞0，f（x）在（a，+∞）为增函数，且函数f（x）的图象在（a，1）上不间断．所以f（x）在（a，+∞）上有唯一的一个零点．另一方面，因为，所以，，令，当时，，所以又f（a）＜0，f（x）在（0，a）为减函数，且函数f（x）的图象在（a2，a）上不间断．所以f（x）在（0，a）有唯一的一个零点．综上，实数a的取值范围是．……………………………………………10分②证明：设．又则p＝2+ln（x1x2）．………………………………………12分下面证明．不妨设x1＜x2，由①知0＜x1＜a＜x2．要证，即证．因为，f（x）在（0，a）上为减函数，所以只要证．又f（x1）＝f（x2）＝0，即证．……………………………………14分设函数．所以，所以F（x）在（a，+∞）为增函数．所以F（x2）＞F（a）＝0，所以成立．从而成立．所以p＝2+ln（x1x2）＞2lna+2，即x1f'（x1）+x2f'（x2）＞2lna+2成立．…16分20．（16分）已知等差数列{a n}满足a4＝4，前8项和S8＝36．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足．①证明：{b n}为等比数列；②求集合．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d．因为等差数列{a n}满足a4＝4，前8项和S8＝36，所以，解得所以数列{a n}的通项公式为a n＝n．（2）①设数列{b n}前n项的和为B n．由（1）及得，由③﹣④得3（2n﹣1）﹣3（2n﹣1﹣1）＝（b1a2n﹣1+b2a2n﹣3+…+b n﹣1a3+b n a1+2n）﹣（b1a2n ﹣3+b2a2n﹣5+…+b n﹣1a1+2n﹣2）＝[b1（a2n﹣3+2）+b2（a2n﹣5+2）+…+b n﹣1（a1+2）+b n a1+2n]﹣（b1a2n﹣3+b2a2n﹣5+…+b n﹣1a1+2n﹣2）＝2（b1+b2+…+b n﹣1）+b n+2＝2（B n﹣b n）+b n+2．所以3?2n﹣1＝2B n﹣b n+2（n≥2，n∈N*），又3（21﹣1）＝b1a1+2，所以b1＝1，满足上式．所以当n≥2时，由⑤﹣⑥得，．＝，所以，，所以数列{b n}是首项为1，公比为2的等比数列．②由，得，即．记，由①得，，所以，所以c n≥c n+1（当且仅当n＝1时等号成立）．由，得c m＝3c p＞c p，所以m＜p；设t＝p﹣m（m，p，t∈N*），由，得．当t＝1时，m＝﹣3，不合题意；当t＝2时，m＝6，此时p＝8符合题意；当t＝3时，，不合题意；当t＝4时，，不合题意．下面证明当t≥4，t∈N*时，．不妨设f（x）＝2x﹣3x﹣3（x≥4），f'（x）＝2x ln2﹣3＞0，所以f（x）在[4，+∞）上单调增函数，所以f（x）≥f（4）＝1＞0，所以当t≥4，t∈N*时，，不合题意．综上，所求集合＝{（6，8）}．【选做题】本题包括21、22、C23三小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分0分）21．已知矩阵，，且，求矩阵M．【解答】解：由题意，，则．……………………………………4分因为，则．……………………………………………………6分所以矩阵．………………………………………………10分[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（t为参数）．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是ρsin（θ﹣）＝．求：（1）直线l的直角坐标方程；（2）直线l被曲线C截得的线段长．【解答】解：（1）直线l的极坐标方程是ρsin（θ﹣）＝．转换为直角坐标方程为：x﹣y+2＝0；（2）曲线C的参数方程是（t为参数）：转换为直角坐标方程为：x2＝y．由，得x2﹣x﹣2＝0，所以直线l与曲线C的交点A（﹣1，1），B（2，4）．所以直线l被曲线C截得的线段长为．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知实数a，b，c满足a 2+b2+c2≤1，求证：．【解答】证明：由柯西不等式，得， (5)分所以．…………………………10分【必做题】第22、23题，每小题0分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3553等．显然2位“回文数”共9个：11，22，33，…，99．现从9个不同2位“回文数”中任取1个乘以4，其结果记为X；从9个不同2位“回文数”中任取2个相加，其结果记为Y．（1）求X为“回文数”的概率；（2）设随机变量ξ表示X，Y两数中“回文数”的个数，求ξ的概率分布和数学期望E （ξ）．【解答】解：（1）记“X是‘回文数’”为事件A．9个不同2位“回文数”乘以4的值依次为：44，88，132，176，220，264，308，352，396．其中“回文数”有：44，88．所以，事件A的概率．……………………………………………………3分（2）根据条件知，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2．由（1）得．…………………………………………………………………5分设“Y是‘回文数’”为事件B，则事件A，B相互独立．根据已知条件得，．；；……………………………………………………8分所以，随机变量ξ的概率分布为ξ012P所以，随机变量ξ的数学期望为：． (10)分25．设集合B是集合A n＝{1，2，3，……，3n﹣2，3n﹣1，3n}，n∈N *的子集．记B中所有元素的和为S（规定：B为空集时，S＝0）．若S为3的整数倍，则称B为A n的“和谐子集”．求：（1）集合A1的“和谐子集”的个数；（2）集合A n的“和谐子集”的个数．【解答】解：（1）由题意有：A1＝，则集合A1的“和谐子集”为：?，，，共4个，故答案为：4；（2）记A n的“和谐子集”的个数等于a n，即A n有a n个所有元素的和为3的整数倍的子集，另记A n有b n个所有元素的和为3的整数倍余1的子集，有c n个所有元素的和为3的整数倍余2的子集，易知：a1＝4，b1＝2，c1＝2，集合A n+1＝{1，2，3，……，3n﹣2，3n﹣1，3n，3n+1，3n+2，3n+3}的“和谐子集”有以下4种情况，（考查新增元素3n+1，3n+2，3n+3）①集合集合A n＝{1，2，3，……，3n﹣2，3n﹣1，3n}的“和谐子集”共a n个，②仅含一个元素3（n+1）的“和谐子集”共a n个，同时含两个元素3n+1，3n+2的“和谐子集”共a n个，同时含三个元素3n+1，3n+2，3（n+1）的“和谐子集”共a n个，③仅含一个元素3n+1的“和谐子集”共c n个，同时含两个元素3n+1，3n+3的“和谐子集”共c n个，④仅含一个元素3n+2的“和谐子集”共b n个，同时含两个元素3n+2，3n+3的“和谐子集”共b n个，所以集合A n+1的“和谐子集”共有a n+1＝4a n+2b n+2c n，同理：b n+1＝4b n+2a n+2c n，c n+1＝4c n+2a n+2c n，所以a n+1﹣b n+1＝2（a n﹣b n），所以数列是以a1﹣b1＝2为首项，2为公比的等比数列，求得：a n＝b n+2n，同理a n＝c n+2n，又a n+b n+c n＝23n，解得：a n＝+（n∈N*）故答案为：+（n∈N*）。
2019年江苏省高考数学模拟试卷(1)(含附加,详细答案)
2019年江苏省高考数学模拟试卷(1)(含附加,详细答案)文章中没有明显的格式错误和有问题的段落，因此直接改写每段话。
2019年高考模拟试卷（1）第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
1.已知集合A为{x-1<x<1}，集合B为{-1≤x≤2}，则AB 的并集为[ -1.2 )。
2.复数z=2i/(1-i)的实部是2/5.3.甲、乙两人下棋，结果是一人获胜或下成和棋。
已知甲不输的概率为0.8，乙不输的概率为0.7，则两人下成和棋的概率为0.06.4.某地区连续5天的最低气温（单位：°C）依次为8，-4，-1，0，2，则该组数据的方差为23.2.5.根据XXX所示的伪代码，当输出y的值为2时，则输入的x的值为e。
6.在平面直角坐标系xOy中，圆x^2+y^2-4x+4y+4=0被直线x-y-5=0所截得的弦长为4.7.如图，三个相同的正方形相接，则XXX∠XXX的值为1.8.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E为PD上一点，且PE=2ED。
设三棱锥P-ACE的体积为V1，三棱锥P-ABC的体积为V2，则.9.已知F是抛物线C:y=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N。
若M是FN的中点，则FN的长度为16.10.若函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=xlnx，则不等式f(x)<-e的解集为(1/e。
e)。
11.钢材市场上通常将相同的圆钢捆扎为正六边形垛（如图）。
现将99根相同的圆钢捆扎为1个尽可能大的正六边形垛，则剩余的圆钢根数为3.12.如图，在△ABC中，点M为边BC的中点，且AM=2，点N为线段AM的中点，若AB×AC=28，则NB×NC的值为21.13.已知正数x，y满足x+y+1/x+1/y=10，则x+y的最小值是4.14.设等比数列{an}满足：a1=2，an=cos(πn/2)+3sin(πn/2)，其中n∈N，且nπ/2∈(0.π/2)。
2019年高考数学(理科)模拟试卷(一)
2019年高考数学(理科)模拟试卷(一) 2019年高考数学(理科)模拟试卷(一)第Ⅰ卷(选择题满分60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|y=lg(3-2x)}，B={x|x²≤4}，则A∪B=（）A。
{x|-2≤x<2}B。
{x|x<2}C。
{x|-2<x<2}D。
{x|x≤2}2.若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（）A。
(-∞,1)B。
(-∞,-1)C。
(1,+∞)D。
(-1,+∞)3.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为（）A。
6斤B。
9斤C。
9.5斤D。
12斤4.某三棱锥的三视图如图M1-1，则该三棱锥的体积为（）A。
60B。
30C。
20D。
105.设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数。
若存在实数t，使得[t]=1，[t²]=2，…，[tn]=n同时成立，则正整数n的最大值是（）A。
3B。
4C。
5D。
66.执行两次如图M1-2所示的程序框图，若第一次输入的x值为7，第二次输入的x值为9，则第一次、第二次输出的a 值分别为（）A。
0,0B。
1,1C。
0,1D。
1,07.某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图M1-3，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则m+n的值是（）A。
10B。
11C。
12D。
138.若x，y满足约束条件x+y-3≥0，x-2y≤0，则x≥（）A。
[0,6]B。
[0,4]C。
[6,+∞)D。
[4,+∞)13.首先求出向量a和b的夹角，由向量点乘公式可得cosθ = (a·b)/(|a||b|) = 9/√20，其中θ为夹角。
江苏省南京市2019届高三数学考前综合训练题及答案
南京市2019届高三数学考前综合训练题一、填空题1．数列{a n }为等比数列，其前n 项的乘积为T n ，若T 2＝T 8，则T 10＝ ． 【答案】1【提示】法一：由T 2＝T 8得a 3·a 4·…·a 8＝1，则(a 3·a 8)3＝1，a 3·a 8＝1．从而T 10＝a 1·a 2·…·a 10＝(a 1·a 10)5＝(a 3·a 8)5＝1； 法二：(特殊化思想)，取a n ＝1，则T 10＝1．【说明】本题考查等比数列的运算性质．可一般化：{a n }为正项等比数列，其前n 项的乘积为T n ，若T m ＝T n ，则T m ＋n ＝1；可类比：{a n }为等差数列，其前n 项的和为S n ，若S m ＝S n ，则S m ＋n ＝0．(其中m ，n ∈N *，m ≠n )．2．已知点P 为圆C ：x 2＋y 2－4x －4y ＋4＝0上的动点，点P 到某直线l 的最大距离为5．若在直线l 上任取一点A 作圆C 的切线AB ，切点为B ，则AB 的最小值是________． 【答案】5．【提示】由P 到直线l 的最大距离为5，得圆心C 到直线l 的距离为3，从而直线l 与圆C 相离．过A 引圆C 的切线长AB ＝AC 2－r 2＝AC 2－4≥32－4＝5．【说明】点､直线与圆的相关问题常转化为圆心与点､直线问题．3．已知直线l ：x －2y ＋m ＝0上存在点M 满足与两点A (－2，0)，B (2，0)连线的斜率k MA 与k MB 之积为－34，则实数m 的值是___________． 【答案】[－4，4]．【提示】点M 的轨迹为x 24＋y 23＝1(x ≠±2)．把直线l ：x ＝2y －m 代入椭圆方程得，16y 2－12my ＋(3m 2－12)＝0．根据条件，上面方程有非零解，得△≥0，解得－4≤m ≤4．【说明】求曲线方程的直接法，研究直线与椭圆位置关系中基本方法是方程思想．4．已知数列{a n }为正项等差数列，满足1a 1＋4a 2k －1≤1(其中k ∈N *且k ≥2)，则a k 的最小值为_________．【答案】92．【提示】因为{a n }为正项等差数列，则a k ＝a 1 ＋ a 2k －1 2≥a 1 ＋ a 2k －1 2·(1a 1＋4a 2k －1)＝12·(5＋a 2k －1a 1＋4 a 1a 2k －1)≥12·(5＋2a 2k －1a 1·4 a 1a 2k －1)＝92(当且仅当1a 1＋4a 2k －1＝1，且a 2k －1a 1＝4 a 1a 2k －1， 即a 1＝3，a 2k －1＝6时取“＝”号)．【说明】本题将等差数列的运算性质(等差中项)与基本不等式进行综合．5． 以C 为钝角的△ABC 中，BC ＝3，→BA ·→BC ＝12，当角A 最大时，△ABC 面积为__________． 【答案】3【提示】过A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，则→BA ·→BC ＝|→BA ||→BC |cos B ＝BDBC ＝3BD ＝12， 所以BD ＝4，又BC ＝3，所以CD ＝1．设AD ＝y (y ＞0)，则tan ∠BAC ＝4y －1y 1＋4y 2＝3y ＋4y≤34，且仅当y ＝4y，即y ＝2时取“＝”，由正切函数的单调性知此时∠BAC 也最大．【说明】学会从向量的数量积处理的三种手法：定义法､基底法和坐标法中选择，本题用定义法最为简洁，用坐标法也可以得出同上结论，另由两个直角三角形拼接的平面图形，计算角的最值，可转化到直角三角形用两角和与差的正切来解决，体现了化归与转化的思想．6．计算：4sin20︒＋tan20︒＝ ． 【答案】3．【提示】原式＝4sin20︒＋sin20︒cos20︒＝4sin20︒ cos20︒＋sin20︒cos20︒＝2sin40︒＋sin20︒cos20︒＝2sin(60︒－20︒)＋sin20︒cos20︒＝3cos20︒－sin20︒＋sin20︒cos20︒＝3．【说明】切化弦､向特殊角转化､向单一的角转化是三角恒等变换(求值)的一般思路． 7．设α是锐角，且cos(α＋π6)＝45，则sin(2α＋π12)的值为 ．【答案】17250【提示】因为α是锐角，所以π6＜α＋π6＜2π3，因为cos(α＋π6)＝45，所以sin(α＋π6)＝35．sin2(α＋π6)＝2sin(α＋π6)cos(α＋π6)＝2425，cos2(α＋π6)＝1－2sin 2(α＋π6)＝725．ABCDsin(2α＋π12)＝sin[2(α＋π6)－π4]＝sin2(α＋π6)cos π4－cos2(α＋π6)sin π4＝2425×22－725×22＝17250．【说明】考查同角三角函数，倍角三角函数，和角三角函数，重点突出角之间的互化，设法将所求角转化为已知角，用已知角表示所求角．8．等比数列{a n }中，首项a 1＝2，公比q ＝3，a n ＋a n ＋1＋…＋a m ＝720(m ，n ∈N *，m ＞n )，则m ＋n ＝ ． 【答案】9．【提示】因为a n ＝2·3n －1，则a n ＋a n ＋1＋…＋a m ＝2·3n －1·(1－3m－n ＋1)1－3＝3n －1·(3m －n ＋1－1)＝720＝32×24×5，则⎩⎨⎧n －1＝2m －n ＋1＝4，解得n ＝3，m ＝6，则m ＋n ＝9． 【说明】本题考查等比数列中的基本运算，涉及到简单的数论知识（整数的分解）．9．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋4，x ＜a ，x 2－2x ，x ≥a，若任意实数b ，总存在实数x 0，使得f (x 0)＝b ，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】－5≤a ≤4．【提示】“任意实数b ，总存在实数x 0，使得f (x 0)＝b ”等价于函数f (x )的值域为R ．在平面直角坐标系xOy 中，分别作出函数y ＝x ＋4及y ＝x 2－2x 的图像， 观察图像可知－5≤a ≤4．【说明】本题要注意条件的等价转化．一般情况下涉及到分段函数的问题都要有意识的作出图像，运用数形结合的方法解决问题，学会从特殊值验证，再到一般结论的发展．10．已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】（－∞，－2）【提示】解法一：若a ＝0，解得x ＝±33，不合题意． 若a ＞0，则f (－1)＝－a －2＜0，f (0)＝1＞0，所以f (x )存在负的零点，不合题意． 若a ＜0，则f ′(x )＝3ax (x －2a )，可得f (2a )＝1－4a 2为极小值，则满足1－4a 2＞0，解得a ＞2或a ＜－2．此时，取得a ＜－2． 综上，a 的取值范围是（－∞，－2）．解法二：f (x )＝0，即ax 3＝3x 2－1，分离参数a ＝3x －1x3，同样可得a ＜－2．【说明】考查零点概念、零点存在性定理；函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想，学会利用导数来研究函数的图象和性质．11．设函数f (x )＝ln x ＋mx ，（m ∈R ），若对任意b ＞a ＞0，f (b )－f (a )b －a ＜1恒成立，则m 的取值范围是 ．【答案】[14，＋∞）．【提示】对任意的b ＞a ＞0，f （b ）－f （a ）b －a＜1恒成立，等价于f (b )－b ＜f (a )－a 恒成立．函数h (x )＝f (x )－x ＝ln x ＋mx－x 在(0，＋∞)是单调减函数，即h ′(x )＝1x －m x 2－1≤0在(0，＋∞)上恒成立，得m ≥－x 2＋x ＝－(x －12)2＋14（x ＞0）恒成立，解得：m ≥14．所以m 的取值范围是[14，＋∞）．【说明】考查求常见函数的导数，利用导数研究函数的单调性，会用分离常数的方法来研究不等式恒成立问题，不等式、方程、函数三者之间相互转化是高考考查的重点，要培养用函数的观点来研究不等式、方程的意识，体现数形结合思想．二、解答题1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知tan A ＝13．设向量x ＝(3a ，cos A )，y ＝(2c ，cos C )，且x ∥y ．（1）若b ＝5，求c 2－a 2的值； （2）求B 的值．解：（1）因为x ∥y ，所以3a cos C ＝2c cos A ．用余弦定理代入，化简可得：b 2＝5(c 2－a 2)． 因为b ＝5，所以c 2－a 2＝1．（2）因为3a cos C ＝2c cos A ，由正弦定理得：3sin A cos C ＝2sin C cos A ，即3tan A ＝2tan C ． 因为tan A ＝13，所以tan C ＝12，从而tan B ＝－tan(A ＋C )＝－tan A ＋tan C1－tan A tan C＝－1．因为B ∈(0，π)，所以B ＝3π4．【说明】考查向量的平行，正弦、余弦定理，两角和与差的正切公式．能够根据题目的要求正确实现边角互化．2．三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，面积为S ． （1）若AB →·AC →≤23S ，求A 的取值范围；（2）若tan A ∶tan B ∶tan C ＝1∶2∶3，且c ＝1，求b ． 解：（1）由题意知，AB →·AC →＝bc cos A ，S ＝12bc sin A ，所以bc cos A ≤3bc sin A ，即cos A ≤3sin A ，（或也可根据cos A 的正负，转化为关于tan A 的不等式）． 即3sin A －cos A ≥0，2sin(A －π6)≥0．因为A 为三角形内角，则A －π6∈(－π6，5π6)，所以0≤A －π6＜5π6，从而A ∈[π6，π)．（2）设tan A ＝m ，tan B ＝2m ，tan C ＝3m ，由题意知，m ＞0． 因为tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B 1－tan A ·tan B ，则3m ＝－ 3m1－2m 2，解得m ＝1，则tan B ＝2，tan C ＝3，从而sin B ＝255，sin C ＝31010，所以AC AB ＝sin B sin C ＝22 3，则AC ＝223．【说明】本题第（1）问考查数量积､三角形面积公式､两角和差公式及简单的三角不等式．第（2）问的目的是考查斜三角形三内角A ，B ，C 满足的一个恒等式(tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ·tan B ·tan C )． 还可联想到一类求值问题(两角和差正切公式的变形)，如tan37︒＋tan23︒＋3tan37︒·tan23︒等问题．3．某高速公路收费站出口处依次有编号为1､2､3､4､5的五个收费窗口．（1）若每天随机开放其中的3个收费窗口，则恰有两个相邻窗口开放（如：1，2，4）的概率是多少? （2）经统计，在某个开放的收费窗口处排队等侯的车辆数及相应概率如下：①该收费窗口处至多有2辆车排队等侯的概率是多少? ②该收费窗口处至少有3辆车排队等侯的概率是多少?解：（1）记事件A 为“开放3个收费窗口，恰有两个相邻窗口开放”，用(i ，j ，k )表示编号分别为i ，j ，k的三个收费窗口开放．则本题的基本事件包括：(1，2，3)，(1，2，4)(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)， (2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)， 共10个基本事件；而事件A 包括：(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，4，5)，(2，3，5)，(2，4，5)， 共6个基本事件．因此P (A )＝610＝35．答：随机开放其中三个收费窗口，恰有两个相邻窗口开放的概率为35．（2）记事件B i 为“该收费窗口处有i 辆车排队等侯”，其中i ＝0，1，2，3，4，5．则由题意知，上述6个事件为互斥事件．记事件C 为“该收费窗口处至多有2辆车排队等侯”， 事件D 为“该收费窗口处至少有3辆车排队等侯”．则P (C )＝P (B 0＋B 1＋B 2)＝ P (B 0)＋P (B 1)＋P (B 2)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56， P (D )＝P (B 3＋B 4＋B 5)＝ P (B 3)＋P (B 4)＋P (B 5)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44． （另解：由题意知事件C ，D 为对立事件，则P (D )＝P (－C )＝1－P (C)＝0.44）答：该收费窗口处至多2辆车排队等侯的概率为0.56，至少3辆车排队等侯的概率为0.44． 【说明】本题考查古典概型和互斥事件的概率计算，主要要注意规范表述． 4．如图，四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，三角形BCD为正三角形． （1）当∠BAD ＝π3时，设AC →＝x AB → ＋ yAD →，求x ，y 的值；（2）设∠BAD ＝α，则当α为多少时，四边形ABCD 的面积S 最大，并求出最大值．解：（1）在△ABD 中，由于AB ＝2，AD ＝1，∠BAD ＝π3，易得BD ＝3，∠ABD ＝π6，∠ADB ＝π2，∠ABC ＝π2，∠ADC ＝5π6．下面提供三种解法：法一：如图，过点C 作CE //AD 交AB 于点E ，在△BCE 中，BC ＝3，∠ABC ＝π2，∠BEC ＝π3，则CE ＝2，BE ＝1，则AE ＝1，所以AC →＝AE →＋EC →＝12AB →＋2AD →，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝2．法二：以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立如图直角坐标系．ACDBACDB则D (12，32)，B (2，0)，C (2，3)，则AC →＝(2，3)，AB →＝(2，0)，从而AD →＝(12，32)，则⎩⎨⎧2x ＋12y ＝2 32y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝2．法三：因为AC →·AB →＝x AB →2＋y AD →·AB →＝4x ＋y ，又AC →·AB →＝(AB →＋BC →)·AB →＝AB →2＋BC →·AB →＝4， 则4x ＋y ＝4．因为AC →·AD →＝x AB →·AD →＋yAD →2＝x ＋y ，又AC →·AD →＝(AD →＋DC →)·AD →＝AD →2＋DC →·AD →＝1＋1×3×cos π6＝52，则x ＋y ＝52．从而⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ＝4x ＋y ＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝2．（2）在△ABD 中，由余弦定理知，BD ＝5－4cos α，则S △ABD ＝sin α，S △BDC ＝34BD 2＝34(5－4cos α)， 则S ＝ sin α－ 3cos α＋ 534＝2sin(α－ π3)＋534，α∈(0，π)， 所以S max ＝2＋534，此时α－ π3＝π2，即α＝5π6． 【说明】第（1）问考查平面向量基本定理，将向量AC →用基底AB →，AD →线性表示．此类问题通常的处理方法：利用“平行四边形法则”或“三角形法则”分解；将向量用坐标表示；将向量与基底进行运算（数量积､平方等）．第（2）问考查三角形面积､三角恒等变换及三角函数在给定区间上的最值问题． 5．某隧道长2150m ，通过隧道的车辆速度不能超过20m /s ．一列有55辆车身长都为10m 的同一车型的车队(这种型号车能行驶的最高速度为40m /s )，匀速通过该隧道，设车队的速度为xm /s ，根据安全和车流量的需要，当0＜x ≤10时，相邻两车之间保持20m 的距离；当10＜x ≤20时，相邻两车之间保持(16x 2＋13x )m 的距离．自第1辆车车头进入隧道至第55辆车车尾离开隧道所用时间为y (s )． （1）将y 表示为x 的函数；（2）求车队通过隧道时间y 的最小值及此时车队的速度．(3≈1.73)． 解：（1）当0＜x ≤10时，y ＝2150＋10×55＋20×(55－1)x ＝3780x(s )；当10＜x ≤20时，y ＝2150＋10×55＋(16x 2＋13x )×(55－1)x ＝2700＋9x 2＋18xx＝18＋9x ＋2700x(s )．所以y ＝⎩⎨⎧3780x，0＜x ≤10，18＋9x ＋2700x，10＜x ≤20．（2）当x ∈(0，10]时，在x ＝10时，y min ＝378010＝378(s )． 当x ∈(10，20]时，y ＝18＋9x ＋2700x≥18＋29x ⋅2700x＝18＋1803≈329.4(s )． 当且仅当9x ＝2700x，即x ＝103≈17.3时取等号．因为17.3∈(10，20]，所以当x ＝17.3m /s 时，y min ＝329.4(s )．因为378＞329.4，所以当车队的速度为17.3m /s 时，车队通过隧道时间y 有最小值329.4s ．【说明】注意半建模型的应用问题，其中变量在不同范围内，对应的函数关系不一样，处理问题的方法也有区别，可与多项式函数､分式函数､三角函数等综合，也可用不等式､导数､三角变换等工具研究其最值．6．在平面直角坐标系xOy 中，圆O :x 2＋y 2＝1，P 为直线l ：x ＝t (1＜t ＜2)上一点． （1）已知t ＝43．①若点P 在第一象限，且OP ＝53，求过点P 圆O 的切线方程；②若存在过点P 的直线交圆O 于点A ，B ，且B 恰为线段AP 的中点，求点P 纵坐标的取值范围； （2）设直线l 与x 轴交于点M ，线段OM 的中点为Q ．R 为圆O 上一点，且RM ＝1，直线RM 与圆O交于另一点N ，求线段NQ 长的最小值．解：（1）设点P 的坐标为(43，y 0)．①因OP ＝53，所以(43)＋y 02＝(53)2，解得y 0＝±1．又点P 在第一象限，所以y 0＝1，即P 的坐标为(43，1)．易知过点P 圆O 的切线的斜率必存在，可设切线的斜率为k ，则切线为y －1＝k (x －43)，即kx －y ＋1－43k ＝0，于是有|1－43k |k 2＋1 ＝1，解得k ＝0或k ＝247．因此过点P 圆O 的切线为:y ＝1或24x －7y －25＝0． ②设A (x ，y )，则B (x ＋432，y ＋y 02)．因为点A ，B 均在圆上，所以有⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，(x ＋432)2＋(y ＋y 02)2＝1．即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，(x ＋43)2＋(y ＋y 0)2＝4． 该方程组有解，即圆x 2＋y 2＝1与圆(x ＋43)2＋(y ＋y 0)2＝4有公共点．于是1≤169 ＋y 02≤3，解得－65 3≤y 0≤65 3， 即点P 纵坐标的取值范围是[－65 3，653]． （2）设R (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 22＋y 22＝1，(x 2－t )2＋y 22＝1．解得x 2＝t 2，y 22＝1－t 24． RM 的方程为：y ＝－2y 2t(x －t )． 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1， y ＝－2y 2t (x －t )．可得N 点横坐标为t (3－t 2)2，所以NQ ＝(2t －t 32)2＋1－(3t －t 32)2＝122t 4－5t 2＋4． 所以当t 2＝54即t ＝ 5 2时，NQ 最小为148．【说明】本题考查了直线与圆的位置关系､圆与圆的位置关系．其中第二问要能体会将方程组有解问题转化为圆与圆有公共点问题；第三问要能会求在已知一个交点的情况下直线与曲线的另一个交点的坐标．最后需要注意解析几何当中求范围问题．7． 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1过点D (1，32)，且右焦点为F (1,0)，右顶点为A ．过点F 的弦为B C ．直线BA ，直线CA 分别交直线l :x ＝m,(m ＞2)于P ､Q 两点． （1）求椭圆方程；（2）若FP ⊥FQ ，求m 的值．解：（1）1a 2＋94b 2＝1,a 2－b 2＝1,解之得a 2＝4，b 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1；（2）设B (x 0，y 0)，则BC ：y ＝y 0x 0－1(x －1)，与椭圆E ：x 24＋y 23＝1联立方程组：⎩⎨⎧y ＝y 0x 0－1(x －1)， x 24＋y 23＝1．解得x ＝x 0，y ＝y 0或x ＝8－5x 05－2x 0，y ＝－3y 05－2x 0，所以C (8－5x 05－2x 0,－3y 05－2x 0)．k AB k AC ＝y 0x 0－2⋅－3y 05－2x 08－5x 05－2x 0－2＝y 0x 0－2⋅3y 0x 0＋2＝3y 02x 02－4＝9(1－x 024)x 02－4＝－94．显然k AB ＝k AP ,k AC ＝k AQ ，所以k AP k AQ ＝－94．设Q (m,y 1)k FQ ＝y 1m －1＝y 1m －2⋅m －2m －1＝m －2m －1k AQ ，同理k FP ＝m －2m －1 k AP ．所以k FP k FQ ＝(m －2m －1)2k AP k AQ ＝－94(m －2m －1)2＝－1,又m ＞2，所以m －2m －1＝23，所以m ＝4．【说明】本题考查了椭圆的标准方程､直线的斜率．重点考查学生的计算能力，即应用解析的方法证明圆锥曲线性质的能力．本题中要证明FP ⊥FQ ，即证明k FP k FQ ＝－1，通过分析可以发现k FQ 与k AQ 成比例，同理k FP 与 k AP 成比例，故只需证明k AB k AC 即可．8．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) 的离心率e ＝22，右焦点､下顶点､左顶点分别为F 2，B ，A ．AB ＝3．直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，直线AP 与BQ 交于点M ． （1）求a ，b 的值；（2）当BP 过点F 2时，求过A ､B ､P 三点的圆的方程； *（3）当AM MP ＝BMMQ 时，求F 2M 的最小值．解：（1）根据条件得，⎩⎨⎧c a ＝22，a 2＋b 2＝3，a 2＝b 2＋c 2．解得a ＝2，b ＝1．（2）由（1）知，F 2，B 的坐标分别为(1，0)，(0，－1)．所以BP 方程为y ＝x －1． 代入C ：x 22＋y 2＝1得3x 2－4x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝43．所以P (43，13)．设过A ，B ，P 三点的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将A (－2，0)，B (0，－1)，P (43，13)代入得，⎩⎨⎧－2D ＋F ＝－2，－E ＋F ＝－1，43D ＋13E ＋F ＝－179．解得⎩⎨⎧D ＝13(2－1)，E ＝－13(2＋1)，F ＝－13(2＋4)．所以所求圆的方程为x 2＋y 2＋13(2－1)x －13(2＋1)y －13(2＋4)＝0．（3）设P ，Q ，M 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 0，y 0)，且AM MP ＝BMMQ＝λ，根据条件得，→AM ＝λ→MP ，→BM ＝λ→MQ ．由→AM ＝λ→MP 得，即(x 0＋2，y 0)＝λ(x 1－x 0，y 1－y 0)． 所以⎩⎨⎧x 0＋2＝λ(x 1－x 0)，y 0＝λ(y 1－y 0)．解得⎩⎨⎧x 1＝(1＋1λ)x 0＋2λ，y 1＝(1＋1λ)y 0．同理，由→BM ＝λ→MQ 得，⎩⎨⎧x 2＝(1＋1λ)x 0，y 2＝(1＋1λ)y 0＋1λ．因为P (x 1，y 1)在椭圆C 上，所以x 12＋2y 12＝2．代入得，[(1＋1λ)x 0＋2λ]2＋2[(1＋1λ)y 0]2＝2．同理得，[(1＋1λ)x 0]2＋2[(1＋1λ)y 0＋1λ]2＝2．把上面两式相减得，(1＋1λ)(x 0－2y 0)＝0．因为1＋1λ≠0，所以x 0－2y 0＝0．即点M 的轨迹是直线x －2y ＝0在椭圆内的一段．所以F 2M 的最小值即为F 2到直线x －2y ＝0距离．即F 2M min ＝∣1⋅1－2⋅0∣12＋(－2)2＝33． 【说明】（1）椭圆中的a ，b ，c 与各种几何量之间关系要熟记，它们是求椭圆标准方程与几何量的基础； （2）注意求方程的待定系数法，合理选择方程的形式；（3）在进行关系转化时，一定要分清主次，要求什么量关系，需要消去哪些量，先想明白，再变形． 9．已知函数f (x )＝(x －1)e x ，g (x )＝ln x ，其中e 是自然对数的底数． （1）求函数f (x )的极值；（2）求函数h (x )＝f (x )＋e ∣g (x )－a ∣(a 为常数)的单调区间；解：（1）因为f '(x )＝x e x ，所以当x ＞0时，f '(x )＞0；当x ＜0时，f '(x )＜0． 因此f (x )在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减， 所以f (x )有极小值为f (0)＝－1，无极大值．（2）h (x )＝f (x )＋e ∣g (x )－a ∣＝(x －1)e x ＋e ∣ln x －a ∣．当x ≥e a 时，h (x )＝(x －1)e x ＋e(ln x －a )，h '(x )＝x e x ＋ex ＞0恒成立，h (x )在(e a ，＋∞)上单调递增，当0＜x ≤e a 时，h (x )＝(x －1)e x ＋e(a －ln x )，h '(x )＝x e x －e x ，[h '(x )]'＝(x ＋1) e x ＋ex 2＞0恒成立．所以h '(x )在(0，e a ]上单调递增，注意到h '(1)＝0． 因此当a ≤0时，h '(x )≤0恒成立．当a ＞0时，当x ∈(0，1)时，h '(x )＜0；当x ∈[1，e a ]时，h '(x )≥0．综上有：当a ≤0时，h (x )减区间为(0，e a ]，增区间为(e a ，＋∞)． 当a ＞0时，h (x )减区间为(0，1)，增区间为[1，＋∞)．【说明】本题以指对函数为载体，考查了导数的运用､分类讨论思想､函数的零点等相关知识．其中第3问要能感受与体会存在性和唯一性的证明方法．10．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 是实数集R 上的奇函数，且在x ＝1处取得极小值－2． （1）求f (x )的表达式；（2）已知函数g (x )＝|x |－2，判断关于x 的方程f (g (x ))－k ＝0解的个数． 解：（1） f (－x )＝－ax 3＋bx 2－cx ＋d ，－f (x )＝ －ax 3－bx 2－cx －d ，对任意x ∈R ，f (－x )＝ －f (x )，即－ax 3＋bx 2－cx ＋d ＝－ax 3－bx 2－cx －d ，bx 2＋d ＝0， 所以b ＝d ＝0，f (x )＝ax 3＋cx ． f ' (x )＝3ax 2＋c,由题意f ' (1)＝3a ＋c ＝0，f (1)＝a ＋c ＝－2,所以a ＝1，c ＝－3， f (x )＝x 3－3x ；（2）令t ＝g (x ),则f (t )＝k ．f ' (t )＝3t 2－3＝3(t ＋1)(t －1),令f ' (t )＝0，则t ＝－1或t ＝1， t ＜－1，则f ' (t )＞0,所以f (t )在(－∞，－1)上单调增， －1＜t ＜1, 则f ' (t )＜0,所以f (t )在(－1，1)上单调减， t ＞1, 则f ' (t )＞0,所以f (t )在(1，＋∞)上单调增． 计算得f (－2)＝f (1)＝－2,f (2)＝f (－1)＝2．1o k ＜－2时,f (t )＝k 仅有一小于－2的解t 1，g (x )＝t 1,即|x |－2＝t 1，|x |＝t 1＋2无解；即f (g (x ))－k ＝0无解．2o k ＝－2时,f (t )＝k 有两解t 1＝－2，t 2＝1，g (x )＝t 1,即|x |－2＝－2，x ＝0， g (x )＝t 2,即|x |－2＝1，x ＝3或x ＝－3，即f (g (x ))－k ＝0有3解；3 o －2＜k ＜2时,f (t )＝k 有三解t 1，t 2，t 3，且－2＜ t 1＜t 2＜t 3＜2，g (x )＝ t i ,即|x |－2＝t i ，|x |＝t i ＋2,有两解，(i ＝1,2,3)，即f (g (x ))－k ＝0有6解；4o k ＝2时,f (t )＝k 有两解t 1＝－1，t 2＝2，g (x )＝t 1,即|x |－2＝－1，x ＝－1或x ＝1， g (x )＝t 2,即|x |－2＝2，x ＝4或x ＝－4，即f (g (x ))－k ＝0有4解；5o k ＞2时,f (t )＝k 仅有一大于2的解t 1，g (x )＝t 1,即|x |－2＝t 1，|x |＝t 1＋2，有2解； 即f (g (x ))－k ＝0有2解．综上，方程f (g (x ))－k ＝0解的个数如下：k ＜－2时0解；k ＝－2时3解；－2＜k ＜2时6解；k ＝2时4解；k ＞2时2解．【说明】本题考查了函数的奇偶性，单调性与极值．重点考查复合函数的零点个数，体现了数形结合与化归的思想．处理复合函数的问题一般用换元法，就复合函数的零点个数而言，一般先求外函数的零点个数，再分别代入内函数即可．研究函数零点问题，重点是利用好数形结合． 11．公差不为零的等差数列{a n }的前n 项之和为S n ，且S n ＝⎝⎛⎭⎫a n ＋k 22对n ∈N *成立．（1）求常数k 的值以及数列{a n }的通项公式；（2）设数列{a n }中的部分项a k 1，a k 2，a k 3，…a k n，…，恰成等比数列，其中k 1＝，,k 3＝14，求a 1k 1＋a 2k 2＋…＋a n k n 的值．解：（1）法一：条件化为2S n ＝a n ＋k 对n ∈N*成立． 设等差数列公差为d ，则2na 1＋n (n －1)d2＝ a 1＋(n －1)d ＋k ．分别令n ＝1，2，3得：⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＝a 1＋k ，①22a 1＋d ＝a 1＋d ＋k ，②23a 1＋3d ＝a 1＋2d ＋k ．③由①＋③－2⨯②得，a 1＋3a 1＋3d ＝22a 1＋d ．两边平方得，4a 1＋d ＝23a 12＋3a 1d ． 两边再平方得，4a 12－4a 1d ＋d 2＝0．解得d ＝2a 1． 代入②得，4a 1＝3a 1＋k ，④由④－①得，a 1＝a 1．所以a 1＝0，或a 1＝1． 又当a 1＝0时，d ＝0不合题意．所以a 1＝1，d ＝2． 代入①得k ＝1．而当k ＝1，a 1＝1，d ＝2时，S n ＝n 2，a n ＝2n －1，等式 S n ＝⎝⎛⎭⎫a n ＋k 22对n ∈N *成立．所以k ＝1，a n ＝2n －1．法二：设等差数列的首项为a 1，公差为d ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n ，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋(a 1－d )．代入S n ＝⎝⎛⎭⎫a n ＋k 22得，d 2n 2＋(a 1－d 2)n ＝14[dn ＋(a 1＋k －d )]2，即2dn 2＋(4a 1－2d )n ＝d 2n 2＋2d (a 1＋k －d )n ＋(a 1＋k －d )2．因为上面等式对一切正整数n 都成立，所以由多项式恒等可得，⎩⎪⎨⎪⎧2d ＝d 2，4a 1－2d ＝2d (a 1＋k －d )，a 1＋k －d ＝0．因为d ≠0，所以解得，⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，a 1＝1，k ＝1．所以常数k ＝1，通项公式a n ＝2n －1．（2）设c n ＝ a k n，则数列{c n }为等比数列，且c 1＝a k 1＝a 2＝3，c 3＝a k 3＝a 14＝27．故等比数列{c n }的公比q 满足q 2＝c 3c 1＝9．又c n ＞0，所以q ＝3．所以c n ＝c 1q n －1＝3⨯3n －1＝3n ．又c n ＝a k n＝2k n －1，所以2k n －1＝3n ．由此可得k n ＝12⨯3n ＋12．所以a n k n ＝2n －12⨯3n ＋2n －12．所以a 1k 1＋a 2k 2＋…＋a n k n＝(12⨯31＋12)＋(32⨯32＋32)＋(52⨯33＋52)＋…＋(2n －12⨯3n ＋2n －12) ＝12⨯[1⨯31＋3⨯32＋5⨯33＋…＋(2n －1)⨯3n ]＋12[1＋3＋5＋…＋(2n －1)] ＝12⨯[1⨯31＋3⨯32＋5⨯33＋…＋(2n －1)⨯3n ]＋12n 2． 法一：令S ＝1⨯31＋3⨯32＋5⨯33＋…＋(2n －1)⨯3n则3S ＝ 1⨯32＋3⨯33＋…＋(2n －3)⨯3n ＋(2n －1)⨯3n ＋1，两式相减得:－2S ＝3＋2⨯32＋2⨯33＋…＋2⨯3n －(2n －1)⨯3n ＋1，S ＝－12[2⨯3(1－3n)1－3－3－(2n －1)⨯3n ＋1]＝－12[－3(1－3n )－3－(2n －1)⨯3n ＋1]＝－12[－2(n －1)⨯3n ＋1－6]＝(n －1)⨯3n ＋1＋3，代入得a 1k 1＋a 2k 2＋…＋a n k n ＝12⨯[(n －1)⨯3n ＋1＋3]＋12n 2＝(n －1)⋅3n ＋1＋n 2＋32．法二：因为(2k －1)⋅3k ＝[(k ＋1)－2]⋅3k ＋1－(k －2)⋅3k ＝(k －1)⋅3k ＋1－(k －2)⋅3k ．所以S ＝[0⋅32－(－1)⋅31]＋[1⋅33－0⋅32]＋[2⋅34－1⋅33]＋…＋[(n －1)⋅3n ＋1－(n －2)⋅3n ]＝(n －1)⋅3n ＋1＋3．【说明】（1）等差数列或等比数列中的基本量问题，通常转化为方程组求解，但在解方程组要注意一些消元的方法；（2）等差数列注意前n 项和与通项的形式，有时可根据其特征，转化为多项式恒等问题； （3）数列求和中两类比较重要的方法错位相减法与裂项相消法．12．已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项的和为S n ，且rS n ＋1－(r ＋1)S n ＝ra 1对任意正整数n 都成立，其中r 为常数，且r ∈N *． （1）求证：数列{a n }为等比数列；*（2）若r ≥2，且a 1，a t (t ≥3)均为正整数，如果存在正整数q ，使得a 1≥q t －1，a t ≤(q ＋1)t －1，求证：S t ＝(q ＋1)t －q t ．解：（1）由rS n ＋1－(r ＋1)S n ＝ra 1得rS n ＋2－(r ＋1)S n ＋1＝ra 1，两式相减得ra n ＋2＝(r ＋1)a n ＋1，即a n ＋2 a n ＋1＝r ＋1r ．又rS 2－(r ＋1)S 1＝ra 1，得a 2 a 1＝r ＋1r ．综上可知{a n }为等比数列，且公比为r ＋1r．（2）由于a t ＝a 1(r ＋1r )t －1及a 1均为正整数，所以存在正整数k ，使得a 1＝kr t －1，所以a t ＝k (r ＋1)t －1．由a t ≤(q ＋1)t －1得(q ＋1)t －1≥k (r ＋1)t －1≥(r ＋1)t －1，于是q ≥r ．又由a 1≥qt －1，a t ≤(q ＋1)t －1得a t a 1≤(q ＋1)t －1q t －1，于是(r ＋1r )t －1≤(q ＋1)t －1 q t －1，从而r ＋1r ≤q ＋1q ，即q ≤r ． 由上可知:q ＝r ．所以a t ＝a 1(r ＋1r )t －1＝a 1(q ＋1 q)t －1≤(q ＋1)t －1，于是a 1≤q t －1，又a 1≥q t －1．所以a 1＝q t －1．于是S t ＝a 1 1－(r ＋1r )t 1－r ＋1r＝a 1 r ((r ＋1r )t －1)＝q t －1q ( (q ＋1q )t －1) ＝(q ＋1)t －q t ．【说明】本题考查了S n 与a n 之间的转化､等比数列､简单的不等式等相关知识，具有一定的综合性．第（2）问要能体会由不等推相等的方法．13．设数列{a n }的各项都是正数，且对任意n ∈N *都有a 13＋a 23＋a 33＋…＋a n 3＝S n 2＋2S n ，其中S n 为数列{a n }的前n 项和． （1）求a 1，a 2；（2）求数列{a n }的通项公式；*（3）b n ＝S n ＋3S n ，c n ＝2a n2a n－1＋a n ，试找出所有即在数列{b n }中又在数列{c n }中的项．解：（1）令n ＝1，则a 13＝ S 13＋2S 1，即a 13＝ a 12＋2a 1，所以a 1＝2或a 1＝－1或a 1＝0． 又因为数列{a n }的各项都是正数，所以a 1＝2．令n ＝2，则a 13＋a 23＝ S 22＋2S 2，即a 13＋a 23＝(a 1＋a 2)2＋2(a 1＋a 2)，解得a 2＝3或a 2＝－2或a 2＝0． 又因为数列{a n }的各项都是正数，所以a 2＝3． （2）因为a 13＋a 23＋a 33＋…＋a n 3＝S n 2＋2S n (1)所以a 13＋a 23＋a 33＋…＋a n －13＝S n －12＋2S n －1(n ≥2) (2)由(1)－(2)得a n 3＝( S n 2＋2S n )－(S n －12＋2S n －1)＝(S n －S n －1)( S n ＋ S n －1＋2)＝a n ( S n ＋S n －1＋2)， 因为a n ＞0,所以a n 2＝S n ＋S n －1＋2 (3) 所以a n －12＝S n －1＋S n －2＋2(n ≥3) (4)由(3)－(4)得a n 2－a n －12＝a n ＋a n －1，即a n －a n －1＝1(n ≥3)， 又a 2－a 1＝1，所以a n －a n －1＝1(n ≥2)．所以数列{a n }是一个以2为首项，1为公差的等差数列． 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ＋1．（3）S n ＝n (n ＋3)2，所以b n ＝S n ＋3S n ＝n (n ＋3)＋6n (n ＋3),c n ＝2an2a n－1＋a n ＝2n ＋12n ＋n ＋1．不妨设数列{b n }中的第n 项b n 和数列{c n }中的第m 项c m 相同，则b n ＝c m ． 即n (n ＋3)＋6n (n ＋3)＝2m ＋12m ＋m ＋1，即6n (n ＋3)＝2m －m －12m ＋m ＋1．1o若2m －m －12m ＋m ＋1＝6n (n ＋3)≥13，则n 2＋3n －18≤0，所以1≤n ≤3，n ＝1时,2m －m －12m ＋m ＋1＝32，无解；n ＝2时，2m －m －12m ＋m ＋1＝35，即5·2m －5m －5＝3·2m ＋3m ＋3，所以2m ＝4m ＋4，m ＝1,2,3,4时2m ＜4m ＋4；m ≥5时,令f (m )＝2m －4m －4,则f (m ＋1)－f (m )＝2m －4＞0，所以f (m )单调增，所以f (m )≥f (5)＝8＞0,所以2m ＝4m ＋4无解； n ＝3时2m －m －12m ＋m ＋1＝13，即2m ＝2m ＋2，m ＝1,2时，2m ＜2m ＋2； m ＝3时，2m ＝2m ＋2； m ＝4时，2m ＞2m ＋2； m ≥5时，2m ＞4m ＋4＞2m ＋2． 所以，m ＝3，n ＝3．2o若 2m －m －12m ＋m ＋1＝6n (n ＋3)＜13，即2m ＜2m ＋2．由1 知，当m ≥3时，2m ≥2m ＋2。
2019年高考数学模拟考试题含答案解析
FDCBA 2019年高考数学模拟试题（理科）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。
一．选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1．已知集合}032{2>--=x x x A ，}4,3,2{=B ，则B A C R ⋂)(=A ．}3,2{B ．}4,3,2{C ．}2{D ．φ2．已知i 是虚数单位，iz +=31，则z z ⋅= A ．5B ．10C ．101D ．51 3．执行如图所示的程序框图，若输入的点为(1,1)P ，则输出的n 值为A ．3B ．4C ．5D ．6（第3题） （第4题）4．如图，ABCD 是边长为8的正方形，若13DE EC =，且F 为BC 的中点，则EA EF ⋅=A ．10B ．12C ．16D ．205．若实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≤+012y x y y x ，则yx z 82⋅=的最大值是A ．4B ．8C ．16D ．326.一个棱锥的三视图如右图，则该棱锥的表面积为 A ．3228516++ B ．32532+C ．32216+D ．32216516++7. 5张卡片上分别写有0，1，2，3，4，若从这5张卡片中随机取出2张，则取出的2张卡片上的数字之和大于5的概率是 A ．101 B ．51 C ．103 D ．548．设n S 是数列}{n a 的前n 项和，且11-=a ，11++⋅=n n n S S a ，则5a = A ．301 B ．031- C ．021 D ．201- 9. 函数()1ln1xf x x-=+的大致图像为10. 底面为矩形的四棱锥ABCD P -的体积为8，若⊥PA 平面ABCD ,且3=PA ，则四棱锥ABCD P -的外接球体积最小值是A ．π625 B ．π125 C ．π6251 D ．π25 11. 已知抛物线()220y px p =>,过焦点且倾斜角为30°的直线交抛物线于A,B 两点，以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，切点的纵坐标是3，则抛物线的准线方程为A ．1x =-B ．2x =-C ．3x =- D ．x =12. 已知函数x x x f ln )(2-=（22≥x ），函数21)(-=x x g ，直线t y =分别与两函数交于B A ,两点，则AB 的最小值为A ．21B ．1C ．23D ．2二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 设样本数据1x ，2x ，...，2018x 的方差是5，若13+=i i x y （2018,...,2,1=i ），则1y ，2y ，...，2018y 的方差是________14. 已知函数x x x f ωωcos 3sin )(-=（0>ω），若3=ω，则方程1)(-=x f 在),0(π的实数根个数是_____15. 我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，...，9填入33⨯ 的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 (如图）.一般地，将连续的正整数1，2，3，…， 2n 填入n n ⨯的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n 阶幻方.记n 阶幻方的一条对角线上数的和为n N (如：在3阶幻方中，315N =)，则5N =_______16.已知ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1c =，π3C =．若sin sin()sin 2C A B B +-=，则ABC ∆的面积为三、解答题：本大题共6小题，其中17-21小题为必考题，每小题12分，第22—23题为选考题，考生根据要求做答，每题10分． 17.(本小题满分12分)设数列}{n a 是公差为d 的等差数列. (Ⅰ) 推导数列}{n a 的通项公式；(Ⅱ) 设0≠d ，证明数列}1{+n a 不是等比数列.18．(本小题满分12分)某中学为了解全校学生的上网情况，在全校随机抽取了40名学生(其中男、女生各占一半)进行问卷调查，并进行了统计，按男、女分为两组，再将每组学生的月上网次数分为5组：[0，5)，[5，10)，[10，15)，[15，20)，[20，25]，得到如图所示的频率分布直方图．(Ⅰ)写出女生组频率分布直方图中a 的值；(Ⅱ)在抽取的40名学生中从月上网次数不少于20的学生中随机抽取2人，并用X 表示随机抽取的2人中男生的人数，求X 的分布列和数学期望．19.(本小题满分12分)在直三棱柱111C B A ABC -中，21===AA AC AB ，CA BA ⊥。
2019年高考(江苏卷)数学真题及解析
2019 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。
本卷满分为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
参考公式：样本数据x1, x2 ,⋯, x n 的方差n12s x xini 12，其中n1x xn ．ii 1柱体的体积V Sh，其中S 是柱体的底面积，h是柱体的高．锥体的体积1V Sh，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．3一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题．．卡．相．应．位．置．上．1.已知集合A={ －1,0,1,6} ，B x|x0,x R ，则A∩B=_____.【答案】{1,6}.【解析】【分析】由题意利用交集的定义求解交集即可.【详解】由题知， A B { 1,6} .【点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题.2.已知复数(a 2i)(1 i) 的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数 a 的值是_____.【答案】2【解析】【分析】本题根据复数的乘法运算法则先求得z ，然后根据复数的概念，令实部为0 即得 a 的值.【详解】 2(a 2i )(1 i) a ai 2i 2i a 2 (a2)i ，令a 2 0得a 2.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，虚部的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.下图是一个算法流程图，则输出的S 的值是_____.【答案】5【解析】【分析】结合所给的流程图运行程序确定输出的值即可.【详解】执行第一次，x 1S S ,x 1 4不成立，继续循环，x x 1 2；2 2执行第二次，x 3S S , x 2 4 不成立，继续循环，x x 1 3；2 2x执行第三次，3, 3 4S S x 不成立，继续循环，x x 1 4 ；2x执行第四次，5, 4 4S S x 成立，输出S 5.2【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．4.函数y 7 6x x2 的定义域是_____.【答案】[ －1,7]【解析】【分析】由题意得到关于x 的不等式，解不等式可得函数的定义域.【详解】由已知得 27 6x x 0 ,即 2 6 7 0x x解得 1 x 7，故函数的定义域为[－1,7].【点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．5.已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是____.【答案】【解析】5 3【分析】由题意首先求得平均数，然后求解方差即可.【详解】由题意，该组数据的平均数为67 8 8 9 1068 ，所以该组数据的方差是1 52 2 2 2 2 2 [(6 8) (7 8) (8 8) (8 8) (9 8) (10 8) ]6 3.【点睛】本题主要考查方差的计算公式，属于基础题.6.从3 名男同学和 2 名女同学中任选 2 名同学参加志愿者服务，则选出的 2 名同学中至少有 1 名女同学的概率是_____.【答案】【解析】7 10【分析】先求事件的总数，再求选出的 2 名同学中至少有 1 名女同学的事件数，最后根据古典概型的概率计算公式得出答案.【详解】从 3 名男同学和 2 名女同学中任选 2 名同学参加志愿服务，共有 2C5 10 种情况.若选出的 2 名学生恰有 1 名女生，有 1 1C3C2 6 种情况，若选出的 2 名学生都是女生，有 2C2 1种情况，所以所求的概率为6 1 710 10.【点睛】计数原理是高考考查的重点内容，考查的形式有两种，一是独立考查，二是与古典概型结合考查，由于古典概型概率的计算比较明确，所以，计算正确基本事件总数是解题的重要一环.在处理问题的过程中，应注意审清题意，明确“分类”“分步”，根据顺序有无，明确“排列”组“合”.7.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2y2x 2 1(b 0)b经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_____. 【答案】y 2x【解析】 【分析】根据条件求 b ，再代入双曲线的渐近线方程得出答案.【详解】由已知得24231，2b解得 b2或b2，因为 b 0，所以 b2 .因为 a 1，所以双曲线的渐近线方程为y 2x .【点睛】双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考 必得分题 .双曲线渐近线与双曲线标准方程中的 a,b 密切相关，事实上，标准方程中化1 为 0，即得渐近线方程 .8.已知数列 { a n } *(n N ) 是等差数列， S n 是其前 n 项和.若 a 2a 5 a 8 0, S 9 27 ，则 S 8 的值是_____. 【答案】 16 【解析】 【分析】由题意首先求得首项和公差，然后求解前 8 项和即可 .a aaad a4d a 7d0 2 58111【详解】由题意可得：9 8S9ad 27 912，解得：a 15 d 2 ，则8 7S 8a d 40 28 2 16.8 12【点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题，是高考必考内容，解题过程中要注意应用函 数方程思想，灵活应用通项公式、求和公式等，构建方程（组），如本题，从已知出发，构建a , d 的方程组 .19.如图，长方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1 的体积是 120，E 为 CC 1 的中点，则三棱锥 E-BCD 的体积是 _____.【答案】10【解析】【分析】由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积. 【详解】因为长方体ABCD A1B1C1D1 的体积为120，所以AB BC CC1 120 ，因为E 为C C1 的中点，所以1CE CC ，12由长方体的性质知CC1 底面ABCD ，所以C E是三棱锥E BCD 的底面BCD上的高，所以三棱锥E BCD 的体积1 1 1 1 1 1V AB BC CE AB BC CC1 120 10 .3 2 3 2 2 12【点睛】本题蕴含“整体和局部”的对立统一规律.在几何体面积或体积的计算问题中，往往需要注意理清整体和局部的关系，灵活利用“割”与“补”的方法解题.10.在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线的距离的最小值是_____.4y x (x0)x上的一个动点，则点P 到直线x+ y=0【答案】4【解析】【分析】将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离【详解】当直线2gR2r平移到与曲线y x4x相切位置时，切点Q 即为点P 到直线2gR2r的距离最小.由y41 1，得x 2( 2舍) ，y 32 ，2x即切点Q( 2,3 2) ，则切点Q 到直线2gR2r的距离为2 3 22 21 14，故答案为：4．【点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养. 采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题.11.在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y=ln x 上，且该曲线在点 A 处的切线经过点（-e，-1)(e 为自然对数的底数），则点 A 的坐标是____.【答案】(e,1)【解析】【分析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标.【详解】设点 A x0 ,y0 ，则y0 ln x0 .又y 1 x，当x x0 时，y 1x，点A 在曲线y ln x上1y y (x x ) 切线为0 0x，xy ln x 1即0 ，xe代入点e, 1 ，得 1 ln x0 1，x的即x0 ln x0 e ，考查函数H x xln x，当x 0,1 时，H x 0，当x 1, 时，H x 0，且H ' x ln x 1，当x 1时，H ' x 0,H x 单调递增，注意到H e e，故x0 ln x0 e 存在唯一的实数根x0 e，此时y0 1，故点A的坐标为A e,1 .【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．12.如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点， E 在边AB 上，BE=2EA，AD 与CE 交于点O.若AB ACAO EC ，则6AB AC的值是 _____. 【答案】 3 【解析】 【分析】由题意将原问题转化为基底的数量积，然后利用几何性质可得比值.【详解】如图，过点 D 作DF // CE ，交AB 于点 F ，由 BE=2EA ，D 为BC 中点，知BF =FE =EA ,AO =OD .36AO EC 3AD AC AEAB ACAC AE231 311 22AB ACACABAB ACAB ACAB AC2 3 23 33 21132222AB AC AB AC AB ACABAC AB AC ，2 332 2 得1 3AB22AB AC , 即 AB 3 AC ,故322AC. 【点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运 算素养 .采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.tan2 π3 4，则 sin 2π 4的值是 _____.13.已知tan【答案】2 10【解析】 【分析】 由题意首先求得tan 的值，然后利用两角和差正余弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.tantan tan 1 tan 2 【详解】由tan4tan 1 tan 1 3 1 tan， 得23tan5tan2 0， 解得tan 2，或 tan1 3. sin 2 sin 2 cos cos 2 sin444222 2 2sin coscossinsin 2 cos2 =222 2sin cos= 22 2tan 1 tan22 tan1，当t an 2 时，上式22 2 2 1 22 = = ； 222 110当 tan1 3时，上式 =21 1 212 3 32= 22 101 13. 综上，2 sin2.410【点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养 .采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.14.设 f(x)，g(x)是定义在 R 上的两个周期函数， f(x)的周期为 4，g(x)的周期为 2，且 f (x)是奇函k(x 2),0 x 1数.当 x (0,2] 时， f (x)1 (x 1)2 ， g (x)12,1 x 2，其中 k>0.若在区间 (0， 9]上，关于 x 的方程 f( x )= g (x)有 8 个不同的实数根，则 k 的取值范围是 _____. 【答案】 12,3 4【解析】【分析】分别考查函数 f x 和函数g x 图像的性质，考查临界条件确定k 的取值范围即可.【详解】当x 0,2 时， 2f (x) 1 x 1 , 即2 2x 1 y 1,y 0.又 f (x) 为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为4，如图，函数 f (x) 与g( x) 的图象，要使f (x) g (x) 在(0,9] 上有8 个实根，只需二者图象有8 个交点即可.当1g( )x 时，函数 f (x) 与g(x) 的图象有2 个交点；2当g(x) k(x 2) 时，g( x) 的图象为恒过点（-2，0）的直线，只需函数 f (x) 与g( x) 的图象有6 个交点.当f (x) 与g(x) 图象相切时，圆心（1，0）到直线kx y 2k 0的距离为1，即k 2k 1 2 k 1 ，得 2k ，函数 f ( x) 与g( x) 的图象有3 个交点；当g(x) k(x 2) 过点（1,1）4时，函数 f ( x) 与g(x) 的图象有6 个交点，此时1 3k ，得1 k .3综上可知，满足 f (x) g(x) 在(0,9]上有8 个实根的k 的取值范围为1 2 ，.3 4【点睛】本题考点为参数的取值范围，侧重函数方程的多个实根，难度较大.不能正确画出函数图象的交点而致误，根据函数的周期性平移图象，找出两个函数图象相切或相交的临界交点个数，从而确定参数的取值范围.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c．（1）若a=3 c，b= 2 ，cosB= 23，求c的值；（2）若s in A cos Ba 2b ，求s in( B ) 的值．2【答案】（1） 3c ；（2）3 2 5 5.【解析】【分析】(1)由题意结合余弦定理得到关于 c 的方程，解方程可得边长 c 的值；(2)由题意结合正弦定理和同角三角函数基本关系首先求得cosB的值，然后由诱导公式可得sin( B ) 的值.2【详解】（1）因为2 a 3c, b 2,cos B ，3由余弦定理cos B2 2 2a c b2ac，得2 2 22 (3 c) c ( 2)3 2 3c c，即 21c .3所以3 c .3（2）因为s in A cosB a 2b，由正弦定理a bsin A sin B，得c os B sin B2b b ，所以cosB 2sin B .从而 2 2cos B (2sin B) ，即2 2cos B 4 1 cos B ，故2 4cos B .5因为s in B 0，所以cosB 2sin B 0，从而cos 2 5B .5因此π 2 5 sin B cosB .2 5【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.16.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1 中，D，E 分别为BC，AC 的中点，AB=BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC 1；（2）BE⊥C1E．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】(1)由题意结合几何体的空间结构特征和线面平行的判定定理即可证得题中的结论；(2)由题意首先证得线面垂直，然后结合线面垂直证明线线垂直即可.【详解】（1）因为D，E 分别为BC，AC 的中点，所以ED∥AB.在直三棱柱ABC-A1B1C1 中，AB∥A1B1，所以A1B1∥ED.又因为ED ? 平面DEC1，A1B1 平面DEC1，所以A1B1∥平面DEC1.（2）因为AB=BC，E 为AC 的中点，所以BE⊥AC.因为三棱柱ABC-A1B1C1 是直棱柱，所以CC1⊥平面ABC .又因为BE? 平面ABC，所以CC1⊥BE.因为C1C? 平面A1ACC1，AC? 平面A1ACC1，C1C∩AC= C，所以BE⊥平面A1ACC1.因为C1E? 平面A1ACC1，所以BE⊥C1E.【点睛】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.17.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C:2 2x y2 2 1( 0)a ba b的焦点为F1（–1、0），F2（1，0）．过F2 作x 轴的垂线l，在x 轴的上方，l 与圆F2: 2 2 2(x1) y 4a 交于点A，与椭圆 C 交于点 D.连结AF1 并延长交圆F2于点B，连结BF2 交椭圆 C 于点E，连结DF1．已知DF1= 5 2 ．（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）求点 E 的坐标．【答案】（1）2 2x y4 31 ；（2）3 E( 1, ) .2【解析】【分析】(1)由题意分别求得a,b 的值即可确定椭圆方程；(2)解法一：由题意首先确定直线AF1 的方程，联立直线方程与圆的方程，确定点 B 的坐标，联立直线BF2 与椭圆的方程即可确定点 E 的坐标；解法二：由题意利用几何关系确定点 E 的纵坐标，然后代入椭圆方程可得点 E 的坐标.【详解】（1）设椭圆 C 的焦距为2c.因为F1(－1，0)，F2(1，0)，所以F1F2=2，c=1.又因为DF 1= 52，AF 2⊥x 轴，所以DF 2=5 32 2 2 2DF F F ( ) 2 ，1 1 22 2因此2a= D F 1+DF 2=4，从而a=2 2=a2-c2，得b2=3.由b因此，椭圆 C 的标准方程为2 2x y4 31 .（2）解法一：由（1）知，椭圆C：2 2x y4 31 ，a=2，因为AF2⊥x 轴，所以点 A 的横坐标为 1.将x=1 代入圆F2的方程(x-1) 2 2+y =16，解得y=±4.因为点 A 在x 轴上方，所以A(1，4).又F1(-1，0)，所以直线AF1：y=2x+2.y 2x 2由 22x 1 y 16 ，得 25x 6x11 0 ，解得x 1或11 x .5将11x 代入y 2x 2，得512y ，5因此11 12B( , ) .又F2(1，0)，所以直线BF2：5 53y (x1) .4 3y (x 1)4由 2 2x y4 31 ，得 27x 6x 13 0，解得x 1或13x .7又因为 E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以x 1 .将x1代入解法二：3y (x1) ，得43y .因此23E( 1, ) .2由（1）知，椭圆C：2 2x y4 31 .如图，连结EF1.因为BF2=2a，EF1+ E F2=2a，所以EF1=EB，从而∠BF 1E=∠B.因为F2A= F2B，所以∠A=∠B，所以∠A=∠BF1E，从而EF1∥F2A.因为AF2⊥x 轴，所以EF1⊥x 轴.x 1因为F1(-1，0)，由 2 2x y ，得14 33 y .2又因为 E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以3 y .2因此3 E( 1, ) .2【点睛】本题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.18.如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划要求: 线段PB、QA 上的所有点到点O 的距离均不．小．于．圆．O 的半径．已知点A、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD（C、D 为垂足），测得AB=10，AC =6，BD =12（单位:百米）．（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在 D 处？并说明理由；（3）对规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d（单位：百米）.求当 d 最小时，P、Q 两点间的距离．【答案】（1）15（百米）；（2）见解析；（3）17+ 3 21（百米）.【解析】【分析】解：解法一：（1）过 A 作AE BD ，垂足为E.利用几何关系即可求得道路PB 的长；（2）分类讨论P 和Q 中能否有一个点选在 D 处即可.（3）先讨论点P 的位置，然后再讨论点Q 的位置即可确定当 d 最小时，P、Q 两点间的距离．解法二：（1）建立空间直角坐标系，分别确定点P 和点 B 的坐标，然后利用两点之间距离公式可得道路PB 的长；（2）分类讨论P和Q 中能否有一个点选在 D 处即可.（3）先讨论点P 的位置，然后再讨论点Q 的位置即可确定当 d 最小时，P、Q 两点间的距离．【详解】解法一：（1）过A作AE BD ，垂足为 E.由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，DE BE AC 6, AE CD 8 .因为PB⊥AB，所以8 4 cos PBD sin ABE .10 5所以PBBD 12154cos PBD .5因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得 E 在圆上，则线段B E 上的点（除B，E）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，连结AD，由（1）知AD AE2 ED2 10 ，从而2 2 2 7AD AB BDcos BAD 02AD AB 25，所以∠BAD 为锐角.所以线段A D 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此，Q 选在 D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在 D 处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP<90°时，线段P B 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP≥90°时，对线段P B 上任意一点F，OF ≥OB，即线段P B 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设P1为l 上一点，且P1B AB ，由（1）知，P1B 15 ，此时3PD PB sin PBD PB cos EBA 15 9 ；1 1 1 15当∠OBP>90°时，在△PPB 中，PB P1B 15.1由上可知，d≥15.再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点 C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15 时，2 2 152 623 21CQ QA AC .此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PB⊥AB，点Q 位于点 C 右侧，且CQ= 3 21时，d 最小，此时P，Q 两点间的距离PQ=PD+CD +CQ =17+ 3 21.因此，d 最小时，P，Q 两点间的距离为17+ 3 21（百米）.解法二：（1）如图，过O 作OH⊥l，垂足为H.以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD =12，AC=6，所以OH =9，直线l 的方程为y=9，点A，B 的纵坐标分别为3，- 3.2+y2=25.因为AB 为圆O 的直径，AB=10，所以圆O 的方程为x从而A（4，3），B（- 4，- 3），直线AB 的斜率为3 4 .因为PB⊥AB，所以直线PB 的斜率为43，直线PB 的方程为4 25 y x .3 3所以P（- 13，9），PB ( 13 4)2 (9 3)2 15.因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E（- 4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，连结AD，由（1）知D（- 4，9），又A（4，3），所以线段AD：3y x 6( 4 x 4) .4在线段AD 上取点M （3，154），因为22 15 2 2OM 3 3 4 5 ，4所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此Q 选在 D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在 D 处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP<90°时，线段P B 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP≥90°时，对线段P B 上任意一点F，OF ≥OB，即线段P B 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设P1为l上一点，且P1B AB ，由（1）知，P1B 15 ，此时P1 13,9 ；当∠OBP>90°时，在△PP1B 中，PB P1B 15.由上可知，d≥15.再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点 C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15 时，设Q（a，9），由AQ (a 4)2 (9 3)2 15( a4) ，得a= 4 3 21，所以Q（4 3 21，9），此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P（- 13，9），Q（4 3 21，9）时，d 最小，此时P，Q 两点间的距离PQ 4 3 21 ( 13) 17 3 21 .因此，d 最小时，P，Q 两点间的距离为17 3 21（百米）.【点睛】本题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.19.设函数 f (x) (x a)( x b)( x c), a,b,c R ，f '( x)为f（x）的导函数．（1）若a=b= c，f（4）=8，求 a 的值；（2）若a≠b，b=c，且f（x）和 f '( x) 的零点均在集合{－3,1,3} 中，求f（x）的极小值；（3）若a 0,0 b 1, c 1 ，且f（x）的极大值为M，求证:M≤【答案】（1）a 2；（2）见解析；4 27．（3）见解析.【解析】【分析】（1）由题意得到关于 a 的方程，解方程即可确定 a 的值；（2）由题意首先确定a, b,c 的值从而确定函数的解析式，然后求解其导函数，由导函数即可确定函数的极小值.（3）由题意首先确定函数的极大值M 的表达式，然后可用如下方法证明题中的不等式：解法一：由函数的解析式结合不等式的性质进行放缩即可证得题中的不等式；解法二：由题意构造函数，求得函数在定义域内的最大值，因为0 b 1，所以x1 (0,1)．当x (0,1) 时， f ( x) x(x b)( x1) x( x 1)2 ．令 2g(x) x(x 1) , x (0,1) ，则1g' (x) 3 x (x 1) ．3令g'( x) 0 ，得 1x ．列表如下：3x (0, 1)3 131( ,1)3g' x + 0 –( )g(x) ↗极大值↘所以当1 1 4 x 时，g(x) 取得极大值，且是最大值，故g( x)max g ．3 3 27所以当x (0,1) 时，4f (x) g(x) ，因此274M ．27【详解】（1）因为a b c，所以 3f ( x) (x a)( x b)( x c) (x a) ．因为 f (4) 8，所以(4 a)3 8 ，解得a 2．（2）因为 b c ，所以 2 3 2 2f (x) (x a)( x b) x (a2b) x b(2 a b)x ab ，从而2a bf '(x) 3(x b) x ．令 f '(x) 0 ，得x=b 或32a bx ．3因为2a ba b ，都在集合{ 3,1,3} 中，且 a b，, ,3所以2a b31,a 3,b 3．此时 2f x x x ，f'(x) 3(x 3)( x1)．( ) ( 3)( 3)令 f '(x) 0 ，得x 3或x1．列表如下：x (－∞,－3) －3 (－3,1) 1 (1,+ ∞) + 0 –0 +f (x) ↗极大值↘极小值↗所以 f (x) 的极小值为 2f (1) (1 3)(1 3) 32 ．（3）因为 a 0,c 1，所以 f (x) x(x b)( x 1) x3 (b 1)x2 bx ，2f '( x) 3x 2(b 1)x b ．因为0 b 1，所以 2 24(b 1) 12b (2b 1) 3 0 ，则有2 个不同的零点，设为x1 ,x2 x1 x2 ．由 f '(x) 0 ，得2 2b 1 b b 1 b 1 b b 1 x ,x．1 23 3列表如下：x ( , x ) x1 x1, x2 x2 (x2,)1+ 0 –0 +f (x) ↗极大值↘极小值↗所以 f (x) 的极大值M f x1 ．解法一：3 2M f x1 x1 (b 1)x1 bx122 b b 1x b 1 b(b 1)2 13x 2(b 1)x b x1 1 13 9 9 922 b b 1 (b 1) b(b 1) 227 9 272b b 132b(b 1) 2(b 1) (b 1) 227 27 27( b(b 1) 1) 3b(b 1) 2 4 27 27 27 ．因此4M ．27解法二：因为0 b 1，所以x1 (0,1)．当x (0,1) 时， f ( x) x(x b)( x1) x( x 1)2 ．令12g' (x) 3 x (x 1) ．g(x) x(x 1) , x (0,1) ，则3令g'( x) 0 ，得 1x ．列表如下：3x (0, 1)3 131( ,1)3g' x + 0 –( )g(x) ↗极大值↘所以当1 1 4 x 时，g(x) 取得极大值，且是最大值，故g( x)max g ．3 3 27所以当x (0,1) 时，4f (x) g(x) ，因此274M ．27【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．20.定义首项为 1 且公比为正数的等比数列为“M－数列”.（1）已知等比数列{ a n} 满足：a2a4 a5 ,a3 4a2 4a1 0 ，求证:数列{ a n} 为“M－数列”；b （2）已知数列{ b n} 满足: 11,1 2 2S b bn n n1，其中S n 为数列{ b n} 的前n 项和．①求数列{ b n}的通项公式；②设m为正整数，若存在“M－数列”{c n}( n∈N * )，对任意正整数k，当k≤m 时，都有c b ck k k1 成立，求m 的最大值．【答案】（1）见解析；（2）①b n=n *n N；②5.【解析】【分析】（1）由题意分别求得数列的首项和公比即可证得题中的结论；（2）①由题意利用递推关系式讨论可得数列{ b n} 是等差数列，据此即可确定其通项公式；②由①确定b k 的值，将原问题进行等价转化，构造函数，结合导函数研究函数的性质即可求得m 的最大值．【详解】（1）设等比数列{ a n} 的公比为q，所以a1≠0，q≠0.由a a a2 4 5，得a3 4a2 4a1 02 4 4a q a q1 12a1q 4a1q 4a1 0，解得a1 1q 2．因此数列{ }a 为“M—数列”.n（2）①因为1 2 2S b bn n n1，所以0b ．n由b1 1, S1 b1 得1 2 21 1 b2，则b2 2 .由1 2 2S b bn n n1，得Snb bn n12(b b )n 1 n，当n 2 时，由b n S n S n 1 ，得bnb b b bn n 1 n 1 n2 b b 2 b bn 1 n n n 1，整理得b 1 b 1 2b ．n n n所以数列{ b n}是首项和公差均为 1 的等差数列.因此，数列{ b n} 的通项公式为b n=n *n N .②由①知，b k=k，k N* .因为数列{ c n} 为“M –数列”，设公比为q，所以c1=1，q>0.因为c k≤b k≤c k+1，所以k 1 kq k q ，其中k=1，2，3，⋯，m.当k=1 时，有q≥1；ln k ln k当k=2，3，⋯，m 时，有ln qk k 1．设f（x）= l nxx(x 1) ，则f '(x)1 ln2xx．令f '( x) 0 ，得x=e.列表如下：x （1，e） e (e，+∞) f '( x) + 0 –f（x）↗极大值↘ln 2 ln8 ln9 ln 3 因为2 6 6 3ln3f (k) f (3) ．，所以max3取q ，当k=1，2，3，4，5 时，3 33 3 lnkkln q ，即kk q ，经检验知k 1q k 也成立．因此所求m 的最大值不小于5．若m≥6，分别取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，从而q15≥24，3且q15≤216，所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6.综上，所求m 的最大值为5．【点睛】本题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．数学Ⅱ(附加题)【选做题】本题包括21、22、23 三小题，请．选．定．其．中．两．小．题．，．并．在．相．应．的．答．题．区．域．内．作．答．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证过程或演算步骤．21.已知矩阵 A 3 1 2 2（1）求A2；（2）求矩阵 A 的特征值.【答案】（1）11 5 10 6；（2） 1 1, 2 4 .【解析】【分析】(1)利用矩阵的乘法运算法则计算A的值即可；2(2)首先求得矩阵的特征多项式，然后利用特征多项式求解特征值即可.3 1【详解】（1）因为A，2 2所以2 3 1 3 1 A2 2 2 2= 3 3 1 2 3 1 1 22 3 2 2 2 1 2 2=11 510 6．（2）矩阵 A 的特征多项式为3 12f ( ) 5 4.2 2令 f ( ) 0，解得A的特征值 1 1, 2 4 .【点睛】本题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力．A B ，直线l 的方程为sin 322.在极坐标系中，已知两点3, , 2,4 2 4.（1）求A，B 两点间的距离；（2）求点 B 到直线l 的距离.【答案】（1） 5 ；（2）2.【解析】【分析】(1)由题意，在△OAB 中，利用余弦定理求解AB 的长度即可；(2)首先确定直线的倾斜角和直线所过的点的极坐标，然后结合点 B 的坐标结合几何性质可得点B 到直线l 的距离.【详解】（1）设极点为O.在△OAB 中，A（3，），B（ 2 ，），4 2由余弦定理，得AB= 32 ( 2) 2 2 3 2 cos( ) 52 4.（2）因为直线l 的方程为sin( ) 34，则直线l 过点(3 2, )2 ，倾斜角为34．又B( 2, ) ，所以点 B 到直线l 的距离为23(3 2 2) sin( ) 24 2.【点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．23.设x R，解不等式| x|+|2 x 1|>2 .【答案】1 { x|x或x 1} .3【解析】【分析】由题意结合不等式的性质零点分段即可求得不等式的解集.【详解】当 x<0 时，原不等式可化为 x 1 2x 2 ，解得 x<– 13：当 0≤ x ≤ 1 2时，原不等式可化为x+1–2x>2，即 x<–1，无解；当 x> 1 2时，原不等式可化为x+2 x –1>2，解得 x>1.综上，原不等式的解集为1 {x |x或x 1} .3【点睛】本题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力． 【必做题】第24 题、第25 题，每题 10 分，共计 20 分 ． 请 在 答．题．卡．指．定．区．域． 内 作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． n2n*(1 x)aa x a xa x ,n ⋯ 4,n N .已知 24.设12n2a32a 2a 4 .（1）求 n 的值；na b，其中 （2）设(1 3)3*a, b N ，求23 2ab 的值 .【答案】（1） n 5； （2） -32. 【解析】 【分析】(1)首先由二项式展开式的通项公式确定a 2 ,a 3, a 4 的值，然后求解关于n 的方程可得 n 的值；(2)解法一： 利用 (1)中求得的 n 的值确定有理项和无理项从而可得 a,b 的值，然后计算23 2ab的值即可；解法二：利用 (1)中求得的 n 的值，由题意得到51 3 的展开式，最后结合平方差公式即可确定 a 23b 2 的值 .n0 1 2 2 n n【详解】（1）因为(1 x)C C x C x C x ，n 4 ，nnnn所以n(n 1)n(n 1)( n 2) 23aC,aC，2 n3n26n(n 1)( n 2)( n 3)4aC．4n242因为a 32a 2a 4 ，所以n(n 1)(n 2)n(n 1) n(n 1)(n 2)( n 3) 2[ ]2，6 2 24解得n 5．（2）由（1）知，n 5 ．n 5(1 3) (1 3)0 1 2 2 3 3 4 4 5 5C C 3 C ( 3) C ( 3) C ( 3) C ( 3)5 5 5 5 5 5a b 3 ．解法一：因为*a,b N，所以0 2 4 1 3 5a C 3C 9C 76,b C 3C 9C 44 ，5 5 5 5 5 5从而a2 3b2 762 3 442 32 ．解法二：5 0 1 2 2 3 3 4 4 5 5 (1 3) C C ( 3) C ( 3) C ( 3) C ( 3) C ( 3)5 5 5 5 5 50 1 2 2 3 3 4 4 5 5C C 3 C ( 3) C ( 3) C ( 3) C ( 3) ．5 5 5 5 5 5因为*a,b N，所以5(1 3) a b 3 ．因此 2 3 2 ( 3)( 3) (1 3)5 (1 3) 5 ( 2)5 32a b a b a b ．【点睛】本题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力.25.在平面直角坐标系x Oy 中，设点集A n {(0,0),(1,0),(2,0), ,( n,0)} ，B (0,1),(n,1)},C {(0,2),(1 ,2),(2,2), ,( n,2)}, n N .令M n A n B n C n .从集n n合M n 中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离.（1）当n=1 时，求X 的概率分布；（2）对给定的正整数n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n 表示）.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】(1)由题意首先确定X 可能的取值，然后利用古典概型计算公式求得相应的概率值即可确定分布列；(2)将原问题转化为对立事件的问题求解P X n 的值，据此分类讨论①. b d ，②.b 0,d 1，③. b 0,d 2 ，④.b 1,d 2 四种情况确定X 满足X n的所有可能的取值，然后求解相应的概率值即可确定P X ≤n 的值.【详解】（1）当n 1时，X 的所有可能取值是1，2 ，2，5 ．7744P(X1),P(X2)，X的概率分布为22C15C15662222P(X2),P(X5)．22C15C1566（2）设A(a，b)和B(c，d)是从M n中取出的两个点．因为P(X n)1P(X n)，所以仅需考虑X n的情况．①若b d，则AB n，不存在X n的取法；②若b0，d1，则AB(a c)21n21，所以X n当且仅当21AB n，此时a0，c n或a n，c0，有2种取法；③若b0，d2，则AB(a c)24n24，因为当n3时，2(n1)4n，所以X n当且仅当AB n24，此时a0，c n或a n，c0，有2种取法；④若b1，d2，则AB(a c)21n21，所以X n当且仅当21AB n，此时a0，c n或a n，c0，有2种取法．综上，当X n时，X的所有可能取值是n2+1和24n，且2242P(X n1),P(X n4)．22C n C n2424因此，622P(X n)1P(X n1)P(X n4)1．2C n24【点睛】本题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识，考查逻辑思维能力和推理论证能力．。
2019年江苏省高考数学试卷以及答案解析
绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，6}，B＝{x|x＞0，x∈R}，则A∩B＝．2．（5分）已知复数（a+2i）（1+i）的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是．3．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的S的值是．4．（5分）函数y＝的定义域是．5．（5分）已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是．6．（5分）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是．7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2﹣＝1（b＞0）经过点（3，4），则该双曲线的渐近线方程是．8．（5分）已知数列{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项和．若a2a5+a8＝0，S9＝27，则S8的值是．9．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E﹣BCD 的体积是．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x+（x＞0）上的一个动点，则点P到直线x+y＝0的距离的最小值是．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（﹣e，﹣1）（e为自然对数的底数），则点A的坐标是．12．（5分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O．若•＝6•，则的值是．13．（5分）已知＝﹣，则sin（2α+）的值是．14．（5分）设f（x），g（x）是定义在R上的两个周期函数，f（x）的周期为4，g（x）的周期为2，且f（x）是奇函数．当x∈（0，2]时，f（x）＝，g（x）＝其中k＞0．若在区间（0，9]上，关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根，则k的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若a＝3c，b＝，cos B＝，求c的值；（2）若＝，求sin（B+）的值．16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB＝BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，1与圆F2：（x﹣1）2+y2＝4a2交于点A，与椭圆C交于点D．连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．已知DF1＝．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标．18．（16分）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA，规划要求：线段PB，QA上的所有点到点O的距离均不小于．．．圆O的半径．已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD（C，D为垂足），测得AB＝10，AC＝6，BD＝12（单位：百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米），求当d最小时，P、Q两点间的距离．19．（16分）设函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c），a，b，c∈R，f′（x）为f（x）的导函数．（1）若a＝b＝c，f（4）＝8，求a的值；（2）若a≠b，b＝c，且f（x）和f′（x）的零点均在集合{﹣3，1，3}中，求f（x）的极小值；（3）若a＝0，0＜b≤1，c＝1，且f（x）的极大值为M，求证：M≤．20．（16分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M﹣数列”．（1）已知等比数列{a n}（n∈N*）满足：a2a4＝a5，a3﹣4a2+4a1＝0，求证：数列{a n}为“M ﹣数列”；（2）已知数列{b n}（n∈N*）满足：b1＝1，＝﹣，其中S n为数列{b n}的前n 项和．①求数列{b n}的通项公式；②设m为正整数，若存在“M﹣数列”{c n}（n∈N*），对任意正整数k，当k≤m时，都有c k≤b k≤c k+1成立，求m的最大值．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．（10分）已知矩阵A＝．（1）求A2；（2）求矩阵A的特征值．B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．（10分）在极坐标系中，已知两点A（3，），B（，），直线1的方程为ρsin （θ+）＝3．（1）求A，B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离．C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．设x∈R，解不等式|x|+|2x﹣1|＞2．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24．（10分）设（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+…+a n x n，n≥4，n∈N*．已知a32＝2a2a4．（1）求n的值；（2）设（1+）n＝a+b，其中a，b∈N*，求a2﹣3b2的值．25．（10分）在平面直角坐标系xOy中，设点集A n＝{（0，0），（1，0），（2，0），…，（n，0）}，B n＝{（0，1），（n，1）}，∁n＝{（0，2），（1，2），（2，2），……，（n，2）}，n∈N*．令M n＝A n∪B n ∪∁n．从集合M n中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离．（1）当n＝1时，求X的概率分布；（2）对给定的正整数n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n表示）．2019年江苏省高考数学答案解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．【分析】直接利用交集运算得答案．【解答】解：∵A＝{﹣1，0，1，6}，B＝{x|x＞0，x∈R}，∴A∩B＝{﹣1，0，1，6}∩{x|x＞0，x∈R}＝{1，6}．故答案为：{1，6}．【点评】本题考查交集及其运算，是基础题．2．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0求的a值．【解答】解：∵（a+2i）（1+i）＝（a﹣2）+（a+2）i的实部为0，∴a﹣2＝0，即a＝2．故答案为：2．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得x＝1，S＝0S＝0.5不满足条件x≥4，执行循环体，x＝2，S＝1.5不满足条件x≥4，执行循环体，x＝3，S＝3不满足条件x≥4，执行循环体，x＝4，S＝5此时，满足条件x≥4，退出循环，输出S的值为5．故答案为：5．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．4．【分析】由根式内部的代数式大于等于0求解一元二次不等式得答案．【解答】解：由7+6x﹣x2≥0，得x2﹣6x﹣7≤0，解得：﹣1≤x≤7．∴函数y＝的定义域是[﹣1，7]．故答案为：[﹣1，7]．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查一元二次不等式的解法，是基础题．5．【分析】先求出一组数据6，7，8，8，9，10的平均数，由此能求出该组数据的方差．【解答】解：一组数据6，7，8，8，9，10的平均数为：＝（6+7+8+8+9+10）＝8，∴该组数据的方差为：S2＝[（6﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝．故答案为：．【点评】本题考查一组数据的方差的求法，考查平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．【分析】基本事件总数n＝＝10，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数m＝+＝7，由此能求出选出的2名同学中至少有1名女同学的概率．【解答】解：从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，基本事件总数n＝＝10，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数：m＝+＝7，∴选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是p＝．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．7．【分析】把已知点的坐标代入双曲线方程，求得b，则双曲线的渐近线方程可求．【解答】解：∵双曲线x2﹣＝1（b＞0）经过点（3，4），∴，解得b2＝2，即b＝．又a＝1，∴该双曲线的渐近线方程是y＝．故答案为：y＝．【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的简单性质，是基础题．8．【分析】设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由已知列关于首项与公差的方程组，求解首项与公差，再由等差数列的前n项和求得S8的值．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，则，解得．∴＝6×（﹣5）+15×2＝16．故答案为：16．【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的前n项和，是基础题．9．【分析】推导出＝AB×BC×DD1＝120，三棱锥E﹣BCD的体积：V E﹣BCD＝＝＝×AB×BC×DD1，由此能求出结果．【解答】解：∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，∴＝AB×BC×DD1＝120，∴三棱锥E﹣BCD的体积：V E﹣BCD＝＝＝×AB×BC×DD1＝10．故答案为：10．【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，考查长方体的结构特征、三棱锥的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．10．【分析】利用导数求平行于x+y＝0的直线与曲线y＝x+（x＞0）的切点，再由点到直线的距离公式求点P到直线x+y＝0的距离的最小值．【解答】解：由y＝x+（x＞0），得y′＝1﹣，设斜率为﹣1的直线与曲线y＝x+（x＞0）切于（x0，），由，解得（x0＞0）．∴曲线y＝x+（x＞0）上，点P（）到直线x+y＝0的距离最小，最小值为．故答案为：4．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查点到直线距离公式的应用，是中档题．11．【分析】设A（x0，lnx0），利用导数求得曲线在A处的切线方程，代入已知点的坐标求解x0即可．【解答】解：设A（x0，lnx0），由y＝lnx，得y′＝，∴，则该曲线在点A处的切线方程为y﹣lnx0＝，∵切线经过点（﹣e，﹣1），∴，即，则x0＝e．∴A点坐标为（e，1）．故答案为：（e，1）．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，区分过点处与在点处的不同，是中档题．12．【分析】首先算出＝，然后用、表示出、，结合•＝6•得＝，进一步可得结果．【解答】解：设＝λ＝（），＝+＝+μ＝+μ（）＝（1﹣μ）+μ＝+μ∴，∴，∴＝＝（），＝＝﹣+，6•＝6×（）×（﹣+）＝（++）＝++，∵•＝++，∴＝，∴＝3，∴＝．故答案为：【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．13．【分析】由已知求得tanα，分类利用万能公式求得sin2α，cos2α的值，展开两角和的正弦求sin（2α+）的值．【解答】解：由＝﹣，得，∴，解得tanα＝2或tan．当tanα＝2时，sin2α＝，cos2α＝，∴sin（2α+）＝＝；当tanα＝时，sin2α＝＝，cos2α＝，∴sin（2α+）＝＝．综上，sin（2α+）的值是．故答案为：．【点评】本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查两角和的三角函数及万能公式的应用，是基础题．14．【分析】由已知函数解析式结合周期性作出图象，数形结合得答案．【解答】解：作出函数f（x）与g（x）的图象如图，由图可知，函数f（x）与g（x）＝﹣（1＜x≤2，3＜x≤4，5＜x≤6，7＜x≤8）仅有2个实数根；要使关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根，则f（x）＝，x∈（0，2]与g（x）＝k（x+2），x∈（0，1]的图象有2个不同交点，由（1，0）到直线kx﹣y+2k＝0的距离为1，得，解得k＝（k＞0），∵两点（﹣2，0），（1，1）连线的斜率k＝，∴≤k＜．即k的取值范围为[，）．故答案为：[，）．【点评】本题考查函数零点的判定，考查分段函数的应用，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．【分析】（1）由余弦定理得：cos B＝＝＝，由此能求出c的值．（2）由＝，利用正弦定理得2sin B＝cos B，再由sin2B+cos2B＝1，能求出sin B ＝，cos B＝，由此利用诱导公式能求出sin（B+）的值．【解答】解：（1）∵在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．a＝3c，b＝，cos B＝，∴由余弦定理得：cos B＝＝＝，解得c＝．（2）∵＝，∴由正弦定理得：，∴2sin B＝cos B，∵sin2B+cos2B＝1，∴sin B＝，cos B＝，∴sin（B+）＝cos B＝．【点评】本题考查三角形边长、三角函数值的求法，考查正弦定理、余弦定理、诱导公式、同角三角函数关系式等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．16．【分析】（1）推导出DE∥AB，AB∥A1B1，从而DE∥A1B1，由此能证明A1B1∥平面DEC1．（2）推导出BE⊥AA1，BE⊥AC，从而BE⊥平面ACC1A1，由此能证明BE⊥C1E．【解答】证明：（1）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，∴DE∥AB，AB∥A1B1，∴DE∥A1B1，∵DE⊂平面DEC1，A1B1⊄平面DEC1，∴A1B1∥平面DEC1．解：（2）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是AC的中点，AB＝BC．∴BE⊥AA1，BE⊥AC，又AA1∩AC＝A，∴BE⊥平面ACC1A1，∵C1E⊂平面ACC1A1，∴BE⊥C1E．【点评】本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．17．【分析】（1）由题意得到F1D∥BF2，然后求AD，再由AD＝DF1＝求得a，则椭圆方程可求；（2）求出D的坐标，得到＝，写出BF2的方程，与椭圆方程联立即可求得点E的坐标．【解答】解：（1）如图，∵F2A＝F2B，∴∠F2AB＝∠F2BA，∵F2A＝2a＝F2D+DA＝F2D+F1D，∴AD＝F1D，则∠DAF1＝∠DF1A，∴∠DF1A＝∠F2BA，则F1D∥BF2，∵c＝1，∴b2＝a2﹣1，则椭圆方程为，取x＝1，得，则AD＝2a﹣＝．又DF1＝，∴，解得a＝2（a＞0）．∴椭圆C的标准方程为；（2）由（1）知，D（1，），F1（﹣1，0），∴＝，则BF2：y＝，联立，得21x2﹣18x﹣39＝0．解得x1＝﹣1或（舍）．∴．即点E的坐标为（﹣1，﹣）．【点评】本题考查直线与圆，圆与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，证明DF1∥BF2是解答该题的关键，是中档题．18．【分析】（1）设BD与圆O交于M，连接AM，以C为坐标原点，l为x轴，建立直角坐标系，则A（0，﹣6），B（﹣8，﹣12），D（﹣8，0）设点P（x1，0），PB⊥AB，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求得P的坐标，可得所求值；（2）当QA⊥AB时，QA上的所有点到原点O的距离不小于圆的半径，设此时Q（x2，0），运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求得Q的坐标，即可得到结论；（3）设P（a，0），Q（b，0），则a≤﹣17，b≥﹣，结合条件，可得b的最小值，由两点的距离公式，计算可得PQ．【解答】解：设BD与圆O交于M，连接AM，AB为圆O的直径，可得AM⊥BM，即有DM＝AC＝6，BM＝6，AM＝8，以C为坐标原点，l为x轴，建立直角坐标系，则A（0，﹣6），B（﹣8，﹣12），D（﹣8，0）（1）设点P（x1，0），PB⊥AB，则k BP•k AB＝﹣1，即•＝﹣1，解得x1＝﹣17，所以P（﹣17，0），PB＝＝15；（2）当QA⊥AB时，QA上的所有点到原点O的距离不小于圆的半径，设此时Q（x2，0），则k QA•k AB＝﹣1，即•＝﹣1，解得x2＝﹣，Q（﹣，0），由﹣17＜﹣8＜﹣，在此范围内，不能满足PB，QA上所有点到O的距离不小于圆的半径，所以P，Q中不能有点选在D点；（3）设P（a，0），Q（b，0），则a≤﹣17，b≥﹣，PB2＝（a+8）2+144≥225，QA2＝b2+36≥225，则b≥3，当d最小时，PQ＝17+3．【点评】本题考查直线和圆的位置关系，考查直线的斜率和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，以及两点的距离公式，分析问题和解决问题的能力，考查运算能力，属于中档题．19．【分析】（1）由a＝b＝c，可得f（x）＝（x﹣a）3，根据f（4）＝8，可得（4﹣a）3＝8，解得a．（2）a≠b，b＝c，设f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2．令f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2＝0，解得x＝a，或x＝b．f′（x）＝（x﹣b）（3x﹣b﹣2a）．令f′（x）＝0，解得x＝b，或x＝．根据f（x）和f′（x）的零点均在集合A＝{﹣3，1，3}中，通过分类讨论可得：只有a＝3，b＝﹣3，可得＝＝1∈A，可得：f（x）＝（x﹣3）（x+3）2．利用导数研究其单调性可得x＝1时，函数f（x）取得极小值．（3）a＝0，0＜b≤1，c＝1，f（x）＝x（x﹣b）（x﹣1）．f′（x）＝3x2﹣（2b+2）x+b．△＞0．令f′（x）＝3x2﹣（2b+2）x+b＝0．解得：x1＝∈，x2＝．x1＜x2，可得x＝x1时，f（x）取得极大值为M，通过计算化简即可证明结论．【解答】解：（1）∵a＝b＝c，∴f（x）＝（x﹣a）3，∵f（4）＝8，∴（4﹣a）3＝8，∴4﹣a＝2，解得a＝2．（2）a≠b，b＝c，设f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2．令f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2＝0，解得x＝a，或x＝b．f′（x）＝（x﹣b）2+2（x﹣a）（x﹣b）＝（x﹣b）（3x﹣b﹣2a）．令f′（x）＝0，解得x＝b，或x＝．∵f（x）和f′（x）的零点均在集合A＝{﹣3，1，3}中，若：a＝﹣3，b＝1，则＝＝﹣∉A，舍去．a＝1，b＝﹣3，则＝＝﹣∉A，舍去．a＝﹣3，b＝3，则＝＝﹣1∉A，舍去．．a＝3，b＝1，则＝＝∉A，舍去．a＝1，b＝3，则＝∉A，舍去．a＝3，b＝﹣3，则＝＝1∈A，．因此a＝3，b＝﹣3，＝1∈A，可得：f（x）＝（x﹣3）（x+3）2．f′（x）＝3[x﹣（﹣3）]（x﹣1）．可得x＝1时，函数f（x）取得极小值，f（1）＝﹣2×42＝﹣32．（3）证明：a＝0，0＜b≤1，c＝1，f（x）＝x（x﹣b）（x﹣1）．f′（x）＝（x﹣b）（x﹣1）+x（x﹣1）+x（x﹣b）＝3x2﹣（2b+2）x+b．△＝4（b+1）2﹣12b＝4b2﹣4b+4＝4+3≥3．令f′（x）＝3x2﹣（2b+2）x+b＝0．解得：x1＝∈，x2＝．x1＜x2，x1+x2＝，x1x2＝，可得x＝x1时，f（x）取得极大值为M，∵f′（x1）＝﹣（2b+2）x1+b＝0，可得：＝[（2b+2）x1﹣b]，M＝f（x1）＝x1（x1﹣b）（x1﹣1）＝（x1﹣b）（﹣x1）＝（x1﹣b）（﹣x1）＝[（2b﹣1）﹣2b2x1+b2] ＝＝，∵﹣2b2+2b﹣2＝﹣2﹣＜0，∴M在x1∈（0，]上单调递减，∴M≤＝≤．∴M≤．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．【分析】（1）设等比数列{a n}的公比为q，然后根据a2a4＝a5，a3﹣4a2+4a1＝0列方程求解，在根据新定义判断即可；（2）求出b2，b3，b4猜想b n，然后用数学归纳法证明；（3）设{c n}的公比为q，将问题转化为，然后构造函数f（x）＝，g（x）＝，分别求解其最大值和最小值，最后解不等式，即可．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，则由a2a4＝a5，a3﹣4a2+4a1＝0，得∴，∴数列{a n}首项为1且公比为正数即数列{a n}为“M﹣数列”；（2）①∵b1＝1，＝﹣，∴当n＝1时，，∴b2＝2，当n＝2时，，∴b3＝3，当n＝3时，，∴b4＝4，猜想b n＝n，下面用数学归纳法证明；（i）当n＝1时，b1＝1，满足b n＝n，（ii）假设n＝k时，结论成立，即b k＝k，则n＝k+1时，由，得＝＝k+1，故n＝k+1时结论成立，根据（i）（ii）可知，b n＝n对任意的n∈N*都成立．故数列{b n}的通项公式为b n＝n；②设{c n}的公比为q，存在“M﹣数列”{c n}（n∈N*），对任意正整数k，当k≤m时，都有c k≤b k≤c k+1成立，即q k﹣1≤k≤k对k≤m恒成立，当k＝1时，q≥1，当k＝2时，，当k≥3，两边取对数可得，对k≤m有解，即，令f（x）＝，则，当x≥3时，f'（x）＜0，此时f（x）递增，∴当k≥3时，，令g（x）＝，则，令，则，当x≥3时，ϕ'（x）＜0，即g'（x）＜0，∴g（x）在[3，+∞）上单调递减，即k≥3时，，则，下面求解不等式，化简，得3lnm﹣（m﹣1）ln3≤0，令h（m）＝3lnm﹣（m﹣1）ln3，则h'（m）＝﹣ln3，由k≥3得m≥3，h'（m）＜0，∴h（m）在[3，+∞）上单调递减，又由于h（5）＝3ln5﹣4ln3＝ln125﹣ln81＞0，h（6）＝3ln6﹣5ln3＝ln216﹣ln243＜0，∴存在m0∈（5，6）使得h（m0）＝0，∴m的最大值为5，此时q∈，．【点评】本题考查了由递推公式求等比数列的通项公式和不等式恒成立，考查了数学归纳法和构造法，是数列、函数和不等式的综合性问题，属难题．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．【分析】（1）根据矩阵A直接求解A2即可；（2）矩阵A的特征多项式为f（λ）＝＝λ2﹣5λ+4，解方程f（λ）＝0即可．【解答】解：（1）∵A＝∴A2＝＝（2）矩阵A的特征多项式为：f（λ）＝＝λ2﹣5λ+4，令f（λ）＝0，则由方程λ2﹣5λ+4＝0，得λ＝1或λ＝4，∴矩阵A的特征值为1或4．【点评】本题考查了矩阵的运算和特征值等基础知识，考查运算与求解能力，属基础题．B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．【分析】（1）设极点为O，则由余弦定理可得，解出AB；（2）根据直线l的方程和点B的坐标可直接计算B到直线l的距离．【解答】解：（1）设极点为O，则在△OAB中，由余弦定理，得AB2＝OA2+OB2﹣2OA，∴AB＝＝；（2）由直线1的方程ρsin（θ+）＝3，知直线l过（3，），倾斜角为，又B（，），∴点B到直线l的距离为．【点评】本题考查了在极坐标系下计算两点间的距离和点到直线的距离，属基础题．C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．【分析】对|x|+|2x﹣1|去绝对值，然后分别解不等式即可．【解答】解：|x|+|2x﹣1|＝，∵|x|+|2x﹣1|＞2，∴或或，∴x＞1或x∈∅或x＜﹣，∴不等式的解集为{x|x＜﹣或x＞1}．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，属基础题．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24．【分析】（1）运用二项式定理，分别求得a2，a3，a4，结合组合数公式，解方程可得n 的值；（2）方法一、运用二项式定理，结合组合数公式求得a，b，计算可得所求值；方法二、由于a，b∈N*，求得（1﹣）5＝a﹣b，再由平方差公式，计算可得所求值．【解答】解：（1）由（1+x）n＝C+C x+C x2+…+C x n，n≥4，可得a2＝C＝，a3＝C＝，a4＝C＝，a32＝2a2a4，可得（）2＝2••，解得n＝5；（2）方法一、（1+）5＝C+C+C（）2+C（）3+C（）4+C（）5＝a+b，由于a，b∈N*，可得a＝C+3C+9C＝1+30+45＝76，b＝C+3C+9C＝44，可得a2﹣3b2＝762﹣3×442＝﹣32；方法二、（1+）5＝C+C+C（）2+C（）3+C（）4+C（）5＝a+b，（1﹣）5＝C+C（﹣）+C（﹣）2+C（﹣）3+C（﹣）4+C（﹣）5＝C﹣C+C（）2﹣C（）3+C（）4﹣C（）5，由于a，b∈N*，可得（1﹣）5＝a﹣b，可得a2﹣3b2＝（1+）5•（1﹣）5＝（1﹣3）5＝﹣32．【点评】本题主要考查二项式定理、组合数公式的运用，考查运算能力和分析问题能力，属于中档题．25．【分析】（1）当n＝1时，X的所有可能取值为1，，2，，由古典概率的公式，结合组合数可得所求值；（2）设A（a，b）和B（c，d）是从M n中取出的两个点，因为P（X≤n）＝1﹣P（X＞n），所以只需考虑X＞n的情况，分别讨论b，d的取值，结合古典概率的计算公式和对立事件的概率，即可得到所求值．【解答】解：（1）当n＝1时，X的所有可能取值为1，，2，，X的概率分布为P（X＝1）＝＝；P（X＝）＝＝；P（X＝2）＝＝；P（X＝）＝＝；（2）设A（a，b）和B（c，d）是从M n中取出的两个点，因为P（X≤n）＝1﹣P（X＞n），所以只需考虑X＞n的情况，①若b＝d，则AB≤n，不存在X＞n的取法；②若b＝0，d＝1，则AB＝≤，所以X＞n当且仅当AB＝，此时a＝0．c＝n或a＝n，c＝0，有两种情况；③若b＝0，d＝2，则AB＝≤，所以X＞n当且仅当AB＝，此时a＝0．c＝n或a＝n，c＝0，有两种情况；④若b＝1，d＝2，则AB＝≤，所以X＞n当且仅当AB＝，此时a＝0．c＝n或a＝n，c＝0，有两种情况；综上可得当X＞n，X的所有值是或，且P（X＝）＝，P（X＝）＝，可得P（X≤n）＝1﹣P（X＝）﹣P（X＝）＝1﹣．【点评】本题考查随机变量的概率的分布，以及古典概率公式的运用，考查分类讨论思想方法，以及化简运算能力，属于难题．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
江苏省2019年高考数学模拟试题及答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1．若全集}3,2,1{=U ，}2,1{=A ，则=A C U ． 【答案】}3{
2．函数x y ln =的定义域为 ． 【答案】),1[+∞
3．若钝角α的始边与x 轴的正半轴重合，终边与单位圆交于点)2
3
,(m P ，则αtan ． 【答案】3-
4．在ABC ∆中，角C B A ,,的对边为c b a ,,，若7,5,3===c b a ，则角=C ． 【答案】
3
2π 5．已知向量)1,1(-=m ，)sin ,(cos αα=n ，其中],0[πα∈，若n m //，则=α ． 【答案】
4
3π 6．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若63=a ，497=S ，则公差=d ． 【答案】1
7．在平面直角坐标系中，曲线12++=x e y x
在0=x 处的切线方程为 ． 【答案】23+=x y
8．实数1-=k 是函数x
x
k k x f 212)(⋅+-=为奇函数的 条件（选填“充分不必要”，“必要不充分”，
“充要”，“既不充分也不必要”之一） 【答案】充分不必要
9．在ABC ∆中，0
60,1,2===A AC AB ，点D 为BC 上一点，若AD AC AD AB ⋅=⋅2，则
AD ．
【答案】
3
3
2 10．若函数)10(|3sin |)(<<-=m m x x f 的所有正零点构成公差为)0(>d d 的等差数列，则
=d ．
【答案】
6
π 11．如图，在四边形ABCD 中，0
60,3,2===A AD AB ，分别CD CB ,延长至点F E ,使得CB CE λ=，
λ=其中0>λ，若15=⋅，则λ的值为 ．
【答案】
2
5
12．已知函数x m x e m x x f x
)1(2
1)()(2
+--+=在R 上单调递增，则实数m 的取值集合为 ．
【答案】}1{-
13．已知数列}{n a 满足023211=+++++n n n n a a a a ，其中2
1
1-=a ，设1+-=n n a n b λ，若3b 为数列}
{n b 中的唯一最小项，则实数λ的取值范围是 ． 【答案】)7,5(
14．在ABC ∆中，3tan -=A ，ABC ∆的面积为1，0P 为线段BC 上的一个定点，P 为线段BC 上的任意一点，满足BC CP =03，且恒有C P A P PC PA 00⋅≥⋅，则线段BC 的长为 ． 【答案】6
二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分） 若函数)0,0()3
sin()(>>++=b a b ax x f π
的图像与x 轴相切，且图像上相邻两个最高点之间的距离
为π.
（1）求b a ,的值；
（2）求函数)(x f 在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡4,
0π上的最大值和最小值.
16．（本小题满分14分）
已知命题p ：函数m mx x x f +-=2)(2
的图像与x 轴至多有一个交点，命题q ：1|1log |2≤-m ； （1）若q ⌝为真命题，求实数m 的取值范围； （2）若q p ∨为真命题，求实数m 的取值范围；
17．（本小题满分14分）
在ABC ∆中，角C B A ,,的对边为c b a ,,，已知a
b
C C 3sin cos 3=-； （1）求角A 的大小；
（2）若6=+c b ，D 为BC 中点，且22=AD ,求ABC ∆的面积.
18．（本小题满分16分）
如图，PQ 为某公园的一条道路，一半径为20米的圆形观赏鱼塘与PQ 相切，记其圆心为O ，切点为G ，为参观方便，现在新建两条道路CB CA ,，分别与圆O 相切于E D ,两点，同时与PQ 分别交与B A ,两点，其中G O C ,,三点共线且满足CB CA =，记道路CB CA ,长之和为l ； （1）①设θ=∠ACO ，求出l 关于θ的函数关系式)(θl ；
②设x AB 2=米，求出l 关于x 的函数关系式)(x l ；
（2）若新建道路每米造价一定，请选择（1）中的一个函数关系式，研究并确定如何设计使得新建道路造价最少.
19．（本小题满分16分）
已知正项数列}{n a 的首项，前n 项和n S 满足n n n S a a 22
=+
（1）求数列}{n a 的通项公式；
（2）若数列}{n b 是公比4为的等比数列，且332211,,a b a b a b ---也是等比数列，若数列⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧+n n b a λ单
调递增，求实数λ的取值范围；
（3）若数列}{n b ，}{n c 都是等比数列；且满足n n n a b c -=，试证明数列}{n c 中只存在三项.
20．（本小题满分16分）
若函数)(x f y =在0x x =处取得最大值或最小值，则称0x 为函数)(0x f y =的极值点.设函数
b a bx ax x x f ---++=1)(23，)1()(-=x k x g ，R k b a ∈,,
（1）若函数)(x g 为)(x f 在1=x 处的切线，
①当)(x f 有两个极值点1x 、2x ，且满足121=x x 时，求b 的值及a 的取值范围；
②当)(x g 与)(x f 的图像只有一个交点，求a 的值；
（2）若对满足“函数)(x g 与)(x f 的图像总有三个交点R Q P ,,”的任意实数k ，都有QR PQ =成立，求k b a ,,满足的条件．。