非参数统计

x y 1 2 合计
1 a c a+c
2 b d b+d
合计 a+b c+d n
n(ad −bc)2 x2 = (a + c)(b + d)(a + b)(c + d)
第三节 成对比较检验
一、符号检验 用两组样本数据之差的正、 用两组样本数据之差的正、负符号判断两个总 体特征是否存在差异的检验方法，亦称正负号检验。 体特征是否存在差异的检验方法，亦称正负号检验。 特点： 特点： 来自两个总体的两个样本 可以相关，也可以独立 可以相关， 不计具体数值， 不计具体数值，只考虑 差数的正负方向 对分布、 对分布、方差均不 作任何假定 损失了具体数值差 别的信息
第七章 非参数统计
第一节 非参数统计的概念和特点 什么是非参数统计
推断 检验 分布已知 样 本 样 本 参数 方法
总体
分布未知
？
非参数 方法
对总体分布的形式未知，或不作任何假定时， 对总体分布的形式未知，或不作任何假定时，依赖样 本对总体是否具有某种性质、 本对总体是否具有某种性质、特征进行推断的统 计方法
(X
y
j
∩ i
y )= P
j
× P• j = i•
O
n
i•
×
O
n
•j
检验X和 的独立性 等于检验： 的独立性， 检验 和Y的独立性，等于检验：
P H 0： (X
i
∩
)= P
i•
× P• j
检验步骤 （1）建立假设 ） H0：两组变量独立 H1：两组变量不独立
（2）将样本资料编成 ） r×c列联表，并列出 列联表， × 列联表 实际频数O 实际频数 ij
非参数统计的特点 不要求对总体分布 作任何限制性假定 可用于定名测定和 定序测定的变量 不以估计总体参数 为目的 方法直观，易于理 方法直观， 解，运算比较简单； 运算比较简单；
若总体分布能确定时， 若总体分布能确定时，较参数方法效率差
第二节 χ2检验
一、拟合优度检验 利用样本信息对总体是否与某种假设的理论分布符 合的检验。 合的检验。 检验的基本思想 服从某一分布， 假设总体 X 服从某一分布， ），观察样本数据在类 观察样本数据在类（ 将样本分成 K 类（组），观察样本数据在类（组） ， 出现的频数 f1，f2，…，fk 。在原假设 H0下，得到 每一类（组）的预期频数： fe1，fe2，…，fek 。若 每一类（ 的预期频数： ， H0为真， fi 与 fei 的差异应该不显著。 为真， 的差异应该不显著。
2 i
其中： 其中： di=Xi-Yi为等级差值
rs取值范围
-1<rs<1
完全正相关， 当Xi和Yi完全正相关， rs =1 完全负相关， 当Xi和Yi完全负相关， rs =-1 注意： 注意： rs描述的是两个现象等级间的关系程度，而不 描述的是两个现象等级间的关系程度， 是被赋予等级的两种标志值间的相关关系。 是被赋予等级的两种标志值间的相关关系。
游程 长度
游程的个数 r可用来检验样本的随机性 可用来检验样本的随机性
游程检验方法步骤 将样本观察值顺序排列， 将样本观察值顺序排列，找出中位数或平均数 以中位数或平均数为界分样本观察值为两个部分 以两部分交错形成的游程个数为检验的统计量 检验的假设: 检验的假设 Ho：样本具有随机性 H1：样本不具有随机性
X
合计O 合计 ·j
记：
显然
O =∑ O O
i• ij j
c
•j
= ∑ ij O
i
• j
r
n
i
=
∑O
=
i•
=
c
∑O
y
j j
P (X P
)= P( X
r i =1
X
, i ∑
)=
O
n
•j
i•
=
(y ) = P ( ∑ X
j
j =1
P
•j
i•
,y = i
y
)=
O
n
=
P
若X、Y相互独立，应有： 相互独立，应有： P
检验步骤 （1）对总体分布建立假设 ） H0：总体服从某种理论分布 H1：总体不服从该理论分布
注意
H0 总体为完全给定的概率分布形式时， χ2 统 总体为完全给定的概率分布形式时， 计量的自由度为k 计量的自由度为k-1 H0 总体服从某种形式的概率分布时，χ2 统计 总体服从某种形式的概率分布时， 量的自由度为k 1 量的自由度为k-r-1 ， r等于需要估计的参数的个数。 等于需要估计的参数的个数。 等于需要估计的参数的个数
检验步骤 （1）确定配对样本，识别差 ）确定配对样本， 异，统计正负差异个数 （2）建立假设： ）建立假设： H0：两组数据无差异 等价于 H0： P (+) =0.5 H1: P (+) ≠0. 5 （3）计算检验统计量 ） 大样本时：
Z= ˆ P − 0.5 0.5×0.5 n
（4）确定拒绝域， ）确定拒绝域， 比较并作出判断
Ζ= ˆ p − 0 .5 0 .5 × 0 .5 n
拒绝域
Ζ > Ζα
2
2、当有效符号 、 个数n<30时 个数 时
P( X = k ) =
( )0.5
n k
n
P( X = k ) < α
2
3、当带符号的 、 等级检验时
T = min( + ,T −) T
T <Tα
非参数检验方法
方法 H0 H0：两组数据 ： 无显著差异 惠特尼U 曼-惠特尼 惠特尼 检验 检验统计量 1、n1、 n2< 10时 、 时 U = min (UA、UB) 拒绝域
（3）建立假设 ） H0：两总体某特征无显著差异 H1：两总体某特征显著差异 （4）计算检验统计量 [ U = min (UA、UB)] ）计算检验统计量U ①nA、nB＜10时， UA= nAnB+ nA（nA +1）/2-TA 时 ） UB= nAnB+ nB（nB +1）/2-TB ） ②nA、nB＞10时 时
U − (nAnB / 2) Z= nAnB(nA + nB +1) /12
值表， （5）设定显著性水平 ，查U值表， ）设定显著性水平α， 值表 拒绝H 对于n ， 对于 A、nB＜10，当U≤Uα，拒绝 0，
第五节 游程检验
根据样本标志表现排列所形成的游程的多少进行 判断的检验方法。 判断的检验方法。亦称连贯检验 游程 每个连续出现某一类 样本观察值的区段 每个区段包含的相同 样本观察值的个数
设有一组观察值（ ）、（X 设有一组观察值（X1,Y1）、（ 2、Y2）…（Xn、Yn） （ 、 X有1，2…r种状态， 有 ， 种状态， 种状态 Y有1，2…c种状态， 有 ， 种状态， 种状态 将其编成r× 列联表 联合频数分布表）， 列联表（ 将其编成 ×c列联表（联合频数分布表）， 表示X、 同时发生的频数 同时发生的频数： 用Oij表示 、Y同时发生的频数：
列联表形式（ × ） 列联表形式（r×c） y x 1 2 3 . . . r 1 O11 O21 O31 . . . Or1 O.1 2 O12 O22 O32 . . . Or2 O.2 Y 3 O13 O23 O33 . . . Or3 O.3 … … … … . . . … … c O1c O2c O3c . . . Orc O.c n 合计O 合计 i· O1· O2 · O3 · . . . Or ·
（4）确定带正负号的差值的个数为样本 ） 容量n 容量
（5）建立假设： ）建立假设：
H0：T+=T- H1： T+≠T：
（6）确定检验统计量 ：T= min ( T+,T-) ）确定检验统计量T：
（5）设定 ，当T<Tα, ）设定α，
拒绝H 拒绝 0 。
第四节
惠特尼U 曼—惠特尼U检验 惠特尼
与威尔科克森检验的思想方法基本相同。特点： 与威尔科克森检验的思想方法基本相同。特点： 两个样本 相互独立 检验步骤： 检验步骤： 将（nA+nB）个观察值从小到大排序并赋予等级 号 （2〕分别计算两个样本各自的等级和 A和TB 〕分别计算两个样本各自的等级和T 中分别独立抽取样本n （1）从总体 、B中分别独立抽取样本 A和nB， ）从总体A、 中分别独立抽取样本 两个样本合 在一起排序 数据不一 定成对
拟合优度检验需要注意 （1）各组理论频数 ei不得小于 ； ）各组理论频数f 不得小于5； （2）样本单位数 n ＞50； ） ； （3）若某一类（组）理论频数 < 5，应与邻类 ）若某一类（ ， 应为实际类（ （组）合并，且k应为实际类（组）数 合并， 应为实际类 （4）注意 r 的取值 ）
三、独立性检验 利用样本信息对两组数据是否彼此关联的检验。 利用样本信息对两组数据是否彼此关联的检验。 特点在于其理论频数由样本实际频数计算得出 特点在于其理论频数由样本实际频数计算得出
二、等级相关检验的步骤 1）提出假设 ） Ho： Xi和Yi相互独立 H1： Xi和Yi不独立 H1： Xi和Yi正相关 H1： Xi和Yi负相关 2）计算检验统计量 ） 小样本时， 小样本时， 大样本时， 大样本时，
6Σd rs =1− n(n2 −1)
2 i
Ζ = r s n −1
3）设定显著性水平α，小样本时，查Spearman秩 ）设定显著性水平 ，小样本时， 秩 相关系数表；大样本时， 相关系数表；大样本时，查标准正态分布函数表 4）比较判断，双侧检验时，当 |rs| > rα ）比较判断，双侧检验时， 左侧检验时，当 rs < rα 左侧检验时， 右侧检验时， 右侧检验时，当 rs > rα