第五章 质点和刚体的运动学基础

zM
v
M´
t 瞬时: 矢径 r(t)
t＋t 瞬时: 矢径 r (t ＋ t ) 或r(t)＋r(t)
Δr
t 时间间隔内矢径的改变量
r(t) r(t Δt) r(t)
r＝ r (t ＋ t)－ r(t)
y
x
t时间内的平均速度
点在 t 瞬时的速度
v r t
v lim r d r t0 t dt
的平面运动。
运动学所研究的内容：
(1) 建立物体的运动方程； (2) 分析物体运动的速度、加速度、角速度、角加速度等； (3) 研究物体运动的分解与合成规律。
第一节 点的运动
几个基本概念
❖ 1.参考系、瞬时、时间间隔。 ❖ 2. 运动方程 ：点的位置随时间的变化规律。 ❖ 3.速度:描述点在 t 瞬时运动快慢和运动方向的力学量。 ❖ 4.加速度 :描述点在 t 瞬时速度大小和方向变化率的力学量。
一、 点的空间运动的矢量表示法
运动方程－变矢量法中，运动方程用点在任意瞬时t
的位置矢量r(t)表示。 r(t)简称为位矢。
zM
M´
r = r (t)
r r´ r M
动点M运动过程中，矢径r 末端在空间描绘出一条连续
曲线，即为点M的运动轨迹， y 亦称矢端曲线（或称矢径端
图）。 x
1. 点的速度矢量v
x y
z
a ax2 ay2 az2
点的加速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标
对时间的二阶导数。
例5-1 正弦机构如图所示。曲柄OM长为r，绕O轴匀速转动，
它与水平线间的夹角为 t 其 中, 为t= 0时的夹角，
为一常数。已知动杆上A、B两点间距离为b。
求点A和B的运动方程及点B的速度和加速度。
第五章 质点和刚体的 运动学基础
第一节 点的运动 第二节 刚体的运动 第三节 点的合成运动 第四节 刚体的平面运动
教学目的和要求
❖ 本章主要讲述质点和刚体运动学的基础知识。学习 时要明确点的运动在不同坐标系下有不同的表示方 式，重点掌握描述点的运动的矢量表示法。掌握运 动合成和分解的基本概念和方法，能应用速度和加 速度合成定理分析解决具体的运动学问题。了解刚 体运动的类型和描述方式，能够应用刚体的平面运 动方程解决具体的刚体运动问题。
பைடு நூலகம்
三、动点速度和加速度的自然坐标表示法 1.弧坐标形式的运动方程
如果点沿着已知的轨迹运动， 则点的运动方程可用点在已 知轨迹上所走过的弧长随时间 变化的规律描述。
轨迹的运动方程 s f (t) s(t)
2. 自然轴系
b n
3. 点的速度
v lim r t0 t
（1）速度的大小
由 v lim r lim s ds t0 t t0 t dt
3.点的加速度
v vxi vy j vzk
dv d 2r a
dt dt 2
dv d 2r d 2 x d 2 y d 2 z a i j k
dt dt 2 dt 2 dt 2 dt 2
a axi ay j azk
ax ay az
d2x
dt 2 d2y
dt 2 d2z
dt 2
2. 点的速度矢量a
速度矢端曲线——将各不同瞬时的速度平行移动到同一出 发点O1 (任选)，以光滑曲线连接各速度端点。此曲线称 为速度矢端曲线，简称速度端图。
t时间内的平均加速度
a* v t
t＋△ t 瞬时:速度 v(t ＋ △ t ) 或v(t)＋ △ v(t)
△ t 时间间隔内速度的改变量 △ v＝ v (t ＋ △ t )－ v(t)
点在 t 瞬时的加速度：
a lim v d v v t0 t dt
或 a d 2 r r dt 2
二、 动点速度和加速度的直角坐标表示法
1.点的运动方程和轨迹方程
1)运动方程式
r xi yj zk
不受约束的点在空间有 3个自由度，在直角坐标 系中，点在空间的位置由 3个方程确定：
x = f1(t)=x(t)
y = f2(t)=y(t)
z = f3(t)=z(t)
2)点的轨迹方程
x f1 (t) x(t) y f 2 (t) y(t) 消去参数t z f3 (t) z(t
f (x, y, z) 0
平面运动时
x
y
f1 t f2 t
消去参数t
f x, y 0
a v 0 点作加速运动，a 与 v 同向 a v 0 点作减速运动，a 与 v 反向
例5-2 半径为r的轮子沿直线轨道无滑动地滚动（称
为纯滚动），设轮子转角 t(为常值），如图所
示。求用直角坐标和弧坐标表示的轮缘上任一点M的 运动方程，并求该点的速度、切向加速度及法向加速
度。
解 M点作曲线运动，取直角坐标系如图所示。
得速度的大小为 v ds dt
（2）速度的方向
ds 0 v 与 同向，点沿轨迹正向运动。
dt
v ds 0
dt
v ds v
与 反向，点沿轨迹负向运动。
dt
4. 点的加速度
a dv d v dv v d
dt dt
dt
dt
a
dv
dt
v2
an n
a a an
a a 2 an 2
教学重点
❖ 点的运动的矢量表示法以及在不同坐标系下的表示 形式；
❖ 刚体的定轴转动规律； ❖ 点的速度合成定理； ❖ 刚体平面运动速度分析方法。
教学难点
❖ 点的运动方程、轨迹、速度和加速度的求解； ❖ 刚体定轴转动的描述规律； ❖ 速度合成定理的应用； ❖ 基点法、速度投影定理和瞬时速度中心法分析刚体
2.点的速度
r xi yj zk
v dr dx i dy j dz k dt dt dt dt
v vxi vy j vzk
vx vy vz
dx
dt dy
dt dz
dt
x
y
z
v vx2 vy2 vz2
点的速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标对时 间的一阶导数。
由纯滚动条件
OC MC r rt
从而 x OC O1M sin rt sin t y O1C O1M cos r1 cost
解 A、B点都作直线运动，取Ox轴如图所示。
运动方程为
xA b r sin b r sin( t )
xB r sin r sin( t )
B点的速度和加速度
vB xB r cost
aB xB r2 sin t 2xB
周期运动
x(t T ) xt
f 1 频率 T