二次函数培优提高训练(二)

二次函数培优提高训练

【关于二次函数的最值问题】

1、二次函数2

y ax bx c =++（0a ≠）中，当a>0时，有最小值a

b a

c 442

-，当a<0时，有最大值的a b

ac 442

-。

2、二次函数2

y ax bx c =++（0a ≠）最大（小）值的坐标，即抛物线的顶点坐标为（a

b a

c a b 44,22

--）。 【例题精讲】

例题1、（2012•台湾）判断下列哪一组的a 、b 、c ，可使二次函数y=ax 2+bx+c-5x 2

-3x+7在坐标平面上的图形有最低点？（ ）

A ． a=0，b=4，c=8

B ．a=2，b=4，c=-8

C ．a=4，b=-4，c=8

D ．a=6，b=-4，c=-8 【变式练习】（2012•呼和浩特）已知：M ，N 两点关于y 轴对称，且点M 在双曲线y=1

2x

上，点N 在直线y=x+3上，设点M 的坐标为（a ，b ），则二次函数y=-abx 2

+（a+b ）x （ ）

A ．有最大值，最大值为92-

B 、有最大值，最大值为92

C ．有最小值，最小值为92

D ．有最小值，最小值为9

2

-

例题2、（2010•自贡）y=x 2

+（1-a ）x+1是关于x 的二次函数，当x 的取值范围是1≤x≤3时，y 在x=1时

取得最大值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a≤-5 B ．a≥5 C ．a=3 D ．a≥3

【变式练习】（2012•兰州）已知二次函数y=a （x+1）2

-b （a≠0）有最小值1，则a ，b 的大小关系为（ ） A ．a ＞b B ．a ＜b C ．a=b D ．不能确定

例题3、（2012•湖州）如图，已知点A （4，0），O 为坐标原点，P 是线段OA 上任意一点（不含端点O ，A ），过P 、O 两点的二次函数y 1和过P 、A 两点的二次函数y 2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B 、C ，射线OB 与AC 相交于点D ．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（ ）

A 、5

B 、

45

C 、3

D 、4 【变式练习】（2012•贵阳）已知二次函数y=ax 2

+bx+c （a ＜0）的图象如图所示， 当-5≤x ≤0时，下列说法正确的是（ ）

A ．有最小值-5、最大值0

B ．有最小值-3、最大值6 B ．

C ．有最小值0、最大值6

D ．有最小值2、最大值6 【课堂练习】

1、（2007•聊城）如图，点C 是线段AB 上的一个动点，AB=1，分别以AC 和CB 为 一边作正方形，用S 表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是（ ）。 A ．当C 是AB 的中点时，S 最小 B ．当C 是AB 的中点时，S 最大

2、（2012•扬州）如图，线段AB 的长为2，C 为AB 上一个动点，分别以AC 、BC 为 斜边在AB 的同侧作两个等腰直角三角形△ACD 和△BCE，那么DE 长的最小值是（ ）

3、（2010•扬州）在△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，CD 是斜边AB 上的高，点E 在斜边AB 上，过点E 作直线与△ABC 的直角边相交于点F ，设AE=x ，△AEF 的面积为y ． （1）求线段AD 的长；

（2）若EF ⊥AB ，当点E 在线段AB 上移动时，

①求y 与x 的函数关系式（写出自变量x 的取值范围） ②当x 取何值时，y 有最大值？并求其最大值；

（3）若F 在直角边BC 上（点F 与B 、C 两点均不重合），点E 在斜边AB 上移动，试问：是否存在直线EF 将△ABC 的周长和面积同时平分？若存在直线EF ，求出x 的值；若不存在直线EF ，请说明理由．

【关于二次函数的抛物线与x 轴的交点问题】

1、二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）中，若抛物线与x 轴有两个交点，则042

>-ac b ，若抛物线与x 轴有一个交点，则042

=-ac b ，若抛物线与x 轴没有交点，则042

<-ac b 。

2、设二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的若抛物线与x 轴有两个交点，A （x 1，0），B （x 2，0），

a

ac b x x AB 4221-=-=。

例题精讲

例题1、（2012•宜昌）已知抛物线y=ax 2

-2x+1与x 轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是（ ） A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限

【变式练习】（2012•天津）若关于x 的一元二次方程（x-2）（x-3）=m 有实数根x 1、x 2，且x 1≠x 2，有下列结论：①x 1=2，x 2=3；②m ＞1

4

-

- ；③二次函数y=（x-x 1）（x-x 2）+m 的图象与x 轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，正确结论的是（ ）

例题2、（2012•梅州）（1）已知一元二次方程x 2+px+q=0（p 2

-4q≥0）的两根为x 1、x 2； （1）求证：x 1+x 2=-p ，x 1•x 2=q ．

（2）已知抛物线y=x 2

+px+q 与x 轴交于A 、B 两点，且过点（-1，-1），设线段AB 的长为d ，当p 为何值

时，d 2

取得最小值，并求出最小值．