因式分解乘法公式
乘法公式与因式分解
乘法公式与因式分解乘法公式和因式分解是数学中常见的概念和工具。
它们在各个数学领域都有广泛的应用，尤其是在代数和方程中。
本文将详细介绍乘法公式和因式分解的概念、原理和应用。
一、乘法公式乘法公式是指将两个或多个数相乘所遵循的规则。
在代数中，乘法公式往往涉及到字母表示的变量和表达式。
以下是常见的乘法公式：1. 两个数的乘积等于它们的因数相乘：a * b = b * a。
2. 两个数相乘再乘以另一个数等于每个因数分别乘以这个数再相乘：(a * b) * c = a * (b * c)。
3. 任何数与1相乘等于它本身：a * 1 = a。
4. 任何数与0相乘等于0：a * 0 = 0。
乘法公式在解决方程、计算等多个数学问题中起着重要作用。
它们能够简化计算过程、发现规律、推导定理等。
二、因式分解因式分解是将一个数或表达式分解成多个因数相乘的过程。
它是乘法公式的逆运算。
因式分解在求解方程、因式的化简和分析函数图像等方面具有重要意义。
1. 将一个数分解成质因数的乘积是因式分解的基本思想。
质因数是指只能被1和自身整除的数，如2、3、5、7等。
例如，将12分解成质因数的乘积等于2 * 2 * 3。
2. 除法和因式分解之间有密切的关系。
将一个数分解成两个因数相乘，可以使用除法的思想。
例如，用因式分解的方法将24分解成2 * 12，相当于24除以2得到12。
3. 多项式的因式分解需要应用乘法公式的原理。
对于多项式，我们可以先找出公因式，然后使用乘法公式将多项式分解为多个因式相乘的形式。
例如，将x^2 - 4分解成(x - 2)(x + 2)。
因式分解不仅在代数中有重要应用，也在数论、几何等数学分支中有广泛的运用。
它能够帮助我们更好地理解数学问题，简化运算，并发现问题的规律和性质。
三、乘法公式与因式分解的应用乘法公式和因式分解在数学中有广泛的应用。
以下列举其中几个常见的应用：1. 方程的求解：通过应用乘法公式和因式分解，我们可以将方程进行变形和化简，从而更容易求得方程的解。
因式分解法的公式
因式分解法的公式因式分解法是一种代数运算方法，用于将一个多项式分解为几个因式的乘积。
这种方法可以大大简化多项式的计算和分析过程，使问题求解更加方便。
本文将介绍因式分解法的基本原理、常见的因式分解公式以及一些应用示例。
一、因式分解法的基本原理因式分解法是基于多项式的乘法运算性质进行的，其基本原理可以概括为以下三点：1. 多项式乘法的分配律：对于任意三个数a、b、c，有(a+b)·c = a·c + b·c。
这个性质可以推广到多项式的情况，即(a+b)·c = a·c + b·c。
2. 公因式提取：如果一个多项式的每一项都有一个公共的因子，那么可以将这个公因式提取出来，得到一个因式和多项式。
3. 因式定理：如果一个多项式中的某一项可以整除该多项式，那么这个项是多项式的一个因式。
基于以上原理，我们可以通过因式分解法将一个多项式分解为多个因式的乘积。
二、常见的因式分解公式1. x² - a² = (x-a)(x+a)，其中a为任意常数。
这个公式是差平方公式，适用于多项式x²减去一个常数平方的情况。
例如，可以将x² - 4分解为(x-2)(x+2)。
2. a² - b² = (a-b)(a+b)，其中a、b为任意常数。
这个公式也是差平方公式，适用于多项式a²减去一个常数平方的情况。
例如，可以将9x² - 16分解为(3x-4)(3x+4)。
3. a³ + b³ = (a+b)(a² - ab + b²)，其中a、b为任意常数。
这个公式是和立方公式，适用于多项式a³加上b³的情况。
例如，可以将x³ + 8分解为(x+2)(x² - 2x + 4)。
4. a³ - b³ = (a-b)(a² + ab + b²)，其中a、b为任意常数。
整式乘法、乘法公式、化简求值、因式分解(一)
整式乘法、乘法公式、因式分解（一）1．因式分解：（a﹣b）2﹣（b﹣a）＝．2．如果x+y＝5，xy＝﹣3，则x2y+xy2＝，x2+y2＝．3．分解因式：2x2y﹣12xy+18y＝．4．若a＝2，a﹣2bc＝3，则2a2﹣4abc的值为．5．已知（2x﹣21）（3x﹣7）﹣（3x﹣7）（x﹣13）可分解因式为（3x+a）（x+b），其中a、b 均为整数，则a+3b＝．6．分解因式：4a2﹣25b2＝．7．分解因式9（a+b）2﹣（a﹣b）2＝．8．因式分解：16x3y﹣4xy＝．9．多项式3x﹣12x3分解因式的结果是．10．分解因式：3x2﹣12xy+12y2＝．12．因式分解：3x3﹣12x＝．13．把代数式4a2b﹣3b2（4a﹣3b）进行因式分解得：．14．分解因式：a2﹣b2+2b﹣1＝．15．如果多项式9x2﹣axy+4y2﹣b能用分组分解法分解因式，则符合条件的一组整数值是a ＝，b＝．16．分解因式：x2+4xy+4y2+x+2y﹣2＝．17．因式分解：x3﹣6x2+11x﹣6＝．18．已知多项式x2﹣8x+m因式分解得（x+n）（x﹣6），则m+n＝．19．若x2﹣3x﹣28＝（x+a）（x+b），则a+b＝，ab＝．20．若x2﹣3x﹣10＝（x+a）（x+b），则a＝，b＝．22．已知x2﹣5x+m＝（x﹣2）（x﹣n），则m＝，n＝．23．分解因式：x2﹣7x+10＝．24．如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，如图2所示是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2．请直接用含a，b的代数式表示S1，S2；（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式；（3）试利用这个公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1．24．若a2+a＝0，求2a2+2a+2015的值．25．﹣4x3+16x2﹣26x．28．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．解：设x2﹣4x＝y原式＝（y+2）（y+6）+4（第一步）＝y2+8y+16（第二步）＝（y+4）2（第三步）＝（x2﹣4x+4）2（第四步）请问：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的A．提取公因式法B．平方差公式C．两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底？．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果（2）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．29．因式分解：（1）xy（x﹣y）﹣x（x﹣y）2（2）（a2+b2）2﹣4a2b2．30．分解因式：（1）x4﹣1；（2）a2+4ab+4b2．。
乘法公式与因式分解(A)
专题： 乘法公式与因式分解一、 乘法公式我们在初中已经学习或了解了的一些乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-； （2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+．（3）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； （4）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．练习一1．填空：（1）221111()9423a b b a -=+( )；（2）(4m + 22)164(m m =++ )； 2．选择题：（1）若212x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于 （ ） （A ）2m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m （2）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值 （ ） （A ）总是正数 （B ）总是负数 （C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数二、分解因式1．十字相乘法例1 分解因式：（1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12； （3）22()x a b xy aby -++；2．提取公因式法与分组分解法例2 分解因式：（1）32933x x x +++； （2）1xy x y -+-．3．关于x 的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)的因式分解若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ，则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠ 就可分解为12()()a x x x x --.例3 把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1）221x x +-； （2）2244x xy y +-； （3）2231x x +-；练习二1．选择题：多项式22215x xy y --的一个因式为 （ ）（A ）25x y - （B ）3x y - （C ）3x y + （D ）5x y -2．分解因式：（1）x 2＋6x ＋8； （2）8a 3－b 3；（3）x 2－2x －1； （4）4(1)(2)x y y y x -++-练习三分解因式：(1) 34381a b b - (2) 76a ab - （3）2105ax ay by bx -+-（4）2222()()ab c d a b cd --- （5）22x y ax ay -++ （6）2222428x xy y z ++-（7）226x xy y +- （8）222()8()12x x x x +-++ （9）21252x x --（10）22568x xy y +- （11）2616x x +- （12）3234x x -+。
整式的乘除因式分解定义公式总结
《整式的乘除与因式分解》四大知识点归纳第一类、幂的运算法则：同底数幂的乘法a m a n=a m+n幂的乘方（a m ）n=a m n积的乘方(a b)n = a n b n同底数幂的除法a m÷a n=a m+n (a≠0，m、n为正整数，m﹥n）零指数幂a0 = 1（a≠0)负指数幂 a – p = （a≠0 ，p为正整数）第二类、整式的乘、除法整式的乘法1.单项式乘以单项式法则单项式和单项式相乘，把它们的系数,相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式.2。
单项式乘以多项式法则单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加。
即m（a+b+c）=ma+mb+mc3.多项式乘以多项式法则多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加即（a+b) (m+n) = am + an + bm +bn整式的除法1.单项式除以单项式法则单项式相除，把系数和同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式。
2．多项式除以单项式法则多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
即(am+bm)÷m = a + b第三类、乘法公式平方差公式两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
即(a+b）（a –b）= a2 –b2完全平方公式两数和(或差)的平方，等于它们的平方和,加（或减）它们的积的2倍.即(a+b）2=a2+2ab+b2 (a—b）2=a2—2ab+b2第四类、因式分解：1。
定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．2。
方法①提公团式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么可以把这个公因式提到括号外面,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法．②运用公式法:把乘法公式逆运用，可以把某些类型的多项式因式分解，这种方法叫公式法。
因式分解公式大全
公式及方法大全待定系数法(因式分解)待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用.在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数.由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法.常用的因式分解公式：(“窗)匕+切=F +@+B)x+必(a±A)a = a2+ 2ab+b2(a±b)z = a3±3a2b + 3ab2±b za2-b2= (a-b)(a+b)dt3+i3= 0 ±3)(# 干必+ 沪)於-胪二严+住叫+严沪+…+必山+严)伪为正整数)… @+轨严-广％+广即-・・十严-円)©为偶数)d +护=@+切(旷1-<3叫)+旷护——沪 +尸)(讯为奇数)S+b + c)'二a1+ 沪 +/ +2必+2弘+ 2皿+ J3 4-c'1-3abc = (a +b +c)(a2 +i2 +(? -ab-bc-ca)例1 分解因式：x2+3xy+2y 2+4x+5y+3 .分析由于(x2+3xy+2y 2)=(x+2y)(x+y),若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m 和x+y+n 的形式，应用待定系数法即可求出n，使问题得到解决.解设x2+3xy+2y 2+4x+5y+3 =(x+2y+m)(x+y+n) =x 2 +3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn 比较两边对应项的系数，则有解之得m=3 , n=1 .所以原式=(x+2y+3)(x+y+1) .说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下.例2 分解因式：x4-2x 3-27x 2-44x+7 .分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是土1 , ±7(7的约数), 经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式.如果原式能分解，只能分解为(x2+ ax+b)(x 2+cx+d)的形式.解设原式=(x 2+ax+b)(x 2+cx+d)=x4+(a+c)x 3+(b+d+ac)x 2+(ad+bc)x+bd ,所以有由bd=7，先考虑b=1 , d=7 有所以原式=(x 2-7x+1)(x 2+5x+7)说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1 , d=-7等可以不加以考虑.本题如果b=1 , d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止.本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式.但利用待定系数法，使我们找到了二次因式.由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地.求根法(因式分解)我们把形如anxn+an-1xn-1+ --+a1x+a0(n 为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x) , g(x)，… 等记号表示，女口f(x)=x2-3x+2 , g(x)=x5+x2+6 ，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示.如对上面的多项式f(x) f(1)=12-3 x 我们把形如a n x n+a n-i x n-1 +…+玄i x+a o(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x) , g(x),…等记号表示，如f(x)=x 2-3x+2 , g(x)=x 5+x2+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示.如对上面的多项式f(x)f(1)=1 2-3 x i+2=0 ;f(-2)=(-2) 2-3 X(-2)+2=12 .若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根.定理1(因式定理)若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a .根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根.对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根.定理2的根，则必有p是a o的约数,q是a n的约数.特别地，当a o=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为a n的约数.我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解.例2分解因式：X3-4X2+6X-4分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4 的约数，逐个检验-4 的约数：± 1 ，±2 ，±4 ，只有f(2)=2 3-4 X22+6 X2-4=0 ,即x=2 是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2 ．解法1 用分组分解法，使每组都有因式(x-2) ．原式=(x 3-2x 2)-(2x 2-4X)+(2X-4)=x 2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x 2-2x+2) ．解法2 用多项式除法，将原式除以(x-2) ，所以原式=(x-2)(x 2-2x+2)说明在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4 的约数，反之不成立，即-4 的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4 的约数逐个代入多项式进行验证．例3 分解因式：9x4-3x 3+7x 2-3x-2 ．分析因为9的约数有土1 , ±3 , ±9; -2的约数有土1 ,为:所以，原式有因式9X2-3X-2 .解9x4-3X 3+7X2-3x-2=9X 4-3X3-2X2+9X2-3X-2=X 2(9X3-3X-2)+9X 2-3X-2=(9X 2-3X-2)(X2+1)=(3X+1)(3X-2)(X2+1)说明若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式可以化为9X2-3X-2，这样可以简化分解过程.总之，对一元高次多项式f(x)，如果能找到一个一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g(x)进行分解了.双十字相乘法(因式分解)分解二次三项式时，我们常用十字相乘法.对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f) ，我们也可以用十字相乘法分解因式.例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3 .我们将上式按x降幕排列，并把y当作常数，于是上式可变形为2x2-( 5+7y)x-(22y2-35y+3) , 可分解二次三项式时，我们常用十字相乘法.对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy 2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式.例如，分解因式2x2-7xy-22y 2-5x+35y-3 .我们将上式按x降幕排列，并把y当作常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y 2-35y+3),可以看作是关于x的二次三项式.对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为即-22y 2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)再利用十字相乘法对关于x 的二次三项式分解所以原式= [x+(2y-3) ][ 2x+(-11y+1) ] =(x+2y-3)(2x-11y+1) ．上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：它表示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x 2-7xy-22y 2；(x-3)(2x+1)=2x 2 -5x-3 ；(2y-3)(-11y+1)=-22y 2+35y-3 ．这就是所谓的双十字相乘法．用双十字相乘法对多项式ax 2+bxy+cy 2+dx+ey+f 进行因式分解的步骤是：(1) 用十字相乘法分解ax 2 +bxy+cy 2，得到一个十字相乘图(有两列)；(2) 把常数项f 分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey ，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx ．例1 分解因式：(1) x 2-3xy-10y 2+x+9y-2 ；(2) x 2-y 2+5x+3y+4 ；(3) xy+y 2+x-y-2 ；(4) 6x 2- 7xy-3y 2-xz+7yz-2z 2．解(1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1) ．(2)原式=(x+y+1)(x-y+4) ．(3) 原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解.原式=(y+1)(x+y-2) ．(4)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z) ．说明（4）中有三个字母，解法仍与前面的类似．笔算开平方对于一个数的开方，可以不用计算机，也不用查表，直接笔算出来，下面通过一个例子来说明如何笔算开平方，对于其它数只需模仿即可例求316.4841 的平方根.第一步,先将被开方的数，从小数点位置向左右每隔两位用逗号，分段，如把数316.4841 分段成3,16.48,41.第二步，找出第一段数字的初商，使初商的平方不超过第一段数字，而初商加1 的平方则大于第一段数字，本例中第一段数字为3，初商为1，因为12=1<3 ，而（1+1）2=4>3.第三步，用第一段数字减去初商的平方，并移下第二段数字，组成第一余数，在本例中第一余数为216.第四步，找出试商，使（20 x初商+试商）x试商不超过第一余数，而【20 x初商+（试商+1）】x（试商+1）则大于第一余数第五步，把第一余数减去（20 x初商+试商）x试商，并移下第三段数字，组成第二余数，本例中试商为7,第二余数为2748. 依此法继续做下去，直到移完所有的段数，若最后余数为零，则开方运算告结束.若余数永远不为零，则只能取某一精度的近似值.第六步，定小数点位置，平方根小数点位置应与被开方数的小数点位置对齐.本例的算式如下：17.79^3,16 .48,41+ 93549 3 19 41 3549X9根式的概念【方根与根式】数a的n次方根是指求一个数，它的n次方恰好等于a.a的n次方根记为「~ （n为大于1的自然数）.作为代数式称为根式.n称为根指数，a称为根底数.在实数范围内，负数不能开偶次方，一个正数开偶次方有两个方根，其绝对值相同，符号相反.【算术根】正数的正方根称为算术根.零的算术根规定为零.【基本性质】由方根的定义，有(烷y “■畅国根式运算【乘积的方根】乘积的方根等于各因子同次方根的乘积；反过来，同次方根的乘积等于乘积的同次方根，即【分式的方根】分式的方根等于分子、分母同次方根相除, 即【根式的乘方】5「一"：‘>0)【根式化简】\/c +（"运 + + “罷）^Jb —4-^/h^ct — b（QOQM 工切 >0,d R ）（亦+而x 亦-亦）_（丘+ 7?）（亦-亦） （-7^ + .岳— ■馬、 ct — b【同类根式及其加减运算】 根指数和根底数都相同的根式 称为同类根式，只有同类根式才可用加减运算加以合并 .国进位制的基与数字任一正数可表为通常意义下的有限小数或无限小数，各数字 的值与数字所在的位置有关，任何位置的数字当小数点向右 移一位时其值扩大10倍，当小数点向左移一位时其值缩小 10倍•例如173.246 = lxlO a +7xlO+3+2xlO-1+4xlO-a +6xlO-5一般地，任一正数 a 可表为a = aA^'^a i a Q a -i a -2=xlO* *10小 +--- + ^1xlO + l 3o+ u_j x 10 i + a_2 xlO ' + …这就是10进数，记作a(10)，数10称为进位制的基，式中 ai 在｛0,1,2丄,9｝中取值，称为10进数的数字，显然没有理由 说进位制的基不可以取\（C + -/d （a > QQ > O,a 工 b&>0,d >0）其他的数•现在取q为任意大于1的正整数当作进位制的基，于是就得到q 进数表示°⑷二Q严囲...W-x a-2...二诃+ +...+吗今+州+知g “ + a眞+ (1)式中数字ai在｛0,1,2，…,q-1｝中取值，a n a n-1…a〔a o称为q进数a(q)的整数部分，记作[a(q)];a-1a-2 ...称为a(q)的分数部分，记作｛a(q)｝.常用进位制，除10进制外，还有2进制、8进制、16进制等，其数字如下2进制0, 18 进制0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 716 进制0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 90,12,3,4/各种进位制的相互转换1q -10转换适用通常的10进数四则运算规则，根据公式⑴，可以把q进数a(q)转换为10进数表示例如743(6, =7x8a+4x8+3 = 448+32 + 3^483(^1011.101(2)=1X23+0X22+1X2+1+1X2^+0X2"°+1X2^=11.625 ㈣210 —q转换转换时必须分为整数部分和分数部分进行. 对于整数部分其步骤是：(1) 用q去除［a(10)］，得到商和余数.(2) 记下余数作为q进数的最后一个数字.⑶用商替换［a(10)］的位置重复⑴和(2)两步，直到商等于零为止.对于分数部分其步骤是：(1) 用q 去乘｛a(10)｝.(2) 记下乘积的整数部分作为q进数的分数部分第一个数字. ⑶用乘积的分数部分替换｛a(10)｝的位置，重复⑴和⑵两步，直到乘积变为整数为止，或直到所需要的位数为止•例如：103.118(10)=147.074324 (8)整数部分的 分数部分的 草式草式J 18 83AA7,5523 p — q 转换 通常情况下其步骤是：a(p) — a(10)宀a(q).如果 p,q 是同一数s 的不同次幂，其步骤是：a(p) — a(s) — a(q). 例如，8进数127.653(8)转换为16进数时，由于 8=23， 16=24，所以s=2，其步骤是：首先把 8进数的每个数字根 据8-2转换表转换为2进数(三位一组)127.653(8)=001 010 111.110 101 011(2)然后把2进数的所有数字从小数点起 (左和右)每四位一组分组，从16-2转换表中逐个记下对应的16进数的数字，即127.653(8)=0101 0111 1101 0101 lOOO p )= 57.358(10)8103 | 71正多边形各量换算公式n为边数R为外接圆半径a为边长燎为内切圆半径为圆心角S为多边形面积重心G与外接圆心0重合正多边形各量换算公式表各量正三角形n为边数R为外接圆半径a为边长燎为内切圆半径『_ 360八必为圆心角I ”丿S为多边形面积重心G与外接圆心O重合正多边形各量换算公式表1或许你还对作图感兴趣：正多边形作图所谓初等几何作图问题，是指使用无刻度的直尺和圆规来作图.若使用尺规有限次能作出几何图形，则称为作图可能，或者说欧几里得作图法是可能的，否则称为作图不可能很多平面图形可以用直尺和圆规作出，例如上面列举的正五边形、正六边形、正八边形、正十边形等.而另一些就不能作出，例如正七边形、正九边形、正十一边形等，这些多边形只能用近似作图法•如何判断哪些作图可能，哪些作图不可能呢？直到百余年前，用代数的方法彻底地解决了这个问题，即给出一个关于尺规作图可能性的准则：作图可能的充分必要条件是，这个作图问题中必需求出的未知量能够由若干已知量经过有限次有理运算及开平方运算而算出•几千年来许多数学家耗费了不少的精力，企图解决所谓“几何三大问题”：立方倍积问题，即作一个立方体，使它的体积二倍于一已知立方体的体积.三等分角问题，即三等分一已知角.化圆为方问题，即作一正方形，使它的面积等于一已知圆的面积.后来已严格证明了这三个问题不能用尺规作图.代数式的求值代数式的求值与代数式的恒等变形关系十分密切.许多代数式是先化简再求值，特别是有附加条件的代数式求值问题，往往需要利用乘法公式、绝对值与算术根的性质、分式的基本性质、通分、求值中的方法技巧主要是代数式恒等变形的技能、技巧和方法.下面结合例题逐一介绍.1 .利用因式分解方法求值因式分解是重要的一种代数恒等变形，在代数式化简求值中，经常被采用.分析x的值是通过一个一元二次方程给出的，若解出x 后，再求值，将会很麻烦.我们可以先将所求的代数式变形，看一看能否利用已知条件.解已知条件可变形为3X2+3X-仁0 ，所以6X4+15X 3+10X2=(6x 4+6X 3-2X 2)+(9X 3+9X2-3x)+(3x 2+3X-1)+1=(3X 2+3X-1)(2Z 2+3X+1)+1=0+1=1说明在求代数式的值时，若已知的是一个或几个代数式的值，这时要尽可能避免解方程(或方程组)，而要将所要求值的代数式适当变形，再将已知的代数式的值整体代入，会使问题得到简捷的解答.例2已知a，b，c为实数，且满足下式:a2+b 2+ c2=1，①求a+b+c 的值.解将②式因式分解变形如下即所以a+b+c=0 或bc+ac+ab=0 .若bc+ac+ab=0 ，贝U(a+b+c) 2=a 2+b 2+c 2+2(bc+ac+ab)=a 2+b 2+c 2=1 ,所以a+b+c= ±1 .所以a+b+c 的值为0, 1 , -1 .说明本题也可以用如下方法对②式变形：前一解法是加一项，再减去一项；这个解法是将3拆成1+1+1 ，最终都是将②式变形为两个式子之积等于零的形式.2 .利用乘法公式求值例3 已知x+y=m , x3+y 3=n , m T，求x2+ y2的值. 解因为x+y=m ，所以m 3=(x+y) 3=x 3+y 3+3xy(x+y)=n+3m •y ,所以求x2+6xy+y 2的值.分析将x , y的值直接代入计算较繁，观察发现，已知中x ,的值正好是一对共轭无理数,所以很容易计算出x+y 与xy的值，由此得到以下解法.解x2+6xy+y 2=x2 +2xy+y 2+4xy2=(x+y) +4xy3 .设参数法与换元法求值如果代数式字母较多，式子较繁，为了使求值简便，有时可增设一些参数(也叫辅助未知数)，以便沟通数量关系，这叫作设参数法.有时也可把代数式中某一部分式子，用另外的一个字母来替换，这叫换元法.分析本题的已知条件是以连比形式出现，可引入参数k，用它表示连比的比值，以便把它们分割成几个等式.x = (a-b)k , y = (b-c)k , z = (c-a)k . 所以x+y+z=(a-b)k + (b-c)k+(c-a)k=0 u+v+w=1 ，①由②有把①两边平方得u2+v 2+w 2+2(uv+vw+wu)=1 所以u2+v 2+w 2=1 , 即两边平方有所以4 .利用非负数的性质求值若几个非负数的和为零，贝U每个非负数都为零，这个性质在代数式求值中经常被使用.例8 若x2-4x+|3x-y|=-4 ，求y x的值.分析与解x , y的值均未知，而题目却只给了一个方程，似乎无法求值，但仔细挖掘题中的隐含条件可知，可以利用非负数的性质求解.因为x2-4x+|3x-y|=-4 ，所以x2-4x + 4 + |3x-y|=0 ,即(x-2) 2+|3x-y|=0 .所以y x=6 2=36 .例9未知数x, y满足(x2+ y2)m 2-2y(x+n)m+y 2+n 2=0 , 其中m , n 表示非零已知数，求x, y的值.分析与解两个未知数，一个方程，对方程左边的代数式进行恒等变形，经过配方之后，看是否能化成非负数和为零的形式.将已知等式变形为m2x2+m 2y2-2mxy-2mny+y 2+n 2=0 ,(m 2x2-2mxy+y 2)+(m 2 y 2 -2mny+n 2)=0 ，即22(mx-y) +(my-n) =0 ．5 ．利用分式、根式的性质求值分式与根式的化简求值问题，内容相当丰富，因此设有专门讲座介绍，这里只分别举一个例子略做说明．例10 已知xyzt=1 ，求下面代数式的值：分析直接通分是笨拙的解法，可以利用条件将某些项的形式变一变．解根据分式的基本性质，分子、分母可以同时乘以一个不为零的式子，分式的值不变．利用已知条件，可将前三个分式的分母变为与第四个相同．同理分析计算时应注意观察式子的特点，若先分母有理化，计算反而复杂．因为这样一来，原式的对称性就被破坏了．这里所言的对称性是分利用这种对称性，或称之为整齐性，来简化我们的计算．同样（但请注意算术根！）将①，②代入原式有练习六2．已知x+y=a ，x2+y 2=b 2，求x4+y 4的值．3 ．已知a-b+c=3 ，a2+b 2+c 2=29 ，a3+b 3+c 3=45 ，求ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a) 的值．5 ．设a+b+c=3m ，求(m-a) 3+(m-b) 3+(m-c) 3-3(m-a)(m-b)(m-c) 的值．8 .已知13x2-6xy+y 2-4x+1=0 ，求（x+y）13 x10 的值.。
因式分解常用的六种方法详解
因式分解常用的六种方法详解因式分解常用的六种方法详解因式分解是代数式变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学中，并成为解决许多数学问题的有力工具。
因式分解方法灵活，技巧性强，研究这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。
本文将介绍因式分解的方法、技巧和应用。
1.运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：1) $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$；2) $a^2±2ab+b^2=(a±b)^2$；3) $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$；4) $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$。
下面再补充几个常用的公式：5) $a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)^2$；6) $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$；7) $a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+…+ab^{n-2}+b^{n-1})$，其中$n$为正整数；8) $a^n-b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-…+ab^{n-2}-b^{n-1})$，其中$n$为偶数；9) $a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-…-ab^{n-2}+b^{n-1})$，其中$n$为奇数。
在运用公式法分解因式时，需要根据多项式的特点，正确恰当地选择公式，考虑字母、系数、指数、符号等因素。
例如，分解因式：1) $-2x^{5n-1}y^n+4x^{3n-1}y^n+2-2x^{n-1}y^n+4$原式=$-2x^{n-1}y^n(x^{4n-2}-2x^{2n}y^2+y^4)$2x^{n-1}y^n[(x^{2n})^2-2x^{2n}y^2+(y^2)^2]$2x^{n-1}y^n(x^{2n}-y^2)^2$2x^{n-1}y^n(x^n-y)^2(x^n+y)^2$。
《乘法公式》整式的乘除与因式分解
把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被 除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式 。
多项式除以单项式
定义
把一个多项式除以另一个单项式的商叫做多项式除以单项式。
运算法则
把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。
多项式除以多项式
定义
把一个多项式除以另一个多项式的商叫 做多项式除以多项式。
《乘法公式》整式的乘除与 因式分解
2023-11-09
目录
• 乘法公式 • 整式的乘法 • 整式的除法 • 因式分解 • 乘法公式、整式的乘除与因式分解的关系 • 经典例题解析
01
乘法公式
乘法公式的定义
乘法公式的定义
乘法公式是指将两个或多个数相 乘的结果用一个简单的符号表示
。例如，$(a+b)^2$ 表示 $a^2+2ab+b^2$。
因式分解的例题
3. 双十字相乘法
$x^2 + 5xy + 6y^2 = (x+2y)(x+3y)$。
2. 公式法
$a^2 - 8a + 16 = (a-4)^2$。
总结词
因式分解的方法多种多样，通过经典例题 解析可以更好地理解各种方法的适用条件 和操作技巧。
详细描述
因式分解是将一个多项式分解为若干个因 式之积的过程，下面通过一些例题及解析 来探讨因式分解的方法
乘法公式与因式分解的关系
乘法公式在因式分解中的应用
在因式分解中，乘法公式被广泛应用，例如利用乘法公 式进行多项式的展开、分组、约分等，这些方法都是基 于乘法公式进行推导和复杂的乘法公式问题时，通过因式分解可以 将问题转化为更简单的形式，例如利用因式分解解决一 些分式的约分问题。
因式分解公式大全-因式分开解公式
公式及方法大全待定系数法(因式分解）待定系数法是数学中的一种重要的解题方法,应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式经过分析,可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定,这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质,两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值,列出关于待定系数的方程(或方程组）,解出待定字母系数的值,这种因式分解的方法叫作待定系数法.常用的因式分解公式：例1 分解因式:ｘ2+３xy＋2y2+4x+５y+3.分析由于(ｘ2＋3xｙ+2y2)=（x＋2ｙ)(x+y)，若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是ｘ＋2y＋m和ｘ＋y+n的形式，应用待定系数法即可求出ｍ和n，使问题得到解决．解设x２＋3xｙ+2y2+4x+５ｙ+3=(x＋2y+m)(x+ｙ+n)=x２+３xy＋2ｙ2＋(ｍ+n)x＋(m+2n)y+mn,比较两边对应项的系数，则有解之得m=３，n＝1.所以原式=(ｘ+2y+3）(x＋y＋1).说明本题也可用双十字相乘法,请同学们自己解一下．例2 分解因式:x4-２x3-２7x2-44x+7．分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法,若原式有有理根,则只可能是±1,±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解,只能分解为(x２+aｘ+b）(x２＋ｃｘ+d)的形式．解设原式=(x2+ａx＋b)（x２＋cx＋ｄ）=x4+(ａ+c)x3+(b+d+ac)x2+(aｄ+bc)ｘ+bd,所以有由bd＝７，先考虑b=1,d=7有所以原式=(x２－7ｘ+1)(x2＋5ｘ+7)．说明由于因式分解的唯一性，所以对b＝-1,ｄ=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1,ｄ＝７代入方程组后,无法确定a，ｃ的值,就必须将bｄ=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．本题没有一次因式,因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见,待定系数法在因式分解中也有用武之地.求根法（因式分解)我们把形如anxn+an-1xn-1+…+a1x+a０(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式,并用f(x）,ｇ（x)，…等记号表示，如 f(ｘ)＝x2－3x＋2，g(x）＝x5+ｘ2＋６，…，当ｘ＝a时,多项式ｆ(x）的值用f(a)表示.如对上面的多项式f(x) f(1)＝12-3×我们把形如a n xｎ＋a n-1x n-１＋…+ａ1x＋a０(ｎ为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式,并用f(x），g(x)，…等记号表示，如f(x）=ｘ2-3x+２,ｇ(x)＝ｘ5+x2+6,…，当x＝ａ时，多项式f(x）的值用f(ａ）表示.如对上面的多项式ｆ(x)f(1)=１2-３×1+２=0;f(-2)=(-2)2-3×(－２)+2=12.若f(a）＝0，则称a为多项式ｆ(x）的一个根．定理1(因式定理) 若a是一元多项式ｆ(x）的根，即f(ａ)=0成立，则多项式f（x)有一个因式x－a.根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x),要求出它的根是没有一般方法的,然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时,经常用下面的定理来判定它是否有有理根．定理2的根,则必有p是a0的约数，q是a n的约数.特别地,当a０＝1时，整系数多项式ｆ(ｘ)的整数根均为a n的约数．我们根据上述定理,用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．例2 分解因式：x３-4x2+6x-4.分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根,必是－4的约数,逐个检验－4的约数:±1，±２,±4,只有 f（2)=2３－4×22＋6×2－4＝0,即x＝2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2.解法1 用分组分解法，使每组都有因式(ｘ-２)．原式＝(x3-2x2)－(2x２-４x)+(２ｘ-４)＝x2(x-2)-２x(ｘ-2)+2(x－2）=(x-2)(x2-２x+2).解法2 用多项式除法,将原式除以(ｘ-2)，所以原式=(x-2)(x2-2ｘ+2).说明在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-４的约数,反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根.因此,必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证．例3 分解因式：9x4-3x３+7x２-3x-2．分析因为9的约数有±1,±３,±9;-2的约数有±1，为:所以，原式有因式９x2－3x-2.解 9x4-３x3+7x2－３x-2=9x４-3x3-2x2+９ｘ2-３ｘ-2=x2(9x３-3ｘ-2）＋9ｘ2－3x-２=(9x2-3ｘ-２)(x２+1)=(３x＋1)(3ｘ-2)(x2＋1)说明若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式,如上题中的因式可以化为９ｘ２-3x－2，这样可以简化分解过程.总之,对一元高次多项式f(x），如果能找到一个一次因式（x－a），那么f（ｘ)就可以分解为(ｘ－ａ)g(x），而g(ｘ)是比ｆ(x）低一次的一元多项式，这样,我们就可以继续对g(x)进行分解了.双十字相乘法（因式分解)分解二次三项式时，我们常用十字相乘法.对于某些二元二次六项式(ａx２+ｂｘy＋cy2+dｘ+ey+f),我们也可以用十字相乘法分解因式.例如，分解因式2x２-７xy-22ｙ２－5x＋３5ｙ－3．我们将上式按x降幂排列,并把ｙ当作常数,于是上式可变形为 2x2－(5+7ｙ)x-（2２y２－35y＋３）, 可分解二次三项式时，我们常用十字相乘法.对于某些二元二次六项式(aｘ２+bxy＋cy2＋dｘ＋eｙ+f),我们也可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2x2-7ｘy－2２ｙ2-５x+３5y-3.我们将上式按x降幂排列,并把ｙ当作常数，于是上式可变形为2x２-(5＋７ｙ)x-（２２y2－35y＋3),可以看作是关于x的二次三项式．对于常数项而言，它是关于y的二次三项式,也可以用十字相乘法，分解为即－22y2+35y-3＝(2y-3）(-11y＋１）．再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解所以原式=[ｘ+(２y-3)][２ｘ+(-１1y＋1）］＝(x+２ｙ－3)(2x-11y+1).上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起,可得到下图:它表示的是下面三个关系式：(x+２y）(２x-11ｙ)=2x2-7xy-22y2；(x－3）(2ｘ+1)=2x2-5x-3；（2y－3)(-11y+１)=-22y２+３5ｙ-３.这就是所谓的双十字相乘法．用双十字相乘法对多项式aｘ2+bxy+cｙ２+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy＋cｙ2，得到一个十字相乘图（有两列);（2）把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的eｙ，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx.例1 分解因式：（1)x2-3ｘy-1０y2+x＋9y-２；（２)x2-y2+5x+３y＋４;(3)xｙ＋y2+x－y-２;(４)6x2-7xｙ－3y２-xz+7ｙz-2z２．解 (1)原式=(x-5ｙ＋2)(x+２y-1）.(2）原式=(x+y+1)(x-y＋4).(3)原式中缺ｘ2项，可把这一项的系数看成0来分解．原式=（y+１）(x＋y-２)．(４)原式=（2ｘ-3y＋ｚ)(3ｘ+y-2z）.说明 (4)中有三个字母，解法仍与前面的类似.笔算开平方对于一个数的开方，可以不用计算机,也不用查表，直接笔算出来,下面通过一个例子来说明如何笔算开平方，对于其它数只需模仿即可例求316．4841的平方根.第一步,先将被开方的数，从小数点位置向左右每隔两位用逗号，分段，如把数316.484１分段成３,１6.4８,41.第二步,找出第一段数字的初商，使初商的平方不超过第一段数字，而初商加１的平方则大于第一段数字，本例中第一段数字为３,初商为1,因为12=１＜3,而(1+1)2=4＞3.第三步,用第一段数字减去初商的平方,并移下第二段数字，组成第一余数,在本例中第一余数为216.第四步，找出试商,使(20×初商＋试商)×试商不超过第一余数，而【20×初商+(试商＋1)】×(试商+１）则大于第一余数.第五步,把第一余数减去(20×初商+试商)×试商，并移下第三段数字，组成第二余数,本例中试商为7,第二余数为2748．依此法继续做下去，直到移完所有的段数,若最后余数为零，则开方运算告结束.若余数永远不为零，则只能取某一精度的近似值.第六步,定小数点位置,平方根小数点位置应与被开方数的小数点位置对齐.本例的算式如下：根式的概念【方根与根式】数a的n次方根是指求一个数,它的ｎ次方恰好等于a．a的n次方根记为(n为大于１的自然数).作为代数式，称为根式．n称为根指数,a称为根底数.在实数范围内,负数不能开偶次方,一个正数开偶次方有两个方根,其绝对值相同，符号相反．【算术根】正数的正方根称为算术根.零的算术根规定为零.【基本性质】由方根的定义,有根式运算【乘积的方根】乘积的方根等于各因子同次方根的乘积；反过来,同次方根的乘积等于乘积的同次方根，即≥0,ｂ≥0)【分式的方根】分式的方根等于分子、分母同次方根相除,即≥0,b＞０)【根式的乘方】≥0)【根式化简】≥０）≥0,d≥０)≥0,d≥0)【同类根式及其加减运算】根指数和根底数都相同的根式称为同类根式,只有同类根式才可用加减运算加以合并.进位制的基与数字任一正数可表为通常意义下的有限小数或无限小数,各数字的值与数字所在的位置有关,任何位置的数字当小数点向右移一位时其值扩大10倍,当小数点向左移一位时其值缩小10倍．例如一般地，任一正数a可表为这就是１0进数,记作a（10),数１0称为进位制的基，式中ai在｛0，1,2,L,９}中取值,称为10进数的数字，显然没有理由说进位制的基不可以取其他的数.现在取q为任意大于1的正整数当作进位制的基，于是就得到q进数表示(1)式中数字ai在{0,1,２，．．.,q－1}中取值，ａn a n-1..．ａ1ａ0称为q进数ａ（q）的整数部分,记作[a(q）];a-１ａ-２ ...称为a(ｑ）的分数部分,记作{a（ｑ)}．常用进位制，除10进制外，还有２进制、8进制、16进制等，其数字如下2进制０, １8进制 0, 1, ２， 3, 4， 5, 6， 716进制 0， 1, 2, ３， 4, 5, 6, 7，8, 9各种进位制的相互转换１q→10转换适用通常的１0进数四则运算规则,根据公式(1),可以把q进数ａ（q）转换为1０进数表示.例如2 10→q转换转换时必须分为整数部分和分数部分进行.对于整数部分其步骤是：(1) 用q去除［a（１０)]，得到商和余数．（２) 记下余数作为q进数的最后一个数字.(3) 用商替换[a(10)]的位置重复(1)和(2）两步，直到商等于零为止.对于分数部分其步骤是:（1）用q去乘{ａ(1０)}.（２)记下乘积的整数部分作为q进数的分数部分第一个数字.(3）用乘积的分数部分替换{a(１０）}的位置，重复(1）和（2）两步,直到乘积变为整数为止，或直到所需要的位数为止.例如：１03.118(10)＝１47．0７4３２4 (8)整数部分的草式分数部分的草式3 p→q转换通常情况下其步骤是:a(p)→a(1０)→ａ(ｑ).如果p，ｑ是同一数s的不同次幂,其步骤是:a(p）→a（s）→a(q）.例如,8进数１２7.6５3(8)转换为1６进数时，由于8=２3，16=２4，所以ｓ=2,其步骤是：首先把8进数的每个数字根据8-２转换表转换为２进数(三位一组) 127．653(8)＝001 010 1１1.１10 1０1 ０11(２)然后把２进数的所有数字从小数点起(左和右)每四位一组分组，从16－2转换表中逐个记下对应的１6进数的数字，即正多边形各量换算公式n为边数R为外接圆半径ａ为边长爎为内切圆半径为圆心角 S为多边形面积重心G与外接圆心O重合正多边形各量换算公式表各量正三角形ｎ为边数R为外接圆半径a为边长爎为内切圆半径为圆心角 S为多边形面积重心G与外接圆心O重合正多边形各量换算公式表各量正三角形正方形正五边形正六边形正n边形图形SａRRａr或许你还对作图感兴趣：正多边形作图所谓初等几何作图问题,是指使用无刻度的直尺和圆规来作图.若使用尺规有限次能作出几何图形，则称为作图可能，或者说欧几里得作图法是可能的,否则称为作图不可能.很多平面图形可以用直尺和圆规作出，例如上面列举的正五边形、正六边形、正八边形、正十边形等.而另一些就不能作出,例如正七边形、正九边形、正十一边形等,这些多边形只能用近似作图法.如何判断哪些作图可能，哪些作图不可能呢?直到百余年前，用代数的方法彻底地解决了这个问题,即给出一个关于尺规作图可能性的准则:作图可能的充分必要条件是,这个作图问题中必需求出的未知量能够由若干已知量经过有限次有理运算及开平方运算而算出.几千年来许多数学家耗费了不少的精力,企图解决所谓“几何三大问题”:立方倍积问题，即作一个立方体，使它的体积二倍于一已知立方体的体积.三等分角问题,即三等分一已知角.化圆为方问题，即作一正方形,使它的面积等于一已知圆的面积.后来已严格证明了这三个问题不能用尺规作图.代数式的求值代数式的求值与代数式的恒等变形关系十分密切．许多代数式是先化简再求值,特别是有附加条件的代数式求值问题,往往需要利用乘法公式、绝对值与算术根的性质、分式的基本性质、通分、求值中的方法技巧主要是代数式恒等变形的技能、技巧和方法．下面结合例题逐一介绍.1．利用因式分解方法求值因式分解是重要的一种代数恒等变形,在代数式化简求值中，经常被采用.分析x的值是通过一个一元二次方程给出的，若解出x 后,再求值，将会很麻烦．我们可以先将所求的代数式变形，看一看能否利用已知条件．解已知条件可变形为3x2+3ｘ-1＝0,所以6x4+１5x3＋10ｘ2=(６x4+6ｘ３－２x2）+(9ｘ3+9x2-３x）+（3ｘ２＋3x-1)+1 =（3x2+３x-1)(2z2+3ｘ+１)＋1=0+１=1.说明在求代数式的值时，若已知的是一个或几个代数式的值,这时要尽可能避免解方程（或方程组）,而要将所要求值的代数式适当变形,再将已知的代数式的值整体代入,会使问题得到简捷的解答.例2 已知ａ,b,c为实数,且满足下式：a2+ｂ2+c2=1,①求a+b＋c的值．解将②式因式分解变形如下即所以a+ｂ+c=0或bc+ac+ab=0.若ｂc＋aｃ＋ab=0,则(a＋b+c)2=a2＋b２+c２+2(bc+ac+ab)=a2＋ｂ２+c2=１，所以ａ+ｂ+c=±1.所以a＋b+c的值为0,1，-1．说明本题也可以用如下方法对②式变形：即前一解法是加一项,再减去一项;这个解法是将３拆成1+1+1,最终都是将②式变形为两个式子之积等于零的形式.2．利用乘法公式求值例3 已知x+y=m,ｘ３+y３＝n,m≠0，求x２+y２的值.解因为ｘ+y＝m，所以ｍ3=(x+y）3=ｘ3+y3+3ｘy(x+y)=n+3m·xy，所以x2+6ｘy+ｙ2的值.分析将x,y的值直接代入计算较繁,观察发现,已知中ｘ,y的值正好是一对共轭无理数，所以很容易计算出x+y与xy的值,由此得到以下解法.解ｘ2+6xy＋y2＝ｘ2+2xｙ+ｙ2+４xy=（x+y)2＋４xy3.设参数法与换元法求值如果代数式字母较多，式子较繁,为了使求值简便,有时可增设一些参数(也叫辅助未知数），以便沟通数量关系，这叫作设参数法.有时也可把代数式中某一部分式子,用另外的一个字母来替换,这叫换元法.分析本题的已知条件是以连比形式出现，可引入参数ｋ,用它表示连比的比值,以便把它们分割成几个等式．x＝(a-b)k,ｙ=(b－c）k，z＝(c-ａ)ｋ.所以ｘ+y+z＝（a-b）k＋（ｂ－c）ｋ+(c-a）k=0． u+v+w＝1,①由②有把①两边平方得ｕ２+v２+w2+2(uｖ+vw+wu)＝１，所以u2＋v2+ｗ2=1，即两边平方有所以４．利用非负数的性质求值若几个非负数的和为零,则每个非负数都为零，这个性质在代数式求值中经常被使用.例8 若x２-4x+｜3x-y|=-４,求yｘ的值.分析与解x，y的值均未知，而题目却只给了一个方程,似乎无法求值,但仔细挖掘题中的隐含条件可知，可以利用非负数的性质求解．因为x2-4x+|3x-y|=-4，所以ｘ2-4x＋4+｜3x-y｜=０,即(x-2）2+｜3x-y｜=0.所以 y x＝62=36．例９未知数ｘ，y满足(x2＋y２)ｍ2-2y(x+n）m+y2+ｎ2=０，其中m,n表示非零已知数,求x,ｙ的值．分析与解两个未知数,一个方程,对方程左边的代数式进行恒等变形，经过配方之后,看是否能化成非负数和为零的形式.将已知等式变形为ｍ2ｘ2＋m2y2-２mxｙ-2ｍny＋y２+n2=0，(m２x2－2ｍxy＋ｙ2)+(m２y2-２mｎｙ+ｎ2)=0，即(ｍx-y)2+(my-n）2＝0．５.利用分式、根式的性质求值分式与根式的化简求值问题，内容相当丰富，因此设有专门讲座介绍,这里只分别举一个例子略做说明．例1０已知xyzt=1,求下面代数式的值:分析直接通分是笨拙的解法，可以利用条件将某些项的形式变一变.解根据分式的基本性质，分子、分母可以同时乘以一个不为零的式子,分式的值不变.利用已知条件,可将前三个分式的分母变为与第四个相同．同理分析计算时应注意观察式子的特点,若先分母有理化,计算反而复杂．因为这样一来,原式的对称性就被破坏了.这里所言的对称性是分利用这种对称性,或称之为整齐性，来简化我们的计算．同样(但请注意算术根！)将①，②代入原式有练习六２.已知x+ｙ=ａ,x2+y2＝b2,求x４+ｙ4的值.3．已知a-b+c=３,ａ2+b２＋ｃ２＝29,ａ3+b３+ｃ３＝４５，求ab(a+b）＋ｂc(ｂ+c)＋cａ（ｃ+a)的值.5.设a＋b+c＝3ｍ，求(m-a)３+(ｍ-b)3＋(m－c）3－３(m-a)(ｍ-b)(ｍ－c)的值.8．已知１3x２-６xy+y2-4x+１=0,求(x+y)13·x10的值.。
因式分解的常用方法7种
因式分解的常用方法(7种)把一个多项式化成几个整式积的形式这种变形叫做把这个多项式因式分解(或分解因式) 因式分解X2-1 ---------- * (X+1)(X-1)I y整式乘法一■、提公因式法.：ma+mb+mc = m(a+b+c)如何找公因式？(1)取各项系数的最大公约数；(2)取各项都含有的相同字母；(3)取相同字母的最低次赛.二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)(a+b)(a-b) = a2-b2(2)(a±b)2 = a2±2ab+b2(3)(a+b)(a2-ab+b2) = a3-a2b+ab2+a2b-ab2+b3= a3+b3(4)(a-b)(a2+ab+b2) = a3+a2b+ab2-a2b-ab2-b3= a3-b3下面再补充两个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2=(a+b) 2+2(a+b)c +c 2=[(a+b)+c] 2=(a+b+c) 2 ；(6)a3+b3+c3-3abc=(a3+ab2+ac2-a2b-abc-ca2) + (a2b+b3+bc2-ab2-b2c-abc) + (a2c+b2c+c3-abc-bc2-c2a) = (a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca);例.已知a，b, c是A ABC的三边，且a 2 + b 2 + c 2 = ab + bc + ca，则A ABC的形状是() 人.直角三角形8等腰三角形C等边三角形口等腰直角三角形解：a 2 + b 2 + c 2 = ab + bc + ca n 2 a 2 + 2 b 2 + 2 c 2 = 2 ab + 2 bc + 2 can (a一b)2 + (b一c)2 + (c一a)2 = 0 n a = b = c三、分组分解法.(一)分组后能直接提公因式例1、分解因式：am + an + bm + bn分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部” 看，这个多项式前两项都含有a,后两项都含有b,因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
高考数学中的乘法公式及因式分解
高考数学中的乘法公式及因式分解高考数学中，乘法公式及因式分解是十分关键的知识点。
无论是在通用数学还是理科数学中，这些知识点都被广泛应用，对于学生获得高分显得十分必要。
一、乘法公式乘法公式是数学中非常基本的概念，它是解题的重要基础。
高考中会出现很多与乘法公式相关的题目，因此学生必须要掌握各种乘法公式的基本形式以及应用方法。
下面列举一些常用的乘法公式：1. 分配律：a×(b+c)=a×b+a×c；2. 结合律：a×(b×c)=(a×b)×c；3. 交换律：a×b=b×a。
除此之外，还有比较复杂的乘法公式，如平方公式、立方公式等等。
平方公式可以通过(a+b)²=a²+2ab+b²计算，立方公式则可通过(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³计算。
二、因式分解因式分解是为了将多项式写成一些整数或分数乘积的形式。
这种方法可以简化计算和解题的复杂度。
因式分解的基本方法有以下几个：1. 提公因式法。
即先把所有项的公因式提到括号前面，然后再计算括号里边的内容。
例如4x²+12x的因式分解为4x(x+3)。
2. 公式法。
这种方法比较适合分数分解的情况。
先将多项式化简成已知公式的形式，然后采用已知的公式进行分解。
例如a²-b²=(a+b)(a-b)。
3. 分组分解法。
这种方法多用于三项或以上的多项式。
将多项式中的项分成不同组，然后把不同组中的项提取出来，再进行因式分解。
例如2x³-3x²-2x+3可以分为(2x³-3x²)+(3-2x)，再将每个式子分别进行因式分解，即可简化多项式。
总的来说，在高考数学中掌握乘法公式及因式分解会使学生更加得心应手。
在实践中，它们用于诸如二次方程、三角函数等多个方面，是接下来学习数学的基础。
因式分解公式大全-因式分开解公式
公式及方法年夜全之老阳三干创作待定系数法(因式分解)待定系数法是数学中的一种重要的解题方法,应用很广泛,这里介绍它在因式分解中的应用．在因式分解时,一些多项式经过分析,可以判定它能分解成某几个因式,但这几个因式中的某些系数尚未确定,这时可以用一些字母来暗示待定的系数．由于该多项式即是这几个因式的乘积,根据多项式恒等的性质,两边对应项系数应该相等,或取多项式中原有字母的几个特殊值,列出关于待定系数的方程(或方程组),解出待定字母系数的值,这种因式分解的方法叫作待定系数法．经常使用的因式分解公式：例1 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．分析由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y),若原式可以分解因式,那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x+y+n的形式,应用待定系数法即可求出m和n,使问题获得解决．解设x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn,比力两边对应项的系数,则有解之得m=3,n=1．所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)．说明本题也可用双十字相乘法,请同学们自己解一下．例2 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．分析本题所给的是一元整系数多项式,根据前面讲过的求根法,若原式有有理根,则只可能是±1,±7(7的约数),经检验,它们都不是原式的根,所以,在有理数集内,原式没有一次因式．如果原式能分解,只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式．解设原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd,所以有由bd=7,先考虑b=1,d=7有所以原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．说明由于因式分解的唯一性,所以对b=-1,d=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1,d=7代入方程组后,无法确定a,c的值,就必需将bd=7的其他解代入方程组,直到求出待定系数为止．本题没有一次因式,因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法,使我们找到了二次因式．由此可见,待定系数法在因式分解中也有用武之地．求根法(因式分解)我们把形如anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式,并用f(x),g(x),…等记号暗示,如f(x)=x2-3x+2,g(x)=x5+x2+6,…, 当x=a时,多项式f(x)的值用f(a)暗示．如对上面的多项式f(x) f(1)=12-3×我们把形如a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式,并用f(x),g(x),…等记号暗示,如f(x)=x2-3x+2,g(x)=x5+x2+6,…,当x=a时,多项式f(x)的值用f(a)暗示．如对上面的多项式f(x)f(1)=12-3×1+2=0；f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．若f(a)=0,则称a为多项式f(x)的一个根．定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根,即f(a)=0成立,则多项式f(x)有一个因式x-a．根据因式定理,找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对任意多项式f(x),要求出它的根是没有一般方法的,然而当多项式f(x)的系数都是整数时,即整系数多项式时,经经常使用下面的定理来判定它是否有有理根．定理2的根,则必有p是a0的约数,q是a n的约数．特别地,当a0=1时,整系数多项式f(x)的整数根均为a n的约数．我们根据上述定理,用求多项式的根来确定多项式的一次因式,从而对多项式进行因式分解．例2 分解因式：x3-4x2+6x-4．分析这是一个整系数一元多项式,原式若有整数根,必是-4的约数,逐个检验-4的约数：±1,±2,±4,只有f(2)=23-4×22+6×2-4=0,即x=2是原式的一个根,所以根据定理1,原式必有因式x-2．解法1 用分组分解法,使每组都有因式(x-2)．原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2)．解法2 用多项式除法,将原式除以(x-2),所以原式=(x-2)(x2-2x+2)．说明在上述解法中,特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数,反之不成立,即-4的约数纷歧定是多项式的根．因此,必需对-4的约数逐个代入多项式进行验证．例3 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．分析因为9的约数有±1,±3,±9；-2的约数有±1,为：所以,原式有因式9x2-3x-2．解 9x4-3x3+7x2-3x-2=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2=(9x2-3x-2)(x2+1)=(3x+1)(3x-2)(x2+1)说明若整系数多项式有分数根,可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式,如上题中的因式可以化为9x2-3x-2,这样可以简化分解过程．总之,对一元高次多项式f(x),如果能找到一个一次因式(x-a),那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x),而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式,这样,我们就可以继续对g(x)进行分解了．双十字相乘法(因式分解)分解二次三项式时,我们经常使用十字相乘法．对某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f),我们也可以用十字相乘法分解因式．例如,分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列,并把y看成常数,于是上式可变形为 2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3), 可分解二次三项式时,我们经常使用十字相乘法．对某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f),我们也可以用十字相乘法分解因式．例如,分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列,并把y看成常数,于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3),可以看作是关于x的二次三项式．对常数项而言,它是关于y的二次三项式,也可以用十字相乘法,分解为即-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解所以原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］=(x+2y-3)(2x-11y+1)．上述因式分解的过程,实施了两次十字相乘法．如果把这两个步伐中的十字相乘图合并在一起,可获得下图：它暗示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．这就是所谓的双十字相乘法．用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步伐是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2,获得一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上,要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和即是原式中的ey,第一、第三列构成的十字交叉之积的和即是原式中的dx．例1 分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；(2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．解 (1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．(2)原式=(x+y+1)(x-y+4)．(3)原式中缺x2项,可把这一项的系数看成0来分解．原式=(y+1)(x+y-2)．(4)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．说明 (4)中有三个字母,解法仍与前面的类似．笔算开平方对一个数的开方,可以不用计算机,也不用查表,直接笔算出来,下面通过一个例子来说明如何笔算开平方,对其它数只需模仿即可例求316.4841的平方根.第一步,先将被开方的数,从小数点位置向左右每隔两位用逗号,分段,如把数316.4841分段成3,16.48,41.第二步,找出第一段数字的初商,使初商的平方不超越第一段数字,而初商加1的平方则年夜于第一段数字,本例中第一段数字为3,初商为1,因为12=1<3,而(1+1)2=4>3.第三步,用第一段数字减去初商的平方,并移下第二段数字,组成第一余数,在本例中第一余数为216.第四步,找出试商,使(20×初商+试商)×试商不超越第一余数,而【20×初商+(试商+1)】×(试商+1)则年夜于第一余数.第五步,把第一余数减去(20×初商+试商)×试商,并移下第三段数字,组成第二余数,本例中试商为7,第二余数为2748.依此法继续做下去,直到移完所有的段数,若最后余数为零,则开方运算告结束.若余数永远不为零,则只能取某一精度的近似值.第六步,定小数点位置,平方根小数点位置应与被开方数的小数点位置对齐.本例的算式如下：根式的概念【方根与根式】数a的n次方根是指求一个数(n为年夜于1的自然数).作为代数式,指数实数范围内,负数不能开偶次方,一个正数开偶次方有两个方根,其绝对值相同,符号相反.【算术根】正数零.【基赋性质】由方根的界说,有根式运算【乘积的方根】乘积的方根即是各因子同次方根的乘积；反过来,同次方根的乘积即是乘积的同次方根,即≥0,b≥0)【分式的方根】分式的方根即是分子、分母同次方根相除,即≥0,b>0)【根式的乘方】≥0)【根式化简】≥0)≥0,d≥0)≥0,d≥0)【同类根式及其加减运算】根指数和根底数都相同的根式称为同类根式,只有同类根式才可用加减运算加以合并.进位制的基与数字任一正数一般地,任一正数a可表为正整数看成进位制的基,于是就获得q进数暗示(1)式中数字ai在{0,1,2,...,q-1}中取值,a n a n-1...a1a0称为q进数a(q)的整数部份,记作[a(q)];a-1a-2 ...称为a(q)的分数部份,记作{a(q)}.经常使用进位制,除10进制外,还有2进制、8进制、16进制等,其数字如下2进制 0, 18进制 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 716进制 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9各种进位制的相互转换1 q→10转换适用通常的10进数四则运算规则2 10→q转换转换时必需分为整数部份和分数部份进行.对整数部份其步伐是：(1) 用q去除[a(10)],获得商和余数.(2) 记下余数作为q进数的最后一个数字.(3) 用商替换[a(10)]的位置重复(1)和(2)两步,直到商即是零为止.对分数部份其步伐是：(1)用q去乘{a(10)}.(2)记下乘积的整数部份作为q进数的分数部份第一个数字.(3)用乘积的分数部份替换{a(10)}的位置,重复(1)和(2)两步,直到乘积酿成整数为止,或直到所需要的位数为止.例如：103.118(10)=147.074324 (8)整数部份的草式分数部份的草式3 p→q转换通常情况下其步伐是：a(p)→a(10)→a(q).如果p,q是同一数s的分歧次幂,其步伐是：a(p)→a(s)→a(q).例如,8进数127.653(8)转换为16进数时,由于8=23,16=24,所以s=2,其步伐是：首先把8进数的每个数字根据8-2转换表转换为2进数(三位一组)127.653(8)=001 010 111.110 101 011(2)然后把2进数的所有数字从小数点起(左和右)每四位一组分组,从16-2转换表中逐个记下对应的16进数的数字,即正多边形各量换算公式n为边数R为外接圆半径 a为边长爎为内切圆半径为圆心角 S为多边形面积重心G与外接圆心O重合正多边形各量换算公式表各量正三角形n为边数R为外接圆半径a为边长爎为内切圆半径为圆心角 S为多边形面积重心G与外接圆心O重合正多边形各量换算公式表各量正三角形正方形正五边形正六边形正n边形图形Sa RR ar或许你还对作图感兴趣：正多边形作图所谓初等几何作图问题,是指使用无刻度的直尺和圆规来作图.若使用尺规有限次能作出几何图形,则称为作图可能,或者说欧几里得作图法是可能的,否则称为作图不成能.很多平面图形可以用直尺和圆规作出,例如上面列举的正五边形、正六边形、正八边形、正十边形等.而另一些就不能作出,例如正七边形、正九边形、正十一边形等,这些多边形只能用近似作图法.如何判断哪些作图可能,哪些作图不成能呢？直到百余年前,用代数的方法完全地解决了这个问题,即给出一个关于尺规作图可能性的准则：作图可能的充沛需要条件是,这个作图问题中必需求出的未知量能够由若干已知量经过有限次有理运算及开平方运算而算出.几千年来许大都学家耗费了很多的精力,企图解决所谓“几何三年夜问题”：立方倍积问题,即作一个立方体,使它的体积二倍于一已知立方体的体积.三等分角问题,即三等分一已知角.化圆为方问题,即作一正方形,使它的面积即是一已知圆的面积.后来已严格证明了这三个问题不能用尺规作图.代数式的求值代数式的求值与代数式的恒等变形关系十分密切．许多代数式是先化简再求值,特别是有附加条件的代数式求值问题,往往需要利用乘法公式、绝对值与算术根的性质、分式的基赋性质、通分、求值中的方法技巧主要是代数式恒等变形的技能、技巧和方法．下面结合例题逐一介绍．1．利用因式分解方法求值因式分解是重要的一种代数恒等变形,在代数式化简求值中,经常被采纳．分析 x的值是通过一个一元二次方程给出的,若解出x后,再求值,将会很麻烦．我们可以先将所求的代数式变形,看一看能否利用已知条件．解已知条件可变形为3x2+3x-1=0,所以6x4+15x3+10x2=(6x4+6x3-2x2)+(9x3+9x2-3x)+(3x2+3x-1)+1=(3x2+3x-1)(2z2+3x+1)+1=0+1=1．说明在求代数式的值时,若已知的是一个或几个代数式的值,这时要尽可能防止解方程(或方程组),而要将所要求值的代数式适当变形,再将已知的代数式的值整体代入,会使问题获得简捷的解答．例2 已知a,b,c为实数,且满足下式：a2+b2+c2=1,①求a+b+c的值．解将②式因式分解变形如下即所以a+b+c=0或bc+ac+ab=0．若bc+ac+ab=0,则(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(bc+ac+ab)=a2+b2+c2=1,所以 a+b+c=±1．所以a+b+c的值为0,1,-1．说明本题也可以用如下方法对②式变形：即前一解法是加一项,再减去一项；这个解法是将3拆成1+1+1,最终都是将②式变形为两个式子之积即是零的形式．2．利用乘法公式求值例3 已知x+y=m,x3+y3=n,m≠0,求x2+y2的值．解因为x+y=m,所以m3=(x+y)3=x3+y3+3xy(x+y)=n+3m·xy,所以求x2+6xy+y2的值．分析将x,y的值直接代入计算较繁,观察发现,已知中x,y的值正好是一对共轭无理数,所以很容易计算出x+y与xy的值,由此获得以下解法．解 x2+6xy+y2=x2+2xy+y2+4xy=(x+y)2+4xy3．设参数法与换元法求值如果代数式字母较多,式子较繁,为了使求值简便,有时可增设一些参数(也叫辅助未知数),以便沟通数量关系,这叫作设参数法．有时也可把代数式中某一部份式子,用另外的一个字母来替换,这叫换元法．分析本题的已知条件是以连比形式呈现,可引入参数k,用它暗示连比的比值,以便把它们分割成几个等式．x＝(a-b)k,y＝(b-c)k,z＝(c-a)k．所以x+y+z=(a-b)k＋(b-c)k+(c-a)k=0．u+v+w=1,①由②有把①两边平方得u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=1,所以u2+v2+w2=1,即两边平方有所以4．利用非负数的性质求值若几个非负数的和为零,则每个非负数都为零,这个性质在代数式求值中经常被使用．例8 若x2-4x+|3x-y|=-4,求y x的值．分析与解x,y的值均未知,而题目却只给了一个方程,似乎无法求值,但仔细挖掘题中的隐含条件可知,可以利用非负数的性质求解．因为x2-4x+|3x-y|=-4,所以x2-4x＋4＋|3x-y|=0,即 (x-2)2+|3x-y|=0．所以 y x=62=36．例9 未知数x,y满足(x2＋y2)m2-2y(x+n)m+y2+n2=0, 其中m,n暗示非零已知数,求x,y的值．分析与解两个未知数,一个方程,对方程左边的代数式进行恒等变形,经过配方之后,看是否能化成非负数和为零的形式．将已知等式变形为m2x2+m2y2-2mxy-2mny+y2+n2=0,(m2x2-2mxy+y2)+(m2y2-2mny+n2)=0,即 (mx-y)2+(my-n)2=0．5．利用分式、根式的性质求值分式与根式的化简求值问题,内容相当丰富,因此设有专门讲座介绍,这里只分别举一个例子略做说明．例10 已知xyzt=1,求下面代数式的值：分析直接通分是笨拙的解法,可以利用条件将某些项的形式变一变．解根据分式的基赋性质,分子、分母可以同时乘以一个不为零的式子,分式的值不变．利用已知条件,可将前三个分式的分母酿成与第四个相同．同理分析计算时应注意观察式子的特点,若先分母有理化,计算反而复杂．因为这样一来,原式的对称性就被破坏了．这里所言的对称性是分利用这种对称性,或称之为整齐性,来简化我们的计算．同样(但请注意算术根！)创作时间：二零二一年六月三十日将①,②代入原式有练习六2．已知x+y=a,x2+y2=b2,求x4+y4的值．3．已知a-b+c=3,a2+b2+c2=29,a3+b3+c3=45,求ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)的值．5．设a+b+c=3m,求(m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)的值．8．已知13x2-6xy+y2-4x+1=0,求(x+y)13·x10的值．创作时间：二零二一年六月三十日。
乘法公式与因式分解
第一單元 乘法公式與因式分解1-1乘法公式我們知道5(72)5752×+=×+×一般而言，對任意數a ，b ，c 恆有()a b c ab ac +=+同樣的，()b c a ba ca +=+於是，想計算()()a b c d ++時，可以先將c d +當成一個數，即()()()()a b c d a c d b c d ac ad bc bd ++=+++=+++這個概念可以再推廣，例如()()a b c d e ad ae bd be cd ce +++=+++++也就是當兩組數各自相加、括號起來，再相乘時，可以將前面括號中的每一項逐一乘 後面括號中的每一項，這些兩兩乘積全部相加即得。
這個性質稱為乘法對加法的分配 律，簡稱分配律。
利用分配律，我們來導出一些乘法公式。
(1) 32()()()a b a b a b +=++22()(2)a b a ab b =+++32222322a a b ab a b ab b =+++++322333a a b ab b =+++和的立方 33223()33a b a a b ab b +=+++(2) 33()[()]a b a b −=+−32233()3()()a a b a b b =+−+−+−322333a a b ab b =−+−差的立方 33223()33a b a a b ab b −=−+−例題1求3(21)x −的展開式。
解3322332(21)(2)3(2)13(2)1181261x x x x x x x −=−⋅+⋅−=−+−立即演練求3(52)x +的展開式。
除了上述乘法公式，還可以用分配律導出一些其他的常用公式：(3)2233()()a b a ab b a b −++=−(4)2233()()a b a ab b a b +−+=+例題2將2(3)(39)x x x −++乘開並化簡。
因式分解十字相乘法
因式分解十字相乘法十字分解法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
其实就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解。
十字分解法能把一些二次三项式分解因式。
对于形如ax²+bx+c=(a₁x+c₁)(a₂x+c₂)的整式来说，方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a₁,a₂的积a₁·a₂，把常数项c分解成两个因数c₁,c₂的积c₁·c₂，并使a₁c₂+a₂c₁正好等于一次项的系数b，那么可以直接写成结果:ax²+bx+c=(a₁x+c₁)(a₂x+c₂)。
在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会，它的实质是二项式乘法的逆过程。
当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。
基本式子：x²+(p+q）x+pq=(x+p）(x+q)。
不仅仅局限于课堂45分钟课下积极的练习反思，总结也是至关重要你可能曾经懊恼自己当初在课堂上没有好好听课那么请收起你的沮丧就现在，开始学每天进步一点点相信你能做到致迷途知反的你们定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫作分解因式.解析：十字相乘法的精髓，在于分解常数项。
对于初学者来说，可以根据常数项的具体数值，尝试着分解成两个因数相乘的形式，并且使这两个因式的值相加等于一次项系数。
上面的例题，很好的说明了十字相乘法因式分解的具体应用。
例题二：例题三：例题四例题五：练一练一、前言在北师版数学教材上，并没有十字相乘法这一章，在中考中十字相乘法也不作为考点考察。
但是，在初中阶段，一些一元二次方程的题目使用十字相乘法可以更快的解出答案；在高中阶段，十字相乘法可以说是随时可能用到；更重要的是，十字相乘法可以很好的培养数感。
因此，熟练掌握十字相乘法是非常必要的二、知己知彼想要熟练的掌握十字相乘法，就一定要了解它的原理，我们先看这样几个式子：观察这几个式子，相信大家能很快的说出下面这个式子的结果为了更加清晰的说明十字相乘的原理：我们做如下的说眀：小学我们都学过竖式乘法其实刚才列举的式子也可以用竖式进行计算从所列竖式中，我们不难发现，2×3=6,2+3=5（2x+3x=5x）搞清楚了这个原理，十字相乘法就很容易了，其实就是把上面的过程反过来，下面以一道题目为例进行具体的说明例1：因式分解我们心里清楚，最后的结果一定是下面这种形式问题的关键就是求出a和b而通过刚才的例子，我们知道14=ab，9=a+b，那么我们该从哪里入手呢？这里做两个说明：（1）分解的结果中a、b都是整数（不会出分数、无理数什么的）（2）要分解14，而不是去拆解9、因式分解题目结果中的系数，都是整数，那么14的分解情况就很少了，而和为9的情况太多了，由此可见去分解14是最简单的做法于是，我们得到了分解这类二次三项式的方法：先把常数14分解成两个因数的积（整数），再看一看这两个因数的和是不是等于一次项的系数。
第3讲 乘法公式和因式分解
第3讲 乘法公式和因式分解一、考点知识梳理【考点1 平方差公式】两数和与这两数差的积，等于它们的平方差(a ＋b)(a －b)＝a 2－b 2【考点2 完全平方公式】两数的平方和，加上（或者减去）它们的积的两倍等于它们和（或差）的平方(a±b)2＝a 2±2ab ＋b 2【考点3 因式分解】要点一、因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算. 要点二、提公因式法把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律.要点三、公式法1.平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：2.完全平方公式两个数的平方和加上这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．即，. 形如，的式子叫做完全平方式.要点诠释：（1）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.（3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.要点四、十字相乘法和分组分解法十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. m m ()()22a b a b a b -=+-()2222a ab b a b ++=+()2222a ab b a b -+=-222a ab b ++222a ab b -+a b a b对于二次三项式，若存在 ，则 分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.要点五、因式分解的一般步骤因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等.因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解．（4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．二、考点分析【考点1 平方差公式】【解题技巧】能够运用平方差公式进行多项式乘法运算的必须是两个二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．反之能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式且符号相反．【例1】(2019河北沧州中考模拟)若（a ﹣b ﹣2）2+|a +b +3|＝0，则a 2﹣b 2的值是（ ）A ．﹣1B ．1C ．6D ．﹣6【一领三通1-1】(2019 山东青岛模拟)若k 为任意整数，且993﹣99能被k 整除，则k 不可能是（ ）A ．50B ．100C ．98D ．97【一领三通1-2】(2019辽宁大连模拟)先化简，再求值：(a ＋b)(a －b)＋b(a ＋2b)－b 2，其中a ＝1，b ＝－2.【一领三通1-3】(2019河北石家庄中考模拟)计算并观察、探究下列式子①（x ﹣1）（x +1）＝ x 2﹣1②（x ﹣1）（x 2+x +1）＝ x 3﹣1③（x ﹣1）（x 3+x 2+x +1）＝x 4﹣1④（x ﹣1）（x 4+x 3+x 2+x +1）＝x 5﹣1⑤（x ﹣1）（x 5+x 4+x 3+x 2+x +1）＝x 6﹣1…由以上规律（1）填空：（x ﹣1）（x n +x n ﹣1+…+x +1）＝ ． 2x bx c ++pq c p q b=⎧⎨+=⎩()()2x bx c x p x q ++=++（2）求：22019+22018+22017+…+22+2+1 的值．【分析】（1）利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，规律总结得到一般性结论，写出即可；（2）原式变形后，利用得出的规律计算即可得到结果．【考点2 完全平方公式】【解题技巧】能运用完全平方公式进行多项式乘法运算的，必须是两个数（或差）的平方和的形式，反之能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．【例2】(2019辽宁锦州中考模拟)如果二次三项次x 2﹣16x +m 2是一个完全平方式，那么m 的值是（ ）A ．±8B ．4C ．﹣2D ．±2【一领三通2-1】(2019山东聊城中考模拟)已知a ，b 是△ABC 的两边，且a 2＋b 2＝2ab ，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．锐角三角形D ．不确定【一领三通2-2】(2019沧州九中模拟)当s ＝t ＋12时，代数式s 2－2st ＋t 2的值为 ． 【分析】运用完全平方公式分解因式【一领三通2-3】（2019•吉林长春中考）先化简，再求值：（2a +1）2﹣4a （a ﹣1），其中a ＝．【分析】直接利用完全平方公式以及单项式乘以多项式分别化简得出答案．【一领三通2-4】（2018，江苏南京模拟）先化简，再求值：2(21)2(21)3a a +-++，其中a =【分析】直接运用(a+b)2=a 2+2ab+b 2进行计算、化简.【考点3 因式分解】【解题技巧】因式分解的一般步骤：(1)如果多项式各项有公因式，应先提取公因式；(2)如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法来分解因式，看是否符合平方差公式还是完全平方公式，有时需考虑用十字交乘法；(3)检查因式分解是否彻底，必须分解到每一个因式不能再分解为止．类型一、提公因式法分解因式1、 分解因式：(1)；(2)．【总结升华】在提取公因式时要注意提取后各项字母，指数的变化，另外分解要彻底，特别是因式中含有多项式的一定要检验是否能再分，分解因式后可逆过来用整式乘法验证其正确与否．2、利用分解因式证明：能被120整除．【思路点拨】25＝，进而把整理成底数为5的幂的形式，然后提取公因式并整理为含有120的因数即可．【总结升华】解决本题的关键是用因式分解法把所给式子整理为含有120的因数相乘的形式． 类型二、公式法分解因式3、放学时，王老师布置了一道分解因式题：，小明思考了半天，没有答案，就打电话给小华，小华在电话里讲了一句，小明就恍然大悟了，你知道小华说了句什么话吗？小明是怎样分解因式的．【思路点拨】把分别看做一个整体，再运用完全平方公式解答．222284a bc ac abc +-32()()()()m m n m m n m m n m n +++-+-712255-25725()()()222244x y x y x y ++---()()x y x y +-、【总结升华】本题主要考查利用完全平方公式分解因式，注意把看作完全平方式里的是解题的关键．4、若多项式5x 2+17x ﹣12可因式分解成（x +a ）（bx +c ），其中a 、b 、c 均为整数，则a +c 之值为何？（ ）A ．1B ．7C ．11D ．13故选：A ．5、）把下列各式进行因式分解（1）4（x ﹣2）2﹣1；（2）（x+y ）2+4（x+y+1）.【思路点拨】（1）直接利用平方差公式分解因式即可；（2）经过变形，利用完全平方公式分解因式即可.【总结升华】此题主要考查了公式法分解因式，熟练掌握乘法公式是解题关键．举一反三： 类型三、十字相乘法和分组分解法分解因式6、分解因式：（1）（2）【总结升华】做题之前要仔细观察，注意从整体的角度看待问题.()()x y x y +-、,a b ()()222222x x ----()2224420x xx x +---7、（x ﹣y ）2+5（x ﹣y ）﹣50．课堂测1．（2019·安徽中考模拟）下列分解因式正确的是（ ）A ．24(4)x x x x -+=-+B ．2()x xy x x x y ++=+C ．2()()()x x y y y x x y -+-=-D ．244(2)(2)x x x x -+=+-2．（2018·江苏中考模拟）把多项式x 2+ax+b 分解因式，得(x+1)(x -3)，则a 、b 的值分别是（） A ．a=2，b=3 B ．a=-2，b=-3C ．a=-2，b=3D ．a=2，b=-33．（2018·广西中考真题）下列各式分解因式正确的是（ ）A ．x 2+6xy+9y 2=（x+3y ）2B ．2x 2﹣4xy+9y 2=（2x ﹣3y ）2C ．2x 2﹣8y 2=2（x+4y ）（x ﹣4y ）D ．x （x ﹣y ）+y （y ﹣x ）=（x ﹣y ）（x+y ）4．（2019·山东中考模拟）多项式4a ﹣a 3分解因式的结果是（ ）A ．a （4﹣a 2）B ．a （2﹣a ）（2+a ）C ．a （a ﹣2）（a+2）D ．a （2﹣a ）25．（2018·安徽中考模拟）将下列多项式因式分解,结果中不含有因式(a+1)的是( )A ．a 2-1B ．a 2+aC ．a 2+a -2D ．(a+2)2-2(a+2)+1利用公式法解决代数式求值问题的方法1．（2018·河南中考模拟）已知a ﹣b=1，则a 3﹣a 2b+b 2﹣2ab 的值为（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．22．（2017·陕西中考模拟）已知实数x 满足22110x x x x +++=，那么1x x +的值是（ ）A ．1或﹣2B ．﹣1或2C ．1D ．﹣23．（2019·江苏中考模拟）若x 2+mx -15=(x+3)(x+n)，则m 的值为( )A ．-5B ．5C ．-2D ．2课后习题一、选择题1.（2019，湖南湘潭中考模拟）下列式子，正确的是（ ）A. 3+=B. 1)1=C. 122-=-D. 2222()x xy y x y +-=-（2019，安徽蚌埠中考模拟） 下列多项式中，能用公式法分解因式的是（ ）A.x 2－xyB. x 2＋xyC. x 2－y 2D. x 2＋y 23.（2019•河北石家庄中考模拟）若要使4x 2+mx +成为一个两数差的完全平方式，则m 的值应为（ ） A ． B ． C ． D ．4.（2019•山东青岛中考模拟）如果自然数a 是一个完全平方数，那么与a 之差最小且比a 大的一个完全平方数是（ ）5.（2019•辽宁本溪中考模拟）有一个长方形内部剪掉了一个小长方形，它们的尺寸如图所示，则余下的部分（阴影部分）的面积（ ）A ．4a 2B ．4a 2﹣abC ．4a 2+abD ．4a 2﹣ab ﹣2b 2 二、填空题1.（2019•呼和浩特中考）因式分解：x 2y ﹣4y 3＝ ．2.（2019•辽宁沈阳中考）因式分解：﹣x 2﹣4y 2+4xy ＝ ．3.（2019•甘肃兰州中考）因式分解：a 3+2a 2+a ＝ ．4.（2019•山东威海中考）分解因式：2x 2﹣2x +＝ ．5.（2019，江苏省连云港中考模拟）当12s t =+时，代数式222s st t -+的值为 ． 6. (2019,山西省太原中考模拟)分解因式(4)4x x ++的结果是 ．7.（2019，山东潍坊中考模拟）分解因式：32627x x x +-= ．8. （2019，河北沧州中考模拟）有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示，如图①，它表示了（2m +n ）（m+n）＝2m2+3mn+n2（1）图②是将一个长2m、宽2n的长方形，沿图中虚线平均分为四块小长方形，然后再拼成一个正方形（图③），则图③中的阴影部分的正方形的边长等于（用含m、n的代数式表示）（2）请用两种不同的方法列代数式表示图③中阴影部分的面积．方法①方法②（3）请你观察图形③，写出三个代数式（m+n）2、（m﹣n）2、mn关系的等式：；（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若已知x+y＝7，xy＝10，则（x﹣y）2＝；（5）小明用8个一样大的长方形（长acm，宽bcm）拼图，拼出了如图甲、乙的两种图案，图案甲是一个正方形，图案乙是一个大的长方形，图案甲的中间留下了边长是2cm的正方形小洞．则（a+2b）2﹣8ab 的值为．三、解答题1.(2019湖南怀化中考模拟)先化简，再求值：(2a－1)2－2(a＋1)(a－1)－a(a－2)，其中a＝2＋1.2.(2019浙江宁波中考模拟)化简：(a＋b)2＋(a－b)(a＋b)－2ab.3、(2019浙江金华中考模拟)先化简，再求值：(x＋5)(x－1)＋(x－2)2，其中x＝－2.4.（2019江苏省淮安中考模拟）先化简，再求值：[]21y 1,))(()(2=-=÷+-+-，其中x x y x y x y x5. 已知a +b ＝3，ab ＝﹣10．求：（1）a 2+b 2的值；（2）（a ﹣b ）2的值．6.下面是某同学对多项式（x 2﹣4x +2）（x 2﹣4x +6）+4进行因式分解的过程．解：设x 2﹣4x ＝y ，原式＝（y +2）（y +6）+4 （第一步）＝y 2+8y +16 （第二步）＝（y +4）2（第三步）＝（x 2﹣4x +4）2（第四步）（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 ．A ．提取公因式B ．平方差公式C ．两数和的完全平方公式D ．两数差的完全平方公式 （2）该同学因式分解的结果是否彻底？ ．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x 2﹣2x ）（x 2﹣2x +2）+1进行因式分解．7.正方形Ⅰ的周长比正方形Ⅱ的周长长96cm，它们的面积相差960cm2，求这两个正方形的边长．8.如图，在长方形ACDF中，AC＝DF，点B在CD上，点E在DF上，BC＝DE＝a，AC＝BD＝b，AB＝BE＝c，且AB⊥BE．（1）用两种不同的方法表示长方形ACDF的面积S．方法一：S＝．方法二：S＝．（2）求a，b，c之间的等量关系（需要化简）．（3）请直接运用（2）中的结论，求当c＝10，a＝6，S的值．。
乘法公式以及因式分解公式知识点
1、同底数幂相乘：底数不变、指数相加：n m n m a a a +=∙
同底数幂相除：底数不变、指数相减：n m n m a a a -=÷
2、幂的乘方：底数不变、指数相乘：()mn n m a a =
3、积的乘方：等于把积的每一个因时分别乘方，再把所得的幂相乘：m m m b a ab =)(
4、单项式乘以单项式：把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的
字母，则连同它的指数作为积的一个因式
5、单项式与多项式相乘：就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加
6、多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把
所得的积相加
7、单项式相除：把它们的系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有
的字母，则连同它的指数作为商的一个因式
8、多项式除以多项式：先把这个多项式的每一项除以这个多项式，再把所得的商相加
9、任何不等于0的数的0次幂都等于10
=a （a ≠0）
10、平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差()()22b a b a b a -=-+
11、完全平方公式：两个数的和（差）的平方，等于这两个数的平方和加上（减去）这两个
数积得2倍
()2222b ab a b a ++=+
()2222b ab a b a +-=-
12、p 、q 型整式乘法：()()()pq x q p x q x p x +++=++2。
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乘法公式知识点：平方差公式：(a+b)(a-b)=a 2-b 2完全平方公式：(a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2立方公式：(a+b)(a 2-ab+b 2)=a 3+b 3 (a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3－b 3例1．计算（1）)3121)(3121(b a b a +- （2）(2x+3)（3-2x ）（3）(-y+2x)(-y-2x) （4）)3)(3(22-+m m例2．计算（1）2)(b a - （2）2)2(y x +（3）2)3221(y x +-（4）2)(c b a ++例3．计算22)2()2)(2(2)2(n m n m n m n m -+-+-+例4．计算（1）(3x+4y-2z)(3x-4y+2z) （2）)23)(32()1(42x x x x x -++-（1）)12)(12)(12)(12)(12(16842+++++ （2）298.99例6．已知a+b=1，21-=ab 、求（1）22b a + （2）2)(b a -基础练习1．计算（1）49.8×50.2 （2）89×91（3）31493250⨯ （4）29952．运用乘法公式计算（1）2)]12)(21[(+-a a （2）))((z y x z y x +-++ （3）)2131)(3121(x y y x +-（4）)4)(2)(2(2--+x x x （5）22)12()12(--+x x（1）(x-1)(x+2)-(x+3)(x-3) （2）(3x+4y)(-4y-3x)+9x(x+y)（3）)(8)2(22b a b b a +-- （4）22)221()221)(221(2)221(b a b a b a b a ++-++-4．解方程)1)(1()12(2)31(22y y y y +-=---5．已知5)( , 4)(22=-=+b a b a 、求22b a +及ab 。
提高题1. （一题多变题）利用平方差公式计算：2009×2007－20082．（1）一变：利用平方差公式计算：22007200720082006-⨯．（2）二变：利用平方差公式计算：22007200820061⨯+．2. （科内交叉题）解方程：x （x+2）+（2x+1）（2x －1）=5（x 2+3）．3. 计算(1)(a －2b +3c )2－(a +2b －3c )2;(2)［ab (3－b )－2a (b －21b 2)］(－3a 2b 3);(3)－2100×0.5100×(－1)2005÷(－1)－5;(4)［(x +2y )(x －2y )+4(x －y )2－6x ］÷6x .4. (6分)解方程x (9x －5)－(3x －1)(3x +1)=5.5. （规律探究题）已知x≠1，计算（1+x ）（1－x ）=1－x 2，（1－x ）（1+x+x 2）=1－x 3， （1－x ）（•1+x+x 2+x 3）=1－x 4．（1）观察以上各式并猜想：（1－x ）（1+x+x 2+…+x n）=______．（n 为正整数） （2）根据你的猜想计算：①（1－2）（1+2+22+23+24+25）=______． ②2+22+23+ (2)=______（n 为正整数）． ③（x －1）（x 99+x 98+x 97+…+x 2+x+1）=_______． （3）通过以上规律请你进行下面的探索： ①（a －b ）（a+b ）=_______． ②（a －b ）（a 2+ab+b 2）=______． ③（a －b ）（a 3+a 2b+ab 2+b 3）=______．完全平方公式变形的应用完全平方式常见的变形有:ab b a b a 2)(222-+=+ ab b a b a 2)(222+-=+ab b a b a 4)(22=--+）（bc ac ab c b a c b a 222)(2222---++=++1、已知m 2+n 2-6m+10n+34=0，求m+n 的值2、已知0136422=+-++y x y x ，y x 、都是有理数，求y x 的值。
3．已知 2()16,4,a b ab +==求223a b +与2()a b -的值。
练一练 A 组：1．已知()5,3a b ab -==求2()a b +与223()a b +的值。
2．已知6,4a b a b +=-=求ab 与22a b +的值。
3、已知224,4a b a b +=+=求22a b 与2()a b -的值。
4、已知(a +b)2=60，(a -b)2=80，求a 2+b 2及a b 的值B 组：5．已知6,4a b ab +==，求22223a b a b ab ++的值。
6．已知222450x y x y +--+=，求21(1)2x xy --的值。
7．已知16x x-=，求221x x +的值。
8、0132=++x x ，求（1）221x x +（2）441x x +9、试说明不论x,y 取何值，代数式226415x y x y ++-+的值总是正数。
C 组:10、已知三角形ABC 的三边长分别为a,b,c 且a,b,c 满足等式22223()()a b c a b c ++=++，请说明该三角形是什么三角形？“整体思想”在整式运算中的运用1、当代数式532++x x 的值为7时,求代数式2932-+x x 的值.2、已知2083-=x a ，1883-=x b ，1683-=x c ，求：代数式bcac ab c b a ---++222的值。
3、已知4=+y x ，1=xy ，求代数式)1)(1(22++y x 的值4、已知2=x 时，代数式10835=-++cx bx ax ，求当2-=x 时，代数式835-++cx bx ax 的值5、若123456786123456789⨯=M ，123456787123456788⨯=N试比较M 与N 的大小6、已知012=-+a a ，求2007223++a a 的值.【乘法公式应用的五个层次】第一层次──正用 例1计算(2)(－2x －y)(2x －y)．第二层次──逆用，即将这些公式反过来进行逆向使用． 例2计算(1)19982－1998·3994＋19972；第三层次──活用：根据待求式的结构特征，探寻规律，连续反复使用乘法公式；有时根据需要创造条件，灵活应用公式．例3化简：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1．例4计算：(2x－3y－1)(－2x－3y＋5)第四层次──变用：解某些问题时，若能熟练地掌握乘法公式的一些恒等变形式，如a2＋b2=(a＋b)2－2ab，a3＋b3=(a＋b)3－3ab(a＋b)等，则求解十分简单、明快．例5已知a＋b=9，ab=14，求2a2＋2b2和a3＋b3的值．第五层次──综合后用：将(a＋b)2=a2＋2ab＋b2和(a－b)2=a2－2ab＋b2综合，可得 (a＋b)2＋(a－b)2=2(a2＋b2)；(a＋b)2－(a－b)2=4ab；等，合理地利用这些公式处理某些问题显得新颖、简捷．例6计算：(2x＋y－z＋5)(2x－y＋z＋5)．整式的乘法巩固练习： 1. _____________. 2. =_____ ________. 3. =_____________. 4. =_____________.5.=_____________.6. =_____________.7. =_____________.8. =_____________.9.=_____________. 10. (1)(-5.5)1997×(211)1997； (2) 31151644⨯；(3)1998×1996-19972； (4) 121()()2176nn n +⨯⨯。
11. 先化简再求值(x-y)2+(3x-2y)(2x+y)-x(6x-y),其中x=12,y=1。
12. 先化简，再求值：()()()()232325121x x x x x +-----，其中31-=x ． 13. 计算：（1）(-3a 3)2·a 3+(-4a)2·a 7-(5a 3)3 (2)3x(3x 2-2x-1)-2x 2(x-2)(3)()2232315x y-xy -y -4xy 426⎛⎫ ⎪⎝⎭ (4)()()()()232233574x xy xy xy y y x -⋅--⋅-+-（5）(2a-3b)(a+5b) （6）14. 已知2xy 2-=，则)y xy y x (xy 322---的值。
15. 已知x 2+3x+5的值为7，那么3x 2+9x-2的值。
16. 已知：x 2－x －2＝0, 求（2x ＋3）(2x －5)＋2的值。
17. 已知a 是方程x 2-5x+1= 0的解，则221aa +的值。
18. 若代数式2237x x ++的值是8，则代数式2469x x +-的值。
19. 若32=a ，62=b ，122=c，求证：c a b +=2。
20. 现规定：b a ab b a -+=*，其中a 、b 为有理数，求b a b b a *-+*)(的值。
133(5)(2)354x y x y ---+21. 已知：65312=-+x x ，715=++c b a ，试求：)1()1()1(222++++++++x x c x x b x x a 的值。
22. 已知：02=+b a ，求证： 04)(233=+++b b a ab a 。
23. 已知：2232b ab a A -+=，ab B 21-=，42334181b a b a C -=，求：C B A -⋅22。
24. 当)3)(8(22n x x mx x +-++展开后，如果不含2x 和3x 的项，求n m 3)(-的值。
25. 试证明代数式165)3(6)23)(32(+++-++x x x x x 的值与x 的值无关。
26. 已知xy 8-除某一多项式所得的商式是－22474921xy y x xy -+，余式是233y x ，则这个多项式的值是（ ）。
（A ）32232214134y x y x y x --； （B ）32232214154y x y x y x +-；（C ）33232214154y x y x y x --； （D ）32332214154y x y x y x --。
27. 已知：c x b x x a x x --++-=++)1()2)(1(4232 求c b a ,,的值。