信号与系统公式大全

IR (s)
电
容
u(t) 1
t
i(t)dt
C
u(t) 1 i(t) pC
UC (t) 1 IC (t) jC
UC
(s)
1 Cs
IC
(s)
1 s
uC
(0
)
IC (s) CsUC (s) CuC (0)
电 感
u(t) L d i(t) dt
u(t) pL i(t)
UC (t) jL
IC (t)
单位样值信号卷积特性
x(n) (n) x(n) x(n) (n 1) x(n 1) x(n) (n k) x(n k)
积分特性
u(t )
f
(t)
t
f
(
)d
冲激偶卷积 '(t) f (t) f '(t)
tn1 u(t) f (t) t t f (t)dt dt f (n) (t)
简谐振荡信号
傅里叶变换： H ( j) e j h( )d
点 测 法： y(t) e jt H ( j)
2.傅里叶级数和傅里叶变换
在时域内
周期信号 分解傅里叶级数
在频域内
非周期信号 分解傅里叶变换 周期信号 分解傅里叶变换
3.狄里赫勒（Dirichlet）条件（只要满足这个条件信号就可以用傅里叶级数展开）
c n q1 q1
Βιβλιοθήκη Baiduck
cn n k 11
条件 k 个各不相同的实数 1 2 k q 个重根1 ，k-q 个单根 q1 k
y0(n) c1(re j )n c2(re j )n
rn[c1' cos(n) c2' sin(n)]
系统含有共轭复根 re j , re j
七.系统的冲激响应和单位样值响应
x(k) x(n)u(n)
(n 1)!
k
(n) (t) f (t) f (n) (t)
四.电路元件的运算模型
元件
电路符号 名称
时 u i 关系
域 运算模型
电路符号
频域 运算模型
电路符号
复域 运算模型
电
u(t) Ri(t)
u(t) R
阻
i(t)
UR (t) R IR (t)
UR (s) R
)]
高阶冲激信号 (n) (t) 冲激偶信号 '(t)
泛函定义 :
f
(t)
(n)
(t)dt
(1)n
[
dn dt n
f (t)]
t 0
泛函定义: f (t) '(t)dt [ d f (t)] f '(0) 说明：1. '(t) 量纲是 s2
dt
t 0
3. '(t) 是奇函数
2.强度 A 的单位是Vs2
2 0
齐次性 若f (t) y(t) 则af (t) ay(t)
可加性
若f1 则f1
(t) (t)
y1(t f2 (t)
)，f2 (t) y1(t)
y2 (t) y2 (t)
分解性 线性系统 零状态线性
零输入线性
y(t) yx (t) y f (t) y(n) y0 (n) yn (n)
常数 平均是为零
○2 奇分量与偶分量
f
(t)
fe (t)
fo (t)
f
e
(t
)
fo
(t
)
1 [ f (t) 2 1 [ f (t) 2
f f
(t)] (t)]
第四章.连续时间信号与系统频域分析
一.周期信号的频谱分析
1. 简谐振荡信号是线性时不变系统的本征信号：
y(t) e jt h(t) e j(t )h( )d e jt e j h( )d
第一章 绪论
i连续时间信号
离散时间信号
时间区间
(T,T )
(, )
(N, N)
(, )
瞬时功率
f (t) 2
能量 平均功率 周期信号
线性
E T f (t) 2 dt T
P 1 T f (t) 2 dt 2T T
E lim T f (t) 2 dt f (t) 2 dt
T T
P lim 1 T f (t) 2 dt T 2T T
条
件
n 个各不相同的实数 1 2 n r 个重根 0 ，n-1 个单根 1 2 n-1 i 个成对的共轭复根 1 1 j1,2 2 j2 i i j
yx (t) 的表 式
yx (t) k1e1t k2e2t knent t 0
yx
(t)
k1e1t
k2e2t
knren-rt
k en-r+1t nr 1
knr2te0t kntn1e0t t 0
yx(t) e1t[k1 cos(1t) k1' sin(1t)] eit[ki cos(it) ki' sin(it)] t 0
y0(n) 的表达式
y0
(n)
c11n
c22n
ck
n k
y0(n) (c1 c2n cqnq1)1n
连续时间系统 传输算子 H ( p) 冲激响应 h(t)
a
a p
1 pa
1 ( p a)n
b ( p a)2 b2
pa ( p a)2 b2
a (t) au(t) eatu(t) tn1 eatu(t)
(n 1)!
eat sin(bt)u(t) eat cos(bt)u(t)
离散时间系统 传输算子 H (E) 样值响应 h(n)
判断方法：先线性运算，后经系统的结果=先经系统，后线性运算的结果
时不变性
若 f (t) y f (t) ，则 f (t t0 ) y f (t t0 )
若 x(n) y(n) ，则 x(n n0) y(n n0)
系统时不变性：1 电路分析：元件的参数值是否随时间而变化 2 方程分析：系数是否随时间而变
' (at b) 1 '(t b ) a 0
a2
a
证明：对 f (t) (t t0) f (t0) (t t0) 两端微分
证明：关键利用筛选特性展开 特别： a 1,b 0时 '(t) '(t)
'(t) 是奇函数
三.卷积
连续时间信号
卷积定义
f1(t) f2(t)
f1( ) f2 (t )d
UL(s) LsIL(s) LiL (0 )
IL
(s)
1 Ls
UL
(s)
1 s
iL
(0
)
五.连续时间系统时域分析
系统 建立微分方程 建立算子方程： D( p)y(t) N( p) f (t) 系统的特征方程： D() D( p) p 0
求特征根 零输入响应方程 D( p) yx (t) 0
延时特性 f (t) (t t0) f (t t0) f (t t1) g(t t2) f (t) g(t) (t t1 t2)
离散时间信号
x1(n) x2 (n) x1(k)x2 (n k) k
x1(n) x2 (n) x2 (n) x1(n) x1(n) [x2 (n) x3(n)] x1(n) x2(n) x1(n) x3(n) [x1(n) x2(n)] x3(n) x1(n) [x2(n) x3(n)]
N
E x (n) 2 n N
P 1
N
x (n) 2
2N 1 nN
E x (n) 2 n
P lim 1
N
x (n) 2
N 2N 1 nN
f (t) f (t mT ) m 0, 1, 2,
x(n) x(n mn) m 0, 1, 2,
e e j0T
j0 (t T0 )
T0
n0 n0
x(n) x(k) (n k) k
u(n)
0 1
n 0的整数 n 0的整数
(n) u(n) u(n 1)
nu(n)
0 1
n 0的整数 n 0的整数
Gk
(n)
1 0
0 n k 1 其它
x(n) zn , n , 其中z re j
复指数序列
指数序列
0, z r , x(n) rn
y f (t) f (t) h(t)
求冲激响应
零状态响应
y
f
(t)
N( p) D( p)
Nf Df
( p) (t)
( p)
t
0
求全响应 y(t) yx (t)
y
f
(t)
微分方程法
系统的描述方法 传输算子法
冲激响应法
六.系统的特征方程
连续时间系统零输入响应
连续时间系统零输入响应
序列的累加 序列的差分 序列的移位
y(n) x(k) k
一阶前向： x(n) x(n 1) x(n)
一阶后向： x(n) x(n) x(n 1)
单位超前算子： Ek x(n) x(n k)
单位延迟算子： Ek x(n) x(n k)
十.信号的分解
○1 直流分量与交流分量
f (t) fD fA(t)
虚指数序列 r 1, 0 , x(n) e j0n cos0 j sin 0
九.离散信号的性质
周期性
sin 0 sin 0 (n N) sin(0n 0N)
当 0N 2 k
即
N
2 0
k为整数时
， sin 0n 才是周期序列
0 为数字角频率 单位：弧度
0 为模拟角频率 单位：弧度/秒 0 ( , )
A 0
t 0 t0
1. t A ( )d Au(t)
2. A ( ) d [Au(t)] dt
t 0 处可以定义为0, 1 ,1(个别点数值差别不会导致能量的改变) 2
斜坡信号 Ar(t) 性质
Ar(t)
At 0
t 0 t0
1.
t
Au(t)dt
Ar(t)
2.
Au(t)
d dt
[
Ar(t
f (t) Kest (, ) ， s j
0, 0
f (t) K t
实指数信号
0, 0
f (t) Ket t
虚指数信号 正弦信号 复指数信号
0, 0 0 f (t) Ke j 0, 0 0
f (t) Ke j0t K cos0t jK sin0t Im [Ke j0t ] Im[Ke j e j0t ] K sin(0t ) f (t) Ket cos0t jKet sin0t t
1
(n)
E E
E (E )2
E2 (E )2
E (E )m
nu(n) n n1u(n) (n 1)nu(n) n(n 1) (n m 2) nm1u(n)
(m 1)!
八.基本离散信号
单位样值信号 (n)
单位阶跃序列 u(n) 斜变序列 nu(n) 矩形序列 Gk (n)
(n)
0 1
筛选特性
取样特性 展缩特性
f (t) '(t t0 ) f (t0) '(t t0 ) f '(t0) (t t0 )
t 0时 f (t) '(t) f (0) '(t) f '(0) (t)
f
(t)
' (t
t0 )dt
f
'(t0 )
' (at
b)
1 a2
' (t
b) a
a0
交换率 分配率 结合率
f1(t) f2(t) f2(t) f1(t) f1(t)[ f2(t) f3(t)] f1(t) f2(t) f1(t) f3(t) [ f1(t) f2(t)] f3(t) f1(t)[ f2(t) f3(t)]
奇异信号卷积特性
单位元特性 f (t) (t) f (t)
时间常数： 1
二、冲激信号
冲激信号 A (t)
筛选特性 取样特性 展缩特性
一般定义
A (t) 0 A (t)
t0 t0
A (t)dt A
f (t) (t t0) f (t0) (t t0)
f (t) (t t0)dt f (t0)
(at b) 1 (t b)
a
a
3 输入输出分析：输入激励信号有时移，输出响应信号也同样有时移。
功率信号：0 P 且E 能量信号：0 E 且P
时域分析
系统模型
输入输出系统模型
变换域分析
频域 复频域
Z域
状态变量系统模型
第二、三章.连续时间信号、离散时间信号与系统时域分析
一．普通信号
普通信号 直流信号
式
指数
f (t) Fne jnt
形式
n
a0
1 T
t0T f (t)dt
t0
an
2 T
t0T f (t)cos ntdt
t0
bn
2 T
t0T f (t)sin ntdt
t0
Fn
1 T
t0T f (t)e jntdt
泛函定义 : A (t)(t)dt A(0)
A (t) 是偶函数
特别： f (t) (t) f (t0) (t)
特别：
f (t) (t)dt f (0)
证明：1. a 0
2. a 0
3.
g(t) (at b)dt
g(t) 1 (t a)dt
a
b
阶跃信号 Au(t) 性质
定义：Au(t)
○ 1 f (t) 绝对可积，即 t0T f (t)dt t0
○2 f (t) 的极大值和极小值的数目应有限 ○3 f (t) 如有间断点，间断点的数目应有限
4.周期信号的傅里叶级数
周期信号的傅里叶级数
信号集的正交性
三
角
f (t) a0
(an cos nt bn sin nt)
形
n1