斐波那契数列在一维搜索中的应用

Fibonacci数列在一维搜索中的应用

斐波那契数列：

斐波那契数列又称“斐波那契神奇数列”，是由13世纪的意大利数学家斐波那契提出的，当时是和兔子的繁殖问题有关的，它是一个很重要的数学模型。这个问题是：有小兔一对，若第二个月它们成年，第三个月生下小兔一对，以后每月生产一对小兔，而所生小兔亦在第二个月成年，第三个月生产另一对小兔，以后亦每月生产小兔一对，假定每产一对小兔必为一雌一雄，且均无死亡，试问一年后共有小兔几对？

斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34 、……

这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。

即：如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N+)。那么这句话可以写成如下形式：F(0) = 0，F(1)=F(2)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3)

∴F(n)=(1/

即：F（n）=

111

22

n n

⎡⎤

⎛⎫⎛⎫

+-

⎢⎥

-

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎢⎥

⎝⎭⎝⎭

⎣⎦

一维搜索： 在求无约束多维最优化问题时，通常时根据目标函数的特征，构造出一类逐次使目标函数值下降的搜索（迭代）算法，方法如下：

选择初始近似点()0X ，（当然，()0X 越靠近极小点越好），按照某种规则

确定一个方向(0)P ，从()0X 出发沿(0)P 方向求目标函数的最优解()1

X ，()2X ，。。。。。。。。设迭代中已得到()k X ，按同样的规则确定一个方向()k P ，从()k X 出发沿方向()k P 求目标函数()()k f X 在此方向上的最优解，即：

()()()()min ()()k k k k k f X P f X P λ

λλ+=+

得到新点

()()()1k k k k X X P λ+=+ ，其中k λ称为最优步长。再从

()1k X +出发，继续上述过程产生一个收敛于问题的最优解的点列{()k X }。在这个过程中要求我们去求解一系列单变量函数

()()()()k k k F f X P λλ=+的极值问题，即一维搜索。

这种方法不仅对于解决一维极值问题本身很重要，而且它还是求解多维极值问题的重要组成部分。一维搜索的方法很多，一下介绍2种具有代表性的方法，这两种方法的第一步都要确定一个初始搜索区间。

搜索区间的确定:

对于一维极值问题min()

R

F

λ

λ

∈.我们首先希望找到一个这样的区间

[a,b], 在[a,b]上

()

Fλ有惟一的极小值（见图）