高等数学竞赛试题含答案

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数学竞赛高数试题及答案

数学竞赛高数试题及答案试题一：极限的计算问题：计算极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。

解答：根据洛必达法则，我们可以将原式转换为 \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1}\)，由于 \(\cos 0 = 1\)，所以极限的值为 1。

试题二：导数的应用问题：若函数 \( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \)，求其在 \( x = 1 \) 处的导数值。

解答：首先求导数 \( f'(x) = 6x - 2 \)，然后将 \( x = 1 \) 代入得到 \( f'(1) = 6 \times 1 - 2 = 4 \)。

试题三：不定积分的求解问题：求不定积分 \(\int \frac{1}{x^2 + 1} dx\)。

解答：这是一个基本的积分形式，可以直接应用反正切函数的积分公式，得到 \(\int \frac{1}{x^2 + 1} dx = \arctan(x) + C\)，其中\( C \) 是积分常数。

试题四：级数的收敛性判断问题：判断级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \) 是否收敛。

解答：根据比值测试，我们有 \(\lim_{n \to \infty}\frac{1}{(n+1)^2} / \frac{1}{n^2} = \lim_{n \to \infty}\frac{n^2}{(n+1)^2} = 1\)，由于极限值为 1，小于 1，所以级数收敛。

试题五：多元函数的偏导数问题：设函数 \( z = f(x, y) = x^2y + y^3 \)，求 \( f \) 关于\( x \) 和 \( y \) 的偏导数。

解答：对 \( x \) 求偏导，保持 \( y \) 为常数，得到 \( f_x =2xy \)。

对 \( y \) 求偏导，保持 \( x \) 为常数，得到 \( f_y = x^2 + 3y^2 \)。

高数竞赛试题及答案

高数竞赛试题及答案在高等数学领域中，竞赛试题的编写与解答一直是学生们提高自己数学水平的重要方式之一。

本文将提供一些高等数学竞赛试题，并附上详细的解答过程，以帮助读者更好地理解和应用数学知识。

1. 竞赛试题一考虑函数f(x) = |x^2 - 4x + 3|，其中x为实数。

(1)求函数f(x)的定义域。

(2)求函数f(x)的最大值和最小值。

解答过程：(1)为了求函数f(x)的定义域，我们需要确定使函数的值有意义的x 的范围。

由于函数f(x)中包含了一个绝对值，我们可以将其拆分成两种情况讨论：当x^2 - 4x + 3 ≥ 0时，函数f(x) = x^2 - 4x + 3；当x^2 - 4x + 3 < 0时，函数f(x) = -(x^2 - 4x + 3)。

对于第一种情况，我们需要求解不等式x^2 - 4x + 3 ≥ 0。

通过因式分解或配方法，我们可以得到(x-1)(x-3) ≥ 0。

解这个不等式可以得到x ≤ 1或x ≥ 3。

对于第二种情况，我们需要求解不等式x^2 - 4x + 3 < 0。

同样通过因式分解或配方法，可以得到(x-1)(x-3) < 0。

解这个不等式可以得到1< x < 3。

综上所述，函数f(x)的定义域为x ≤ 1或x ≥ 3，且1 < x < 3。

(2)为了求函数f(x)的最大值和最小值，我们可以分别考虑函数f(x)在定义域的两个区间内的取值情况。

当x ≤ 1时，函数f(x) = x^2 - 4x + 3。

通过求导可以知道，函数f(x)在x = 2处取得最小值。

代入可得最小值为f(2) = 1。

当x ≥ 3时，函数f(x) = -(x^2 - 4x + 3)。

同样通过求导可以知道，函数f(x)在x = 2处取得最大值。

代入可得最大值为f(2) = -1。

综上所述，函数f(x)的最大值为-1，最小值为1。

2. 竞赛试题二已知函数f(x) = 2^(x+1) - 3^(x-2)，其中x为实数。

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【最新整理，下载后即可编辑】第二十届高等数学竞赛试卷一、填空题（每小题5分，本题共50分）： 1. 若0→x 时，1)1(412--ax与x x sin 是等价无穷小，则=a .2.=+→)1ln(12)(cos lim x x x .3. 设函数2301sin d ,0,(),0,x t t x f x xa x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰ 在0x =处连续，则a =.4. =∂∂+∂∂=yz y x z x x y xy z 则设,sin.5.的解为：满足微分方程91)1(ln 2-==+'y x x y y x ._______)()( ,,)()(,.=-=⎩⎨⎧≤≤==>⎰⎰Ddxdy x y g x f I D x a x g x f a 则表示全平面，而其他若设010067..d tan )cos (22222005=+⎰-x x x x ππ8. .sin 2sin sin 1lim=⎪⎭⎫⎝⎛+++∞→n n n n n n πππ9..,1222=≤++Ω⎰⎰⎰Ωdv e z y x z计算所界定由设空间区域10. 设在上半平面{}(,)|0D x y y =>内，函数(,)f x y 具有连续偏导数，且对任意的0t >都有2(,)(,)f tx ty t f x y -=. 对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，则..),(),(=-⎰dy y x f x x d y x f y L二、计算题（每小题6分，本题共42分）：.,)()(cos .的解，并求满足化简微分方程：用变量代换21010102='==+'-''-<<===x x y yy y x y x t t x π解题过程是：2. 设∑是锥面1)z z =≤≤的下侧，计算曲面积分d d 2d d 3(1)d d x y z y z x z x y ∑++-⎰⎰..解题过程是：.,),(.的值和数图形有拐点，试确定常处函数的，且在点处有极小值在设函数c b a x cx bx ax y 20012323=+++=解题过程是：.)(d d )()()(),()(.x f t y x y x f y x t f t x f t y x 求函数满足下式：上连续，且对任意的在设函数4222222224+++=∞-∞⎰⎰≤+解题过程是：..之间的最短距离．与平面求旋转抛物面22522=-++=z y x y x z解题过程是：要多少时间？厘米的雪堆全部融化需问高为）系数侧面积成正比，（比例已知体积减少的速率与，小时设长度为厘米，时间为其侧面满足方程的雪堆在融化过程中，为时间设有一高为130,9.0)()()(2)())((.622t h y x t h z t t h +-=解题过程是：.86,)1,1,1(632.722222处的梯度的方向导数和在点处沿方向在点计算函数处指向外侧的法向量在点是曲面设P n P zy x u P z y x n+==++解题过程是：三、证明题（本题8分）：.)()(022)(0)(22)()(4242的表达式求函数；，有简单闭曲线内的任意分段光滑证明：对右半平面的值恒为同一常数，曲线积分上，单闭曲线原点的任意分段光滑简有连续的导数，在围绕设函数y II yx xydydx y C x I yx xydydx y L y C L ϕϕϕϕ=++>++⎰⎰第二十届高等数学竞赛试卷参考答案一、填空题（每小题5分，本题共50分）：1. 若0→x 时，1)1(412--ax 与x x sin 是等价无穷小，则=a ..解当0→x 时，241241~1)1(ax ax ---，2~sin x x x . 于是，根据题设有14141lim sin )1(lim 2204120=-=-=-→→a xax x x ax x x ，故a=-4.2.=+→)1ln(12)(cos lim x x x .解)1ln(12)(cos lim x x x +→=xx x ecos ln )1ln(1lim20+→,而212cos sin lim cos ln lim )1ln(cos ln lim 02020-=-==+→→→x x xx x x x x x x ，故原式=.121e e=-3. 设函数2301sin d ,0(),0x t t x f x xa x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰ 在0x =处连续，则a =.解由题设知，函数()f x 在 0x =处连续，则lim ()(0)x f x f a→==，又因为 2203200sin d sin 1lim ()limlim 33x x x x t t x f x x x →→→===⎰.所以13a =.4.='+'⎪⎭⎫⎝⎛=y x z y z x u f x y xyf z 则可导函数设,)(,..20sin 202,1,:22z x y xy x y xyf z y z x x y f y x y xf x x y f xy x y xf y z x y f x y x y yf x y x y f xy x y yf x z y x =+=+⎪⎭⎫⎝⎛='+'∴⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂⎪⎭⎫⎝⎛'-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂解5.的解为：满足微分方程91)1(ln 2-==+'y x x y y x ...91ln 31091)1(191ln 31]ln [1]ln [ln 222222x x x y C y x C x x x C xdx x x C dx ex e y x y xy dxx dx x -==-=+-=+⋅=+⎰⋅⎰==+'⎰⎰-，故所求通解为：得，由，于是通解为：解：原方程等价为：._______)()( ,,)()(,.=-=⎩⎨⎧≤≤==>⎰⎰Ddxdy x y g x f I D x a x g x f a 则表示全平面，而其他若设01006解：本题积分区域为全平面，但只有当 10,10≤-≤≤≤x y x 时，被积函数才不为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可 .⎩⎨⎧+≤≤=-⇒⎩⎨⎧≤-≤=-,,0;1)(,,0;10)(其他若其他若x y x a x y g x y a x y g⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤≤≤=-其他,0,1,10)()(2x y x x a x y g x f.])1[(0)()(2121012221a dx x x a dydx a dxdy dxdy a dxdyx y g x f I x xD D D=-+==+=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+7..d tan )cos (22222005=+⎰-x x x x ππ.22212d sin 20d tan cos d d tan d tan )cos (2022222222200522222005πππππππππ=⋅⋅=+=+==+⎰⎰⎰⎰---x x xx x x x x x x x x x 解：8..sin 2sin sin 1lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→n n n n n n πππ⎰∑∑=∆=⋅=⎪⎭⎫⎝⎛-+++=→∞=→∞→∞1011d sin )(lim 1sin lim )1(sin 2sin sin 1limx x x f n n i n n n n n i ni i n ni n n πξππππ 解：ni n x n n n i n n n x x f i i ==∆<<<<<<=ξπ,1 ,210]10[, sin )(取等份，分点为分为，把区间看作 ().20cos cos 101cos d sin 1`0ππππππ=+-=-==∴⎰x x x 原式9..,1222=≤++Ω⎰⎰⎰Ωdv e z y x z计算所界定由设空间区域.2)1(22211210222ππ=-===-≤+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩdz e z dxdy dz e dv e dv ez y x D z z D z z zz z上法．，故采用＂先二后一＂为圆域的函数，截面被积函数仅为解：10. 设在上半平面{}(,)|0D x y y =>内，函数(,)f x y 具有连续偏导数，且对任意的0t >都有2(,)(,)f tx ty t f x y -=. 对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，则..),(),(=-⎰dy y x f x x d y x f y L解 2(,)(,)f tx ty t f x y -=两边对t 求导得3(,)(,)2(,)x y xf tx ty yf tx ty t f x y -''+=-.令1t =，则(,)(,)2(,)x y xf x y yf x y f x y ''+=-,. 即11(,)(,)(,)22x y f x y xf x y yf x y ''=-- ①设(,)(,),(,)(,)P x y yf x y Q x y xf x y ==-，则(,)(,),(,)(,)x y Q Pf x y xf x y f x y yf x y x y ∂∂''=--=+∂∂.则由①可得11(,)(,)22y x Q Pyf x y xf x y x y∂∂⎛⎫''==- ⎪∂∂⎝⎭.故由曲线积分与路径无关的定理可知，对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，都有.0),(),(=-⎰dy y x xf x d y x yf L二、计算题（每小题6分，本题共42分）：.,)()(cos .的解，并求满足化简微分方程：用变量代换21010102='==+'-''-<<===x x y yy y x y x t t x π，解：dt dyt dx dt dt dy y sin 1-=⋅='，代入原方程得0),sin 1(]sin 1sin cos [22222=+-⋅-=⋅'=''y dty d t dt y d t dt dy t t dx dt dt y d y 。

高等数学竞赛试题含答案

高等数学竞赛试题一、选择题1. 设n n n y z x ≤≤，且0)(lim =-∞→n n n x y ，则n n z ∞→lim （ C ）(A) 存在且等于零; (B) 存在但不一定等于零； (C) 不一定存在； (D) 一定不存在. 2. 设)(x f 是连续函数，)()(x f x F 是的原函数，则（ A ）(A) 当)(x f 为奇函数时,)(x F 必为偶函数； (B) 当)(x f 为偶函数时,)(x F 必为奇函数； (C) 当)(x f 为周期函数时,)(x F 必为周期函数； (D) 当)(x f 为单调增函数时,)(x F 必为单调增函数. 3. 设0>a ，)(x f 在),(a a -内恒有2|)(|0)("x x f x f ≤>且，记⎰-=a adx x f I )(，则有（ B ）(A) 0=I ;(B) 0>I ;(C) 0<I ;(D) 不确定.4. 设)(x f 有连续导数，且0)0(',0)0(≠=f f ，⎰-=x dt t f t x x F 022)()()(，当0→x 时，k x x F 与)('是同阶无穷小，则=k （ B ）(A) 4； (B) 3； (C) 2； (D) 1.5.设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(2222222y x y x y x yx y x f ，则),(y x f 在点)0,0(（ D ）(A) 不连续；(B) 连续但偏导数不存在；(C) 可微； (D) 连续且偏导数存在但不可微.6. 设k j b j i a ρρρρρρ+-=+=2,，则以向量a ϖ、b ϖ为边的平行四边形的对角线的长度为（ A ）(A) 11,3； (B) 3, 11； (C) 10,3； (D) 11,2.7. 设21L L 与是包含原点在内的两条同向闭曲线，12L L 在的内部，若已知2222L xdx ydykx y +=+⎰Ñ（k 为常数），则有1222L xdx ydyx y ++⎰Ñ（ D ）(A) 等于k ； (B) 等于k -； (C) 大于k ； (D) 不一定等于k ，与L 2的形状有关. 8. 设∑∞=0n nn xa 在1=x 处收敛，则∑∞=-+0)1(1n nnx n a 在0=x 处（ D ）二、设)(1lim)(2212N n x bxax x x f n n n ∈+++=-∞→，试确定a 、b 的值，使与)(lim 1x f x →)(lim 1x f x -→都存在.解：当||1x <时，221lim lim 0n n n n x x -→∞→∞==，故2()f x ax bx =+；当||1x >时，1()f x x=112111,1,lim ()1,lim (),1(),11,1,1,lim (),lim ()1,1x x x x x f x f x a b a b x f x ax bx x x f x a b f x a b x -+-+→-→-→→⎧<-=-=--=⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪>=+=+=⎪⎩0a =，1b =。

高等数学竞赛最新试题及答案

高等数学竞赛最新试题及答案高等数学竞赛试题一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数\( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)的顶点坐标是：A. (2, -1)B. (1, 0)C. (2, 1)D. (2, -1)2. 已知\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)，求\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \)的值是：A. 1B. 0C. 3D. 无法确定3. 曲线\( y = x^3 - 2x^2 + x \)在点(1,0)处的切线斜率是：A. 0B. -1C. 1D. 24. 以下哪个级数是发散的？A. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \)B. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \)C. \( \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{n} \)D. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} \)5. 函数\( f(x) = \sin x + \cos x \)的周期是：A. \( \pi \)B. \( 2\pi \)C. \( \frac{\pi}{2} \)D. \( \pi \)6. 以下哪个函数是奇函数？A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = x^3 \)C. \( f(x) = |x| \)D. \( f(x) = \sin x \)7. 已知\( \int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{1}{3} \)，求\( \int_{0}^{1} x^3 dx \)的值是：A. \( \frac{1}{4} \)B. \( \frac{1}{3} \)C. \( \frac{1}{2} \)D. \( 1 \)8. 以下哪个是二阶常系数线性微分方程？A. \( y'' + 3y' + 2y = 0 \)B. \( y' + y = x^2 \)C. \( y'' + y' = 0 \)D. \( y'' - 2y' + y = \sin x \)9. 以下哪个是二元函数的偏导数？A. \( \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \)B. \( \frac{\partial f}{\partial x} \)C. \( \frac{\partial f}{\partial y} \)D. \( \frac{d^2f}{dx^2} \)10. 已知\( \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = 0 \)，那么\( f(x) \)是：A. 常数B. 有界函数C. 无穷小量D. 无穷大量二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数\( f(x) = \sqrt{x} \)的定义域是_________。

高数竞赛试题及答案

高等数学竞赛试题一、填空题(每小题2分，共12分)1、函数2ln(1),0()(1)sin 2,0x x x f x e x x βα⎧+≥⎪=⎨⎪-<⎩若若在点0=x 处可导，则,αβ==。

2、设x d xx f xx x f e ⎰-=12)(2ln )(，则()f x =。

3、221(1)(arctan )dxx x +∞=+⎰。

4、设二元函数(,)u x y 满足22ux y y∂=+∂，2(,)1u x x =，则(,)u x y =。

5、由x y z所确定的(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分为。

6、过1123:101x y z L ---==-且平行于221:211x y zL +-==的平面方程为。

二、选择题(每小题2分，共12分) 1、把0x →+时的无穷小量⎰=xdt t 02cos α，⎰=2tan x dt t β，⎰=xdt t 03sin γ排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是( )()A γβα,,； ()B βγα,,； ()C γαβ,,； ()D αγβ,,。

2、设2,()0,x x f x x ⎧⎪=⎨⎪⎩若为有理数若为无理数，则()f x 可导点的个数为( )(A) 0； (B) 1； (C) 2； (D) 无穷。

3、设()f x 是(,)-∞+∞上可导的、周期为6π的函数，且满足0()()lim1x f f x xππ→--=-，则曲线()y f x = 在(7,(7))f ππ处的切线斜率为( )A 、2-；B 、0 ；C 、1-；D 、1。

4、设0a >，()t ϕ是正值连续函数，则曲线()()aay f x x t t dt ϕ-==-⎰( )(A) 在[],0a -上是凹的，在[]0,a 上是凸的； (B) 在[],0a -上是凸的，在[]0,a 上是凹的； (C) 在[],a a -上是凹的； (D) 在[],a a -上是凸的。

大学生高等数学竞赛试题汇总与答案

大学生高等数学竞赛试题汇总与答案大学生高等数学竞赛试题汇总与答案1.试题一：已知函数f(x)在区间[0, 1]上连续，且f(0) = 0，f(1) = 1，若对任意的x ∈ [0, 1]，都有f(x) ≤ x，证明函数f(x)在区间[0, 1]上存在唯一的根。

解答：首先，由题意可知，函数f(x)在区间[0, 1]上连续，且f(0) = 0，f(1) = 1，即函数f(x)在区间[0, 1]的端点值分别为0和1。

假设存在两个不同的根x1和x2，且0 ≤ x1 < x2 ≤ 1。

则根据题意有f(x1) = 0，f(x2) = 0。

由于f(x)在区间[0, 1]上连续，根据介值定理，对于任意的c ∈ (0, 1)，都存在一个介于x1和x2之间的数x0，使得f(x0) = c。

当c = 0时，根据题意有f(x1) = 0，所以x1也是f(x) = 0的根，与x1和x2不同的假设矛盾。

当c = 1时，根据题意有f(x2) = 0，所以x2也是f(x) = 0的根，与x1和x2不同的假设矛盾。

综上所述，假设不成立，即函数f(x)在区间[0, 1]上存在唯一的根。

2.试题二：已知函数f(x)在区间[0, +∞)上连续，且f(0) = 0，f(x) > 0，对任意的x > 0，且f'(x) > 0，证明函数f(x)在区间(0, +∞)上单调递增。

解答：根据题意可知，函数f(x)在区间[0, +∞)上连续，且f(0) = 0，f(x) > 0，对任意的x > 0，且f'(x) > 0。

假设存在两个不同的数x1和x2，且0 < x1 < x2。

由于f(x)在区间[0, +∞)上连续，根据介值定理，对于任意的c ∈ (0, f(x2))，都存在一个介于x1和x2之间的数x0，使得f(x0) = c。

根据函数的导数性质，当x > 0时，f'(x) > 0，即函数f(x)在区间(0, +∞)上单调递增。

数学竞赛高职试题及答案

数学竞赛高职试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 如果一个数的平方等于它本身，那么这个数是：A. 0或1B. 1或-1C. 0或-1D. -1或12. 下列函数中，不是周期函数的是：A. y = sin(x)B. y = cos(x)C. y = e^xD. y = tan(x)3. 一个圆的半径为3，那么它的面积是：A. 28πB. 9πC. 18πD. 36π4. 以下哪个数列不是等差数列：A. 2, 5, 8, 11B. 1, 3, 5, 7C. 1, 1, 1, 1D. 2, 4, 6, 85. 一个函数f(x) = 2x - 3，求f(5)的值是：A. 7B. 4C. 2D. 16. 如果a和b是方程x^2 - 5x + 6 = 0的两个根，那么a + b的值是：A. 5B. 6C. 3D. 27. 一个三角形的三个内角之和是：A. 90度B. 180度C. 270度D. 360度8. 以下哪个命题是假命题：A. 对顶角相等B. 同位角相等C. 平行线被第三条直线所截，同位角相等D. 等腰三角形的底角相等9. 如果一个数列是等比数列，且它的前n项和为S，那么S与数列的第n项的关系是：A. S = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)B. S = a1 * (1 - r^n)C. S = a1 * (1 + r^n)D. S = a1 * (1 + r^n) / (1 - r)10. 以下哪个是二次方程的判别式：A. Δ = b^2 - 4acB. Δ = b^2 + 4acC. Δ = 4ac - b^2D. Δ = 4ab - c^2答案：1-5 A C C A B 6-10 A B B A A二、填空题（每题2分，共20分）11. 一个圆的直径是10，那么它的半径是________。

12. 如果一个数的绝对值是5，那么这个数可以是________或________。

2023年高等数学竞赛试题答案

高等数学竞赛试题１一、填空：1．若()⎪⎩⎪⎨⎧≤->-=,x ,a x ,x f x x x01e 0,arctan e 122sin 是()+∞∞-,上旳持续函数,则a = -1 。

２．函数x x y 2sin +=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,2上旳最大值为332+π 。

3.()=+⎰--22d e x x x x26e 2-- 。

4.由曲线⎩⎨⎧==+0122322z y x 绕y 轴旋转一周得到旳旋转面在点()230,,处旳指向外侧旳单位法向量为{}32051,,。

5．设函数()x,y z z =由方程2e =+----xy z x x y z 所确定,则=z d ()y x x x xy z xy z d d e 1e 1-1+++---- 。

二、选择题:1．设函数 f (x ）可导,并且()50='x f ，则当0→∆x 时，该函数在点0x处微分ｄy 是y ∆旳( A ）(A ）等价无穷小; （B )同阶但不等价旳无穷小; (Ｃ）高阶无穷小；（D ）低阶无穷小。

2．设函数ｆ (x )在点x = a 处可导,则()x f 在点x = ａ处不可导旳充要条件是（ C ) （A ）f (a ) = ０,且()0='a f ；（B )ｆ (ａ)≠0，但()0='a f ; （C )f (a ) ＝０,且()0≠'a f ；（D )f (a )≠0，且()0≠'a f 。

3．曲线12+-+=x x x y （Ｂ )(Ａ)没有渐近线; (B ）有一条水平渐近线和一条斜渐近线；（C )有一条铅直渐近线; (Ｄ）有两条水平渐近线。

4．设()()x,y x,y f ϕ与均为可微函数,且()0≠'x,y yϕ。

已知()00,y x 是()x,y f 在约束条件()0=x,y ϕ下旳一种极值点,下列选项中旳对旳者为（ D )（A )若()00=',yx f x，则()00=',yxf y ; (B )若()00=',yx f x，则()00≠',yxf y；(C )若()00≠',yx f x,则()00=',yxf y; (D ）若()00≠',yx f x,则()00≠',yxf y。

大专数学竞赛试题及答案

大专数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个选项是方程 \(x^2 - 5x + 6 = 0\) 的解？A. \(x = 1\)B. \(x = 2\)C. \(x = 3\)D. \(x = 4\)答案：B2. 函数 \(f(x) = \sin(x)\) 在区间 \([0, 2\pi]\) 上的值域是？A. \([-1, 1]\)B. \([0, 1]\)C. \([-1, 0]\)D. \([0, 2]\)答案：A3. 集合 \(A = \{1, 2, 3\}\) 和集合 \(B = \{2, 3, 4\}\) 的交集是什么？A. \(\{1, 2, 3\}\)B. \(\{2, 3\}\)C. \(\{1, 3, 4\}\)D. \(\{4\}\)答案：B4. 以下哪个选项是复数 \(z = 3 + 4i\) 的共轭复数？A. \(3 - 4i\)B. \(-3 + 4i\)C. \(-3 - 4i\)D. \(3 + 4i\)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）5. 计算极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}\) 的值是________。

答案：16. 给定函数 \(f(x) = x^3 - 3x\)，求 \(f'(x)\) 的值。

\(f'(x) = ________\)。

答案：\(3x^2 - 3\)7. 计算定积分 \(\int_{0}^{1} x^2 dx\) 的值是 ________。

答案：\(\frac{1}{3}\)8. 已知 \(\log_2(3) = a\)，那么 \(\log_2(9) = ________\)。

答案：\(2a\)三、解答题（每题10分，共30分）9. 证明：如果 \(a^2 + b^2 = c^2\)，则 \(a\)、\(b\) 和 \(c\)构成直角三角形。

证明：由 \(a^2 + b^2 = c^2\)，根据勾股定理的逆定理，可以得出\(a\)、\(b\) 和 \(c\) 构成直角三角形。

(完整版)大学生高等数学竞赛试题汇总及答案,推荐文档

而此图形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体积即
令
V (a) 2 a 1 (1 2a) 8 (1 a) 0 ，
5
3
27
得
即
因此
a 5 ,b 3 ,c 1.
42
七、（15
分）已知 un (x)
满足 un (x)
un (x)
xn1e x (n
1,2,)
,且 un (1)
e n
,
求函数项级数
收敛；
（2）当
1且 sn
(n ) 时，级数
n1
an Sn
发散。
解：
（1） an >0, sn 单调递增
当
n1
an
收敛时，
an sn
an s1
，而 an
s1
收敛，所以 an
sn
收敛；
当
n1
an
发散时，
lim
n
sn
所以， an s n1 n
a1 s1
n2
sn sn1
dx x
a1 s1
（1） xesin ydy yesin xdx
L
D
x
( xesin
y
)
y
(
ye sin
x
)dxdy
而 D 关于 x 和 y 是对称的，即知
因此
（2）因
故
由
知
即 xesin ydy yesin ydx 5 2
L
2
五、（10 分）已知 y1 xex e2x ， y2 xex ex ， y3 xex e2x ex 是某
zy 2 y 知 2 zx (x0 , y0 ) x0 ,2 zy (x0 , y0 ) 2 y0 ，即 x0 2, y0 1，又 z(x0 , y0 ) z(2,1) 5 ，于是曲面 2x 2 y z 0 在 (x0 , y0 , z(x0 , y0 )) 处的切平面方程是

全国高中数学竞赛试题及答案

全国高中数学竞赛试题及答案试题一：函数与方程1. 已知函数\( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 5 \)，求\( f(x) \)的极值点。

2. 求解方程\( x^2 - 4x + 3 = 0 \)的所有实根。

3. 判断函数\( g(x) = \frac{1}{x} \)在区间\( (0, +\infty) \)上的单调性。

试题二：解析几何1. 已知椭圆\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)，其中\( a > b > 0 \)，求椭圆的焦点坐标。

2. 求圆\( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \)的切线方程，已知切点坐标为\( (m, n) \)。

3. 证明点\( P(x_1, y_1) \)和点\( Q(x_2, y_2) \)的连线\( PQ \)的中点坐标为\( \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 +y_2}{2}\right) \)。

试题三：数列与级数1. 已知等差数列的首项\( a_1 = 3 \)，公差\( d = 2 \)，求第10项\( a_{10} \)。

2. 求等比数列\( b_1, b_2, b_3, \ldots \)的前\( n \)项和，其中\( b_1 = 1 \)，公比\( r = 3 \)。

3. 判断数列\( c_n = \frac{1}{n(n + 1)} \)的收敛性。

试题四：概率与统计1. 从5个红球和3个蓝球中随机抽取3个球，求至少有2个红球的概率。

2. 抛掷一枚均匀硬币4次，求正面朝上的次数为2的概率。

3. 某工厂生产的产品中有2%是次品，求从一批产品中随机抽取10个产品，至少有1个是次品的概率。

试题五：组合与逻辑1. 有5个不同的球和3个不同的盒子，将球分配到盒子中，每个盒子至少有一个球，求不同的分配方法总数。

2. 证明：对于任意的正整数\( n \)，\( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \)。

高等数学竞赛试题及参考答案

九江职业大学第一届“数学建模”选拔赛暨《高等数学》竞赛试题院系班级学号姓名一、单项选择题（每小题3分，共30分）1 设函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≥++<0x ,K x 2x 40x ,xx3sin 2在x=0处连续，则K=( )。

A. 3 B. 2 C. 1 D. 312 ⎰-=+116dx x sin 1xcos x （）A.2π B.π C.1D.03 设f （x ）=⎩⎨⎧<≥0x ,x sin 0x ,x ，则)0(f '=（）A.-1B.1C.0D.不存在 4 下列极限中不能应用洛必达法则的是( ) A.x xx ln lim +∞→B.xxx 2cos lim∞→C.xxx -→1ln lim1D.x e x x ln lim -+∞→5 设f (x)是连续函数，且⎰=x x x dt t f 0cos )(，则f (x)=( ) A.cos x-xsin xB.cos x+xsin xC.sin x-xcos xD.sin x+xcos x6 设函数f(x)满足)x (f 0'=0, )x (f 1'不存在, 则（） A.x=x 0及x=x 1都是极值点 B.只有x=x 0是极值点C.只有x=x 1是极值点D.x=x 0与x=x 1都有可能不是极值点7 设f(x)在[-a,a](a>0)上连续, 则⎰-=a adx )x (f （）A. 0B. 2⎰adx )x (fC.⎰-+a0dx )]x (f )x (f [D. ⎰--adx )]x (f )x (f [8 设函数y=f(x)在点x 0的邻域V(x 0)内可导，如果∀x ∈V(x 0)有f(x)≥f(x 0)，有（） A ．)(')('0x f x f ≥ B ．)()('0x f x f ≥ C ．0)('0=x fD ．0)('0>x f9 设f(x)=x 15+3x 3-x+1,则f (16)（1）=（） A ．16!B ．15!C ．14!D ．010=⎰])arctan ([673dx x x dx d （） A. 5 B. 3 C. 7 D. 0 二、填空题（每空4分，共32分）1 当x →0时，sin(2x 2)与ax 2是等价无究小，则a=___________ .2 设函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠+000)1ln(2x x xx ，则f '(0)=___________. 3 曲线y =x 3+3x 2-1的拐点为___________. 4 n31sin n 1lim22n ∞→= ___________.5 设1)1(f =' 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∞→)1(f )x11(f x lim x =___________.6 曲线x 2+y 5-2xy=0在点(1、1)处的切线方程为 .7 dx xx x ⎰++221)(arctan = .8 曲线y =1222-+-x x x 的垂直渐近线的方程是 .三、计算题（每题8分，共16分） 1. 计算⎰10dx ex2. 设f(x)的一个原函数为x e x 2，计算dx x x f)(/⎰四、解答题（第1题10分，第2题12分）1. 设曲线xy=1与直线y=2，x=3所围成的平面区域为D （如图所示）.求D 的面积.2. 计算定积分⎰-+12.)2()1ln(dx x x九江职业大学第一届“数学建模”选拔赛暨《高等数学》竞赛试题参考答案一、单项选择题（每小题3分，共30分）1 设函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≥++<0x ,K x 2x 40x ,xx3sin 2在x=0处连续，则K=( A )。

数学竞赛试题及答案高中

数学竞赛试题及答案高中一、选择题（每题4分，共40分）1. 若函数f(x) = 3x^2 - 6x + 5，下列哪个选项是f(x)的对称轴？A. x = 1B. x = -1C. x = 2D. x = -2答案：A2. 已知数列{an}的通项公式为an = 2^n，求数列{an}的前n项和Sn。

A. Sn = 2^(n+1) - 2B. Sn = 2^(n+1) - 1C. Sn = 2^(n+1) - 2^nD. Sn = 2^(n+1) - 2^(n-1)答案：B3. 已知向量a = (3, -2)，向量b = (1, 2)，求向量a与向量b的数量积。

A. 2B. -2C. 4D. -4答案：B4. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，求f'(x)。

A. 3x^2 - 6x + 2B. x^2 - 3x + 2C. 3x^2 - 6xD. x^2 - 3x答案：A5. 已知双曲线的方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a > 0，b > 0，求双曲线的离心率e。

A. e = √(1 + b^2/a^2)B. e = √(1 - b^2/a^2)C. e = √(a^2 + b^2)D. e = √(a^2 - b^2)答案：A6. 已知函数f(x) = sin(x) + cos(x)，求f(π/4)的值。

A. √2B. 1C. 0D. -1答案：A7. 已知等差数列{an}的首项a1 = 1，公差d = 2，求数列{an}的第10项a10。

B. 20C. 21D. 22答案：A8. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求f(x)的最小值。

A. 0B. 1C. 2D. 3答案：A9. 已知向量a = (2, 3)，向量b = (-1, 1)，求向量a与向量b的夹角θ。

A. π/3B. π/4D. 2π/3答案：D10. 已知函数f(x) = e^x - e^(-x)，求f'(x)。

高等数学竞赛试题含答案

高等数学竞赛试题一、选择题1. 下列命题中正确的命题有几个？…………………………………………………………（ A ）（1）无界变量必为无穷大量； (2) 有限多个无穷大量之和仍为无穷大量；（3）无穷大量必为无界变量； (4) 无穷大量与有界变量之积仍为无穷大量. (A) 1个； (B) 2个； (C) 3个； (D) 4个.2. 设1, 0()0, 0x f x x ≠⎧=⎨=⎩，1sin , 0() 1 , 0x x g x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 则0x =是间断点的函数是…………………………（ B ）(A) ()()f x g x +； (B) ()()f x g x -； (C) {}max (), ()f x g x ； (D) {}min (), ()f x g x ..3. 设ξ为()arctan f x x =在[ 0, ]b 上应用拉格朗日中值定理的“中值”，则 22limb b ξ→=…………（ C ）(A) 1； (B) 12 ； (C) 13 ； (D) 14.4. 设() , ()f x g x 连续，当0→x 时，()f x 与()g x 为等价无穷小，令0()()xF x f x t dt =-⎰，10() () G x x g xt dt =⎰,则当0→x 时，() ()F x G x 是的 …………………………………… （ D ） (A) 高阶无穷小； (B) 低阶无穷小； (C) 同阶无穷小但非等价无穷小；(D) 等价无穷小. 5. 设),(y x f 在点)0,0(的某邻域内连续，且满足 220(,)(0,0)lim31sin cos x y f x y f x x y y→→-=-+--则),(y x f 在点)0,0(处 …………………………………………………………………………………………… （ A ）(A) 取极大值； (B) 取极小值； (C) 无极值； (D) 不能确定是否有极值. 6. 设()f x 在(,)-∞+∞连续，且导函数()y f x '=的图形如图所示，则()f x 有……………… （ D ）(A) 1个极小值点与2个极大值点，无拐点；(B) 2个极小值点与1个极大值点，1个拐点； (C) 2个极小值点与2个极大值点, 无拐点； (D) 2个极小值点与2个极大值点，1个拐点.7. 设f 有连续的一阶导数，则 (1,2)(0,0)()d ()d f x y x f x y y +++=⎰ …………………………… （ B ）(A) 102() d f x x ⎰； (B) 3() d f x x ⎰； (C) (3)(0)f f -； (D) 0 .8. 设任意项级数 1n n a ∞=∑条件收敛，将其中的正项保留负项改为0所组成的级数记为1n n b ∞=∑, 将其中的负项保留正项改为0所组成的级数记为1n n c ∞=∑，则1n n b ∞=∑与1n n c ∞=∑……………………（ B ）(A) 两者都收敛； (B) 两者都发散； (C)一个收敛一个发散； (D) 以上三种情况都可能发生.二、设()f x 在区间(,)-∞+∞连续，01()() d (>0), ()() d 2x ax x aF x f t t aG x f t t a +-==⎰⎰, 试解答下列问题：（1）用()G x 表示()F x ；（2）求()F x '；（3）求证：0lim()()a F x f x →==；（4）设()f x 在[],x a x a -+内的最大值和最小值分别是M m 、,求证：()()F x f x M m -≤-.解（1）00111()()[()()][()()]222x a x a x a x a F x f t dt f t dt f t dt G x a G x a a a a ++--==-=+--⎰⎰⎰ （2）11()['()'()][()()]22F x G x a G x a f x a f x a a a'=+--=+--（3）000()()[()()][()()]lim ()lim lim22a a a G x a G x a G x a G x G x G x a F x a a→→→+--+-+--== 1['()'()]'()()2G x G x G x f x =+== （4）11|()()||()()||[()()]()()|22x a x a F x f x f t dt f x x a x a f f x a aξ+--=-=+---⎰|()()|()f f x M m x a x a ξξ=-≤--≤≤+三、求曲线 ln ln 1x y += 所围成的平面图形的面积. [解1]去掉绝对值曲线为：,11,1,101,0111,0101xy e x y y x x y e y ex x y xy x y e =≥≥⎧⎪⎪=≥<<⎪⎨=<<≥⎪⎪=<<<<⎪⎩且且且且 11111()()e ee x A ex dx dx e ex x e e =-+-=-⎰⎰[解2]令ln ,ln ,,,:||||1,uvx u y v x e y e D u v '====+≤则00uuv u v v uv xx e J e e y y e===⋅. ||DD dxdy J dudv '==⎰⎰⎰⎰u v D e e dudv '⋅=⎰⎰01111111u uu v u v u u e du e dv e du e dv e e+-----+=-⎰⎰⎰⎰.四、设曲面S 为曲线 e 0y z x ⎧=⎨=⎩ (12y ≤≤) 绕z 轴旋转一周所成曲面的下侧，计算曲面积分24 d d 2 d d (1) d d SI zx y z z z x z x y =-+-⎰⎰[解1]S 的方程为2222(14)x y z ex y +=≤+≤补两平面2222212:(1,):(4,)S z e x y S z e x y =+≤=+≤下侧上侧122S S S VzdV ++=⎰⎰⎰⎰⎰Ò2()2e e D z zdz d σ=⎰⎰⎰224252ln 22e e z zdz e e πππ==-⎰ 1222242(1)(1)(1)(1)xyS D zxdydz zdzdx zdxdy e dxdy e e ππ-+-=--=--⋅=-⎰⎰⎰⎰；2121244225(1)4(1);(1)4(1)22xyS D S S S S S e dxdy e I e e e e πππππ44++=-=-=--=-----⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ò42332e e πππ13=--2 [解2]2(4,2,1)(,,1)x y DI zx z z z z dxdy =--⋅-⎰⎰222220142221(4cos 2sin 1)(41)1333(:14)22DD r edxdy dxdyd e r rdr e e D x y πθθθππππ⎡⎤⎥=+-⎥⎦=-+--=--≤+≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰五、设幂级数 0n n n a x ∞=∑, 当1n >时2 (1) n n a n n a -=-，且014, 1a a ==;（1）求幂级数0n n n a x ∞=∑的和函数()S x ；（2）求和函数()S x 的极值..解（1）令101(),()nn n n n n S x a x S x na x ∞∞-=='==∑∑则22222()(1)()n n n n n n n n n S x n n a xa xa x S x ∞∞∞---===''=-===∑∑∑，()()0S x S x ''-=1201()(0)4,(0)1x x S x c e c e S a S a -'=+====由，求得125353,,()2222x x c c S x e e -===+（2）由000531313()0ln ,()0,()(ln )222525x x S x e e x S x S x S -'''=-==>∴=得又为极小值.六、设函数),(y x f 可微，(,), 0,12f f x y f x π∂⎛⎫=-= ⎪∂⎝⎭, 且满足()coty 1 ( 0, )lim e 0,nn f y n f y →∞⎛⎫+ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭求 (,)f x y . 解 1(0,)(0,)lim 1(0,)11(0,)(0,)(0,)lim lim 1(0,)(0,)n nnf y f y n f y nn n f y f y f y n n e f y f y →∞+-→∞→∞⎡⎤⎡⎤++-⎢⎥⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦(0,)(0,)y f y f y e = (0,)ln (0,)cot (0,)y f y d f y y f y dy==，对y 积分得ln (0,)lnsin ln (0,)sin f y y c f y c y =+=代入(0,)112f c π==得，(0,)sin ff y y f x∂==-∂又已知(,)()x f x y c y e -⇒=，(0,)sin f y y =Q ，()sin (,)sin .xc y y f x y e y -∴==故七、如图所示，设河宽为a ，一条船从岸边一点O 出发驶向对岸，船头总是指向对岸与点O 相对的一点B 。

大学数学竞赛题库及答案

大学数学竞赛题库及答案大学数学竞赛通常涵盖了高等数学、线性代数、概率论与数理统计、数学分析等多个领域。

以下是一些典型的大学数学竞赛题目及其答案。

# 题目一：高等数学题目：求函数 \( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \) 在区间 \( [1, 2] \)上的最大值和最小值。

答案：首先，我们找到函数的导数 \( f'(x) = 6x - 2 \)。

令导数等于零，解得 \( x = \frac{1}{3} \)。

这个点不在给定区间内，所以我们需要检查区间端点的函数值。

在 \( x = 1 \) 时，\( f(1) = 3(1)^2 - 2(1) + 1 = 2 \)。

在 \( x = 2 \) 时，\( f(2) = 3(2)^2 - 2(2) + 1 = 9 \)。

因此，函数在区间 \( [1, 2] \) 上的最大值为 9，最小值为 2。

# 题目二：线性代数题目：求解线性方程组：\[ \begin{cases}x + y + z = 6 \\2x - y + z = 1 \\3x + y + 2z = 8\end{cases} \]答案：我们可以使用高斯消元法来解这个方程组。

首先将方程组写成增广矩阵的形式，然后进行行操作：\[ \left[\begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 1 & 6 \\2 & -1 & 1 & 1 \\3 & 1 & 2 & 8\end{array}\right] \rightarrow \left[\begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 1 & 6 \\0 & -3 & -1 & -11 \\0 & 1 & 1 & 2\end{array}\right] \]继续行操作，得到：\[ \left[\begin{array}{ccc|c}1 & 0 & -2 & -5 \\0 & 1 & 1 & 2 \\0 & 0 & 3 & 13\end{array}\right] \]最后，我们得到解为 \( x = 1, y = 2, z = 3 \)。

大学数学竞赛题库及答案

大学数学竞赛题库及答案一、单项选择题1. 设函数f(x) = (x - 1) / (x + 1)，则f(-1)的值为（）A. -1B. 0C. 1D. -∞答案：A2. 设矩阵A = [[a, b], [c, d]]，则A的行列式det(A)的值为（）A. ad - bcB. a + b + c + dC. ab + bd + ca + dcD. |a| |b| |c| |d|答案：A3. 设函数f(x) = x^3 - 6x + 9，则f'(x)的值为（）A. 3x^2 - 6B. x^3 - 6C. 9 - 6xD. 3x^2答案：A4. 设函数f(x) = ln(x)，则f'(x)的值为（）A. 1/xB. xC. 1D. e^x答案：A5. 设向量a = (2, 3)，向量b = (-1, 2)，则向量a与向量b的点积a·b的值为（）A. -5B. 4C. 7D. 0答案：A二、多项选择题6. 以下哪个选项是正确的矩阵乘法规则？（）A. AB = BAB. (AB)C = A(BC)C. (A+B)C =AC+BC D. A(B+C) = AB+AC答案：B7. 以下哪个选项是正确的导数运算法则？（）A. (f+g)' = f' + g'B. (fg)' = fg' + gf'C. (f/g)' = f'/g - f/g^2D. (f^n)' = nf^(n-1)答案：A、C三、填空题8. 设函数f(x) = x^2 - 4x + 3，则f(x)的图像是一个________。

答案：抛物线9. 设矩阵A = [[1, 2], [3, 4]], 则矩阵A的逆矩阵A^-1为________。

答案：[[2, -1], [-3, 1]]10. 设向量a = (2, 3), 向量b = (-1, 2), 则向量a与向量b的夹角θ的值为________。

高等数学竞赛试题含答案

高等数学竞赛试题一、计算题 1．求9解原积分=55551155==3522(1)15x c + 2．求1120(1)(12)limsin xxx x x x→+-+解由洛比塔法则，原极限=112220(1)ln(1)12(12)ln(12)lim (1)(12)(1)2(12)x xx x x x x x x x x x x x x →⎡⎤-++-+++-+⎢⎥++⎣⎦而20(1)ln(1)1lim(1)2x x x x x x →-++=-+2012(12)ln(12)lim 12(12)x x x x x x →-++=-+ 2e∴原极限=3．求p 的值，使22007() ()0bx p ax p e dx ++=⎰解：当取p 满足()a p b p +=-+即2b ap +=-时积分2222007()2007200722()0b a bb px p x x b a aa px p edx xe dx x e dx -++-+-+===⎰⎰⎰4．设(,)x ∀∈-∞+∞，''()0f x ≥，且20()1x f x e -≤≤-，求()f x 的表达式解：由条件'()f x 单调增。

且(0)0f =易知'()0f x ≡，若不然，不妨设0x ∃ 0'()0f x >则当0x x >时0000()()'()'()()'()x xx x f x f x f x dx f x dx x x f x -=≥=-→+∞⎰⎰矛盾'()0f x ∴≤ 同理可让'()0'()0f x f x ≥⇒≡()(0)0f x f ∴≡='A'B 5．计算2()sx y dS+⎰⎰，其中S为圆柱面224x y+=，（0≤z≤1）解：S圆柱面关于y对称，且y是奇函数∴原积分=22221()2482s s sx ds y ds x y dsππ==+=⨯=⎰⎰⎰⎰⎰⎰二、设1211211212345632313nun n n=+-++-+++---111123nvn n n=+++++求（1）1010uv（2）limnnu→∞解：111121113()(32313323133n nnk kUk k k k k k k===+-=++-----∑∑111111111()32313123n nn k kVk k k k n n n===++-=+++=--++∑∑（1）10101UV=（2）22111111n nnk kUkn k nn====++∑∑21lim ln31nxU dxx→∞∴==+⎰三、有一张边长为4π的正方形纸（如图），C、D分别为'AA、'BB的中点，E为'DB的中点，现将纸卷成圆柱形，使A与'A重合，B与'B重合，并将圆柱垂直放在xoy平面上，且B与原点O重合，D落在Y轴正向上，此时，求：（1）通过C，E两点的直线绕Z轴旋转所得的旋转曲面方程；（2）此旋转曲面、xoy平面和过A点垂直于Z轴的平面所围成的立体体积。

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高等数学竞赛试题
1．计算
{}
2222
,max 0
a
b
b x a y
dx e
dy ⎰
⎰，（a>0，b>0）
解：原积分=
22
22
22
220
00b
a
a
x a
b
a
b y b x a y b x a y a b
b x
a b dx e
dy dx e
dy xe dx dy e dx a
+=+⎰
⎰⎰⎰⎰
⎰⎰
=2222
22111(1)(1)(1)22a b a b a b e e e ab ab ab
-+-=-
2. 设幂级数
n
n n a x
∞
=∑的系数满足02a =，11n n na a n -=+-，n=1，2，3…，求此幂级数的
和函数()s x 。

解：0
(),n n
n s x a x +∞==
∑则1
1
111
1
1
'()(1)n n n n
n n n n s x na x
a x
n x +∞
+∞
+∞
----=====+-∑∑∑
12
()(1)()(1)n n x
s x n x s x x +∞
+==+
+=+
-∑
即2
'()()(1)
x
s x s x x =+
-，且(0)2o s a == 解方程1()1x
s x ce x =+
- 由(0)1s =⇒1()1x
s x e x
=+- 3. 已知()f x 二阶可导，且()0f x >，[]2
''()()'()0f x f x f x -≥，x R ∈ （1）证明 2
12
12()()(
)2
x x f x f x f +≥， 12,x x R ∀∈ （2）若(0)1f =，证明'(0)(),f x
f x e x R ≥∈
证明：（1）记()ln ()g x f x = 则'()
'()()
f x
g x f x = 22''(')''()0ff f g x f -=
> 1212()()()22g x g x x x g ++∴
≥ 即 21212()()()2
x x
f x f x f +≥
⑵222
2''()'(0)''(')()(0)'(0)ln (0)|2(0)2x g f ff f g x g g x x f x x f f
ξξ=-=++=++ '(0)f x ≥ 即'(0)()f x
f x e
≥
4．求10(1)lim
ln(1)
x
x x e x →+-+
由洛比塔法则原极限=120
(1)ln(1)1
lim(1)
(1)2
x
x x x x x e x x →-+++=-+
5．设2
2
2 0cos()
sin t u x t y e udu -⎧=⎪
⎨=⎪⎩
⎰ ，求22d y dx 解：4
2sin()2t dy e t t -=⋅⋅ 2
sin()2dx t t =-⋅
4
t dy e dx -∴
=- 44
2
32222
(')42sin()2sin()
t t d y d y t e t e
dx dx t t t --===--⋅ 6．
2 0
(1)(1)
dx
x x α
+∞
++⎰
，（0α≠）解：记原积分为I 则20
1/(1)(1)
dx
I t x x x α+∞
==++⎰
含 20(1)(1)t dt t t αα+∞++⎰ 2
2 124
dx I I x ππ+∞
∴=
=∴=+⎰
7.设函数()f x 满足方程，()2()3sin x
x
e f x e f x x ππ-+-=，x R ∈，求()f x 的极值。

解：由条件x ∀，()2()3sin x
x
e f x e f x x ππ-+-=
∴有()2()3sin x
x e
f x e fx x ππ--+=
解方程得 ()sin x
e f x x = ()sin x
f x e
x -=
'()(cos sin )x f x e x x -=- 含 '()0f x =得可能极值点4
k n
x k π=+ k 整数 ''()2cos x
f x xe -=- ∴当24
x k π
π=
+时有极大值
(2)4
2k e
π
π-+ (21)4
x k π
π=
++时极小值
(2)4
2
k e
π
ππ-++- 8.证明当(
,)2
x π
π∈
ln(1sin )
x x
π+<-
证明:令t x π=-，则(0,)2
t π∈，
＜ln(1sin )t t +，即要证
cos 1sin t t
t
+
＜ln(1sin )t +，而0cos ln(1sin )1sin t
t dt t t =++⎰且cos 11sin 1sin t t t
'
-⎛⎫= ⎪++⎝⎭＜0， 0cos ln(1sin )1sin t
x t dx x ∴+=+⎰
＞0cos cos 1sin 1sin t t t t
dx t t =
++⎰得证 9．求()20
1
sin sin
lim
ln(1)
x x x x →+ 解：原极限=2
01sin lim sin 0ln(1)x x x x x x →=+
10
．设lim(2)0x x ax b →∞
-=，求a ，b 的值。

解：
(
)
3
21(2)0x ax b x a x b -
-=--→当（x →∞时）
21a ∴-=即3a =
而)
3233132
1
lim
lim 0(1)(1)x x x b b x x x x →∞
→∞⎡⎤--=-=⎢⎥-+-+⎣⎦
0b ∴= 11.设32()23
x f x x x =-- ，求()
()n f x
解：32222324676271
()2234(3)4(1)
x x x x x x f x x x x x x --+--++==+++---+
222711()14(3)4(1)f x x x '∴=-
--+ 32
2732
()4(3)4(1)f x x x ''=+-+
()()
11
1!27(1)!
4(3)4(1)
n
n n n n n n f x x ++--=+-+ n ≥2 12.某水库的泄洪口为圆形，半径为1米，现有一半径为2米的闸门悬于泄洪口的正上方（如
图）问闸门下降多少米时，泄洪口被盖住一半？
解：取小圆的圆心为原点、水平线为x 轴，垂线为y 轴。

则泄洪口圆周方程为2
2
1x y +=，
闸门（原始位置）为2
2
(3)4x y +-=,下降后为
2
2
()4x y h +-=两圆交点为：23
(,)2h a h
-± 其中 a =或23
cos =arcsin 2h a h θθ-=
盖住的面积为)
2
a S h dx =⎰
13. 已知()y f x =是[0，1]上二阶可导函数，且1
(0)2
f =
，(1)1f = '(1)1f >，证明：(0,1)ξ∃∈使得'()1f ξ=。

证明：
1(0), (1) 1 (0,1) ()2
f f f ηη'==∴∃∈＜1
() (,1) (0,1),()1f x
f ξηξ
''∴∃∈⊂=连续
使
00arcsin 4arcsin
22arcsin 4arcsin 22
1
arcsin 2
a
a
x x ah a
a ah
=+-=+-=-=。