高等数学竞赛试题含答案

高等数学竞赛试题

1．计算

{}

2222

,max 0

a

b

b x a y

dx e

dy ⎰

⎰，（a>0，b>0）

解：原积分=

22

22

22

220

00b

a

a

x a

b

a

b y b x a y b x a y a b

b x

a b dx e

dy dx e

dy xe dx dy e dx a

+=+⎰

⎰⎰⎰⎰

⎰⎰

=2222

22111(1)(1)(1)22a b a b a b e e e ab ab ab

-+-=-

2. 设幂级数

n

n n a x

∞

=∑的系数满足02a =，11n n na a n -=+-，n=1，2，3…，求此幂级数的

和函数()s x 。

解：0

(),n n

n s x a x +∞==

∑则1

1

111

1

1

'()(1)n n n n

n n n n s x na x

a x

n x +∞

+∞

+∞

----=====+-∑∑∑

12

()(1)()(1)n n x

s x n x s x x +∞

+==+

+=+

-∑

即2

'()()(1)

x

s x s x x =+

-，且(0)2o s a == 解方程1()1x

s x ce x =+

- 由(0)1s =⇒1()1x

s x e x

=+- 3. 已知()f x 二阶可导，且()0f x >，[]2

''()()'()0f x f x f x -≥，x R ∈ （1）证明 2

12

12()()(

)2

x x f x f x f +≥， 12,x x R ∀∈ （2）若(0)1f =，证明'(0)(),f x

f x e x R ≥∈

证明：（1）记()ln ()g x f x = 则'()

'()()

f x

g x f x = 22''(')''()0ff f g x f -=

> 1212()()()22g x g x x x g ++∴

≥ 即 21212()()()2

x x

f x f x f +≥

⑵222

2''()'(0)''(')()(0)'(0)ln (0)|2(0)2x g f ff f g x g g x x f x x f f

ξξ=-=++=++ '(0)f x ≥ 即'(0)()f x

f x e

≥

4．求10(1)lim

ln(1)

x

x x e x →+-+

由洛比塔法则原极限=120

(1)ln(1)1

lim(1)

(1)2

x

x x x x x e x x →-+++=-+

5．设2

2

2 0cos()

sin t u x t y e udu -⎧=⎪

⎨=⎪⎩

⎰ ，求22d y dx 解：4

2sin()2t dy e t t -=⋅⋅ 2

sin()2dx t t =-⋅

4

t dy e dx -∴

=- 44

2

32222

(')42sin()2sin()

t t d y d y t e t e

dx dx t t t --===--⋅ 6．

2 0

(1)(1)

dx

x x α

+∞

++⎰

，（0α≠） 解：记原积分为I 则20

1/(1)(1)

dx

I t x x x α+∞

==++⎰

含 20(1)(1)t dt t t αα+∞++⎰ 2

2 124

dx I I x ππ+∞

∴=

=∴=+⎰

7.设函数()f x 满足方程，()2()3sin x

x

e f x e f x x ππ-+-=，x R ∈，求()f x 的极值。

解：由条件x ∀，()2()3sin x

x

e f x e f x x ππ-+-=

∴有()2()3sin x

x e

f x e fx x ππ--+=

解方程得 ()sin x

e f x x = ()sin x

f x e

x -=

'()(cos sin )x f x e x x -=- 含 '()0f x =得可能极值点4

k n

x k π=+ k 整数 ''()2cos x

f x xe -=- ∴当24

x k π

π=

+时有极大值

(2)4

2k e

π

π-+ (21)4

x k π

π=

++时极小值

(2)4

2

k e

π

ππ-++- 8.证明当(

,)2

x π

π∈

ln(1sin )

x x

π+<-

证明:令t x π=-，则(0,)2

t π∈，

＜ln(1sin )t t +，即要证

cos 1sin t t

t

+