高中数学选修2-1教案 3.2立体几何中的向量方法第1课时

合集下载

高中数学《3.2立体几何中的向量方法》教案新人教A版选修2-1

3.2 立体几何中的向量方法空间距离利用向量方法求解空间距离问题，能够回避此类问题中大批的作图、证明等步骤，而转变为向量间的计算问题．例１如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E 、F 分别是 AB 、AD 的中点， GC ⊥平面 ABCD ，且 GC ＝ 2，求点 B 到平面 EFG 的距离．剖析：由题设可知CG 、 CB 、 CD 两两相互垂直，能够由此成立空间直角坐标系．用向量法求解，就是求出过B 且垂直于平面 EFG 的向量，它的长即为点 B 到平面 EFG 的距离．解：如图，设 CD4i ， CB4j ， CG2k ，以 i 、 j 、k 为坐标向量成立空间直角坐标系 C － xyz ．由题设 C(0,0,0)，A(4,4,0) ，B(0,4,0) ，D(4,0,0) ，E(2,4,0) ，F(4,2,0) ， G(0,0,2) ．uuuruuur (4, 2,0) ，∴ BE (2,0,0) ， BFuuuur (0, 4, 2) uuur(2, 4, 2) ，BG， GEuuur (2, 2,0)EF ．设 BM 平面 EFG ，M 为垂足，则 M 、 G 、E 、F 四点共面，由共面向量定理知，存在实数 a 、 b 、 c ，使得 uuuur uuur uuur uuuur(ab c 1) ， BM aBE bBF cBGuuuura(2,0,0) b(4, 2,0) c(0, 4,2) ＝ (2 a +4b , － 2b － 4c ,2 c ) ．∴BM由 BM 平面 EFG ，得 BM GE ， BMEF ，于是uuuur uuur uuuur uuur0 ． BM GE 0， BM EF(2 a4b, 2b 4c, 2c) (2, 4, 2) 0 ∴(2 a4b, 2b 4c, 2c) (2, 2,0) 0ab c 115aa 5c 0117 ．整理得：a 3b 2c 0 ，解得 ba b c 1113c11∴BM ＝ (2 a +4b , － 2b － 4c ,2 c ) ＝ ( 2 , 2 , 6) ．11 11 11uuuur 2222 2 6 2 11 ∴|BM |11 11 11 11故点 B 到平面 EFG的距离为2 11．11说明：用向量法求点到平面的距离，经常不用作出垂线段，只需利用垂足在平面内、共面向量定理、两个向量垂直的充要条件解出垂线段对应的向量就能够了．例 2 已知正方体ABCD－A' B 'C ' D '的棱长为1，求直线DA' 与AC的距离．剖析：设异面直线DA' 、AC的公垂线是直线l ，则线段AA'在直线 l 上的射影就是两异面直线的公垂线段，所以本题能够利用向量的数目积的几何意义求解．解：如图，设 B' A'i ，B'C'j ，B' B k，以 i 、j、k 为坐标向量成立空间直角坐标系B' －xyz，则有A '(1,0,0) ， D (1,1,1)， A(1,0,1) ， C (0,1,1)．uuuur(0,1,uuuur(uuuur(0,0,1) ．∴DA '1)， AC1,1,0) ， A ' A设 n( x, y, z) 是直线l方向上的单位向量，则x2y2z21．∵n DA'， n AC ，y z033∴x y0，解得 x yz y z或 x．x2y 2z2133取 n33,3(,) ，则向量A' A在直线l上的投影为333n·A' A( 3 , 3 ,3) ·(0,0,1)3．3333由两个向量的数目积的几何意义知，直线DA' 与AC的距离为 3 ．3向量的内积与二面角的计算在《高等代数与分析几何》课程第一章向量代数的教课中，讲到几何空间的内积时，有一个例题（见 [1] ， p53）要求证明以下的公式：cos cos cos sin sin cos,(1)此中点O 是二面角的棱上的点，、分别在平面P和平面Q内。

选修2-1_3[1].2立体几何中的向量方法教案

3.2立体几何中的向量方法撰稿人：王文文审核：高二数学组全体成员时间:2012年12月28日【教学目标】1.学会由直线的方向向量和平面的法向量的关系及向量的运算来判断或证明直线、平面的位置关系；2．学会运用直线的方向向量、平面的法向量及向量的运算来解决关于直线、平面的夹角及距离的问题（主要是关于角的问题）；德育目标：能初步利用向量知识解决相关的实际问题及综合问题。

【教学重点】向量运算在立体几何证明与计算中的应用．【教学难点】在运用向量知识解决立体几何问题时的向量问题的转化与恰当的运算方式．高考要求：会有一个立体几何的大题，应当重视。

【教学过程】一、复习回顾：1．直线l的方向向量的含义：.2．向量的特殊关系及夹角（最后的填空是用坐标表示）（1）a//b⇔⇔；（2）a⊥b⇔⇔；（3）a·a＝= ；（4）cos＜a,b＞＝= 。

二、新课讲解：（一）．平面的法向量：。

（二）．直线、平面的几种重要的位置关系的充要条件：设直线l , m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，则：l∥m⇔⇔；l⊥m⇔⇔；l∥α⇔⇔；l⊥α⇔⇔；α∥β⇔⇔；α⊥β⇔⇔。

练习：1．设直线l , m的方向向量分别为a，b，根据下列条件判断直线l , m 的位置关系：（1）a= （2 ，-1 ，-2），b=（6 ，-3，-6）；（2）a= （1 ， 2 ，-2），b=（-2， 3， 2）；（3）a= （0 ， 0， 1），b=（0 ， 0，-3）。

2．平面α，β的法向量分别为u，v，判断平面α，β位置关系：（1）u= （-2 ，2 ， 5），v=（6 ，-4， 4）；（2）u= （ 1 ，2 ，-2），v=（-2，-4， 4）；（3）u= （ 2 ，-3 ，5），v=（-3 ，1，-4）。

（三）例题讲解：例.1如图,一个结晶体的形状为平行六面体,其中顶点A 为端点的三条棱长都相等,且它们彼此的夹角都是60°,那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系。

高中数学选修2-1新教学案：3.2立体几何中的向量方法(1)

3.2 立体几何中的向量方法（第 1 课时）【教学目标】1．理解直线的方向向量和平面的法向量； 2．会用待定系数法求平面的法向量。

【重点】直线的方向向量和平面的法向量. 【难点】求平面的法向量.【创设情景】1.平面坐标系中直线的倾斜角及斜率，直线的方向向量，直线平行与垂直的判定；2.如何用向量描述空间的两条直线、直线和平面、平面和平面的位置关系？【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第 102 页～第 104 页）思考：（1）如何确定一个点在空间的位置？（2）在空间中给一个定点和一个定方向（向量），能确定一条直线在空间中的位置吗？（3）给一个定点和两个定方向（向量），能确定一个平面在空间的位置吗？（4）给一个定点和一个定方向（向量），能确定一个平面在空间的位置吗？1.点P 的位置向量OP.如图(1).2. 一个定点和一个定方向（向量），能确定一条直线在空间中的位置,如图(2). AP t AB =3.直线的方向向量我们把直线l 上的向量e 以及与e 共线的向量叫做直线l 的方向向量4.平面的法向量l α⊥,取直线l 的方向向量a ,则向量a 叫做平面α的法向量.【基础练习】【典型例题】例1 在正方体1111D C B A ABCD -中，求证：1DB 是平面1ACD 的法向量.【审题要津】证明：设正方体棱长为1，以1,,DD DC DA 为单位正交基底，建立如图所示空间坐标系xyz D -)1,1,1(1=DB ，)0,1,1(-=AC ，)1,0,1(1-=AD 01=⋅AC DB ，所以AC DB ⊥1同理11AD DB ⊥.所以⊥1DB 平面ACD从而1DB 是平面1ACD 的法向量. 【方法总结】例 2 在空间直角坐标系内，设平面α经过点),,(000z y x P ，平面α的法向量为),,(C B A e =，),,(z y x M 为平面α内任意一点，求z y x ,,满足的关系式。

高中数学第三章空间向量与立体几何3.2空间向量在立体几何中的应用课件1新人教B版选修2_1

（回到图形问题）
各抒己见百家争鸣
链接高考202X
强化作业：在直三棱柱ABC－
A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝ BC＝2，D为AA1上一点．
(1)若D为AA1的中点，求证：平面B1CD⊥平面B1C1D； (2)若二面角B1－DC－C1的大小为60°，求AD的长
前置作业反馈
立体几何中的向量方法
如果a⊥，那么向量a叫做平面的法向量.
l a
二、怎样求平面法向量？
利用空间向量求空间角
题型一：线线角
异面直线所成角的范围：
0,
2
C
D
A D1
B
结论： cos | cos CD, AB |
题题型型二二：：线线面面角角
直线与平面所成角的范围： [0, ]
1、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；
（进行向量运算）（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
数乘减法:三角形法则
运算数乘:ka,k为正数,负数,零
具有大小和方向的量数乘:ka,k为正数,负数,零
运加法交换律 a b b a 算加法结合律律 (a b) c a (b c)
数乘分配律
k(a b) ka＋kb
加法交换律 a b b a 加法结合律
(a b) c a (b c) 数乘分配律 k(a b) ka＋kb
2
An
直线AB与平面α所成
B O
的角θ可看成是向量与平面α的法向量所成的锐角的余角，所以有

高中数学选修2-1精品教案1：3.2 立体几何中的向量方法(一)教学设计

3.2立体几何中的向量方法（一）教学目标：掌握利用向量法解决空间中的平行关系教学重点：证明空间中平行关系的方法教学难点：空间中的平行关系如何转化为向量的共线或共面问题教学过程：一.复习引入直线的方向向量二.思考分析以前人们为夯实地面，采用的是一种由三人合作使用的石制工具，石墩上有三个石耳，用三根粗绳子拴着，三个人站在三个方位上，同时拉绳子使石墩离开地面，然后石墩落下夯实地面．若三个人所站方位使得绳子两两成等角，且与水平地面所成角为45°，为了使质量为100 kg 的石墩垂直离开地面，每个人至少需要用10023kg 的力．问题1：在空间中给定一个定点A (一个石耳)和一个定方向(绳子方向)，能确定这条直线在空间的位置吗？提示：能．问题2：在空间过一定点且与一定直线垂直的平面位置确定吗？提示：确定．三.抽象概括 1．直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的向量． 2．平面的法向量直线l ⊥α，取直线l 的方向向量a ，则a 叫做平面α的法向量. 3.空间中平行关系、垂直关系的向量表示设直线l ，m 的方向向量分别为a ，b ，平面α，β的法向量分别为u ，v ，则线线平行 l ∥m ⇔a ∥b ⇔a ＝kb ，k ∈R ；线面平行 l ∥α⇔a ⊥u ⇔a·u ＝0；面面平行 α∥β⇔u ∥v ⇔u ＝kv (k ∈R)．线线垂直 l ⊥m ⇔a ⊥b ⇔a·b ＝0；线面垂直 l ⊥α⇔a ∥u ⇔a ＝ku ，k ∈R ；面面垂直 α⊥β⇔u ⊥v ⇔u·v ＝0.1．直线的方向向量不是唯一的，可以分为方向相同和相反两类．解题时，可以选取坐标最简的方向向量．2．一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可以根据需要进行选取，一个平面的所有法向量共线．3．因为直线的方向向量与平面的法向量可以确定直线和平面的位置，所以可以利用直线的方向向量和平面的法向量来表示空间直线、平面间的平行、垂直等位置关系．四.例题分析及练习[例1] (1)设a ，b 分别是不重合的直线l 1，l 2的方向向量，根据下列条件判断l 1与l 2的位置关系：①a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)；②a ＝(5,0,2)，b ＝(0,4,0)；③a ＝(－2,1,4)，b ＝(6,3,3)． (2)设u ，v 分别是不同的平面α，β的法向量，根据下列条件判断α，β的位置关系： ①u ＝(1，－1,2)，v ＝(3,2，－12)；②u ＝(0,3,0)，v ＝(0，－5,0)； ③u ＝(2，－3,4)，v ＝(4，－2,1)．(3)设u 是平面α的法向量，a 是直线l 的方向向量，根据下列条件判断α和l 的位置关系： ①u ＝(2,2，－1)，a ＝(－3,4,2)； ②u ＝(0,2，－3)，a ＝(0，－8,12)； ③u ＝(4,1,5)，a ＝(2，－1,0)．[思路点拨] 先判断直线的方向向量与平面的法向量的关系，再判断线面、面面关系． [精解详析] (1)①∵a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)，∴a ＝－13b ，∴a ∥b ，∴l 1∥l 2.②∵a ＝(5,0,2)，b ＝(0,4,0)，∴a ·b ＝0，∴a ⊥b ，∴l 1⊥l 2.③∵a ＝(－2,1,4)，b ＝(6,3,3)，∴a 与b 不共线，也不垂直，∴l 1与l 2相交或异面(不垂直)． (2)①u ＝(1，－1,2)，v ＝(3,2，－12)，∴u ·v ＝3－2－1＝0，∴u ⊥v ，∴α⊥β.②∵u ＝(0,3,0)，v ＝(0，－5,0)，∴u ＝－35v ，∴u ∥v ，∴α∥β.③∵u ＝(2，－3,4)，v ＝(4，－2,1)，∴u 与v 不共线，也不垂直， ∴α与β相交但不垂直．(3)①∵u ＝(2,2，－1)，a ＝(－3,4,2)，∴u ·a ＝－6＋8－2＝0，∴u ⊥a ，∴l ⊂α或l ∥α. ②∵u ＝(0,2，－3)，a ＝(0，－8,12)，u ＝－14a ，∴l ⊥α.③∵u ＝(4,1,5)，a ＝(2，－1,0)，∴u 与a 不共线，也不垂直，∴l 与α相交，但不垂直．[感悟体会] 解答本题的关键是：①搞清直线的方向向量、平面的法向量和直线、平面的位置关系之间的内在联系；②要熟练掌握判断向量共线、垂直的方法，在把向量关系转化为几何关系时，注意其等价性．训练题组11．已知直线l 的方向向量为u ＝(2,0，－1)，平面α的一个法向量为v ＝(－2,1，－4)，则l 与α的位置关系为________．解析：∵u ·v ＝(2,0，－1)·(－2,1，－4)＝－4＋0＋4＝0， ∴u ⊥v ，∴l ∥α或l ⊂α. 答案：l ∥α或l ⊂α2．根据下列条件，判断相应的直线与直线、平面与平面、直线与平面的位置关系． (1)直线l 1与l 2的方向向量分别是a ＝(1，－2，－2)，b ＝(－2，－3,2)． (2)平面α，β的法向量分别为u ＝(1,3,6)，v ＝(－2，－6，－12)．(3)直线l 的方向向量、平面α的法向量分别是a ＝(2,0,3)，v ＝(1，－4，－3)． (4)直线l 的方向向量、平面α的法向量分别是a ＝(3,2,1)，v ＝(1，－2,1)．解：(1)∵a ＝(1，－2，－2)，b ＝(－2，－3,2)，∴a ·b ＝－2＋6－4＝0，∴a ⊥b ，∴l 1⊥l 2. (2)∵u ＝(1,3,6)，v ＝(－2，－6，－12)，∴v ＝－2(1,3,6)＝－2u ，∴u ∥v ，∴α∥β. (3)∵a ＝(2,0,3)，v ＝(1，－4，－3)，∴a 与v 既不共线也不垂直，∴l 与α斜交． (4)∵a ＝(3,2,1)，v ＝(1，－2,1)，∴a ·v ＝3－4＋1＝0，a ⊥v ，∴l ⊂α或l ∥α. [例2] 已知点A (1,0,0)，B (0,2,0)，C (0,0,3)，求平面ABC 的一个法向量．[思路点拨] 分析题意设出平面的法向量n →将所设法向量中的某一变量赋非零值→得出结论[精解详析] 设坐标原点为O ，由已知可得AB uu u r ＝OB uuur －OA u u u r ＝(0,2,0)－(1,0,0)＝(－1,2,0)， AC uuu r ＝OC uuu r －OA u u u r＝(0,0,3)－(1,0,0)＝(－1,0,3)．设平面ABC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·AB uu u r＝(x ，y ，z )·(－1,2,0)＝－x ＋2y ＝0，n ·AC uuu r ＝(x ，y ，z )·(－1,0,3)＝－x ＋3z ＝0.不妨令x ＝6，则y ＝3，z ＝2.因此，可取n ＝(6,3,2)为平面ABC 的一个法向量． [感悟体会] 利用待定系数法求法向量的解题步骤：训练题组23．已知平面内的两个向量a ＝(2,3,1)，b ＝(5,6,4)，则该平面的一个法向量为( ) A ．(1，－1,1) B ．(2，－1,1) C ．(－2,1,1)D ．(－1,1，－1)解析：显然a 与b 不平行，设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a ·n ＝0，b ·n ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋z ＝0，5x ＋6y ＋4z ＝0.令z ＝1，得x ＝－2，y ＝1.∴n ＝(－2,1,1)．答案：C4.四边形ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝2，AD ＝1.在如图所示的坐标系Axyz 中，分别求平面SCD 和平面SAB 的一个法向量．解：A (0,0,0)，D (1,0,0)，C (2,2,0)，S (0,0,2)．∵AD ⊥平面SAB ，∴AD uuu r＝(1,0,0)是平面SAB 的一个法向量．设平面SCD 的法向量为n ＝(1，y ，z )，则n ·DC uuu r ＝(1，y ，z )·(1,2,0)＝1＋2y ＝0，∴y ＝－12.又n ·DS uuu r ＝(1，y ，z )·(－1,0,2)＝－1＋2z ＝0，∴z ＝12.∴n ＝(1，－12，12)即为平面SCD 的一个法向量.[例3] 如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，E ，F 分别是棱A 1B 1，A 1D 1，B 1C 1，C 1D 1的中点．求证：平面AMN ∥平面EFDB .[思路点拨] 建立空间直角坐标系→分别求出两个平面的法向量m ，n →证明m ∥n[精解详析] 如图，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．设正方体棱长为a ，则A (a,0,0)，A 1(a,0，a )，D 1(0,0，a )，B 1(a ，a ，a )，B (a ，a,0)， C 1(0，a ，a )．∴N (a 2，0，a )，M (a ，a 2，a )，E (a 2，a ，a )，F (0，a2，a )，∴AN uuu r ＝(－a 2，0，a )，NM uuu u r ＝(a 2，a 2，0)，DB uuu r ＝(a ，a,0)，DF uuu r ＝(0，a2，a )．设平面AMN 与平面EFDB 的法向量分别为m ＝(x 1，y 1，z 1)和n ＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎨⎧m ·AN uuu r ＝0，m ·NM uuu u r＝0，∴⎩⎨⎧－a 2x 1＋0×y 1＋az 1＝0，a 2x 1＋a 2y 1＋0×z 1＝0，∴y 1＝－x 1＝－2z 1.取z 1＝1，∴平面AMN 的一个法向量为m ＝(2，－2,1)．同理由⎩⎨⎧n ·DB uuu r＝0，n ·DF uuu r＝0，可得x 2＝－y 2，y 2＝－2z 2. 令z 2＝1，∴平面EFDB 的一个法向量为n ＝(2，－2,1)． ∵m ＝n ，∴m ∥n ， ∴平面AMN ∥平面EFDB .[感悟体会] 证明面面平行问题可由以下方法去证明：①转化为相应的线线平行或线面平行；②分别求出这两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行．本题采用的是方法②，解题过程虽复杂，但思路清晰，是证明平面平行的常用方法．训练题组35.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是C 1C ，B 1C 1的中点．求证：MN ∥平面A 1BD .证明：法一：如图所示，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则可求得M (0,1，12)，N (12，1,1)，D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，于是MN uuur ＝(12，0，12)，1DA u u u r ＝(1,0,1)，DB uuu r＝(1,1,0)．设平面A 1BD 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，则n ·1DA u u u r ＝0，且n ·DB uuu r ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝0，x ＋y ＝0. 取x ＝1，得y ＝－1，z ＝－1.∴n ＝(1，－1，－1)．又MN uuur ·n ＝(12，0，12)·(1，－1，－1)＝0，∴MN uuur⊥n .又MN ⊄平面A 1BD ，∴MN ∥平面A 1BD .法二：∵MN uuur ＝1C N u u u u r －1C M u u u u r ＝1211C B u u u u r －121C C u u u r ＝12(11D A u u u u r －1D D u u u u r )＝121DA u u u r， ∴MN uuur ∥1DA u u u r.而MN ⊄平面A 1BD ，DA 1⊂平面A 1BD ，∴MN ∥平面A 1BD .6.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求证：平面A 1BD ∥平面CB 1D 1.证明：如图，分别以AB ，AD ，AA 1为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则A 1(0,0,1)，B (1,0,0)，D (0,1,0)，B 1(1,0,1)，C (1,1,0)，D 1(0,1,1)，1A B u u u r ＝(1,0，－1)，1D C u u u u r ＝(1,0，－1)．11B D u u u u r ＝(－1,1,0)，BD uuu r＝(－1,1,0)，∴1A B u u u r ∥1D C u u u u r ，11B D u u u u r ∥BD uuu r.∴A 1B ∥D 1C ，B 1D 1∥BD .又∵D 1C ⊂平面B 1D 1C ，A 1B ⊄平面B 1D 1C ，∴A 1B ∥平面B 1D 1C ，同理BD ∥平面B 1D 1C .又∵A 1B ∩BD ＝B ，∴平面A 1BD ∥平面B 1D 1C . 五.课堂小结与归纳利用向量方法证明几何中的平行问题可以通过两条途径实现，一是利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系；二是通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明．六.当堂训练1．若A (1，－2,3)，B (2,5,6)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( ) A ．(1，－2,3) B ．(2,5,6)C ．(1,7,3) D ．(－1，－7,3)解析：∵AB uu u r ＝(1,7,3)，又与AB uu u r平行的非零向量都可作为l 的方向向量，∴(1,7,3)＝AB uu u r可作为l 的方向向量．答案：C2．已知AB uu u r＝(2,2,1)，AC uuu r ＝(4,5,3)，则平面ABC 的一个单位法向量为( )A ．(－13，－23，－23)B ．(－13，23，－23)C ．(－13，23，23)D ．(13，23，23)解析：设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＋z ＝0，4x ＋5y ＋3z ＝0.取x ＝1，则y ＝－2，z ＝2.所以n ＝(1，－2,2)．因为|n |＝3，所以平面ABC 的一个单位法向量可以是(－13，23，－23)．答案：B3．设平面α的法向量为(1，－2,2)，平面β的法向量为(2，λ，4)，若α∥β，则λ等于( ) A ．2 B ．4C ．－2 D ．－4解析：∵α∥β，∴(1，－2,2)＝m (2，λ，4)，∴λ＝－4. 答案：D4.如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M ，P ，Q 分别为棱AB ，CD ，BC 的中点，平行六面体的各棱长均相等．给出下列结论：①A 1M ∥D 1P ；②A 1M ∥B 1Q ；③A 1M ∥平面DCC 1D 1；④A 1M ∥平面D 1PQB 1.这四个结论中正确的个数为( ) A ．1 B ．2C ．3 D ．4解析：∵1AM u u u u r ＝1A A u u u r ＋AM u u u u r ＝1A A u u u r ＋12AB uu u r， 1D P u u u r ＝1D D u u u u r ＋DP uuu r ＝1A A u u u r ＋12AB uu u r，∴1AM u u u u r ∥1D P u u u r ，从而A 1M ∥D 1P ，可得①③④正确．又B 1Q 与D 1P 不平行，故②不正确．答案：C5．若AB uu u r＝λCD uuu r ＋u CE u u u r (λ，u ∈R)，则直线AB 与平面CDE 的位置关系是________．解析：∵AB uu u r ＝λCD uuu r ＋u CE u u u r ，∴AB uu u r 与CD uuur ，CE u u u r 共面，∴AB ∥平面CDE 或AB ⊂平面CDE .答案：AB ∥平面CDE 或AB ⊂平面CDE6．已知直线l 1的一个方向向量为(－7,3,4)，直线l 2的一个方向向量为(x ，y,8)，且l 1∥l 2，则x ＝______，y ＝______.解析：∵l 1∥l 2，∴－7x ＝3y ＝48，∴x ＝－14，y ＝6.答案：－14 67.如图，在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，∠ABC ＝π4，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点．证明：直线MN ∥平面OCD .证明：作AP ⊥CD 于点P ，如图，分别以AB ，AP ，AO 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．A (0,0,0)，B (1,0,0)，P (0，22，0)，D (－22，22，0)，O (0,0,2)，M (0,0,1)， N (1－24，24，0)． MN uuur ＝(1－24，24，－1)，OP uuu r ＝(0，22，－2)，OD uuu r ＝(－22，22，－2)．设平面OCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·OP uuu r ＝0，n ·OD uuu r ＝0，即⎩⎨⎧22y －2z ＝0，－22x ＋22y －2z ＝0.取z ＝2，解得n ＝(0,4，2)．∵MN uuur ·n ＝(1－24，24，－1)·(0,4，2)＝0，即MN uuur ⊥n ，∴MN ∥平面OCD .8.如图，在正方体AC 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点．设Q 是CC 1上的点．当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面P AO?解：建立如图所示的坐标系，设正方体棱长为2，则O (1,1,0)，A (2,0,0)，P (0,0,1)，B (2,2,0)，D 1(0,0,2)．再设Q (0,2，c )，∴OA u u u r ＝(1，－1,0)，OP uuu r ＝(－1，－1，1)，BQ uuu r＝(－2,0，c )，1BD u u u r ＝(－2，－2，2)．设平面P AO 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n 1·OA u u u r ＝0，n ·OP uuu r＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，－x －y ＋z ＝0. 令x ＝1，则y ＝1，z ＝2.∴平面P AO 的一个法向量为n 1＝(1,1,2)．若平面D 1BQ ∥平面P AO ，那么n 1也是平面D 1BQ 的一个法向量．∴n 1·BQ uuu r＝0，即－2＋2c ＝0，∴c ＝1，这时n 1·1BD u u u r ＝－2－2＋4＝0，故当Q 为CC 1的中点时，平面D 1BQ ∥平面P AO .。

(人教)高中数学选修2-1【精品课件】3-2立体几何中的向量方法1

3.2立体几何中的向量方法第一课时空间向量与平行、垂直关系KEQIAN YUXI DAOXUEKETANG HEZUO TANJIU预习引导学习目标重点难点1•方向向量与法向量(1)空间中任意一条直线I的位置可以由____________ 以及 __________ 确定，如图A是直线/上一点，向量a表示直线/的___ .(2)直线/丄a,取直线I的方向向量a,则向量a叫做平面a的_____...... 交流1对于一条确定的直线和一个确定的平面，它的方向向量及法向量有几个？课前预习导学课堂合作探究2•空间平行关系的向量表示⑴线线平行:设直线l,m的方向向量分别为a,b,则1 // mu <=> .(2跡平行:设直线I的方向向量为a,平面a的法向量为“，则Zc a 或I // ao o ______ .(3)面丽行:设平面的法向量分别为“”则3•空间垂直关系的向量表示(1)线线垂直:设直线l,m的方向向量分别为则I _L m^=>a _L b u> .(2)线面垂直:设直线I的方向向量为平面a的法向量为"，则/丄(3)面面垂直:若平面a的法向量为平面卩的法向量为儿则a丄卩o课前预习导学课堂合作探究.......... 交流2(1)已知直线I的方向向量”=(2厂1,3),平面a的法向量v=(-6,3,-9), 则/与a的位置关系是__________ .(2)若两个不同平面％卩的法向量分别是u=(l,2,・3),y=(2，-4,・2)，则两个平面的位置关系是问题导学当堂检测一、利用方向向量和法向量判定线面的位置关系=3活动与探究问题1：如何认识直线的方向向量?问题导学当堂检测问题2：如何理解平面的法向量?问题3：如何认识直线的方向向量和平面的法向量的作用?问题导学当堂检测问题4：利用直线的方向向量和平面的法向量判定线面位置关系的方法是什么？问题5：求平面法向量的方法是什么?问题导学当堂检测______ 例1(1)设a,b分别是不重合的直线/i,/2的方向向量,根据下列条件判断人和仏的位置关系：①“(2,3,-1), “(-6,-9,3);②“=(5,0,2)上=(0,4,0);③“=(-2,1,4),"(6,3,3).(2)设u,v分别是不同的平面a,{3的法向量，根据下列条件判断a,p 的位置关系：②“=(0,3,0),心(0,-5,0);问题导学当堂检测③“=(2,-3,4),心(4,-2,1).（3）设u是平面a的法向量皿是直线I的方向向量，根据下列条件判断a和/的位置关系：①”=（2,2,・1）,“=（・3,4,2）;②”=（0,2厂3）,“=（0厂&12）;③%=（4丄5）皿=（2,丄0）・解:⑴①••力=(2,3厂1)0=(・6,-9,3), ••“ 二・:a//b. ：1{ //12.②S(5Q2)0=(O,4,O)，••“ • b=0・•乙丄力•£丄仏・③・・"(-2 丄4)0=(6,3,3), ••“与b不共线，也不垂直.问题导学当堂检测/11与12相交或异面.课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANJIU(2)①••"(1,丄2)严(3,2,母•u• v=3-2-l =0.••“ 丄v・「a 丄卩.②•力=(0,3,0),心(0厂5,0), •3•U = --V.5:u H v. ：d p.③-.w=(2,-3,4),v=(4,-2,l), •S与V不共线，也不垂直.问题导学当堂检测•5与p相交但不垂直.课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANJIU课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANJIU 问题导学当堂检测S3迁移与应用1・若直线I的方向向量为“=(1,0,2)，平面a的法向量为氏=(-2,0,-4)，则().A.l// a Bl 丄aC.lc a DI与a斜交课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE 课堂合作探究KETANG HEZUOTANJIU当堂检测2.已知平面ot和卩的法向量分别是(-1,3,4)和(x,1,-2),若a丄卩，求x 的值.课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANJIU 问题导学当堂检测3•如图，已知点A(a,O,O),B(O,b,O),C(O,O,c),求平面ABC的一个法向量.问题导学当堂检测------------- 名師❽障----------------若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：(1)设出平面的法向量为n=(x,y,z).(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量° =(如0“1)上=@202(2)・(3)根据法向量的定义建立关于的方程组匸::二常(4)解方程组，取其中的一个解，即得法向量•由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向问题导学当堂检测量.问题导学当堂检测二、利用向量证明平行关系詡舌动与探究问题1:空间中有几种平行关系?课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANJIU课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANJIU 问题导学当堂检测③根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量,那么这个向量与这两个不共线向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可.(3)面面平行①由面面平行的判定定理证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可.课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE②若能求岀平面的法向量”,儿则要证明CL// p,只需证明u//v.课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANJIU 问题导学当堂检测课堂合作探究当堂检测问题2：用向量法证明平行关系的方法步骤是什么?课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE(4)利用向量法证明几何中的平行问题可以通过两条途径实现:一是利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系;二是通过建立空间直角坐标系,借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明.课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究KETANG HEZUOTANJIU当堂检测---------- 列2已知正方体ABCD-A1BCD1的棱长为2,E,F分别是BBi,DD］的中点，求证：(1)F C 1〃平面ADE\(2)平面ADE〃平面B{C X F.课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE 课堂合作探究KETANG HEZUOTANJIU问题导学当堂检测（1）设兀1=（兀1,刃忆1）是平面ADE的法向量，则W1±DA,W1丄旋，即]ni2?A = 2X1 = 0,（阳• AE = 2yi + Z] = 0, （X] = 0，，，得n 令zi=2,则yi=-l,（zi = -2y「所以切=（0,丄2）.课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE 课堂合作探究KETANG HEZUOTANJIU问题导学当堂检测因为戸珥•切=2+2=0,所以瓦；丄补又因为FC&平面ADE,所以FCi〃平面ADE.课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE 课堂合作探究KETANG HEZUOTANJIU问题导学当堂检测⑵因为GW=(2,0,0),设〃2 =(兀2丿2忆2)是平面BGF的一个法向量.由“2丄FC19n2 ^（n2• FC r = 2y2 + z2 = 0.得f 兀2 =I n2• C1B1=2X2 = 0, "2 = -2y2«令Z2=2得歹2=丄所以兀2=（0,丄2）・因为Hi=n2,所以平面ADE〃平面B X C X F.吧迁移与应用1 •在长方体ABCD-AiBiCQi 中,AB=4,AD=3,AA]=2,P,Q,R,S 分别是AA],D]C],AB,CCi 的中点•证明:PQ//RS.当堂检测2•已知正方体ABCD-AECD.求证:平面ABD〃平面BDC.令刃=1,可得平面AB'D'的一个法向量为“1=(-1,1,-1).设平面BDC 的法向量为兀2=(兀2丿2忆2)・因为 DB=(1JMDC=(OJ,1), n 2 丄 DB.令力=1,可得平面BDC 的一个法向量为兀2=（丄 1 1 ）・••阮 1 力2,:n 1 〃 “2, •••平面 4B Q ‘〃平面n 2 • DB =兀2 + y2 = °，n 2 • DC' = y 2 + z 2 = 0.所以BDC.------------- 名師尊障----------------1 •用空间向量证明线面平行通常有两种方法:一是利用法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直;二是利用共面向量定理•若/的方向向量是"，平面a内两个不共线向量是门和巾,则＜〃ao存在实数g 使W=ZV]+|1V2-2 •证明直线与平面平行时,还应说明直线不在平面内.课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究KETANG HEZUOTANJIU三、利用向量证明垂直关系S3活动与探究问题1:空间中的垂直关系有哪些?当堂检测课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANJIU 问题导学当堂检测(3)面面垂直①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直.课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE 课堂合作探究KETANG HEZUOTANJIU问题导学当堂检测②证明两个平面的法向量互相垂直.问题2：用向量法证明垂直关系的方法步骤是什么?课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANJIU问题导学当堂检测(2)用向量法证明线面垂直的方法与步骤:r①设岀基向量，用基向量表示直线所在的向量②找岀平面内两条相交的向量并分别用基向量表示③分别计算直线的方向向量与平面内两相交向量的数量积①建立空间直角坐标系②将直线的方向向量用坐标表示③求平面的法向量I④说明平面的法向量与直线的方向向量平行(3)用向量法证明面面垂直通常可以有两种方法:一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直;二是直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直.------- H列3如图，在正方体ABCD-A]B]C]D1中,E,F分别是B】B,DC 的中点，求证:AE丄平面AQF证明:如图,建立空间直角坐标系Dxyz,设正方体的棱长为1, 则A(l,O,O),E(l,l,)A](l,O,l),Di(O,O,l),F(O,.O),•*AE =(0,1,)石殆(-1,0,0)谅=法一:设平面A\D{F的法向量为n=(x,y,z). 则)n• A1D1=O,n • D]F=O,(-x = 0，即h 解得x=0,y=2z・(严=0,课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE 问题导学当堂检测课堂合作探究KETANG HEZUOTANJIU令Z=l,则n=（0,2,l）.又近=（0,l,|）,.w=2AE.••n〃近,即XI丄平面A X D X F.因此，AE丄平面AiDiF.法二:由于旋• AX =（0,1,|）• （-1,0,0）=0,•'AE 丄AQi・又旋•而=（0,1勻•（0,芥1）=0, ••AE丄皿••AiDiGDiF=Di,.・AE丄平面AQFEii 移与应用1 •在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,P 为DD ］的中点,O 为底面ABCD 的中心，求证:BQ 丄平面PAC.当堂检测当堂检测2•在四面体ABCD中,AB丄平面BCD,BC=CD,ZBCD=90°,ZADB=30°,E,F 分别是AC,AD 的中点, 求证:平面BEF丄平面ABC.课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE设平面BEF 的法向量〃=（x,y ，z ）,由 n •丽=0,即g,z) •(0,ya,|)=0, 有yay+|z=0=> z=-V3y ・取 y=l,得 n=(l,l<V3).•S 丄而.•••平面BEF 丄平面ABC.问题导学当堂检测课堂合作探究KETANG HEZUOTANJIU\h • CD=(l 9l r V3) •KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANJIU当堂检测-------------- 名師尊障 ---------------1.用空间向量证明线面垂直的方法：建立空间坐标系,用坐标表示直线的方向向量并求平面的法向量, 说明平面的法向量与直线的方向向量平行;或者说明直线的方向向量与平面内任意两条相交直线垂直,即直线的方向向量与相交直线的方向向量的数量积为零.2.用空间向量证明面面垂直的方法：说明两个平面的法向量垂直或根据线面垂直来证明.当堂检测2问题导学1•已知平面a〃平面卩,n=(l,-l,l)是平面a的一个法向量，则下列向量是平面卩的法向量的是().4(1,1,1) 5.(-1,1,-1)C(-l 厂1,-1) D(l,l，-1)。

人教新课标版数学高二选修2-1课件3.2立体几何中的向量方法(一)

l∥m⇔_a_∥__b_⇔a＝kb (k∈R) l∥α⇔a⊥μ⇔_a_·_μ__＝0
α∥β⇔μ∥v⇔_μ_＝__k_v_(_k_∈__R_)_ l⊥m⇔a⊥b⇔_a_·_b_＝__0_
l⊥α⇔a∥μ⇔_a_＝__k_μ_(_k∈__R__) α⊥β⇔μ⊥v⇔_μ_·_v_＝__0__
答案
知识点二利用空间向量处理平行问题利用空间向量解决平行问题时，第一，建立立体图形与空间向量的联系，
用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；第二，通过向量的运算，研究平行问题；第三，把向量问题再转化成相应的立体几何问题，从而得出结论.
返回
合作探究
问题1 怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？
答案
问题2 (1)设v1＝(a1，b1，c1)，v2＝(a2，b2，c2)分别是直线l1，l2的方向向量.若直线l1∥l2，则向量v1，v2应满足什么关系. 答案由直线方向向量的定义知若直线l1∥l2，则直线l1，l2的方向向量共线，即l1∥l2⇔v1∥v2⇔v1＝λv2(λ∈R).
探究点3 利用空间向量证明平行关系例3 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证： (1)FC1∥平面ADE；
解析答案
(证2)明平面因AD为E∥C―1→平B1＝面(B21,C0,10F).，
设 n2＝(x2，y2，z2)是平面 B1C1F 的一个法向量.
立体几何问题
向量渐渐成为重要工具
(研究的基本对象是点、直线、平面
以及由它们组成的空间图形)
从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工具在立体几
何中的应用.
引入2、复习共线向量定理:

高中数学选修2-1 第三章第二节《3.2立体几何中的向量方法》全套教案

立体几何中的向量方法课时分配:第一课立体几何中的向量方法1个课时第二课立体几何专1个课时第三课立体几何中的向量方法——求点坐标1个课时3. 2.1 立体几何中的向量方法【教学目标】1）知识与技能：进一步体会空间向量在解决立体几何问题中的广泛作用，再次熟悉立体几何中的向量方法“三步曲”；继续讨论如何利用已知条件适当建立空间直角坐标系，展示向量方法与坐标方法相结合的优越性；对立体几何中的三种方法（综合法、向量法、坐标法）的联系进行分析与小结．（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合与问题转化的思想方法，加深对相关内容的理解。

（3）情感态度与价值观：体会把立方体几何几何转化为向量问题优势，培养探索精神。

【教学重点】坐标法与向量法结合【教学难点】适当地建立空间直角坐标系及添加辅助线．【学前准备】：多媒体，预习例题PB ⊥)1,,(-z y x )1,1,-021=所以=EDB 平面333(，，,21,0(213161=60的大小为D -2,=BA CD异面直线AB与CD所成角的余弦值为BD 1C 1B 1CDBA A 1EF 3，如下图，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别是对边OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且分MN 所成的定比为2，现用基向量、、表示向量，设=x+y+z，则x 、y 、z 的值分别为A.x =,y =,z =B.x =,y =,z =C.x =,y =,z =D.x =,y =,z =（中等题）5，如图,在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,已知AB= 4, AD =3, AA 1= 2. E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB=FB=1，.求直线EC 1与FD 1所成的余弦值.解：以1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴建立坐标系，则E （3，3，0）、C 1（0，4，2）、D 1（0，0，2）、F （2，4，0）.从而1EC ＝（－3，1，2）、1FD ＝（－2，－4，2）所以直线EC 1与FD 1所成的余弦值为 11,cos FD EC ＝||||1111FD EC FD EC ∙∙＝1421立体几何专题【教学目标】内容:考查(1)空间几何体:结构特征、三视图、表面积和体积的计算. 常给出几何体的三视图，通过识图、想图、作图、用图，考查学生的空间想象能力及运算求解能力.(2)空间直线与平面的位置关系:线、面平行与垂直关系的判断和证明，其中垂直关系出现频率更高.空间角的计算，其中二面角的计算是理科生的重点，文科生则不做要求；三是空间距离的计算，重点考查点到平面的距离.如在文科高考解答题中，第（2）问往往要计算几何体的体积，其关键是求出点到平面的距离. (3）空间向量与立体几何:考查利用空间向量研究空间直线与平面的位置关系；利用空间向量求角和距离.一般地，论证平行与垂直关系，传统方法较方便，而在求空间角和空间距离上，则可显示出向量法的优越性.方法:解答题的命制,课标卷都采用了“一题多法”的命制办法，并体现向量坐标法优先的特征. 即同一试题可以用综合法（传统的方法）和空间向量两种方法来解决（向量法优先）强调数学通性通法的考查,淡化特殊技巧,无偏怪之题.立体几何专题的考查，理科和文科试卷，都强调对基础知识和基本能力的考查.文科相对强调几何的直观感知和简单的推理论证；而理科对空间想象、推理论证、运算求解有更高的要求.【学前准备】：多媒体，预习例题的面积为. 如图,在棱长为2的正方体到直线CC 1的距离的最小值为62的体积V）时，可，试判断V与V的大立体几何中的向量方法——求点坐标【教学目标】知识与技能：1、能够根据具体的立体图形寻找适当的位置建立空间直角坐标系；2、能够运用投影的知识解决相关点的坐标；3、能够利用中点坐标公式或者线段的比例关系解决相关点的坐标；4、能够掌握向量的相等、基本运算和共线等知识并应用于求点的坐标。

3.2.立体几何中的向量方法-人教A版选修2-1教案

3.2 立体几何中的向量方法-人教A版选修2-1教案一、教学目标1.了解向量的概念和性质；2.掌握立体几何中向量的加、减、数量积、向量积的计算方法；3.能够应用向量方法解决立体几何相关问题。

二、教学重点1.理解概念，掌握向量的加、减、数量积、向量积的计算方法；2.能够应用向量方法解决立体几何相关问题。

三、教学难点能够运用向量方法解决立体几何中的复杂问题。

四、教学内容及教学方法（一）教学内容本节课主要内容为立体几何中的向量方法，包括以下几个部分：1. 向量的概念和性质1.向量的定义；2.向量的模和方向；3.零向量和单位向量；4.向量的共线和平行；5.向量的反向和相等。

2. 向量的加减法1.向量的加法和减法定义；2.向量加减法的运算法则；3.向量相加减的几何意义。

3. 向量的数量积1.向量数量积的定义；2.向量数量积的运算法则；3.向量数量积的几何意义；4.向量数量积的性质。

4. 向量的向量积1.向量向量积的定义；2.向量向量积的运算法则；3.向量向量积的几何意义；4.向量向量积的性质。

（二）教学方法课堂教学应采用讲授与练习相结合的方法，通过引入具体的数学问题，逐步引入概念和定义，然后逐步将概念和定义转化为解决数学问题的方法。

在讲授的过程中，注意抓住学生对问题的兴趣点，让学生积极思考，在实际问题中理解各个概念和公式的含义。

五、教学过程安排（一）引入通过引入相关的实际问题，引发学生的兴趣和思考，达到引入立体几何中的向量方法的目的。

（二）概念和性质1.向量的定义和性质引入向量的定义和性质，引导学生理解向量的概念和性质，并能够熟练应用各种性质。

2.向量的共线和平行讲解向量的共线和平行的概念，巩固向量的基础概念。

3.向量的反向和相等讲解向量的反向和相等的概念，引导学生加深对向量的认识。

（三）向量的加减法通过具体例子引导学生理解向量加减的运算法则，并能够运用向量加减法解决实际问题。

1.向量加减法的定义和性质引导学生理解向量加减法的概念和性质，并掌握加减法的运算法则。

高中数学选修2-1教案第三章空间向量与立体几何3.2立体几何中的向量方法

23.2立体几何中的向量方法第一课时立体几何中的向量方法(1)教学要求：向量运算在几何证明与计算中的应用. 掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题.教学重点：向量运算在几何证明与计算中的应用. 教学难点：向量运算在几何证明与计算中的应用. 教学过程：一、复习引入1.用向量解决立体几何中的一些典型问题的基本思考方法是：⑴如何把已知的几何条件 (如线段、角度等)转化为向量表示；⑵考虑一些未知的向量能否用基向量或其他已知向量表式； ⑶如何对已经表示出来的向量进行运算，才能获得需要的结论？2. 通法分析：利用两个向量的数量积的定义及其性质可以解决哪些问题呢？⑴利用定义 a • b = |a ||b |cos v a ,b >或cos v a ,b >=卫b ，可求两个向量的数量积或夹角问题；⑵利用性质a 丄a • b = 0可以解决线段或直线的垂直问题； ⑶利用性质aa =| a 丨2,可以解决线段的长或两点间的距离问题. 二、例题讲解1. 出示例1：已知空间四边形 OABC 中，:.OAf_BC ” OB _ AC •求证: 证明：OC AB = OC (OB -OA) = OC OB — OC OA .TT••• OA _ BC , OB _ AC , • OA BC 0, OB AC 0 ,)「0 , OB (OC -OA) =0 .• OA OC =OA OB , OB OC =OB OA .4•小结：利用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示式，并用已知向量表示未知向量，然后通过OC _ AB .二 OC OB = OC OA , OCAB = 0. ••• OC _ AB2.出示例2：如图，已知线段.DBD ' =30；，如果 AB = a , 解：由AC ，可知AC 由.DBD' =30；可知，v •汙『=(CA AB BD) AB BD )2 2 2 2 - 2 2=b a b 2b cos120 = a b .AB 在平面a 内，线段AC _,线段BD 丄AB ,线段DD ' _ ：-,AC = BD = b ，求C 、D 间的距离.CA,BD >= 120 ,2= |CA |2 + | AB |2 + | BD |2 + 2( CA AB + CA BD +• CD a 2 b 2 .3.出示例3：如图，M 、N 分别是棱长为1的正方体 ABCD -A'B'C'D'的棱BB'、B'C'的中点.求异面直线 MN 与CD'所成的角.1解：••• MN = - (CC ' BC ),2 1• MN CD' = (CC' BC)2 CD' = CC' CD ,(C? CD) = 1(|C^|2 + CC -L CD2+ BC CC' +BC CD ).•/ CC'_CD , CC'_BC , 1 2 1• MN CD' = |CC' |2 =2 2BC =0, BC CD =0 ,…求得 cos v MN ,CD' >BC CC 0 ,1 ,•••< MN ,CD' >= 60 ._CD ,向量的运算去计算或证明.2第二课时立体几何中的向量方法(2)教学要求：向量运算在几何证明与计算中的应用. 掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题.教学重点：向量运算在几何证明与计算中的应用. 教学难点：向量运算在几何证明与计算中的应用. 教学过程：一、复习引入讨论：将立体几何问题转化为向量问题的途径？(1 )通过一组基向量研究的向量法，它利用向量的概念及其运算解决问题；(2)通过空间直角坐标系研究的坐标法，它通过坐标把向量转化为数及其运算来解决问二、例题讲解1.出示例1：如图，在正方体 ABCD-ABGD I 中，E 、F 分别是BB l 、 CD 的中点，求证：UF _平面ADE .证明：不妨设已知正方体的棱长为1个单位长度，且设DA = i , "DC =j , DD 1 = k .以i 、j 、k 为坐标向量建立空间直角坐标系D — xyz ,贝U1 1••• AD = (-1,0,0), D 1F = (0,,-1), ••• AD • D 1F = (-1,0,0) .(0,,-1)= 0, ••• D 1F _AD .的一些数据，以使问题的解决简单化.如在立体几何中求角的大小、判定直线与直线或直线与平面的位置关系时，可以约定一些基本的长度.⑵空间直角坐标些建立，可以选取任意一点和一个单位正交基底，但具体设置时仍应注意几何体中的点、线、面的特征，把它们放在恰当的位置，才能方便计算和证明.2.例：证：如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行.改写为：已知：直线 OA 丄平面a,直线BD 丄平面a, O 、B 为垂足.求证: 证明：以点O 为原点，以射线OA 为非负z 轴，建立空间直角坐标系 O-xyz , i ,j ,k 为沿x 轴，y 轴，z 轴的坐标向量，且设 BD = (x, y,z).•/ BD 丄 a, • BD 丄 i , BD 丄 j ,• BD • i = (x,y,z) •(1,0,0) = x = 0, , BD • j = (x, y, z) • (0,1,0) = y = 0, • BD = (0,0,z). • BD = z k .即BD //k .由已知 O 、B 为两个不同的点，•3. 法向量定义：如果表示向量a 的有向线段所在直线垂直于平面a,则称这个向量垂直于平面a,记作a 丄a.如果a 丄a,那么向量a 叫做平面a 的法向量.4. 小结：向量法解题“三步曲” ：(1)化为向量问题 7( 2)进行向量运算 7( 3)回到图形问题.A E = (0,1,-),2AD^AE =A ,• AED 1F = (0,1,1)21(0, ,-1)= 0,2说明：⑴“不妨设”是我们在解题中常用的小技巧,通常可用于设定某些与题目要求无关OA//BD .OA//BD .第三课时立体几何中的向量方法(3)教学要求：向量运算在几何证明与计算中的应用. 掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题.教学重点：向量运算在几何证明与计算中的应用. 教学难点：向量运算在几何证明与计算中的应用. 教学过程：一、复习引入呻呻1.法向量定义：如果直线I _平面：•，取直线I 的方向向量为a ，则向量a 叫作平面a 的法向量(normal vectors ).利用法向量，可以巧妙的解决空间角度和距离2.讨论：如何利用法向量求线面角？T 面面角？直线AB 与平面a 所成的角日，可看成是向量 AB 所在直线与平面a 的法向量n 所在直线夹角的余角，从而求线面角转化为求直线所在的向量与平面的法向量的所成的线线角，根a b据两个向量所成角的余弦公式 cosf a, b)，我们可以得到如下向量法的2.变式：用向量法求：二面角A -DE -O 余弦；OF 与DE 的距离；O 点到平面DEF 的距公式：3. 讨论：如何利用向量求空间距离？两异面直线的距离，转化为与两异面直线都相交的线段在公垂向量上的投影长点到平面的距离，转化为过这点的平面的斜线在平面的法向量上的投影长二、例题讲解：1.出示例 1:长方体 ABCD - ARGD ,中，AD= AA ,=2, AB=4, E 、点，0是BC 1与EC 的交点.求直线OF 与平面DEF 所成角的正弦•解：以点D 为空间直角坐标系的原点， DA 、DC 、DD 1为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则D(2,2,0), E(1,0,2), F(2,2,0), 0(1,4,1), C(0,4,0).4设平面DEF 的法向量为 n =(x,y,z), 而 DE =(1,0,2) , DF =(2,2,0). 片 —* n _DE 则n _ DFnLDE =0 • ^=0■/ n *OF =| n ||OF J cos ：, n *OF. • cos 2 2 22-|n"OF 丨(-2)2 - 22 - t.J 2 - (一2)2 • (-1)所以，直线OF 与平面DEF 所成角的正弦为乙6 .18，即 •OF 丄x 2z = 0仏+2^0‘ 解得心：—2:2:1，而 OF =(1,-2,-1). -2 1 2 (-2) 1 (-1) 2•• n =(-2,2,1).7 618sin 日=cos (AB‘, n。

2014年人教A版选修2-1课件 3.2 立体几何中的向量方法

本章内容
3.1 空间向量及其运算
3.2 立体几何中的向量方法第三章小结
3.2
第一课时(向量确定空间位置关系)
第二课时(向量的几何运算与证明)
第三课时(向量坐标证明平行垂直) 第四课时(向量坐标求距离与角)
3.2 立体几何中的向量方法 (第一课时)
返回目录
1. 用向量能确定空间的点, 直线, 平面吗? 2. 用向量怎样判定点在直线上, 点在平面内, 直线在平面内? 3. 用向量怎样判定直线与直线平行, 直线与平面平行, 平面与平面平行, 直线与直线垂直, 直线与平面垂直, 平面与平面垂直?
问题2. 用向量能确定空间的点、直线、平面吗? 如果能, 怎样确定? 如果不能, 需加上什么条件?
如果知道一直线 l 的方向向量 a, 和直线 l 上一点P, 就能确定直线 l 的位置.
l 为直线AP: AP ta (A是直线上任意的点).
另一方面: 已知直线 l 的方向向量, 和 l 上一点 P, 如果存在实数 t, 有 PA ta , 则点A在直线 l 上.
问题2. 用向量能确定空间的点、直线、平面吗? 如果能, 怎样确定? 如果不能, 需加上什么条件? 另一方面: 如果 a, b 是平面 a 内两相交直线的方向向量, O 为平面 a 内一点, 如果存在实数 x, y, 使 OP xa yb , 则点 P 在平面 a 内, 直线 OP 在平面 a 内. 由此可得:
问题2. 用向量能确定空间的点、直线、平面吗? 如果能, 怎样确定? 如果不能, 需加上什么条件? 一定点与一向量就能确定空间的点. 如图, 取定点O为基点, P B OA 确定了点 A; OB 确定了点 B; Q A OP 确定了点 P; OQ 确定了点 Q.

高中数学《立体几何中的向量方法》教案3 新人教A版选修2-1

第三课时： 3.2立体几何中的向量方法（三）
教学要求：向量运算在几何证明与计算中的应用．掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题．
教学重点：向量运算在几何证明与计算中的应用．
教学难点：向量运算在几何证明与计算中的应用．
教学过程：
一、复习引入
1. 法向量定义：如果直线, 取直线l的方向向量为，则向量叫作平面α的法向量（normal vectors）. 利用法向量，可以巧妙的解决空间角度和距离.
2. 讨论：如何利用法向量求线面角？→面面角？
直线AB与平面α所成的角，可看成是向量所在直线与平面α的法向量所在直线夹角的余角，从而求线面角转化为求直线所在的向量与平面的法向量的所成的线线角，根据两个向量所成角的余弦公式，我们可以得到如下向量法的公式：
.
3. 讨论：如何利用向量求空间距离？
两异面直线的距离，转化为与两异面直线都相交的线段在公垂向量上的投影长.
点到平面的距离，转化为过这点的平面的斜线在平面的法向量上的投影长.
二、例题讲解：
1. 出示例1：长方体中，AD==2，AB=4，E、F分别是、AB的中点，O是的交点. 求直线OF 与平面DEF所成角的正弦.
解：以点D为空间直角坐标系的原点，DA、DC、为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则
.
设平面DEF的法向量为，
则，而， .
∴，即, 解得，∴ .
∵，而.
∴
所以，直线OF与平面DEF所成角的正弦为.
2. 变式：用向量法求：二面角余弦；OF与DE的距离；O点到平面DEF的距离.
三、巩固练习
作业：课本P121、习题A组 5、6题.。

高中数学《空间向量与立体几何》教案新课标人教A版选修2-1

3.1.2空间向量的数乘运算（一）教学要求：了解共线或平行向量的概念，掌握表示方法；理解共线向量定理及其推论；掌握空间直线的向量参数方程；会运用上述知识解决立体几何中有关的简单问题．教学重点：空间直线、平面的向量参数方程及线段中点的向量公式．教学过程：一、复习引入1. 回顾平面向量向量知识：平行向量或共线向量？怎样判定向量b 与非零向量a是否共线？方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa .称平面向量共线定理，二、新课讲授1.定义：与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作a //b．2．关于空间共线向量的结论有共线向量定理及其推论：共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0），a //b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb .理解：⑴上述定理包含两个方面：①性质定理：若a ∥b （a ≠0），则有b ＝λa，其中λ是唯一确定的实数。

②判断定理：若存在唯一实数λ，使b ＝λa （a≠0），则有a ∥b （若用此结论判断a 、b 所在直线平行，还需a （或b ）上有一点不在b （或a）上）.⑵对于确定的λ和a ，b ＝λa 表示空间与a 平行或共线，长度为 |λa|，当λ>0时与a 同向，当λ<0时与a反向的所有向量.3. 推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式 OP OA t =+a．其中向量a叫做直线l 的方向向量. 推论证明如下：∵ l //a ，∴ 对于l 上任意一点P ，存在唯一的实数t ，使得AP t =a．(*)又∵ 对于空间任意一点O ，有AP OP OA =-，∴ OP OA t -=a ， OP OA t =+a． ① 若在l 上取AB =a，则有OP OA t AB =+．(**)又∵ AB OB OA =- ∴ ()OP OA t OB OA =+-(1)t OA tOB =-+．② 当12t =时，1()2OP OA OB =+．③理解：⑴ 表达式①和②都叫做空间直线的向量参数表示式，③式是线段的中点公式．事实上，表达式(*)和(**)既是表达式①和②的基础，也是直线参数方程的表达形式．⑵ 表达式①和②三角形法则得出的，可以据此记忆这两个公式． ⑶ 推论一般用于解决空间中的三点共线问题的表示或判定．空间向量共线（平行）的定义、共线向量定理与平面向量完全相同，是平面向量相关知识的推广．4. 出示例1：用向量方法证明顺次连接空间四边形四边中点的四边形是平行四边形. （分析：如何用向量方法来证明？）5. 出示例2：如图O 是空间任意一点，C 、D 是线段AB 的三等分点，分别用OA 、OB 表示OC 、OD .三、巩固练习：作业：3.1.2空间向量的数乘运算（二）教学要求：了解向量与平面平行、共面向量的意义，掌握向量与平面平行的表示方法；理解共面向量定理及其推论；掌握点在已知平面内的充要条件；会用上述知识解决立几中有关的简单问题．教学重点：点在已知平面内的充要条件．教学难点：对点在已知平面内的充要条件的理解与运用．教学过程：一、复习引入1. 空间向量的有关知识——共线或平行向量的概念、共线向量定理及其推论以及空间直线的向量表示式、中点公式．2. 必修④《平面向量》，平面向量的一个重要定理——平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．二、新课讲授1. 定义：如果表示空间向量a的有向线段所在直线与已知平面α平行或在平面α内，则称向量a平行于平面α，记作a//α．向量与平面平行，向量所在的直线可以在平面内，而直线与平面平行时两者是没有公共点的．2. 定义：平行于同一平面的向量叫做共面向量．共面向量不一定是在同一平面内的，但可以平移到同一平面内．3. 讨论：空间中任意三个向量一定是共面向量吗？请举例说明．结论：空间中的任意三个向量不一定是共面向量．例如：对于空间四边形ABCD，AB、AC、AD这三个向量就不是共面向量．4. 讨论：空间三个向量具备怎样的条件时才是共面向量呢？5. 得出共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数对x，y，使得p= x a+y b．证明：必要性：由已知，两个向量a、b不共线．∵向量p与向量a、b共面∴由平面向量基本定理得：存在一对有序实数对x，y，使得p= x a+y b．充分性：如图，∵x a，y b分别与a、b共线，∴x a，y b都在a、b确定的平面内．又∵x a+y b是以｜x a｜、｜y b｜为邻边的平行四边形的一条对角线所表示的向量，并且此平行四边形在a、b确定的平面内，∴ p= x a+y b在a、b确定的平面内，即向量p与向量a、b共面．说明：当p、a、b都是非零向量时，共面向量定理实际上也是p、a、b所在的三条直线共面的充要条件，但用于判定时，还需要证明其中一条直线上有一点在另两条直线所确定的平面内．6. 共面向量定理的推论是：空间一点P在平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x，y，使得MP xMA yMB=++．②=+，①或对于空间任意一定点O，有OP OM xMA yMB分析：⑴推论中的x、y是唯一的一对有序实数；⑵由OP OM xMA yMB=++得：OP x y OM xOA yOB=--++③OP OM x OA OM y OB OM()()=+-+-，∴(1)公式①②③都是P、M、A、B四点共面的充要条件．7. 例题：课本P88例1 ，解略．小结：向量方法证明四点共面三、巩固练习向量的数量积（2）一、教学目标：①向量的数量积运算②利用向量的数量积运算判定垂直、求模、求角二、教学重点：①向量的数量积运算②利用向量的数量积运算判定垂直、求模、求角三、教学方法：练习法，纠错法，归纳法四、教学过程：考点一：向量的数量积运算（一）、知识要点：1）定义：① 设<,a b >=θ,则a b = （θ的范围为）②设11(,)a x y =，22(,)b x y =则a b = 。

人教A版高中数学选修2-1课件高二《3.2立体几何中的向量方法(1)》.pptx

新课讲解
用向量表示空间的位置关系
新课讲解
用向量表示空间的位置关系
1. 设直线l、m的方向向量为a、b，平面、的
法向量为u、v，则
新课讲解
用向量表示空间的位置关系
1. 设直线l、m的方向向量为a、b，平面、的
法向量为u、v，则 l m a b a kb l m ab0 a b
l a uau0 l a u a u u v u kv u v uv 0
例题分析
例 1.已知直线m、n是内任意两条相交直线l m，l n，求证：l .
例题分析
例 2. 在正方体ABCD A1B1C1D1中，棱长为
3，E为D1C的一个三等分点， F为AB中点，求平面EFC的法向量.
D1
E
C1
A1
B1
D
C
F
A
B
例题讲解
例 3．长方体ABCD A1B1C1D1，高为1，底面
BF 平面AEC ?
E
A
F
D
B
C
课后作业
《学案》P84 面双基训练。
新课讲解
用向量法表示一个平面：
新课讲解
用向量法表示一个平面：（1）若a 、b不共线，则OP xa yb 表示OP ，
a ，b 共面.
新课讲解
用向量法表示一个平面：（1）若a 、b不共线，则OP xa yb 表示OP ，
a ，b 共面.
（2）取直线 l ，则直线l的方向向量a 叫平
空白演示
在此输入您的封面副标题
主讲：陈震
新课讲解
用向量表示空间点、线、面
新课讲解
用向量表示空间点、线、面思考 1：怎样用向量表示空间点的位置

高中数学选修2-1精品教案6：§3.2立体几何中的向量方法(一)教学设计

§3.2立体几何中的向量方法（一）教学目标 1.知识与技能能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，能用向量方法判断有关直线和平面平行关系的立体几何问题．2．过程与方法通过用向量方法解决立体几何中的平行问题的过程，体会向量运算的几何意义． 3．情感、态度与价值观引导学生用联系与转化的观点看问题，体验在探索问题的过程中的受挫感和成功感，培养合作意识和创新精神，同时感受数学的形式美与简洁美，从而激发学习兴趣．教学重点：用向量方法判断有关直线和平面平行关系问题．教学难点：空间直角坐标系的正确建立，空间向量的运算及其坐标表示；用向量语言证明立体几何中有关平行关系的问题．直线的方向向量与平面的法向量问题导思1．如图3－2－1，直线l ∥m ，在直线l 上取两点A 、B ，在直线m 上取两点C 、D ，向量AB →与CD →有怎样的关系？图3－2－1【答案】 AB →∥CD →.2．如图直线l ⊥平面α，直线l ∥m ，在直线m 上取向量n ，则向量n 与平面α有怎样的关系？【答案】 n ⊥α.直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量有无数个．直线l ⊥α，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面α的法向量.空间中平行关系的向量表示课堂探究求平面的法向量例1 已知ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，试建立适当的坐标系．图3－2－2(1)求平面ABCD 与平面SAB 的一个法向量． (2)求平面SCD 的一个法向量．解以点A 为原点，AD 、AB 、AS 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的坐标系，则A (0,0,0)，B (0,1,0)，C (1,1,0)，D (12，0,0)，S (0,0,1)．(1)∵SA ⊥平面ABCD ，∴AS →＝(0,0,1)是平面ABCD 的一个法向量． ∵AD ⊥AB ，AD ⊥SA ，∴AD ⊥平面SAB ， ∴AD →＝(12，0,0)是平面SAB 的一个法向量．(2)在平面SCD 中，DC →＝(12，1,0)，SC →＝(1,1，－1)．设平面SCD 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，则n ⊥DC →，n ⊥SC →. 所以⎩⎪⎨⎪⎧ n ·DC →＝0n ·SC →＝0，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋y ＝0x ＋y －z ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2yz ＝－y ，令y ＝－1得x ＝2，z ＝1，∴n ＝(2，－1,1)．变式训练正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱A 1D 1、A 1B 1的中点，在如图3－2－3所示的空间直角坐标系中，求：图3－2－3(1)平面BDD 1B 1的一个法向量． (2)平面BDEF 的一个法向量．解设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则D (0,0,0)，B (2,2,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，E (1,0,2)(1)连AC ，因为AC ⊥平面BDD 1B 1，所以AC →＝(－2,2,0)为平面BDD 1B 1的一个法向量． (2)DB →＝(2,2,0)，DE →＝(1,0,2)．设平面BDEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )． ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB →＝0n ·DE →＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝0x ＋2z ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x z ＝－12x . 令x ＝2得y ＝－2，z ＝－1.∴n ＝(2，－2,1)即为平面BDEF 的一个法向量. 利用空间向量证明线线平行例2 长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是面对角线B 1D 1，A 1B 上的点，且D 1E ＝2EB 1，BF ＝2F A 1.求证：EF ∥AC 1.解如图所示，分别以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设DA ＝a ，DC ＝b ，DD 1＝c ，则得下列各点的坐标：A (a,0,0)，C 1(0，b ，c )，E (23a ，23b ，c )，F (a ，b 3，23c )．∴FE →＝(－a 3，b 3，c 3)，AC 1→＝(－a ，b ，c )，∴FE →＝13AC 1→.又FE 与AC 1不共线， ∴直线EF ∥AC 1. 变式训练如图3－2－4所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为DD 1和BB 1的中点．求证：四边形AEC 1F 是平行四边形．图3－2－4证明以点D 为坐标原点，分别以DA →，DC →，DD 1→为正交基底建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，E (0,0，12)，C 1(0,1,1)，F (1,1，12)，∴AE →＝(－1,0，12)，FC 1→＝(－1，0，12)，EC 1→＝(0,1，12)，AF →＝(0,1，12)，∴AE →＝FC 1→，EC 1→＝AF →，∴AE →∥FC 1→，EC 1→∥AF →，又∵F ∉AE ，F ∉EC 1，∴AE ∥FC 1，EC 1∥AF ， ∴四边形AEC 1F 是平行四边形. 利用空间向量证明线面平行例3 如图3－2－5，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是AC 的中点，求证：AB 1∥平面DBC 1.图3－2－5解以A 为坐标原点建立空间直角坐标系．设正三棱柱的底面边长为a (a >0)，侧棱长为b (b >0)，则A (0,0,0)，B (32a ，a 2，0)，B 1(32a ，a 2，b )，C 1(0，a ，b )，D (0，a2，0)， ∴AB 1→＝(32a ，a 2，b )，BD →＝(－32a,0,0)，DC 1→＝(0，a 2，b )．设平面DBC 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·BD →＝－32ax ＝0，n ·DC 1→＝a 2y ＋＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，z ＝－a2b y . 不妨令y ＝2b ，则n ＝(0,2b ，－a )．由于AB 1→·n ＝ab －ab ＝0，因此AB 1→⊥n . 又AB 1⊄平面DBC 1，∴AB 1∥平面DBC 1.变式训练在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2BC ，E ，F ，E 1分别是棱AA 1，BB 1，A 1B 1的中点．求证：CE ∥平面C 1E 1F .证明以D 为原点，以DA ，DC ，DD 1所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图．设BC ＝1，则C (0,1,0)，E (1,0,1)，C 1(0,1,2)，F (1,1,1)，E 1(1，12，2)．设平面C 1E 1F 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， ∵C 1E 1→＝(1，－12，0)，FC 1→＝(－1,0,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·C 1E 1→＝0，n ·FC 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12y ，x ＝z ，取n ＝(1,2,1)． ∵CE →＝(1，－1,1)，n ·CE →＝1－2＋1＝0， ∴CE →⊥n ，且CE →⊄平面C 1E 1F . ∴CE ∥平面C 1E 1F . 课堂检测1．若A (－1,0,1)，B (1,4,7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( ) A ．(1,2,3) B ．(1,3,2)C ．(2,1,3)D ．(3,2,1)【解析】 AB →＝(2,4,6)＝2(1,2,3)．【答案】 A2．下列各组向量中不平行的是( ) A ．a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2，－4,4) B ．c ＝(1,0,0)，d ＝(－3,0,0) C ．e ＝(2,3,0)，f ＝(0,0,0)D．g＝(－2,3,5)，h＝(16,24,40)【解析】∵b＝(－2，－4,4)＝－2(1,2，－2)＝－2a，∴a∥b，同理：c∥d，e∥f.【答案】 D3．设平面α内两向量a＝(1,2,1)，b＝(－1,1,2)，则下列向量中是平面α的法向量的是()A．(－1，－2,5) B．(－1,1，－1)C．(1,1,1) D．(1，－1，－1)【解析】平面α的法向量应当与a、b都垂直，可以检验知B选项适合．【答案】 B4．根据下列各条件，判断相应的直线与直线、平面与平面、直线与平面的位置关系：(1)直线l1，l2的方向向量分别是a＝(1，－3，－1)，b＝(8,2,2)；(2)平面α，β的法向量分别是u＝(1,3,0)，v＝(－3，－9，0)；(3)直线l的方向向量，平面α的法向量分别是a＝(1，－4，－3)，u＝(2,0,3)．【解】(1)∵a·b＝1×8＋(－3)×2＋(－1)×2＝0，∴l1⊥l2.(2)∵v＝(－3，－9,0)＝－3(1,3,0)＝－3μ，∴α∥β.(3)∵a、u不共线，∴l不与α平行，也不在α内．又∵a·u＝－7≠0，∴l与α不垂直．故l与α斜交.课堂小结1．利用向量解决立体几何问题的“三步曲”：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)进行向量运算，研究点、直线、平面之间的关系(距离和夹角等)；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题．2．证明线面平行问题，可以利用直线的方向向量和平面的法向量之间的关系；也可以转化为线线平行，利用向量共线来证明．。