学案：排列与组合含答案

学案64 排列与组合

导学目标： 1.理解排列、组合的概念.2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.3.能解决简单的实际问题．

自主梳理

1．排列的定义：__________________________________________________，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列．

排列数的定义：_____________________________________________________________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A m n表示．

2．排列数公式的两种形式：(1)A m n＝n(n－1)…(n－m＋1)，(2)A m n＝n！

－！

，其中公

式(1)(不带阶乘的)主要用于计算；公式(2)(阶乘形式)适用于化简、证明、解方程．说明：①n！＝________________________，叫做n的阶乘；②规定0！＝______；③当m＝n时的排列叫做全排列，全排列数A n n＝______.

3．组合的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做_____________．从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的________，用________表示．

4．组合数公式的两种形式：

(1)C m n＝A m n

A m m

＝

－－－m＋

－

；

(2)C m n＝n！

m！－！，其中公式(1)主要用于计算，尤其适用于上标是具体数且m≤

n

2

的

情况，公式(2)适用于化简、证明、解方程等．

5．C m n＝C k n⇔______________，m、k∈N，n∈N*.

6．组合数的两个性质：(1)C m n＝__________，(2)C m n＋1＝____________________.

自我检测

1．(2010·北京)8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为( ) A．A88A29B．A88C29C．A88A27D．A88C27

2．(2011·广州期末七区联考)2010年上海世博会某国展出5件艺术作品，其中不同书法作品2件、不同绘画作品2件、标志性建筑设计1件，在展台上将这5件作品排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2件绘画作品不能相邻，则该国展出这5件作品的不同方案有( )

A．24种B．48种C．72种D．96种

3．从4台甲型与5台乙型电视机中任选3台，其中至少要有甲、乙型电视机各一台，则不同的取法共有( )

A．140种B．84种C．70种D．35种

4．(2011·烟台期末)2008年9月25日晚上4点30分，“神舟七号”载人飞船发射升空，某校全体师生集体观看了电视实况转播，观看后组织全体学生进行关于“神舟七号”的论文评选，若三年级文科共4个班，每班评出2名优秀论文(其中男女生各1名)依次排成一列进行展览，若规定男女生所写论文分别放在一起，则不同的展览顺序有( ) A．576种B．1 152种C．720种D．1 440种

5．(2010·全国Ⅱ)将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有( ) A．12种B．18种C．36种D．54种

6．(2010·重庆)某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日(端午节假期)值班，每天安排2人，每人值班1天．若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有( )

A ．30种

B ．36种

C ．42种

D ．48种

探究点一 含排列数、组合数的方程或不等式

例1 (1)求等式C 5n －1＋C 3

n －3C 3

n －3＝34

5

中的n 值；

(2)求不等式1C 3n －1C 4n <2

C 5n

中n 的解集．

变式迁移1 (1)解方程：A 42x ＋1＝140A 3

x ；

(2)解不等式：A x 9>6A x －2

6.

探究点二 排列应用题

例2 (2011·莆田模拟)六人按下列要求站一排，分别有多少种不同的站法？ (1)甲不站两端； (2)甲、乙必须相邻；

(3)甲、乙不相邻； (4)甲、乙之间恰间隔两人； (5)甲、乙站在两端； (6)甲不站左端，乙不站右端．

变式迁移2 用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，求这样的六位数的种数．

探究点三组合应用题

例3 男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？

(1)男运动员3名，女运动员2名；

(2)至少有1名女运动员；

(3)队长中至少有1人参加；

(4)既要有队长，又要有女运动员．

变式迁移3 12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法总数是( )

A．C28A23B．C28A66

C．C28A26D．C28A25

1．解排列、组合应用题应遵循两个原则：一是按元素的性质进行分类；二是按事件发生的过程进行分步．

2．对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑：(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数．

3．关于排列组合问题的求解，应掌握以下基本方法与技巧：(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题排除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”

排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价转化．