离散数学第1章第1节 命题及其表示法

三、命题的表示法
1、命题标识符：表示命题的符号称为命题标识符。 在数理逻辑中，使用大写字母，或带下标的大写字 母，或用方括号括起的数字表示命题。 例：P：今天下雨。 “今天下雨”是一个命题，P是命题标识符。 A1：今天下雨。 [12]：今天下雨。 A1 、 [12]也是命题标识符。
三、命题的表示法
1.定义 定义1-2.1 设P为一命题，P的否定是一个新的命题，记作 ┐P。若P为T，┐P为F；若P为F，┐P为T。 联结词“┐”表示命题的否定，称为否定联结词或否定词， 读作“非”或“not”。否定联结词有时亦可记作“ˉ”。 2.真值表
表1-2.1
（1）否定（Negation） （一元联结词）
2、真值：命题所表达的判断结果称为命题的 真值（值）。

注：
真值只有“真”和“假”两种，记作True（真）
和False（假），分别用符号T和F表示。 由于命题只有两种真值，所以称这种逻辑为二值 逻辑。 命题的真值是具有客观性质的，而不是由人的主 观决定的。
下面的哪些语句是命题，如果是命题，指出它的真值：
四、参考网站
哈尔滨理工大学离散数学精品课网站 /xueyuan/com/jpklssx/in dex.htm 西南交通大学离散数学精品课程网站
/courselist/lssx/Cou rse/Index.htm
原子命题不能分解为更简单的陈述句 复合（分子）命题：由联结词、标点符号和原 子命题复合构成的命题。 复合命题可以分解为更简单的陈述句
下面的命题中，哪些是原子命题，哪些是复 合命题：
（1）能整除7的正整数只有1和7本身。
（2）对于每一个正整数n存在一个大于n的素数。
（3）煤是白的。 （4）雪是黑的。 （5）我学英语，或者我学日语。 （6）在宇宙中地球是唯一有生命的地球。 （7）1+101=110
教学内容：
数理逻辑、集合论、代数结构与布尔代数 、图论和计算机中的应用共五部分。
第一篇 数理逻辑
第六章 格和布尔代数
第四篇 图 论
第一章 命题逻辑
第二章 谓词逻辑
第二篇 集合论
第七章 图论
第五篇 应用
第三章 集合与关系 第四章 函数
第三篇 代数系统
第八章 形式语言与自动机
第五章 代数结构
第九章 纠错码初步
P T F
┐P F T
命题P与其否定 ┐P的关系如表 1-2.1所示。

“否定”的意义仅是修改了命题的内容，它是一个 一元运算，我们仍把它看作为联结词。 自然语言中的“不”、“无”、“没有”等词在 命题演算中常与“非”相当。 例：P：今天下雨。 ┐P：今天不下雨。 ┐P：今天无雨。 ┐P：今天没有下雨。 P：上海是一个大城市。 ┐P：上海不是一个大城市。 ┐P：上海是一个不大的城市。 练习：P：一个世纪是一百年。写出┐P。
数理逻辑简介
通常认为数理逻辑是由莱布尼兹(Leibniz)创立的。 数理逻辑的内容包括： 证明论、模型论、递归论、公理化集合论。 数理逻辑的应用 在形式语义学、程序设计方法学和软件工程领域。 在逻辑程序设计方面。 在数据库理论方面。 在程序自动生成、自动转换等的理论和技术研究中。 在形式语言理论、自动机理论、可计算理论、计算复杂性理论等方面。 在人工智能方面。
（7）1+101=110
可根据上下文确定其真假 。
（8）买两张星期六的电影票。（祈使句） （9）全体立正！（祈使句） （10）明天是否开会？（疑问句） （11）天气多好啊！（感叹句） 祈使句、疑问句、感叹句 等都不能作为命题，悖论 （12）我正在说谎。（悖论）
无真值，也不能作为命题。 语句（8）—（12）都不 是命题。
练习：指出下列语句哪些是命题，哪些不是命题，如果是命题， 指出它的真值。（见教材第8页习题（1）） a）离散数学是计算机科学系的一门必修课。 b）计算机有空吗？ c）明天我去看电影。 d）请勿随地吐痰！ e）不存在最大质数。 f）如果我掌握了英语、法语，那么学习其他欧洲语言就 容易的多。 g）9+5≤12 h）x=3 i）我们要努力学习。
为什么要学习离散数学？
20世纪，计算机学科及其它学科为应用数学 提出了越来越多的问题，而几乎所有这些问题都具 有离散的性质，亦具有有限结构，在解决和转换这 些问题的过程中应用数学的新学科——离散数学诞 生和发展了。 什么是离散的性质呢？简单地说，是问题本 身具有离散的结构，它们涉及的函数是定义在离散 的点而不是连续的点的集合上，即它们涉及离散的 量，因而需要离散地求解这些问题。
离散数学与计算机的关系 第一部分 数理逻辑 计算机是数理逻辑和电子学相结合的产物 第二部分 集合论
集合：一种重要的数据结构 关系：关系数据库的理论基础 函数：所有计算机语言中不可缺少的一部分
第三部分 代数系统
计算机编码和纠错码理论 数字逻辑设计基础 计算机使用的各种运算
第四部分 图论
数据结构、操作系统、编译原理、计算机网络原理的基础



研究推理有很多方法，用数学方法来研究推理的规律称为数 理逻辑，即通过引入表意符号研究推理，因此，数理逻辑又 名符号逻辑。 现代数理逻辑可分为证明论、模型论、递归函数论、公理化 集合论等 命题逻辑和谓词逻辑是数理逻辑最基本的内容。命题逻辑， 也称命题演算，记为Ls。它与谓词逻辑构成数理逻辑的基础， 而命题逻辑又是谓词逻辑的基础。
离 散 数 学
Discrete Mathematics
山东科技大学 信息科学与工程学院
一、课程简介 课程名称：离散数学 英文名称：Discrete Mathematics 离散数学：离散数学是现代数学的一个重 要分支，是计算机科学的核心课程。以研 究离散量的结构和相互间的关系为主要目 标，其研究对象是有限个或无限个元素。 离散数学与计算机科学中的数据结构、操 作系统、编译理论、算法分析、逻辑设计 、系统结构、数据库原理等课程紧密相关 。是一门重要的基础课程。
四、小结
学习本节要掌握下列概念：


命题
能表达判断的语句，并具有确定真值的陈述句。
真值 一个命题总具有一个“值”，称为真值。真值只有真和假两种，分别记 为T和F。 原子命题 不能分解为更简单的陈述句，称为原子命题。 复合命题 由联结词、标点符号和原子命题复合构成的命题，称为复合命题。 复合命题亦称分子命题。 命题标识符 表示命题的符号。


命题常量
命题变元 原子变元
一个命题标识符表示确定的命题，该标识符称作命题常量。
命题标识符如果仅是表示任意命题的位置标志，不表示某一确定的 命题，就称为命题变元。 当命题变元表示原子命题，不表示符合命题时，该变元称为原子变 元。

§1—2 联结词



在数理逻辑中，复合命题是由原子命题与逻辑联结 词组合而成，命题的连接方式叫做命题联结词或命 题运算符。 联结词是复合命题中的重要组成部分，为了便于书 写和进行推演，必须对联结词作出明确规定并符号 化。 我们主要讨论下述五种联结词（亦称真值联结词， 逻辑联结词或逻辑运算符），借助它们组成复合命 题。
数字计算机本身就是点量的机器，它仅涉及整 数，而离散数学恰好提供点量的模型，于是它成为 计算机学科的一个极其有用且容易理解的工具。
为什么要学习离散数学？
李开复：给中国学生的第四封信——大学四年应该这么度过 数学是理工科学生必备的基础。很多学生在高中时认为数学是 最难学的，到了大学里，一旦发现本专业对数学的要求不高， 就会彻底放松对数学知识的学习，而且他们看不出数学知识 有什么现实的应用或就业前景。但大家不要忘记，绝大多数 理工科专业的知识体系都建立在数学的基石之上。例如，要 想学好计算机工程专业，那至少要把离散数学（包括集合论、 图论、数理逻辑等）、线性代数、概率统计和数学分析学好； 要想进一步攻读计算机科学专业的硕士或博士学位，可能还 需要更高的数学素养。同时，数学也是人类几千年积累的智 慧结晶，学习数学知识可以培养和训练人的思维能力。
（1）、（2）和 （5）是命题， 是命题，真值 （2）对于每一个正整数n存在一个大于 真值为T。 为F。 n的素数。 （ 3）和（ 4） （1）能整除7的正整数只有1 和 7本身。
（3）煤是白的。 （4）雪是黑的。
（6）是命题，有确定真值， （5）我学英语，或者我学日语。 只是目前还不知道。 （6）在宇宙中地球是唯一有生命的地球。 （7）是命题，在二进制中为T，在十进制中为F，
1、命题标识符：表示命题的符号称为命题标识符。在数理逻 辑中，使用大写字母，或带下标的大写字母，或用方括号括 起的数字表示命题。 2、命题常量：一个命题标识符如表示确定的命题，就称为命 题常量。 3、命题变元：如果命题标识符只表示任意命题的位置标志， 就称为命题变元。 命题变元可以表示任意命题，所以它不能确定真值，故命题 变元不是命题。当命题变元用一个特定命题取代时，才能确 定真值，这称为对命题变元进行指派。 4、原子变元：当命题变元表示原子命题时，该变元称为原子 变元。
解：
a）离散数学是计算机科学系的一门必修课。 是命题，真 值为T。 b）计算机有空吗？ 疑问句，不是命题。 c）明天我去看电影。 是命题，真值要根据具体情况确定。 d）请勿随地吐痰！ 祈使句，不是命题。 e）不存在最大质数。 是命题，真值为T。 f）如果我掌握了英语、法语，那么学习其他欧洲语言就 容易的多。 是命题，真值为T。 g）9+5≤12 是命题，真值为F。 h）x=3 不是命题，x=3的真假由x确定，当x取3时句子为 真，当x取其他值时句子为假。 i）我们要努力学习。 祈使句，不是命题。
北京大学离散数学精品课程网站
/pkujpk/course/lssx/index.htm
离 散 数 学
Discrete Mathematics
山东科技大学 信息科学与工程学院
第一篇