第10章 材料的超弹性力学行为

排列，材料轴向刚度不断增加。
图10-2
泡沫橡胶材料的多面体微元模型 a)开放腔室 b)封闭腔室
图10-3
泡沫橡胶材料的应力-应变曲线 a)压缩 b)拉伸
10.2 超弹性材料的本构关系
图10-4 一个物体的参考(未变形)和当前(变形)构形 a)参考(未变形)构形 b)当前(变形)构形
超弹性材料
橡胶本构模型
小变形
以多项式形式本构模型为例，其应变能密度表达式为
U
i j 1
Cij ( I1 3) ( I 2 3)
i j i 1
N
N
1 ( J 1) 2i Di
I1 3
I2 3
J 1
1 ( J 1) 2 D1
忽略二阶及二阶以上小量，变为
U C10 ( I 1 3) C 01 ( I 2 3)
橡胶本构模型
典型的本构模型为多项式形式，其应变能密度表达式为
U
i j 1
Cij ( I1 3) ( I 2 3)
i j i 1
N
N
1 ( J 1) 2i Di
特殊形式可以由设定某些参数为0来得到。如果所有
Cij 0
j0
N
则得到减缩多项式模型
N i i 1 i 0
(1)小应变时(<5％)，腔室壁弯曲，泡沫变形是线弹性的。
(2)在常应力作用下，应变不断增长，呈非线性弹性状态，原因是 腔室的边缘柱或腔室壁发生弹性屈曲。 (3)最终腔室压溃，引起压应力迅速增加。 (4)小应变时(＜5％)的变形是线弹性的，类似压缩时的情形。 (5)应变增加时，应力-应变呈非线性弹性，由于腔室壁旋转和有 序排列，导致材料刚度提高，在大约1/3拉伸应变时，腔室壁重新
弹性常数为
G 2(C10 C 01 ), K 2 D1
9 KG 3K G 3K 2G 6 K 2G E
当
K
E 3G, 0.5
橡胶本构模型
定义伸长
小变形
x L L0
x
L0 x 1
工程应变定义为 二阶张量基本不变量
x x 1
C01 0.0664 MPa
10.6 结论与讨论
由于大型有限元软件的迅速发展，使得复杂的超弹性模型计 算过程由计算机程序完成，在ABAQUS等商用软件中给出了具 体的计算。用户要熟悉如何输入数据文件，根据试验数据拟合和 选用合适的本构模型，如何处理输出结果并检验其是否正确。对 于初学者来说，商用软件是一个“黑匣子”，因此，掌握超弹性 材料模型理论和计算方法是取得仿真成功的关键。 需要注意的是，对于不可压缩材料的平面问题，无论是解析 解还是数值解，均不能采用平面应变解答。因为对于不可压缩材 料，如果采用平面应变模型，其体积不变，内力为不确定量，在 有限元中的节点位移不能反映单元内力的变化。对于不可压缩材 料或者接近于不可压缩材料的平面问题，务必应用平面应力（或 者广义平面应变）解答。
i i 1 i 0 3 3
1 ( J 1) 2i Di
100%
典型的S形橡胶应力-应变曲线 ，C10正值，在小变形时为切线模量； C20为负值，中等变形时软化；C30正值，大变形时硬化。
橡胶本构模型
其他形式的本构模型有： Ogden形式本构模型
U
i 1 N
2 i
i2
解出橡胶的弹性常数为
K ， E=1.384MPa，ν= 0.5
橡胶本构模型
常用的橡胶力学性能描述方法主要分为两类，一类是基于 热力学统计的方法，另一类是基于橡胶为连续介质的唯象学描 述方法。 热力学统计方法的基础为观察到橡胶中的弹性恢复力主要 来自熵的减少。橡胶在承受荷载时分子结构无序，熵的减少是 由于橡胶伸长使得橡胶结构由高度无序变得有序。由对橡胶中 分子链的长度、方向以及结构的统计得到本构关系。 唯象学描述方法假设在未变形状态下橡胶为各向同性材料， 即长分子链方向在橡胶中是随机分布的。这种各向同性的假设 是用单位体积（弹性）应变能函数（U）来描述橡胶特性的基 础，其本构模型为多项式形式模型和Ogden形式模型。
U Ci 0 ( I 13)
1 ( J 1) 2i Di
对于完全多项式，如果 N 1 , 则只有线性部分的应变能量，
即Mooney-Rivlin形式
U C10 ( I1 3) C01 ( I 2 3) 1 ( J 1) 2 D1
橡胶本构模型
对于减缩多项式，如果 N 1 ，则得到Neo-Hookean形式
I 1 ( A) 1 2 3
I 2 ( A) 1 2 2 3 3 1
I 3 ( A) 1 2 3
小变形，有
I1 3
I2 3
I3 1
橡胶本构模型
例题
小变形
在超弹性计算中，橡胶使用三次减缩多项式应变能本构模型， 应变能密度表达式为
平衡方程是以物体中应力的形式建立的，应力来源于变形， 如应变。如果本构行为仅是变形的当前状态的函数，为与时间 无关的弹性本构。而对于接近不可压缩的材料，仅依赖变形 （应变）不一定能够得到应力。
储存在材料中的能量（功）仅取决于变形的初始和最终状 态，并且是独立于变形（或荷载）路径，称这种弹性材料为超 弹性（hyper-elastic）材料，或者为Green弹性，例如常用的 工业橡胶。动物的肌肉也具有超弹性的力学性质。这里主要讨 论橡胶材料的超弹性力学行为。
超弹性材料
对于功独立于荷载路径的弹性材料称之为超弹性（Green弹 性）材料。超弹性材料的特征是存在一个潜在（或应变）能量 函数，它是应力的势能：
S2 (C) w(E) C E
τ Jσ F S F 2F
通过适当转换获得了对于不同应力度量的表达式 (C) T w(E) T T
E 1 Ti th Ti test
n i 1
2
实验数据中的应力值 按照本构关系与伸长率对应的应力表达式
试验拟合本构模型系数
确定材料常数的经验公式
对于已经成型的橡胶元件，通常不容易通过上述试验来确定 其材料常数。经验公式是通过橡胶的IRHD硬度指标来确定材料 的弹性模量和切变模量，再由材料常数和弹性模量的关系来确 定材料常数。基本公式为（小应变条件）
功能： (1)溶胀：橡胶将溶剂吸入体内而形成溶胀状态。
(2)填料：橡胶加填料可以提高其强度、刚度和耐磨性。
(3)应变诱发结晶：橡胶拉伸至一定程度时，橡胶网链 沿拉伸方向作有序排列，有利于形成结晶。
超弹性材料
橡胶具有许多特殊的性能，例如电绝缘性、耐氧老化性、耐 光老化性、防霉性、化学稳定性等。 1839年，Charle Goodyear发明了橡胶的硫化方法，其姓 氏现在已经成为国际上著名橡胶轮胎的商标。 从19世纪中叶起橡胶就成为一种重要的工程材料。然而， 橡胶材料的行为复杂，不同于金属材料仅需要几个参数就可 以描述材料特性。橡胶材料受力以后，变形是伴随着大位移 和大应变，其本构关系是非线性的，并且在变形过程中体积 几乎保持不变。
Arruda-Boyce形式本构模型
图10-10
Van der Waals形式本构模型
10.5 试验拟合超弹性本构模型系数
橡胶类材料的本构关系除具有超弹性、大变形的特征外， 其本构关系与生产加工过程有直接关系，如橡胶配方和硫化工 艺。确定每一批新加工出来的橡胶的本构关系，都要依赖于精 确和充分的橡胶试验。
(1 2 3 3)
i i i
i 1
N
1 ( J 1) 2i Di
Arruda-Boyce形式本构模型
U
i 1 5
Ci
2 i 2 m
2 1 J 1 i i ( I1 3 ) ln J D 2
Van der Waals模型
3 2 ~ 2 I 32 1 J 1 2 U ( m 3)ln(1 ) 2 D 2 ln J 3
图10-8
二次Ogden形式本构模型
图10-9
泡沫橡胶材料的多面体微元模型 a) 开放腔室，b) 封闭腔室
超弹性材料
小应变 <5%，线弹性，泊松比为0.3 。 大应变，压缩时，泊松比为0.0； 拉伸时，泊松比大于0.0。


泡沫橡胶材料的应力-应变曲线 a)压缩 b)拉伸
图10-1
固体橡胶材料的拉伸试验曲线与材料演化模型
10.1.2 泡沫橡胶
超弹性材料
橡胶是一种弹性聚合物，其特点是有很强的非线性粘弹性行 为。它的力学行为对温度、环境、应变历史、加载速率都非 常敏感，这样使得描述橡胶的行为变得非常复杂。橡胶的制 造工艺和成分也对橡胶的力学性能有着显著的影响。
由于计算机以及有限元数值分析的飞速发展，我们可以借助 计算机来对超弹性材料的工程应用进行深入研究以及优化设计。 可以用有限元等数值方法来计算分析橡胶元件的力学性能，包 括选取和拟合橡胶的本构模型，以及用有限元建模和处理计算 结果等。
U C10 ( I 1 3) 1 ( J 1) 2 D1
100%
100%
Mooney-Rivlin形式和Neo-Hooken形式本构模型 （后者是将Hooke定律扩展至大变形）
橡胶本构模型
Yeoh形式本构模型是 N 3 时减缩多项式的特殊形式
U Ci 0 ( I 13)
超弹性材料
常用的橡胶性态可分为固体橡胶和泡沫橡胶。 固体橡胶是几乎不可压缩的，其泊松比接近于0.5。可逆， 大应变。初始各向同性，应变增加后分子定向排列。
固体橡胶材料的拉伸试验曲线与材料演化模型

超弹性材料
一般将多孔橡胶或弹性泡沫材料统称为泡沫材料。弹性泡 沫材料的普通例子有多孔聚合物，如海绵、包装材料等。 泡沫橡胶是由橡胶制成的弹性泡沫材料，能够满足非常大 的弹性应变要求，拉伸时的应变可以达到500％或更大，压缩 时的应变可以达到90％或更小。与固体橡胶的几乎不可压缩性 相比，泡沫材料的多孔性则允许非常大的体积缩小变形，因此 具有良好的能量吸收性。
第10章 材料的超弹性力学行为
10.1 橡胶材料
10.2 超弹性材料的本构关系 10.3 橡胶变形力学行为 10.4 常用橡胶材料的本构关系 10.5 试验拟合超弹性本构模型系数 10.6 结论与讨论
10.1 橡胶材料
10.1.1 固体橡胶
橡胶是提取橡胶树、橡胶草等植物的胶乳，加工后制成的具 有弹性、绝缘性、不透水和空气的材料。在半个世纪前，“橡 胶”一词是专指生橡胶，它是从热带植物巴西三叶胶的胶乳提 炼出来的。 目前，世界半数以上的橡胶是合成橡胶。合成橡胶的种类很 多，例如，制造轮胎使用的丁苯橡胶（苯乙烯和丁二烯的共聚 物）或乙丙烯橡胶（ERP）；用于汽车配件的有氯丁橡胶及另 一种具有天然橡胶各种性能的异戊橡胶。 在众多的合成橡胶中，硅橡胶是其中的佼佼者。它具有无味 无毒，不怕高温和严寒的特点，在摄氏300度和零下90度时能 够“泰然自若”、“面不改色”，仍不失原有的强度和弹性。 例如生物材料。
C F F E F
S FT P
由于变形梯度张量F是不对称的，因此名义应力张量P的9个 分量是不对称的。
在橡胶大变形中应用多项式模型和Ogden指数模型。
10.3 橡胶变形力学行为
橡胶本构模型
100%
典型固体橡胶材料单轴拉伸应力-应变曲线
10.4 常用橡胶材料的本构关系
log E0 0.0184 H r 0.4575
G E0 2 C10 C01 3 C01 0.05 C10
将得到的材料常数代入Mooney-Rivlin模型进行计算。
例子
采用氢化丁腈橡胶H-NBR75，硬度为75MPa，解得
E0 8.366 MPa
C10 1.328MPa
U Ci 0 ( I 1 3) i
i 1 3
若取 C10 = 0.461312
C20 = 0.0Байду номын сангаас752
C30=8.81 10 5
（单位为MPa），求材料弹性常数。
解：
利用公式
G 2(C10 C 01 ), K 2 D1
E
9 KG 3K 2G , 3K G 6 K 2G
试验拟合本构模型系数
通常在试验中应该测得在几种不同荷载模式下的应力-应变曲线， 这样可以选择出最合适的本构模型以及描述这种模型的参数。
同一种橡胶材料的三种拉伸变形状态的应力-应变曲线图， 对比试验曲线，由最小二乘法拟合多项式本构模型中的系数。
图10-13 应力状态的叠加
试验拟合本构模型系数
给出实验数据，应力表达式的系数通过最小二乘法拟合 确定，这样可以使得误差最小。即对于n 组应力-应变的试验 数据，取相对误差E 的最小值，拟合应力表达式中的系数， 得到理论本构模型。