连续介质力学1-3

3. 对称张量与反对称张量 命题一、对称性与反对称性与坐标系无关。 命题一、对称性与反对称性与坐标系无关。 证明： 证明：
Ti′j′ = β i′m β j′nTmn T j′i′ = β j′m β i′nTmn
命题二、 命题二、任意二阶张量可以唯一分解成一个对称 张量与一个反对称张量之和。 张量与一个反对称张量之和。 证明： 证明： 存在性 唯一性
证明： 证明：I 12 = (λ1 + λ2 + λ3 )
2
2 = λ1 + λ2 + λ2 + 2 λ1 λ 2 + λ 2 λ 3 + λ 3 λ1 2 3
(
) (
)
ˆ = T2
( )
kk
+ 2I2
§3-3 二阶实对称张量 ˆ的三个主值都是实数。 1. T的三个主值都是实数。 v v v 证明： 为主值， 是主方向， ˆ 证明：λ为主值，x是主方向，即T • x = λx v v ˆ • x # = λ# x # 则T v ˆ v# v 或x • T • x ˆ对称， ˆ v ˆ Q T对称，故T • x # = x # • T v# ˆ v = x •T • x v# ˆ # v# ∴ x •T = λ x v v v ˆ v x # • T • x = λ# x # • x
Tij a j = β ii ′ β jj′Ti ′j′ β jk ′ ak ′ = β ii ′δ k ′j′Ti ′j′ a k ′ = β ii ′Ti ′k ′ ak ′
λa i = λβ ik ′ a k ′ β ii ′Ti ′k ′ a k ′ = λβ ik ′ ak ′ β im′ β ii ′Ti ′k ′ ak ′ = λβ im′ β ik ′ ak ′
1 1 Tij = (Tij + T ji ) + (Tij − T ji ) 2 2
如Tij = Aij + Bij 则T ji = A ji + B ji = Aij − Bij
二阶张量的主值、 §3-2 二阶张量的主值、主方向和不变量 1. 主值与主方向 特征值与特征向量 主值与主方向(特征值与特征向量 特征值与特征向量) v v v v ˆ二阶， 矢量， ˆ T二阶，a 矢量，则T • a = b 为矢量。如∃λ、a ， 为矢量。 v ˆ v T • a = λa 使得 ˆ的一个主值， v ˆ 称λ为T的一个主值，a 为T对应于λ的主方向。 的主方向。 说明： 说明：
特征方程变为
λ − T11
0 0
0
λ − T22
− T32
− T23 = (λ − λ1 )(λ − λ 2 ) λ − T33
0
2
λ − T11
0 0
T11 = λ1
0
λ − T22
− T32
− T23 = (λ − λ1 )(λ − λ 2 ) λ − T33
2
0
2
(λ − λ2 )
2 = λ2 − (T22 + T33 )λ + T22T33 − T23
命题一： ˆ 命题一：T正定 ⇔ λi > 0 vv v v v v 证明： 证明： ˆ T = λ1 e1 e1 + λ 2 e 2 e 2 + λ3 e 3 e 3 v ˆ v 2 2 x • T • x = λ1 x12 + λ 2 x 2 + λ 3 x 3 ˆ ˆ ˆ 也正定。 命题二： ˆ正定， 命题二：T正定，则可表示为T = U 2，其中U也正定。
kk
1 ˆ3 I3 = T 3
( )
kk
1 ˆ − I1 ⋅ T 2 2
( )
kk
1 3 + I1 6
λ1 + λ2 + λ3 = Tkk = I 1
ˆ λ1λ2 λ3 = det T = I 3
1 λ1λ2 + λ2 λ3 + λ3 λ1 = (TiiT jj − TijT ji ) = I 2 2
ˆ ˆ的逆张量， ˆ ˆ ˆ 称T −1为T的逆张量，如果T −1 • T = I
2. 正交张量
ˆ为正交张量， ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 称T为正交张量，如果 T T • T = T • T T = I
T11 T12 T13 ˆ 此时有 det T = T21 T22 T23 = ±1 T31 T32 T33
c1 λ1 c2 0 c3 0
0
λ2
0
0 0 λ3
λ1 =0 0
0
λ2
0
0 0 λ3
§3-4 二阶张量的极分解 1. 正定的二阶对称张量 v v ˆ v ˆ为正定二阶张量。 ∀x ≠ 0, 如恒有x • T • x > 0, 称T为正定二阶张量。
Tm′k ′ a k ′ = λam′
2. 特征方程与不变量
Tij a j = λai
⇒ (Tij − λδ ij )a j = 0
有非零解 的条件
T12 T13 a1 T11 − λ T T22 − λ T23 a2 = 0 21 T31 T32 T33 − λ a3
第三章 二阶张量 §3-1 基本性质
vv ˆ =T e e T ij i j
Tij有9个分量，其诸多性 个分量， 个分量 质与右列矩阵相同。 质与右列矩阵相同。 1. 转置张量与逆张量
T11 T12 T13 T T22 T23 21 T31 T32 T33
vv vv ˆ T = T e e 为T = T e e 的转置张量 ˆ 称T ji i j ij i j
4. 如取三个主方向为基矢量，则 如取三个主方向为基矢量，
vv v v v v ˆ =λ e e +λ e e +λ e e T 1 1 1 2 2 2 3 3 3
5. 正交变换
a1 T11 T12 T13 a1 T T22 T23 a2 = λ1 a2 21 a3 T31 T32 T33 a3
[ ( )] ( ) ( )
kk
1 3 + I1 6
v ˆ v v 命题一： 的特征向量， ˆ 命题一：如a 是T对应于λ的特征向量，即T • a = λa v v ˆ 则有 T n • a = λn a
I 命题二： 命题二： 1 = Tkk 1 2 ˆ2 I 2 = I1 − T 2
[ ( )]
v ˆ v v 命题一： 的特征向量， ˆ 命题一：如a 是T对应于λ的特征向量，即T • a = λa v v ˆ 则有 T n • a = λn a 用归纳 法证之 命题二： 命题二： I 1 = Tkk
1 2 ˆ I 2 = I 1 − T 2 kk 2 1 ˆ3 1 ˆ I 3 = T kk − I 1 ⋅ T 2 3 2
(
)
(
)
ˆ 3. T恒有三个互相垂直的主 轴。
证明： 由前一命题即得。 证明：(1) λ1 ≠ λ2 ≠ λ3 , 由前一命题即得。
( 2) λ1 ≠ λ 2 = λ 3 v 取与λ1 对应的主方向为基矢量 e1， v v v ( e1 , e 2 , e 3 )构成正交基。 构成正交基。 vv v ˆ ˆ v T = Tij e i e j , T • e1 = λ1 e1 v v Ti1 e i = λ1 e1 , Ti 1 = δ i 1λ1
展开为
T11 − λ T12 T13 T21 T22 − λ T23 = 0 T31 T32 T33 − λ
3 2
1 ˆ λ − Tkk λ + (TiiT jj − TijT ji )λ − det T = 0 2 称为T的特征方程，方程的根称为特征值（主值）。 称为T的特征方程，方程的根称为特征值（主值）。
v 与e1垂直的方向一定是主方向，且主值为λ2
( 3) λ1 = λ2 = λ3
vv v v v v ˆ = λe e + λe e + λe e T 1 1 2 2 3 3
v v v v ∀a = a1 e1 + a2 e 2 + a3 e 3
v ˆ v T • a = λa 任意方向都是主方向，主值为λ。 任意方向都是主方向，3
a1 a 2 a3
b1 b2 b3 b1 b2 b3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
c1 λ1 c2 0 c3 0
0
λ2
0
0 0 λ3
a 3 T11 T12 T13 a1 b3 T21 T22 T23 a 2 c3 T31 T32 T33 a 3 a1 = b1 c1 a2 b2 c2 a 3 a1 b3 a 2 c3 a3
1 ˆ λ − Tkk λ + (TiiT jj − TijT ji )λ − det T = 0 2
3 2
为方程的三个根， 记λ1、λ2和λ3为方程的三个根，显然有
λ1 + λ2 + λ3 = Tkk = I 1
1 λ1λ2 + λ2 λ 3 + λ3 λ1 = (TiiT jj − TijT ji ) = I 2 2 ˆ λ λ λ = det T = I
v v ˆ • a 可以理解为 T 在 a 方向投影 ˆ (1) T
v ˆ v ˆ (2) T • a 也可以理解为 a 被 T 变换
v v v ˆ二阶，a 矢量，则T • a = b 为矢量。如∃λ、a ， ˆ v T二阶， 矢量， 为矢量。 v v ˆ • a = λa T 使得 ˆ的一个主值， v ˆ 的主方向。 称λ为T的一个主值，a 为T对应于λ的主方向。
b1 b2 b3 c1 λ1 c2 0 c3 0 0
a1 = a 2 a 3
λ2
0
0 0 λ3
T11 T12 T13 a1 T T22 T23 a 2 21 T31 T32 T33 a 3 a1 b 1 c1 a2 b2 c2
命题： 主值与坐标系无关。 命题： 主值与坐标系无关。 证明 ：
Tij a j = λa i Tij = β ii ′ β jj′Ti ′j′ a j = β jk ′ a k ′
Tij a j = λa i Tij = β ii ′ β jj′Ti ′j′ a j = β jk ′ a k ′ Ti′j′ a j′ = λai′
2 ∴ −2λ 2 λ + λ2 = − (T22 + T33 )λ + T22T33 − T23 2
由系数相等， 由系数相等，得
2 (T22 − T33 )2 + 4T23 = 0
⇒ T22 = T33 , T23 = 0
vv v v v v ˆ T = λ1 e1 e1 + λ 2 e 2 e 2 + λ2 e 3 e 3 v v ˆ v v ˆ v v ˆ •e = λ e , T •e = λ e , T •e = λ e T 1 1 1 2 2 2 3 2 3
1 2 3 3
因为λ 是坐标变换下的不变量， 也是不变量， 因为 i是坐标变换下的不变量，故Ii也是不变量，称 为第一、 三不变量。 为第一、二、三不变量。
3. 二阶张量的幂 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 记 T • T = T 2 ; T n −1 • T = T n −1 • T = T n
v# ˆ v v# v 由第一式， 由第一式，x • T • x = λx • x v# v ∴ λ −λ x •x =0
#
(
)
ˆ 2. T对应不同主值的两特征 向量必正交 v v ˆ v v ˆ • x = λx , T • y = µy 证明： 证明：λ ≠ µ , T v ˆ v v ˆ v v v x • T • y − y • T • x = (µ − λ )x • y
T11 T12 T13 a1 T T22 T23 a2 21 T31 T32 T33 a3 b1 b2 b3 c1 λ1 a1 c 2 = λ1 a2 c 3 λ1 a3
其中主 矢量单 位化了
λ2 b1 λ3 c1 λ2 b2 λ3 c 2 λ2 b3 λ3 c 3