《数学分析》 方向导数和梯度、偏导数在几何上的应用

§3 方向导数和梯度、偏导数在几何上的应用

一、 空间曲线的切线与法平面（参数方程表示，方程组表示）

本节主要讨论由参数方程表示的空间曲线和由方程组表示的空间曲线的切线和法平面的计算问题。

1、 参数方程的情形

设空间曲线l 的参数方程为

()()()x x t y y t z z t =⎧⎪

=⎨⎪=⎩

()a t b ≤≤ 其中t 的参数。又设,,x y z '''都在[,]a b 连续，并且对每一[,],(),(),()t a b x t y t z t '''∈不全为0，这样的曲线称为光滑曲线。

向量表示：()()()(),[,]r r t x t i y t j z t k t a b ==++∈。()r t 的导数定义为

000()()()lim

lim

()()()()()()

lim()()()()t t t r r t t r t r t t t x t t x t y t t y t z t t z t i j k t t t x t i y t j z t k

∆→∆→∆→∆+∆-'==∆∆+∆-+∆-+∆-=++∆∆∆'''=++(,,)x y z '''存在

几何意义：()()r r t t r t ∆=+∆-表示通过曲线l 上两点P 、Q 的割线的方向向量，令0t ∆→，即点Q 得l 通过点P 时，

r

t

∆∆的极限位置就是曲线l 在点P 的切向量τ，即()((),(),())r t x t y t z t τ''''== 有了切向量τ，就可写出曲线l 在任一点0000(,,)p x y z 的切线方程：

000

000()()()

x x y y z z x t y t z t ---==

''' 法平面：过点0p 可以作无穷多条切线与切线x 垂直，所有这些直线都在同一平面上，称这个平面为曲线L 在点0p 处的法平面，其方程为：000000()()()()()()0x t x x y t y y z t z z '''-+-+-=

例1 求螺旋线l ：cos ,sin ,x a t y a t z ct ===，（其中,,a b c 为常数）在点（a ，0，0）的切线方程和法平面方程。

2、 空间曲线l 是用两个曲面的交线表示的，如何求切向量？

设有一个方程组（两个曲线方程的联立）⎩⎨

⎧==0

),,(0

),,(z y x G z y x F ，又设F 、G 关于x ，y ，z 有连续的偏导数，点

0000(,,)p x y z 满足方程组：0),,(000=z y x F ，0),,(000=z y x G ，并且F ，G 的Jacobi 矩阵

⎝⎛∂∂∂∂x

G x F y

G y F ∂∂∂∂ ⎪⎪⎪⎪⎭

⎫∂∂∂∂z G z F

在点0p 的秩为2，不妨设 y

G y F

∂∂∂∂

00

≠∂∂∂∂P z

G z F 。由方程组的隐函数存在定理（P 526定理3）知道，在点

0p 的某一

个邻域内，由方程组可以确定唯一的一组连续可微函数)(x y y =，)(x z z =从几何上看，即曲面下0),,(=z y x F 和

0),,(=z y x G 在点

0p 的近分端定了一条光滑的曲线l （两曲面的交线）

，其方程为：x x = ，)(x y y =，)(x z z =， 此处x 是参数，与该切线l 的切向量是))(),(,1(x z x g ''其中)(),(x z x y ''的求法可以用上节求法（方程组确定的隐函数求导法求出）

),(),()

,()

,()(z y G F x z G F x y ∂∂∂∂='； )

,(),()

,()

,()(z y G F y x G F x z ∂∂∂∂=' 例1、 求两柱面的交线⎪⎩

⎪⎨

⎧=+=+11

2

222z x y x 在点0

p )2

1,

2

1,

2

1(

的切线方程和法平面方程。

二、 曲面的法向量、法线和切平面

1、0),,(=z y x F 的情形

若光滑曲线S 的方程组0),,(=z y x F ，),,(0000z y x M 为曲面上一点，过点0M 任做一条在曲面上的曲线l ，设其方程为：)(t x x =，)(t y y =，)(t z z =。则切平面方程：0)()()()()()(000000=-+-+-z Z F y Y F x X F M z M y M x ；过点0M 并与切线平面垂直的直线，称为曲线在点0M 的法线，方程为：

00)()()(0

00M z M y M x F z Z F y Y F x X -=

-=-。 2、),(y x f Z =：0),(),,(=-=y x f Z z y x F ， ),,(000z y x ()),(000y x f z = 切平面方程：0)()()()()()(0),(0),(0),(000000=-∂∂=-∂∂=-∂∂z Z z

z

y Y y z x X x

z y x y x y x 法线方程：

1)()(0

),(0),(00000z Z y

z y Y x z x X y x y x -=

∂∂--=∂∂-- 3、曲面方程由方程组给出：

),(v u x x =，),(v u y y =，),(v u z z =

v u ,是参数，并假定Jacobi 矩阵

⎝⎛∂∂∂∂x

x u x

v y u y ∂∂∂∂ ⎪⎪⎪⎪

⎭

⎫∂∂∂∂v z u z 的秩为2。 法线方程：

00)),(),(()),(),(()),(),((0

00M M M v u y z z Z v u x z y Y v u z y x X ∂∂-=

∂∂-=∂∂- 例3、求曲面122-+=y x z 在点（2，1，4）的法向量的方向余弦，并求其法线方程和切平面方程。 例4、证明对任何常数ϕρ,，球面2222ρ=++z y x 和锥面ϕ222tg y x =+正交。

三、 方向导数和梯度

（一）数量场

数量场：设D 是n R 中的一个区域，f 是定义在D 内的一个实值函数，即R D f →:。则称在D 内有一