10.7 驻波

10.7 驻波

教学目的

1．知道驻波现象及什么是波节、波腹，驻波是一种特殊的干涉现象．

2．理解驻波的形成过程，理解驻波与行波的区别，理解空气柱共鸣的条件．

引入新课

一列波在向前传播的途中遇到障碍物或者两种介质的分界面时，会发生反射，如果反射波和原来向前传播的波相互叠加，会发生什么现象呢？

一、驻波

1、驻波的演示:

如课本图10－31所示，把弦线的一端A固定在电磁打点计时器的振针上，另一端跨过定滑轮拴一个砝码盘，盘上放砝码，将弦线拉平．在靠近定滑轮的B处，用一个尖劈把弦线支起来．接通电磁打点计时器的电源，振针振动时，有一列波向定滑轮的一侧传播，并在B处发生反射．改变尖劈的位置，来调节AB的长度，当尖劈调到某适当位置时，可以看到，弦线会分段振动起来．

2、几个概念：

①波节——弦线上有些点始终是静止不动的，这些点叫做波节．

波腹——在波节和波节之间的那段弦线上，各质点以相同的频率、相同的步调振动，但振幅不同，振幅最大的那些点叫做波腹．

在相邻的两段弦线上，质点的振动方向是相反的．相邻的两个波节(或波腹)之间的距离等于半个波长，即等于λ/2．

②驻波——波形虽然随时间而改变，但是不向任何方向移动，这种现象叫做驻波．波形不传播，是媒质质元的一种集体振动形态。"驻"字的第一层含义。

行波——驻波跟前面讲过的波形向前传播的那种波显然是不同的，相对于驻波来说波形向前传播的那种波叫行波．

③驻波与行波的区别

A物理意义不同：驻波是两列波的特殊干涉现象，行波是一列波在介质中的传播．B质点振动不同：相邻波节间质点运动方向一致．波节两侧质点振动方向总相反．C波形不同：波形向前传播的是行波，波形不向任何方向传播的是驻波．

3、驻波的形成

两列振幅相同的相干波在同一直线上沿相反方向传播时形成的叠加波。

①两列沿相反方向传播的振幅相同、频率相同的波叠加，形成驻波．

②振幅相同、频率相同波的叠加．

三、驻波的特点

课本10－33中用虚线表示两列沿相反方向传播的振幅相同、频率相同波的叠加，用实线表示这两列波叠加后形成的合成波．图中画出了每隔T/8周期波形的变化情况．由图可以看出，合成波在波节的位置(图中的“·”表示)，位移始终为零．在两波节之间，各质点以相同的步调在振动，两波节之间的中点振幅最大，就是波腹(图中用“＋”表示)．

驻波不是振动状态的传播，也没有能量的传播。媒质中各质点都作稳定的振动。

1.频率特点：由图及方程知，各质元以同一频率作简谐振动。

2.振幅特点：

(1)各点的振幅：和位置 x 有关，振幅大小按余弦规律随 x 变化

(2)波节：有些点始终静止，这些点称作波节。波节处，由两列波引起的两振动

恰好反相，相互抵消，故波节处静止不动。

相邻两波节间的距离为

21λ=-+k k x x (3)波腹：有些点振幅最大，这些点称作波腹。波腹处，由两列波引起的两振动恰好同相，相互加强，故波腹处振幅最大。

相邻两波腹间的距离为

21λ=-+k k x x 相邻波腹与波节之间的距离为

4λ=∆x 其它点的振幅为0～2A 之间。

振幅分布的这一特征可以用来测量波长，通过驻波实验测出波节或波腹间的距离，即可得到波长。

3.相位特点

在形成驻波时，波线上各质元都以同一频率作简谐振动，但是不同质元的振幅随其位置作周期性的变化。

(1) 两相邻波节间的点（同一段的点）， 符号相同，相位相同。

(2) 波节两边的点（相邻段的点）， 符号相反，相位相反。

在两个波节之间，cos2πx/λ有相同的符号，因而两个相邻波节间的所有质点的振动相位相同；在波节的两侧，cos2πx/λ有相反的符号，即波节两侧质点的振动相位相反。即当驻波形成时，介质在作分段振动。同一段内各质点的振动步调一致，同时达到正向最大位移，同时通过平衡位置，同时达到负向最大位移，只是各个质点的振幅不一样；相邻两段质点的振动步调相反。同时沿相反的反向通过最大位移，同时沿相反的反向通过平衡位置。每一段中质点都以确定的振幅在各自的平衡位置附近独立地振动着。只有段与段之间的相位突变，没有象行波那样的相位和波形的传播，故称为驻波。严格地说，驻波不是波动，而是一种特殊形式的振动。

驻波相位不传播---"驻"字的第二层含义。

4.能量特点

(1)动能：当各质点同时到达平衡位置时：介质无形变，势能为零，此时驻波能量为动能。波腹处动能最大，驻波能量集中在波腹附近。

(2)势能：当各质点同时到达最大位移时：动能为零，此时驻波能量为势能。波节处形变最大，势能最大，能量集中在波节附近。

(3)结论：动能、势能不断在波腹附近和波节附近间相互转换，能量交替传递，介质在振动过程中动能和势能不断转换，在转换过程中，能量不断地由波腹附近转移到波节附近，再由波节附近转移到波腹附近。由于原来形成驻波的两列相干波的能流密度值相等，但是传播方向相反，因此合成波的能流密度为零，即不存在沿单一方向的能流。这就是说驻波不能传播能量。---“驻”字的第三层含义。

驻波的能量被“封闭”在相邻波节和波腹间的 λ /4 的范围内，在此范围内有能量的反复流动，但能量不能越过波腹和波节传播,驻波没有单向的能量传输。

能量在驻波中的分布是不均匀的，振动的能量在波节处的分布相对更为集中。 （驻波有如下特点：驻波也是一种波的干涉现象，但是一种特殊的干涉现象．其特殊性表现在两个方面：

①波源特殊：驻波是由频率相同，振幅相同，振动方向相同，而传播方向相反的两列波叠加而成的．

②波形特殊：波形虽然随时间而改变，但是不向任何方向移动，相邻两波节间质点运动方向一致，但振幅不同，波节两侧的质点振动方向总是相反．）

四、半波损失

1．实验现象：

实际的驻波可由入射到媒质界面上的行波和它的反射波叠加而成。

①波在固定端的反射(如一端固定的弹性绳)，反射点是波节(和固定点情况吻合)。

②波在自由端的反射，反射点是波腹。

③在两个介质分界面上，反射点形成波节还是波腹，取决于该处两种介质的密度的大小、入射角的大小和波速等。

2．波疏介质与波密介质：

介质的密度ρ与波速u的乘积ρu（有时把Z=ρu定义为阻抗）较大的介质称为波密介质，ρu较小的介质称为波疏介质。

3．相位突变与半波损失

在波垂直于界面入射时，若从波疏介质传向波密介质，并在界面处反射，则在反射处形成波节；相反，若从波密介质传向波疏介质，并在界面处反射，则在反射处形成波腹。要在两种介质的分界面处形成波节，入射波和反射波必须在此处的相位相反，即反射波在分界面上相位突变了π。由于在同一波线上相距半个波长的两点相位差为π，因此波从波密介质反射回波疏介质时，如同损失（或增加）了半个波长的波程。我们常常将这种相位突变π的现象形象地叫做半波损失。

五、应用

外界策动源频率与系统某本征频率相同时，激起高强度的驻波，也叫共振或谐振。

1、乐器

弦乐器发声原理：从上述弦线上驻波的形成来看，可以认为驻波是一种特殊的干涉现象．从驻波的振动情况来看，可以认为驻波是组成弦线的无数有相互联系的质点的一种振动模式．实际上，只要设法激起弦线的振动(弹、拉、打击等)，就能在弦线上产生驻波，并在周围空气中发出声波，这就是弦乐器发声的原理．当拨动琴弦，产生一个波，遇到两个固定端后发生反射，形成驻波。无论是提琴还是古筝，它的每一根弦在特定的长度和张力下，都会有自己的固有频率。当弦以固有频率振动时，两端被固定振幅最小，但振动方向的张力最大（波节）。中间振幅最大，但弦最松弛，即振动张力最小（波腹）。

管乐器发声原理：

【演示】在盛有水的容器中插入一根粗玻璃管，管口上方放一个正在发声的音叉，慢慢向上提起玻璃管，当管内空气柱达到一定长度时，可听到空气柱发出较强的声音，这时，从音叉发出并进入玻璃管的声波和经水面反射回来的反射波相互叠加，在空气柱内产生驻波，玻璃管开口处为波腹，水面处为波节，空气柱的长度 l＝λ/4、 l＝3λ/4、l＝5λ/4时．课本图10－34(乙、丙、丁)，都会产生驻波．

空气柱产生驻波条件l＝(2n＋1)/4(n＝0，1，2，3……)

空气柱内的驻波可看作空气柱的一种振动模式，所以上述现象可看作音叉和空气柱发生了共鸣．实际上，只要设法激起空气柱的振动(如吹奏)，就能使空气柱产生驻波，并在周围空气中发出声波，这就是管乐器发声的原理．

在上述实验中，如果测出空气柱的长度l，就可以测出声波的波长λ．如果已知音叉的频率f，还可测出声波的速度 v＝λf．