主成分回归分析

二、主成分分析筛选变量法 1、将原始样本数据标准化后，作主成分变换 Z= X*U
U p u1p u2 p upp
2、剔除Up中绝对值最大的ui1p所对应的变量 具有较小特征根对应的主成分含有较少的信息。
3、将剩余p-1个标准化变量X*(1)再作主 成分分析 Z(1)=X*(1) U(1)
yˆi* y 2
yi* 2 Байду номын сангаас
yi* yˆi* 2
yˆi* 2
yˆi* 2 Yˆ* Yˆ* Zˆ Zˆ ˆZZˆ ˆˆ
ˆ1 ˆ2
1

ˆ p



2

ˆ1
q
j p c, j
j 1
j 1
pc
2、删去 0.01的特征根所对应的主成分。
3、
q j 1
1
j
5q
SPSS实现
1、对所有变量进行标准化(Analysedescription)
2、对所有标准化后的自变量求主成分Z(factor) 3、选择前几个主成分 4、计算主成分得分(transform-compute) 5、y与主成分进行回归(analyse-regression)， 求出α系数值。 6、compute Uˆ ,求出β系数，即可得出 消除多重共线性的标准回归方程。


z2

y2
*



q


zq


yn




n
zi1
yi
*
/
1

i1

zi2 yi * 2



ziq yi * q
2

n

q

归平方和。 找出偏回归平方和最小的主成分，其系 数向量中，最大的Uij所对应的自变量被 剔除。 找出次小的偏回归平方和，类似做之 最后将y*与剩下自变量做回归。
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期刊名及期数
财经研究 2002.1
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Z1=0.3145*zx1+0.3027*zx2+0.3100*zx3+0.2782*zx 4+0.2518*zx5+0.3110*zx6+0.3116*zx7+0.3075*zx8 +0.3034*zx9+0.3145*zx10+0.3050*zx11
Z2=-0.0522*zx1+0.2949*zx20.0469*zx3+0.3696*zx4+0.7199*zx5-0.1919*zx60.1391*zx7-0.2421*zx8-0.3361*zx9-0.1481*zx100.0536*zx11
yˆ* 0.690z1 0.191z2
例3.10 影响电的需求量的指标有：(1)钢的产 量x1;(2)生铁产量x2;(3)钢材产量x3;(4)有色金 属产量x4;(5)原煤产量x5;(6)水泥产量x6;(7)机 械工业总产值x7;(8)化肥产量x8;(9)硫酸产量 x9;(10)烧碱产量x10;(11)棉纱产量x11共11个 指标。收集了23年的指标值，建立发电站需求 模型。(数据见spssex/ex310)

ˆ
2



p

ˆ
p

ˆ1
ˆ11 ˆ22

ˆ pp
ˆ
2


ˆ
p

ˆ1 2 1 ˆ2 2 2


ˆ p
2p

p
j
j 1
ˆ j
2
任一构成 j ˆ j 2 是主成分Zj 对Y*的偏回
例3.9 经济工作者希望通过国内总产值 x1，存储量x2，消费总量x3,去预测进口 总额y,为此收集了某地区共计十一年的有 关数据，利用主成分估计建立回归方程。 (数据见spssex/ex309)
Z1=0.7066*zx1+0.0435*zx2+0.7066*zx3 Z2=-0.0357*zx1+0.9990*zx2-0.0258*zx3
4、再考虑最小特征根对应的特征向量， 找出绝对值最大的特征向量，剔除与之 对应的变量。
直至满足给定条件时停止。
5、将因变量与剩余变量作回归
三、主成分回归法
先将原始变量作主成分估计，得到标准 化后的y与主成分的回归方程。 离差平方和分解：
yi* y 2
yi* yˆi* 2
1


i 1 n
i 1 n
i 1
zi1 yi
zi2 yi ziq yi
* * *
n
ˆ j zij yi * j i 1
U
U
ˆc Uˆc ˆ1U1 ˆ2U2 ˆqUq
1、给定c， q1
Y* X * e X *UU e 令 U Y * Z e
Y* Zcc e (c 1,2,...,q) Y* 1Z1 2Z2 ...qZq
ˆc ZcZc 1 ZcY *
1

2




1 z1 y *1 1
论文题目
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农业可持续发展与生态环境评估指标体 系及测算研究 农村城镇化动力结构的统计研究
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一、主成分估计 主成分估计是以P个主成分中的前q个贡 献大的主成分为自变量建立回归方程， 估计参数的一种方法。 它可以消除变量间的多重共线性。
回归方程 y b0 b1x1 b2x2 bp xp e 对各变量进行标准化处理 Y* X * e 对于解释变量X*，使得z=X*U