高等数学 第五章

2) 取近似(以“粗”代“精”) 由于f(x)在[a，b]上连续变化，在很小一段区间上它的变 化不大，近似于不变. 因此我们可以在每个小区间[xi－1，xi] (i=1，2，…，n)上，用其中某一点ξi处的函数值f(ξi)为高作小 矩形近似代替同一小区间上的小曲边梯形，这样得到的小矩 形的面积就可以看作是同一小区间上的小曲边梯形面积的近 似值，即
图5-1
显而易见，由任何光滑曲线围成的图形可分解为若干个 曲边梯形(图5-1(d))． 因此，只要掌握了曲边梯形面积的求法， 就可以求出由任意光滑曲线围成的图形的面积．
现在，我们来求由任意曲线y=f(x)，直线x=a，x=b，y=0 围成的曲边梯形的面积S(图5-2). 为了方便，不妨假定f(x)>0.
有小区间的长度都趋于零, 同时份数n无限增多, 即n→∞), 上面
和式的极限就是曲边梯形的面积，即
n
S lim 0 i1
f
i
xi
2. 变速直线运动的路程 我们知道，当物体作匀速直线运动时，其路程等于速度 乘以时间． 如果物体作变速直线运动，即速度v是时间t的函 数，记v=v(t). 那么物体在时间段[T1，T2]上运动的路程s，显 然不能简单地用速度乘以时间来计算，这样的路程究竟该如 何计算呢？我们采用上述方法分析如下： 1) 分割 在时间段[T1，T2]中任意插入n－1个分点
ΔSi≈f(ξi)Δxi (i=1，2，…，n)
3) 求和(合“零”为“整”)
将n个小矩形面积加起来，即为曲边梯形AabB的面积的
近似值，即
n
n
S Si f i xi
i 1
i 1
显然，小曲边梯形分得越小，近似程度就越高．
4) 取极限(去“粗”取“精”)
记
max
1in
xi
表示小区间中最大长度，当λ→0时(这时所
第五章 定积分及其应用
5.1 定积分的概念 5.2 定积分的性质 5.3 微积分基本定理 5.4 定积分的换元积分法与分部积分法 5.5 反常积分 5.6 定积分的应用
5.1 定积分的概念
一、 引例 1. 曲边梯形的面积 所谓曲边梯形，是指由一条连续曲线y=f(x)及三条直线
x=a，x=b，y=0(即x轴)所围成的图形AabB(图5-1(a))，其中线 段ab称为曲边梯形的底，线段aA和bB都垂直于x轴，称为曲 边梯形的腰． 在特殊情况下，有一腰或两腰退化为一点的图 形(图5-1(b)、(c))仍视为曲边梯形．
i 1
i 1
4) 取极限
记
max
1in
ti
表示小时间段中最大长度ຫໍສະໝຸດ 当λ→0时，上面和式的极限就是物体在时间段[T1，T2]上运动的路程，即
n
s
lim
0
i 1
v
i
ti
从上面引例可以看出，虽然两个问题的实际意义不同，
但解决问题的思路和方法是相同的，都是用“分割、取近似、
求和、取极限”这四步解决，最后结果为具有相同结构的一
每个小区间的长度依次为 Δx1=x1－x0，Δx2=x2－x1，…，Δxn=xn－xn－1
在每个小区间上任取点ξi∈[xi－1,xi],作乘积f(ξi)Δxi(i= 1，
2，…，n)，并求和
n
f
i， x令i
i 1
m1iaxn ，xi 如果不论对[a，
b]怎样划分，也不论在小区间[xi－1，xi]上点ξi怎样选取，只要
由图5-2不难看出，曲边梯形在底边上各点处的高f(x)在 区间[a，b]上是变动的，故不能用矩形的面积公式计算曲边 梯形AabB的面积． 但是，我们可以通过求曲边梯形面积的近 似值，利用极限得到曲边梯形面积的精确值．
图5-2
1) 分割(化“整”为“零”) 在区间[a，b]中任意插入n－1个分点
a=x0<x1<x2<…<xn－1<xn=b 将区间[a，b]分成n个小区间
T1=t0<t1<t2<…<tn－1<tn=T2 将[T1，T2]分成n个小时间段(图5-3)
图5-3
每个小时间段的长度依次为 Δt1=t1－t0， Δt2=t2－t1，…，Δtn=tn－tn－1
相应地，每个小时间段上运动的路程为Δsi(i=1,2,…,n)．
2) 取近似
由于物体运动速度的变化是连续的，在很短的时间内速
[x0，x1]，[x1，x2]，…，[xn－1，xn] 各小区间的长度依次为
Δx1=x1－x0， Δx2=x2－x1，…， Δxn=xn－xn－1 过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形AabB分成n个小曲边 梯形(图5-2)． 设它们的面积依次为ΔSi(i=1，2，…，n)，则 整个曲边梯形的面积为
n
S S1 S2 Sn Si i 1
种特定和式的极限. 还有许多实际问题也用这种方法解决， 因此，我们抛开这类问题的实际意义，抓住它们在数量关系
上共同的本质与特性加以概括，抽象出定积分的概念.
二、 定积分的定义 定义 设f(x)是定义在区间[a，b]上的有界函数， 用分点 a=x0<x1<x2<…<xn－1<xn=b
将区间[a，b]分成n个小区间 [x0，x1]，[x1，x2]，…，[xn－1，xn]
三、定积分的几何意义
由定积分的定义可知，当f(x)≥0时， 定积分∫baf(x)dx在几 何上表示由曲线y=f(x)， 直线x=a，x=b及x轴所围成的曲边梯
形的面积.
当f(x)≤0时， 由曲线y=f(x)， 直线x=a，x=b及x轴所围成
的曲边梯形位于x轴的下方 (图5-4)， 这时和式
度变化很小，近似看做匀速的，我们在每个小区间[ti－1，ti] (i=1，2，…，n)上任取一点τi，用v(τ)iΔti作为物体在小时间段 [ti－1，ti]上运动的路程Δsi的近似值，即
Δsi≈v(τi)Δti(i=1，2，…，n) 3) 求和
物体在时间段[T1，T2]上运动的路程的近似值为
n
n
s si v i ti
当λ→0时，
li存m0 i在n1 f，i则 x称i 函数f(x)在区间[a，b]上可
积，并称此极限值为函数f(x)在[a，b]上的定积分，记为
∫baf(x)dx，即
b
n
f
a
xdx
lim
0
i 1
f
i xi
其中，f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分
变量，[a，b]称为积分区间，a称为积分下限，b称为积分上限.