基本初等函数知识点及练习
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【指数与指数函数】
一、指数
（一）整数指数幂 1．整数指数幂概念：
n a
a =
个
)(*∈N n ；
n a -= ),0(*∈≠N n a ．
规定：0
a
= )0(≠a ．
2．整数指数幂的运算性质：（1）m
n a
a ⋅= ，
（2）m
n a a ÷= ),(Z n m ∈；
（3）()
n
m
a = ),(Z n m ∈；
（4）
()
n
ab = )(Z n ∈．
（二）根式
1．根式的概念（a 的n 次方根的概念）：一般地，如果一个数的n 次方等于a
()1,n n N *
>∈，那么这个数叫做a 的n 次方根．
即： 若 ，则x 叫做a 的n 次方根．()1,n n N *
>∈
例如：27的3次方根 ，27-的3次方根 ，
32的5次方根 ，32-的5次方根 ．
说明：（1）若n 是奇数，则a 的n
0a >
，若0a <
；
（2）若n 是偶数，且0a
>，则a 的正的n
，a 的负的n
次方根，记作：-
例如：8的平方根 ；16的4次方根 ． （3）若n 是偶数，且0a <则
n
a 没意义，即负数没有偶次方根；
（4）
()001,n n n N *=>∈，
0∴=；
（5
n 叫 ，a 叫 ．
2．a 的n 次方根的性质
（1）一般地，若n
= ；若n
= ．
（2
）
n
= （注意a 必须使n a 有意义）．
（二）分数指数幂 1．分数指数幂：
规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是m
n
a
= ()0,,1
a m n N n *>∈>、；
（2）正数的负分数指数幂的意义是m n
a
-
= (
)0,,1
a m n N n *>∈>、；
（3）0的正分数指数幂等于 ，0的负分数指数幂 ． 2．分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用
()()10,,r s a a a r s Q =>∈；
()()()20,,s
r a a r s Q =
>∈；
()()()30,0,r
ab a b r Q =
>>∈．
说明：当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式；
()0a =
=
>()0a =
=
>
【练习巩固】
1．求下列各式的值： （1 （2 （3 （4)a b >
2．已知0a b <<，1,n n N *>∈，
3 4
5． 用分数指数幂的形式表示下列各式()0a >：
（1）2
a ；（2）3a ；（3．
6．计算下列各式的值（式中字母都是正数）．（1）21
151133
6622263a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
；（2）8
3184m n -⎛⎫ ⎪
⎝⎭；
7．计算下列各式：（1）÷；（2()2
0a >．
二、指数函数
1．指数函数定义：一般地，函数 叫做指数函数，其中 是自变量，函数定义域是 ． 2．指数函数
x y a =在底数1a >及01a <<的图象特征及函数性质：
图象特征
函数性质
图象的伸展： 图象的对称性： 图象的位置： 图象过定点：
自左向右看，图象逐渐 自左向右看，图象逐渐
在第一象限内的图象纵坐标都
在第一象限内的图象纵坐标都
在第二象限内的图象纵坐标都
在第二象限内的图象纵坐标都
图象上升趋势是越来越 图象下降趋势是越来越
函数值开始增长 ，到了某一值后增长速度
函数值开始减小 ，到了某一值后减小速度
总结：指数函数
y a =在底数1a >及01a <<这两种情况下的图象和性质：
1a > 01a <<
图象
性质
（1）定义域： ． （2）值 域： ． （3）过点 ，即
0x =时，=y ．
（4）在R 上是 函数， 当
0>x 时，